2023年河南省新乡十中、十一中、二十一中中考数学二模试卷(含解析)
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一、选择题(本大题共10小题,共30.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1. 下列四个数中,最小的数是( )
A. 0 B. −3 C. −π D. − 3
2. 2022年11月12日,搭载了天舟五号货运飞船的长征七号遥六运载火箭成功发射,来自河南航天企业的“豫科技”为这场太空“送货”之旅保驾护航.将“豫科技助送货”这六个汉字分别写在某正方体的表面上,如图是它的一种展开图,则在原正方体中,与“科”字所在面相对的面上的汉字是( )
A. 豫 B. 助 C. 送 D. 货
3. 下列计算正确的是( )
A. x+2x2=3x3 B. (−12x3y2)2=14x6y4
C. x6÷x2=x3 D. (x−2)2=x2−4
4. 下列说法正确的是( )
A. 要调查“双减”下平顶山某校八年级学生的作业时长,可以选取50名男生作为调查对象
B. 安阳某校从800名学生中随机抽取100名学生进行百米测试,样本容量是800
C. “任意画一个三角形,其外角和是360°”是必然事件
D. 疫情期间对全班学生的体温检测应采用抽查方式
5. 将三角尺按如图所示放置在一张矩形纸片上,∠EGF=90°,∠FEG=30°,∠1=125°,则∠BFG的大小为( )
A. 125°
B. 115°
C. 110°
D. 120°
6. 若关于x的一元二次方程mx2+2mx+4=0有两个相等的实数根,则m的值为( )
A. 0 B. 4 C. 0或4 D. 0或−4
7. 如图,平行四边形ABCD中,BE平分∠ABC交AD于点E,CF⊥BE交BE于
点N,交AD于点F,点M为EF的中点,AB=4,MN=1,则AD=( )
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
8. 丝米,一种用于计算长度、容量和重量的微小单位.十忽为一丝,十丝为一毫.已知:1米=1000毫米,1毫米=10丝米,1丝米=10忽米,则1米等于( )
A. 106忽米 B. 104忽米 C. 10−5忽米 D. 105忽米
9. 如图,矩形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴上,其坐标分别为(−6,0)、(0,−8),AD=20,将矩形ABCD绕点O顺时针旋转,每次旋转90°,则第2022次旋转结束时,点D的坐标为( )
A. (10,12)
B. (−10,−12)
C. (−12,10)
D. (12,−10)
10. 实验证实,放射性物质在放出射线后,质量将减少,减少的速度开始较快,后来较慢,如图1是镭所剩的质量随着时间的变化而变化,图2是“半衰期”的相关内容.下列说法不正确的是( )
A. 镭所剩质量与时间成函数关系
B. 当时间为4860年时,m的值为18m0
C. 镭的半衰期是1620年
D. 32mg镭缩减为1mg所用的时间大约是6480年
二、填空题(本大题共5小题,共15.0分)
11. 请任写一个与y=x+1平行的一次函数解析式______ .
12. 不等式组3−x2>03x+2>1的解集是______.
13. 为全面落实“双减”工作,某校成立了义务宣讲团,为学生家长做“双减”政策解读,现招募两个宣讲教师,有四个老师A、B、C、D备选,则恰好选中A和D的概率是______ .
14. 如图,△ABC中,∠ACB=90°,AB=4,AC=2,BC为半圆O的直径,将△ABC沿射线CB方向平移得到△A1B1C1,当A1B1与半圆O相切于点D时,阴影部分的面积为______ .
15. 如图,四边形ABCD中,AB//CD,∠BAD=∠ABC=60°,AD=BC=CD=4,点M是四边形ABCD内的一个动点,满足∠AMD=90°,连接MC、MB,则△MBC面积的最小值为______ .
三、解答题(本大题共8小题,共75.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
16. (本小题10.0分)
(1)计算: 4+(1+π)0−(2cos45°)−|1−38|;
(2)化简:x2+2x+1x2+x÷(1+x2x−2x).
