云南省元谋县第一中学2022-2023学年高二下学期期末模拟（二）数学试卷（含答案）

云南省元谋县第一中学2022-2023学年高二下学期期末模拟（二）数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知集合，，则(   )

A.  B.

C.  D.

2、已知，则“”是“”的______条件(   )

A.充分不必要  B.必要不充分

C.充分必要  D.既不充分也不必要

3、二项式展开式中的系数为(   )

A.120 B.135 C.-140 D.-162

4、数列满足，，则(   )

A. B. C. D.3

5、赵爽弦图是中国古代数学的重要发现，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）.已知小正方形的面积为1，直角三角形中较小的锐角为，且，则大正方形的面积为(   )

A.4 B.5 C.16 D.25

6、已知，，，则向量在向量方向上的投影向量为(   )

A. B. C. D.

7、,,，则a，b，c的大小顺序为(   )

A.  B.

C.  D.

8、表面积为的球内切于圆锥，则该圆锥的表面积的最小值为(   )

A. B. C. D.

二、多项选择题

9、某地区高三男生的身高X服从正态分布，则(   )

A.  B.若越大，则越大

C. D.

10、随机变量的分布列如表：其中，下列说法正确的是(   )

A.                  B.

C.有最大值  D.随y的增大而减小

11、在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实：

（1）过点，且以为方向向量的空间直线l的方程为；

（2）过点，且为法向量的平面的方程为.

现已知平面，，，(   )

A. B. C. D.

12、数列中，,,.则下列结论中正确的是(   )

A.是等比数列 B.

C.  D.

三、填空题

13、复数，则__________.

14、当时，的最小值为________.

15、如果函数在处有极值，则的值为__________.

16、已知椭圆，、分别是其左，右焦点，P为椭圆C上非长轴端点的任意一点，D是x轴上一点，使得PD平分.过点D作、的垂线，垂足分别为A、B.则的最大值是__________.

四、解答题

17、设函数，，.

(1)求函数的单调递增区间；

(2)已知凸四边形ABCD中，，，，求凸四边形ABCD面积的最大值.

18、已知数列的前n项和为，，且.

(1)求数列的通项；

(2)设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.

19、在直角梯形ABCD中，，，，现将沿着对角线AC折起，使点D到达点P位置，此时二面角为.

(1)求异面直线PA，BC所成角的余弦值；

(2)求点A到平面PBC的距离.

20、高考改革，迎来了“3+1+2”的新高考模式.“3”指的是语文、数学、英语三科必考；“1”指的是学生从物理和历史两科中选考一科；“2”指的是学生从化学、生物、地理和政治四科中选考两科.某中学为了了解高一年级1000名学生的选科意向，随机抽取了100名学生，并统计了他们的选考意向，制成如下表格：

(1)补全上表，根据小概率的独立性检验，能否认为选考物理与性别有关？

(2)以选考科目为基准，按分层抽样的方式从这100名学生中抽取10人，然后再从这10人中随机抽取3人，记这3人中选考历史的人数为X，求X的分布列及数学期望.

附：，其中.

21、已知椭圆，F为其右焦点，，为椭圆外两点，直线MF交椭圆于AB两点.

(1)若，，求的值；

(2)若三角形NAB面积为S，求S的取值范围.

22、已知函数.

(1)求出函数的单调区间；

(2)若，求的最小值.

参考答案

1、答案：C

解析：因为，所以，所以；

因为，所以，所以；

所以.

故选C.

2、答案：C

解析：因为，则等价于，

又因为在定义域内单调递增，则等价于，

即等价于，故“”是“”的充要条件.

故选：C.

3、答案：D

解析：展开式通项为：，

令，则展开式中的系数为；

令，则展开式中的系数为；

令，则展开式中的系数为；

展开式中的系数为.

故选：D.

4、答案：A

解析：因为，，

所以，解得，

又，解得，

又，，，

显然，接下去,,,，

所以数列是以3为周期的周期数列，

则.

故选：A.

5、答案：D

解析：因为，所以

由题意小正方形的面积为1，则小正方形的边长为1，设直角三角形较短的直角边为，则较长的直角边长为,

所以，解得，所以大正方形的边长为，

故大正方形的面积为25.

故选：D.

6、答案：B

解析：因为，故，

故，而向量在向量方向上的投影向量为，

故选：B.

7、答案：A

解析：令，则，,，

而且，即时单调增，时单调减，又，

，.

若有两个解,，则，，

即，，

令，则，即在上递增，

，即在上，，若即，故，有

当时，，故，

综上：.

