云南省元谋县第一中学2022-2023学年高二下学期期末模拟（一）数学试卷(含答案)

云南省元谋县第一中学2022-2023学年高二下学期期末模拟（一）数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、集合，，则等于(   )

A. B. C. D.

2、已知为纯虚数，则实数m的值为(   )

A.1 B.-1 C.1或-1 D.-1或0

3、已知直线，其中，则“”是“”的(   )

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

4、函数，其中的部分图像如图所示，则的单调减区间为(   )

A.，； B.，；

C.，； D.，.

5、的展开式中的系数为(   )

A.-80 B.-40 C.40 D.80

6、已知点为双曲线的右焦点，直线与双曲线交于A，B两点，若，则的面积为(   )

A. B. C. D.

7、数值，，大小关系正确的是(   )

A. B.

C.  D.

8、“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：被3除余2的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前n项和为，则的最小值为(  )

A.20 B.25 C. D.40

二、多项选择题

9、某种子站培育出A、B两类种子，为了研究种子的发芽率，分别抽取100粒种子进行试种，得到如下饼状图与柱状图：用频率估计概率，且每一粒种子是否发芽均互不影响，则(   )

A.若规定种子发芽时间越短，越适合种植，则从5天内的发芽率来看，B类种子更适合种植

B.若种下12粒A类种子，则有9粒种子5天内发芽的概率最大

C.从样本A、B两类种子中各随机取一粒，则这两粒种子至少有一粒8天内未发芽的概率是0.145

D.若种下10粒B类种子，5至8天发芽的种子数记为X，则

10、数列满足，，，为数列的前n项和，则(   )

A. B. C. D.

11、已知函数，则下列结论正确的是(   )

A.当时，函数的图象在点处的切线的斜率为

B.当m＝l时，函数在上单调递减

C.当m＝l时，函数的最小值为1 

D.若对恒成立，则

12、已知抛物线的焦点为F，P为C上一点，下列说法正确的是(   )

A.抛物线C的准线方程为       B.直线与C相切

C.若，则的最小值为4     D.若，则的周长的最小值为11

三、填空题

13、假设云南省40万学生数学模拟考试的成绩近似服从正态分布，已知某学生成绩排名进入全省前9100名，那么该生的数学成绩不会低于____________分.（参考数据：，）

14、若向量,满足，,则______.

15、已知P、A、B、C是球面上的四点，且，，若三棱锥的体积的最大值为，则球的体积为________________.

16、设曲线在点处的切线与直线垂直，则_____.

四、解答题

17、如图是某企业2016年至2022年的污水净化量（单位：吨）的折线图.

注：年份代码1~7分别对应年份2016~2022.

(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y和t的关系，请建立y关于t的回归方程，并预测2025年该企业的污水净化量；

(2)请用相关指数说明回归方程预报的效果.

参考数据：；

参考公式：线性回归方程,；相关指数：

18、如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，，E为棱AB的中点.

(1)证明：平面平面ABCD；

(2)若，，求二面角的正弦值.

19、已知数列的前n项和满足.

(1)求，并证明数列为等比数列；

(2)若，求数列的前n项和.

20、在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足.

(1)求C；

(2)若角C的平分线交AB于点D，且，求的最小值.

21、与椭圆有公共焦点的双曲线C过点，过点作直线l交双曲线的右支于A,B两点，连接AO并延长交双曲线左支于点P(O为坐标原点）.

(1)求双曲线C的方程;

(2)求的面积的最小值.

22、已知函数.

(1)若，讨论的单调性；

(2)若方程有两个不同的实数根,.

（i）求m的取值范围；

（ii）若，求证：. (参考数据：)

参考答案

1、答案：B

解析：由题意.

故选：B.

2、答案：A

解析：因为是纯虚数，所以，解得.

故选：A.

3、答案：A

解析：直线的充要条件是,,或 .故选A.

4、答案：D

解析：根据图像可得,

根据的周期,,

从图像可得是单调递减区间的零点，所以

所以，

,,

则的单调减区间为

故选：D

5、答案：C

解析：，

由展开式的通项公式可得：

当时，展开式中的系数为；

当时，展开式中的系数为，

则的系数为.

故选C.

6、答案：D

解析：设双曲线C的左焦点为，连接，

由对称性可知四边形是平行四边形，

所以，.

设，则，

又.故，

所以.

故选：D

7、答案：B

解析：因为在R上递增，所以，

又因为在上递增，所以，

所以，

故选：B.

8、答案：B

解析：被3除余2的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为，公差为的等差数列，则

∴

当且仅当，即时，等号成立，

故选：B.