17. (本小题9.0分)
神舟十四号载人飞船,被网友们称作是开了一趟“河南专列”,不仅乘组中一次派出了陈冬、刘洋两位河南籍航天员,从运载火箭到飞
船对接空间站,也有众多“河南科技”“河南造”为这次任务全程保驾
护航.漯河某校组织了关于神舟载人航天飞船知识竞赛活动,为了解学生对相关知识掌握的整体情况,分别从七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩(满分:100分)进行整理、描述和分析,给出以下部分信息:Ⅰ.七年级20名学生竞赛成绩的频数分布表和频数分布直方图:
成绩m(分)
频数(人)
频率
50≤m<60
a
0.05
60≤m<70
b
c
70≤m<80
3
0.15
80≤m<90
8
0.40
90≤m≤100
6
0.30
合计
20
1.00
Ⅱ.七年级竞赛成绩在80≤m<90组的具体成绩为:83,84,86,87,88,89,89,89.
Ⅲ.七、八年级竞赛成绩的统计数据如表所示:
年级
平均分
中位数
众数
七年级
83.7
m
89
八年级
84.2
85
85
根据以上信息,解答下列问题:
(1)a= ______ ;m= ______ ;
(2)补全七年级20名学生竞赛成绩的频数分布直方图;
(3)在这次竞赛活动中,某学生的竞赛成绩是86分,在他所属的样本中位于中等偏上水平,那么这个学生是______ 年级的学生,请说明理由.
18. (本小题9.0分)
如图,正比例函数y=12x与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点A,过点A作AB⊥y轴于点B,A点的横坐标为8.
(1)求k的值;
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段AO的垂直平分线;(要求:不写作法,保留作图痕迹)
(3)(2)中所作的垂直平分线与AB交于点C,与x轴交于点D,连接OC、AD,求证:四边形OCAD是菱形.
19. (本小题9.0分)
基础设施是经济社会发展的重要支撑,河南省委、省政府抢抓国家政策窗口期,全面加快基础设施建设.小明利用学到的数学知识测量河南境内某桥主架在水面以上的高度AB,在观测点C处测得大桥主架顶端A的仰角为22°,测得大桥主架与水面交汇点B的俯角为14°,观测点与大桥主架的水平距离CM为60米,且AB垂直于桥面,点A、B、C、M在同一平面内.求大桥主架在水面以上的高度AB约为多少米?(参考数据:sin14°≈0.24,cos14°≈0.97,tan14°≈0.25,sin22°≈0.37,cos22°≈0.93,
tan22°≈0.40)
20. (本小题9.0分)
在新冠疫情防控期间,某医疗器械商业集团准备购进A、B两种型号的额温枪.若购进A种型号额温枪20只,B种型号额温枪10只,共需要2000元;若购进A种型号额温枪8只,B种型号额温枪6只,共需要1100元.
(1)求购进A、B两种型号的额温枪每只各需要多少元;
(2)若该医疗器械商业集团决定拿出10000元全部用来购进这两种型号的额温枪,考虑市场需求,要求购进A种型号的额温枪不少于B种型号的额温枪数量的6倍,设购进B种型号的额温枪数量为m(m>28)只,则该医疗器械商业集团有几种进货方案?
(3)在(2)的条件下,若每只A种型号的额温枪的售价为55元,每只B种型号的额温枪的售价为190元,请直接写出该医疗器械商业集团获得的最大利润.
21. (本小题9.0分)
如图,已知抛物线y1=ax2+bx+3与x轴交于点A(−1,0),B(3,0),与y轴交于点C,作直线l:BC.
(1)求二次函数解析式;
(2)已知点Q的坐标为(0,5),将线段CQ沿直线BC向下平移得到线段C′Q′,使点C′始终在直线l上,若线段C′Q′与抛物线有交点,请求出点Q′的横坐标m的取值范围.
22. (本小题10.0分)
ξ某市游乐园有一座匀速旋转的摩天轮(如图1),其圆形转轮边缘上均匀分布若干座舱,人们坐在座舱中可以非常惬意地俯瞰周边美景.小明突发奇想,动手制作了一个简易模型(如图2),通过测量,⊙O的半径为5,且点O在直线l上,然后他用一个三角板学具(∠ABC=90°,AB=BC=8)做一些数学实验,当点B落在直线l上,点A在⊙O上时,发现另一直角边BC与⊙O交于点P,且点P恰好是BC的中点,连接PO,并延长交⊙O于点Q,连接AQ、AP.
(1)求证:△ABP∽△PAQ;
(2)求证:BC是⊙O切线.
23. (本小题10.0分)
综合与实践:综合与实践课上,老师让同学们以“图形的旋转与翻折”为主题开展数学活动.