故选：A

8、答案：B

解析：设圆锥的内切球半径为r，则，解得，

设圆锥顶点为A，底面圆周上一点为B，底面圆心为C，内切球球心为D，

轴截面如下图示，内切球切母线AB于E，底面半径，，则，

又，故，

又，故，

故该圆锥的表面积为，

令，所以，

所以.

（当且仅当时等号成立）

所以该圆锥的表面积的最小值为.

故选：B

9、答案：AC

解析：由题意，随机变量服从正态分布，所以，即正态分布曲线的对称轴为，

,A选项正确;,C选项正确;

又由，则，D选项错误;

若越大，则数据越分散，越不集中在平均数附近，越小，B选项错误.

故选：AC.

10、答案：ABC

解析：由题意可知，即，故A正确；

，故B正确；

，

因为，，易得，

而开口向下，对称轴为，

所以在上单调递增，在上单调递减，

故在处取得最大值，

所以随着y的增大先增大后减小，当时取得最大值，故C正确，D错误.

故选：ABC.

11、答案：CD

解析：平面，则平面法向量为，

对，则，即，所以过点，方向向量为，所以，所以，所以，故A错误D正确.

对，即，所以过点，方向向量为，点代入平面方程成立，所以与平面有公共点，故B错误；

对，所以过点，方向向量为，

因为，所以，所以或，但点代入平面不成立，故，所以，所以C正确.

故选：CD

12、答案：AC

解析：因为数列中，,,，

所以，即，

则是以为首项，以为公比的等比数列，所以，故A正确；

由累加法得，

所以，从而，故B不正确；

当n为奇数时，是递增数列，所以，

当n为偶数时，是递减数列，所以，所以，故C正确；

又，，所以，故D不正确.

故选：AC.

13、答案：2

解析：，，

故答案为：2.

14、答案：3

解析：设，则，

又由得，

而函数在上是增函数，

因此时，y取得最小值，

故答案为：3.

15、答案：2

解析：因为函数在处有极值，

所以，.

由于，所以.

，

解得：或.

当时，，

，所以单调递减，无极值.

所以.

故答案为：2

16、答案：

解析：设，依题意，，，

由，

得，即，

，

椭圆中，，

在中，由余弦定理得，

即有，

则，

因此

，当且仅当时取等号，

所以的最大值是.

故答案为：

17、答案：(1)，

(2)

解析：（1）由题意知，得.

因为，所以，

所以，所以，

，

令，解得，

所以的单调递增区间为，.

（2）由，可得，而，

故，故，故，

设，，而四边形ABCD的面积，

则

，

其中，，且，而

故，故当时，.

18、答案：(1)

(2)

解析：（1）当时，，，

当时，由①，

得②，

①－②得，

，，

，

又，

是首项为，公比为的等比数列，

.

（2）由，得，

所以，

，

两式相减得

，

所以，

由是恒成立，

即恒成立，

不等式恒成立；

时，，得；

时，，得；

所以.

19、答案：(1)

(2)

解析：（1）过点D做交AC于O，连接OP，

以O点为原点，以OA为x轴，在平面ABCD内，过点O垂直于AC的线为y轴，

过点O垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.

因为，所以，

所以为二面角的平面角.所以，

又因为，所以点，

又因为，，由等边三角形可得，

所以，，

所以，

所以AP与BC夹角的余弦值为.

（2），，

设为平面PBC的一个法向量，

则，

令，则,，

故，

所以点A到平面PBC的距离为.

20、答案：(1)列联表见解析，不能认为选考物理与性别有关；

(2)随机变量X的分布列见解析，期望为.

解析： (1)由题意，补全列联表如下：

，

不能认为选考物理与性别有关.

(2)100名学生中抽取10人，抽样比为，故10人中选考物理的有6人，选考历史的有4人，

，，

，，

故X的分布列为

.

21、答案：(1)

(2)

解析：（1）设，，

因为M，N在椭圆外，所以即.

由题意知，AB的方程为，联立方程，

化简，得（*），

则，，

由，得，

由，得，

所以，

由（*）式可得，，所以.

（2）因点O是MN中点，所以O到AB距离是N到AB距离的一半，

所以，

令，所以，

因为，所以，所以.

可看成对勾函数，其在上递增，又，

则，即S的取值范围是.

22、答案：(1)单调递减区间为，单调递增区间为

(2)

解析：（1）函数的定义域为，

，

令，则或时，令，则时，

所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为；

（2）,，

令,，则，

当时，，当时，，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，所以，