9、答案：CD

解析：从5天内的发芽率来看，A类种子为，B类种子为，故A选项错；

若种下12粒A类种子，由题意可知发芽数X服从二项分布，，

，

则，且，

可得，且，

所以，即，即有10粒种子5天内发芽的概率最大，故B选项错；

记事件A: 样本A种子中随机取一粒8天内发芽；

  事件B: 样本B种子中随机取一粒8天内发芽；

根据对立事件的性质，这两粒种子至少有一粒8天内未发芽的概率：

，故C选项正确；

由题意可知X服从二项分布，，

所以，故D选项正确；

故选：CD

10、答案：ACD

解析：由，,得数列的奇数项和偶数项分别构成公比为的等比数列，且首项分别为，故，故选项A正确；

，故B选项错误；

对于C中，奇数项通项公式为，

偶数项通项公式为，

当为奇数时，奇数项有项，偶数项有项

所以，

当n为偶数时，奇数项偶数项各有项，

，所以C选项正确；

对于D中，奇数项通项公式为，

偶数项通项公式为，

当为奇数时，为偶数，，

当为偶数时，为奇数，，

所以，所以D选项正确.

故选：ACD.

11、答案：ABD

解析：解：，

当时，，则，故A正确；

当m＝l时，，令，则，

所以在上递增，又，即在上成立，

所以在上递减，故B正确；

当m＝l时，，令，则，

所以在上递增，又，，

所以存在，有，即，则，

当时，，当时，，

所以，故C错误；

若对恒成立，

则对恒成立，

设，则，所以在上递增，

则对恒成立，即对恒成立，

设，则，当时，，当时，，

所以，则，解得，故D正确.

故选：ABD

12、答案：ABD

解析：抛物线，即，，，设，

对选项A：抛物线C的准线方程为，正确；

对选项B：，整理得到，方程有唯一解，故相切，正确；

对选项C：，时取等号，错误；

对选项D：过点P作PH垂直于准线于H，，

当M,P,H共线时等号成立，正确.

故选：ABD

13、答案：118

解析：从40万名学生任取1名，成绩排名在前9100名的概率为，

因为成绩X近似服从正态分布，则，，

，

显然，从而数学成绩大于等于118分的人数恰好为9100，

所以要进入前9100名，成绩不会低于118分.

故答案为：118

14、答案：1

解析：因为 ，,

所以 ，即 ，

所以，即

所以，

所以

故答案为:1.

15、答案：

解析：设外接球的球心为O，要使三棱锥的体积取得最大值，则过点O作面ABC的垂线必过点P，因为，所以C点在以AB为直径的半圆上，

如图，过C作，交AB于点D，则

所以

设P在面ABC的射影为，，则，所以，

所以，设，在中，，所以，解得

所以

故答案为：

16、答案：3

解析：由，可得，

所以，

由题意知，，

所以.

故答案为：3.

17、答案：(1)，58.5吨

(2)答案见解析

解析：（1）由折线图中的数据得，，

，

所以，

所以y关于t的线性回归方程为，

将2025年对应的代入得，

所以预测2025年该企业污水净化量约为58.5吨.

（2）因为，

所以“污水净化量的差异”有87.5%是由年份引起的，说明回归方程预报的效果是良好的.

18、答案：(1)证明见解析

(2)

解析：（1）取AD的中点O，连接OP,OB,BD,OE，

底面ABCD为菱形，则，

又O,E分别为AD,AB的中点，则，

故，

注意到，,OE,平面POE，

则平面POE，

平面POE，则，

又，E为棱AB的中点，则，

,,AC,平面ABCD，

平面ABCD，

且平面PAD，故平面平面ABCD.

（2）若，，则为等边三角形，且O为AD的中点，

故，

由（1）得，如图所示建立空间直角坐标系，

设，则，,

可得，

设平面PDE的法向量，则，

取，则，，

所以，

取平面PDA的法向量，

则，

设二面角为，

则，可得，

所以二面角的正弦值为.

19、答案：(1)，证明见解析；

(2).

解析：（1）当时，，

，

当时，①，

②，

由②①得，

，

，,

是一个以2为首项，公比为2的等比数列.

（2），,

①

②　

由①②，得

，

.

20、答案：(1)

(2)

解析：（1）因为，

由正弦定理得，

即，

所以，

又，则，

所以，

又因，所以；

（2）因为角C的平分线交AB于点D，

所以，

由，得，

即，所以，

则，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为.

21、答案：(1)；

(2)12.

解析：（1）设双曲线方程为(),

由题知：得到，又得到，

得到，所以（舍）或，

则双曲线的C的方程为；

（2）显然直线l与y轴不垂直，设，，，

由双曲线的对称性知AP的中点为O，故

联立

故，

由于A，B均在双曲线右支，故，

解得，

，

代入韦达定理得，

令，则，

易知随t的增大而减小，则当时，，

综上：的面积的最小值为12.

22、答案：(1)答案见解析；

(2)(i)；(ii)证明见解析.

解析：（1）的定义域为，

当时，.

设，则，由得：，

当时，；当时，，

在上单调递增，在上单调递减，

的最大值为，

，即在上恒成立，

在上单调递减.

（2）（i）由得：，即.

设，则，由得：，

当时，函数单调递增，

当时，函数单调递减，

有极大值也是最大值，

当时，，当时，.

要使有两个不同的实数根，则，

即，即实数m的取值范围为.

（ii）证明：，则，即，

故.

设，由得，

设，则，

设，则，

在上单调递增，故，故，

在上单调递增，故，

，结合（i）有.