情境导入:在Rt△ABC中,AC=BC,∠C=90°,点D为直线AC上一点,连接BD,将BD绕点B逆时针旋转90°至BE,连接AE交直线BC于点F.
活动一:图形的旋转:
(1)当点D在线段AC上时,如图1,小明为探究AF与EF的关系,给出了如图的思路:根据思路,可知:AF与EF的数量关系是:______ ;
(2)当点D在线段AC上时,如图2,(1)的结论是否成立?请说明理由;
活动二:图形的翻折:
(3)如图3,当AC=6,CD=CF=2时,M为直线AB上一动点,连接FM,作△EFB关于直线FM的对称图形得到△E′FB′,当线段CE′最小时,直接写出△DB′E′的面积.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解:∵−π<−3<− 3<0,
∴最小的数是−π.
故选:C.
实数大小比较的法则:①正数都大于0;②负数都小于0;③正数大于一切负数;④两个负数,绝对值大的其值反而小,据此判断即可.
本题考查了实数的大小比较法则的应用,主要考查学生的理解能力和比较能力,注意:正数都大于0,负数都小于0,正数大于一切负数,两个负数比较大小,绝对值大的反而小.
2.【答案】B
【解析】解:在原正方体中,与“科”字所在面相对的面上的汉字是“助”,
故选:B.
根据正方体的表面展开图找相对面的方法,一线隔一个,即可解答.
本题考查了正方体相对两个面上的问题,熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键.
3.【答案】B
【解析】解:A、原式不能合并,不符合题意;
B、原式=14x6y4,符合题意;
C、原式=x4,不符合题意;
D、原式=x2−4x+4,不符合题意.
故选:B.
各式计算得到结果,即可作出判断.
此题考查了完全平方公式,合并同类项,幂的乘方与积的乘方,以及同底数幂的乘法,熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键.
4.【答案】C
【解析】解:A、要调查“双减”下平顶山某校八年级学生的作业时长,可以随机选取50名学生作为调查对象,故A不符合题意;
B、安阳某校从800名学生中随机抽取100名学生进行百米测试,样本容量是100,故B不符合题意;
C、“任意画一个三角形,其外角和是360°”是必然事件,故C符合题意;
D、疫情期间对全班学生的体温检测应采用全面调查,故D不符合题意;
故选:C.
根据随机事件,全面调查与抽样调查,三角形的外角性质,总体、个体、样本、样本容量,逐一判断即可解答.
本题考查了随机事件,全面调查与抽样调查,三角形的外角性质,总体、个体、样本、样本容量,熟练掌握这些数学概念是解题的关键.
5.【答案】B
【解析】解:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD//BC,
∴∠1+∠BFE=180°,
∵∠1=125°,
∴∠BFE=55°,
∵在△EGF中,∠EGF=90°,∠FEG=30°,
∴∠EFG=180°−∠EGF−∠FEG=60°,
∴∠BFG=∠BFE+∠EFG=55°+60°=115°,
故选:B.
根据矩形得出AD//BC,根据平行线的性质得出∠1+∠BFE=180°,求出∠BFE,根据三角形内角和定理求出∠EFG,即可求出答案.
本题考查了平行线的性质,矩形的性质,三角形的内角和定理等知识点,能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键.
6.【答案】B
【解析】解:∵mx2+2mx+4=0是一元二次方程,
∴m≠0,
∵方程有两个相等的实数根,
∴Δ=4m2−16m=0,
∴m=0或m=4,
∴m=4,
故选:B.
由已知先确定m≠0,再由方程根的情况,利用判别式Δ=4m2−16m=0,求解m即可.
本题考查一元二次方程的解,熟练掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键.
7.【答案】A
【解析】解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴CD=AB=4,AD//BC,
∴∠AEB=∠EBC,
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠EBC,
则∠ABE=∠AEB,
∴AE=AB=4,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB//CD,
∴∠ABC+∠DCB=180°,
∵∠EBC+∠FCB=90°,
∴CF平分∠DCB,
同理可证:DF=CD=4,
∴EF=AE+FD−AD.
∵CF⊥BE交BE于点N,点M为EF中点,
∴MN=12EF=1.
∴EF=2,
∴EF=AE+FD−AD=4+4−AD=2,
∴AD=6,
故选:A.
先证∠ABE=∠AEB,则AB=AE,同理可证FD=CD,进而得出答案.
本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识,熟练掌握平行四边形的性质,证明AE=AB是解题的关键.
8.【答案】D
【解析】解:∵1米=1000毫米,1毫米=10丝米,1丝米=10忽米,
∴1米=1000毫米=10000丝米=100000忽米=105忽米,
故选:D.
根据所给的单位关系,进行换算,再将换算后的数用科学记数法表示即可.
本题考查有理数的乘方,熟练掌握单位换算的方法,会用科学记数法表示大数是解题的关键.
9.【答案】B
【解析】解:如图,过点D作DT⊥x轴于点T.
矩形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴上,其坐标分别为(−6,0)、(0,−8),
∴OA=6,OB=8,
∴AB= OA2+OB2=10,
∵∠ATD=∠AOB=∠BAD=90°,
∴∠DAT+∠BAO=90°,∠BAO+∠ABO=90°,
∴∠DAT=∠ABO,
∴△ATD∽△BOA,
∴ADAB=ATOB=DTOA,即2010=AT8=DT6,
∴AT=16,DT=12,
∴OT=AT−OA=16−6=10,
∴D(10,12),
∵矩形ABCD绕点O顺时针旋转,每次旋转90°,
则第1次旋转结束时,点D的坐标为(12,−10);
则第2次旋转结束时,点D的坐标为(−10,−12);
则第3次旋转结束时,点D的坐标为(−12,10);
则第4次旋转结束时,点D的坐标为(10,12);
…
发现规律:旋转4次一个循环,
∴2022÷4=505…2,
则第2021次旋转结束时,点D的坐标为(−10,−12).
故选:B.
如图,过点D作DT⊥x轴于点T.首先利用相似三角形的性质求出点D的坐标,再探究规律,利用规律解决问题即可.
本题考查了坐标与图形变化−旋转、规律型:点的坐标,解决本题的关键是根据旋转的性质发现规律,总结规律.
10.【答案】D
【解析】解:A.对于每一个时间,m都有唯一的值与它对应,所以镭所剩质量与时间成函数关系,故A选项正确,不符合题意;
B.根据函数图象可知,当时间为4860年时,m的值为18m0,故B选项正确,不符合题意;
C.当镭的质量减为12m0时,时间为1620年,所以镭的半衰期是1620年,故C选项正确,不符合题意;
D.每经过1620年,镭的质量减为原来的一半,当质量为32mg经过n个1620年后,镭的质量为(12)n×32(mg),
所以当镭的质量为1mg时,n=5,即32mg镭缩减为1mg所用的时间大约是1620×5=8100年,故D选项错误,符合题意.
故选:D.
利用函数的定义即可判断A选项;根据函数图象即可判断B选项;根据“半衰期”的定义即可判断C选项;每经过1620年,镭的质量减为原来的一半,当质量为32mg经过n个1620年后,镭的质量为(12)n×32(mg),则当n=5时,镭的质量缩减为1mg,以此可判断D选项.
本题考查函数的定义、函数的图象、新定义问题,根据题意结合函数图象得出镭的半衰期是解题关键.
11.【答案】y=x+3
【解析】解:∵两解析式平行k值相等,
∴k=1.
故答案为:y=x+3(答案不唯一).
根据平行k相等这个结论即可得出结论.
本题考查了一次函数图象的位置与系数的关系,明白函数图象中平行k相等是关键.
12.【答案】−13
由3x+2>1,得:x>−13,
则不等式组的解集为−13
本题考查的是解一元一次不等式组,正确求出每一个不等式解集是基础,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.
13.【答案】16
【解析】解:画树状图如下:
共有12种等可能的结果,其中恰好选中A和D的结果有2种,
∴恰好选中A和D的概率是212=16,
故答案为:16.
画树状图,共有12种等可能的结果,其中恰好选中A和D的结果有2种,再由概率公式求解即可.
本题考查的是树状图法求概率.树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
14.【答案】2 3−34π
【解析】解:如图,连接OD,
∵当A1B1与半圆O相切于点D,
∴OD⊥A1B1,
∵∠ACB=90°,AB=4,AC=2,
∴BC= 42−22=2 3,
∵Rt△ABC沿射线CB方向平移,当A1B1与半圆O相切于点D,得△A1B1C1,
∴A1C1=AC=2,A1B1=AB=4,B1C1=BC=2 3,∠A1C1B1=∠ACB=90°,
∵12A1B1⋅OD=12A1C1⋅B1C1,
∴12×4⋅OD=12×2 3×2,
∴OD= 3,
∴阴影部分的面积为12×2 3×2−90π×( 3)2360=2 3−34π.
故答案为:2 3−34π.
连接OD,根据相切的性质得OD⊥A1B1,根据勾股定理得BC= 42−22=2 3,根据三角形的面积公式得12A1B1⋅OD=12A1C1⋅B1C1,可得OD= 3,即可求出阴影部分的面积.
本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了平移的性质、勾股定理.
15.【答案】6 3−4
【解析】解:取AD的中点O.连接OM,过点M作ME⊥BC于点E,过点O作OF⊥BC于点F,交CD于点G,
则OM+ME≥OF,
∵∠AMD=90°,AD=4,OA=OD,
∴OM=12AD=12×4=2,
∵AB//CD,
∴∠GCF=∠B=60°,
∴∠DGO=∠CGF=30°,
∵AD=BC,
∴∠DAB=∠B=60°,
∴∠ADC=∠BCD=120°,
∴∠DOG=∠DGO=30°,
∴DG=DO=2,
∵CD=4,
∴CG=2,
∴OG=2OD⋅cos30°=2 3,GF= 3,OF=3 3,
∴ME≥OF−OM=3 3−2,
∴当O,M,E三点共线时,ME的值最小,最小值为3 3−2,
∴△MBC面积的最小值是:12×4×(3 3−2)=6 3−4.
故答案为:6 3−4.
取AD的中点O.连接OM,过点M作ME⊥BC于点E,过点O作OF⊥BC于点F,交CD于点G,则OM+ME≥OF,根据垂线段最短可知,当O,M,E三点共线时,ME的值最小,从而求得△MBC面积的最小值.
本题考查了直径所对的圆周角是直角,垂线段最短,以及解直角三角形,解题的关键是学会用转化思想思考问题.
16.【答案】解:(1)原式=2+1−2× 22−|1−2|
=2+1− 2−1
=2− 2:
(2)原式=(x+1)2x(x+1)÷1+x2−2x2x
=x+1x÷−(x2−1)x
=−x+1x⋅x(x+1)(x−1)
=−1x−1
=11−x.
【解析】(1)原式利算术平方根,零指数幂法则,特殊角的三角函数值,立方根及绝对值的代数意义计算即可求出值;
(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除法法则变形,约分即可得到结果.
此题考查了分式的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
17.【答案】1 87.5 八年级
【解析】解:(1)由题意得:a=20×0.05=1;
把七年级20名学生的竞赛成绩从小到大排列,排在中间的两个数分别是87、88,故中位数m=87+882=87.5;
故答案为:1;87.5;
(2)由题意知,成绩在“60≤x<70”这一组的人数为2人,
将频数分布直方图补充完整如右:
(3)八年级.
理由:∵86>85,86<87.5,
∴该同学竞赛成绩高于八年级的中等水平,低于七年级的中等水平;
故答案为:八年级.
(1)根据“频率=频数÷总数”可得a的值,根据中位数的定义可得m的值;
(2)用20分别减去其它组的频数可得b的值,再补全频数分布直方图即可;
(3)根据中位数的意义解答即可.
本题考查频数分布直方图、频数分布表,中位数、众数以及样本估计总体,理解中位数、众数的意义,掌握它们的计算方法是正确求解的前提.
18.【答案】(1)解:∵点A在正比例函数y=12x上,A点的横坐标为8,
∴y=12×8=4,
∴A(8,4),
∵点A(8,4)在反比例函数y=kx(x>0)的图象上,
∴k=4×8=32.
(2)解:如图,分别以点O,A为圆心,以大于12OA的长为半径画弧,
两弧分别相交于M,N两点,作直线MN即为线段OA的垂直平分线.
(3)证明:设垂直平分线与OA交于点E,
由作图易知:OC=AC,OD=AD
∴∠COA=∠CAO,
∵AB⊥y轴于点B,
∴AB//OD,
∴∠CAO=∠AOD,
∴∠COA=∠AOD,
又∵OE=OE,∠CEO=∠DEO=90°,
∴△OCE≌△ODE(ASA),
∴OC=OD,
∴OC=AC=AD=OD,
∴四边形OCAD是菱形.
【解析】(1)根据点A在正比例函数y=12x上,A点的横坐标为8,求出A点坐标,再代入反比例函数y=kx(x>0)中求出k即可.
(2)分别以点O,A为圆心,以大于12OA的长为半径画弧,两弧相交于M,N两点,作直线MN即为线段OA的垂直平分线.
(3)由作图易知:OC=AC,OD=AD,证明△OCE≌△ODE得到OC=OD,从而OC=AC=AD=OD证出结论.
本题考查了反比例函数的性质,尺规作图,线段垂直平分线的性质,菱形的判定,是一道综合题,熟练掌握反比例函数的性质以及菱形的判定定理是解题的关键.
19.【答案】解:由题意得∠AMC=∠BMC=90°,
在Rt△AMC中,∵CM=60米,∠ACM=22°,tan∠ACM=AMCM,
∴AM=CM⋅tan∠ACM=60×tan22°≈60×0.4=24(米),
Rt△BMC中,∵CM=60米,∠BCM=14°,tan∠BCM=BMCM,
∴BM=CM⋅tan∠BCM=60×tan14°≈60×0.25=15(米),
∴AB=AM+BM=24+15≈39 (米).
答:大桥主架在水面以上的高度AB约为39米.
【解析】根据正切的定义求出AM和BM,结合图形计算即可.
本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.
20.【答案】解:(1)设购进A种型号额温枪每只需要x元,B种型号额温枪每只需要y元,
根据题意得:20x+10y=20008x+6y=1100,
解得:x=25y=150.
答:购进A种型号额温枪每只需要25元,B种型号额温枪每只需要150元;
(2)∵购进B种型号的额温枪数量为m(m>28)只,
∴购进A种型号的额温枪数量为10000−150m25=(400−6m)只.
根据题意得:400−6m≥6m,
解得:m≤1003,
又∵m>28,且m为整数,
∴m可以为29,30,31,32,33,
∴该医疗器械商业集团有5种进货方案;
(3)设该医疗器械商业集团获得的总利润为w元,则w=(55−25)(400−6m)+(190−150)m,
即w=−140m+12000,
∵−140<0,
∴w随m的增大而减小,
∴当m=29时,w取得最大值,最大值=−140×29+12000=7940,此时400−6m=400−6×29=226.
答:当购进A种型号额温枪226只,B种型号额温枪29只时,该医疗器械商业集团获得的利润最大,最大利润为7940元.
【解析】(1)设购进A种型号额温枪每只需要x元,B种型号额温枪每只需要y元,根据“购进A种型号额温枪20只,B种型号额温枪10只,共需要2000元;购进A种型号额温枪8只,B种型号额温枪6只,共需要1100元”,可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论;
(2)由总价及购进B种型号的额温枪数量,可得出购进A种型号的额温枪数量为(400−6m)只,根据购进A种型号的额温枪不少于B种型号的额温枪数量的6倍,可得出关于m的一元一次不等式,解之可得出m的取值范围,结合m>28且m为整数,即可得出该医疗器械商业集团有5种进货方案;
(3)设该医疗器械商业集团获得的总利润为w元,利用总利润=每只的销售利润×销售数量(购进数量),可得出w关于m的函数关系式,再利用一次函数的性质,即可解决最值问题.
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式;(3)根据各数量之间的关系,找出w关于m的函数关系式.
21.【答案】解:(1)∵y1=ax2+bx+3过点A(−1,0),B(3,0),
∴a−b+3=09a+3b+3=0,
解得a=−1b=2,
∴二次函数解析式为y1=−x2+2x+3;
(2)∵y1=−x2+2x+3,
∴C(0,3),
设直线l解析式为y=kx+b,将(0,3)(3,0)代入解析式得:
b=33k+b=0,
解得k=−1b=3,
∴直线BC解析式为y=−x+3,
设C′Q′交抛物线于D,则D点坐标为(m,−m2+2m+3),
∴C′(m,−m+3),
∴C′D=−m2+2m+3−(−m+3)=−m2+3m,
∵C′Q′=CQ=5−3=2,
∴C′D≤2,
即−m2+3m≤2,
解得m≤1或m≥2,
∵C′Q′在直线BC的上方,D应在直线BC上方,
∴0≤m≤3,
综上所述,m的取值范围为0≤m≤1或2≤m≤3.
【解析】(1)用待定系数法求函数解析式即可;
(2)先求出点C坐标,再用待定系数法求出直线BC解析式,设C′Q′交抛物线于D,D点坐标为(m,−m2+2m+3),则C′(m,−m+3),根据CD≤2以及D应在直线BC上方,求出m的取值范围.
本题考查抛物线与x轴的交点,二次函数的性质,关键是求出抛物线解析式.
22.【答案】证明:(1)∵点P是BC的中点,AB=CB=8,∠ABC=90°,
∴PB=4,
∴PA= 82+42=4 5,
∵⊙O的半径为5,PQ是⊙O的直径,
∴PQ=10,∠PAQ=90°,
∴AQ= 102−(4 5)2=2 5,
在△ABP中,AB=8,PA=4 5,BP=4,
在△PAQ中,PA=4 5,PQ=10,AQ=2 5,
∴PBQA=ABPA=APPQ=2 5,
∴△ABP∽△PAQ;
(2)由(1)知△ABP∽△PAQ,
∴∠APQ=∠BAP,
∴AB//PQ,
∴∠CPQ=∠ABP=90°,
∴PQ⊥BC,
∵OP是半径,
∴BC是⊙O切线.
【解析】(1)由勾股定理可得PA的长,再由圆周角定理及勾股定理可得QA的长,最后根据相似三角形的判定定理可得结论;
(2)根据相似三角形的性质及切线的判定方法可得结论.
本题考查了相似三角形的应用,熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键.
23.【答案】AF=EF
【解析】解:(1)如图1,过点A作AH//BE,交BC的延长线于点H,连接EH,
∴∠AHF=∠EBF,
∵将BD绕点B逆时针旋转90°至BE,
∴BD=BE,∠EBD=90°=∠ACB,
∴∠CBD+∠EBF=90°=∠CBD+∠BDC,
∴∠EBF=∠BDC=∠AHF,
又∵AC=BC,∠ACH=∠BCD=90°,
∴△ACH≌△BCD(AAS),
∴AH=BE,
∴四边形AHEB是平行四边形,
∴AF=EF,
故答案为:AF=EF;
(2)仍然成立,理由如下:
过点A作AH//BE,交BC的延长线于点H,连接EH,
∴∠AHF=∠EBF,
∵将BD绕点B逆时针旋转90°至BE,
∴BD=BE,∠EBD=90°=∠ACB,
∴∠CBD+∠EBF=90°=∠CBD+∠BDC,
∴∠EBF=∠BDC=∠AHF,
又∵AC=BC,∠ACH=∠BCD=90°,
∴△ACH≌△BCD(AAS),
∴AH=BE,
∴四边形AHEB是平行四边形,
∴AF=EF;
(3)∵△EFB关于直线FM的对称图形为△E′FB′,
∴EF=E′F,∠BFE=∠E′FB′,BF=B′F,
∴点E′在以点F为圆心,EF为半径的圆上运动,
∴当点E′在FC的延长线上时,CE′有最小值,
此时,点B′在AF上,
如图3,过点D作DN⊥AF于N,过点F作FQ⊥AB于Q,
∵AC=6,CD=CF=2,∠ACB=90°,
∴BF=AD=4,FD=2 2,AB=6 2,∠ABC=45°,
∵FQ⊥AB,
∴FQ=BQ=2 2,
∴AQ=4 2,
∴AF= QF2+AQ2=2 10,
∴EF=E′F=2 10,
∵DN2=FD2−FN2=AD2−AN2,
∴8−FN2=16−(2 10−FN)2,
∴FN=4 105,
∴DN=2 105,
∵△DB′E′的面积=S△E′B′F−S△E′FD−S△B′DF=S△ABF−S△E′FD−S△B′DF=12×4×6−12×2 10×2−12×4×2 105=12−14 105,
∴△DB′E′的面积为12−14 105.
(1)由“AAS”可证△ACH≌△BCD,可得AH=BE,可证四边形AHEB是平行四边形,可得结论;
(2)由“AAS”可证△ACH≌△BCD,可得AH=BE,可证四边形AHEB是平行四边形,可得结论;
(3)先确定点E′的位置,由勾股定理分别求出E′F的长,DN的长,由面积和差关系可求解.
本题是几何变换综合题,考查了平行四边形的性质和判定,旋转的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理等知识,添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键.
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