陕西省商洛市名校2021-2022学年高二下学期期末教学质量检测数学（文）试卷(含答案)

陕西省商洛市名校2021-2022学年高二下学期期末教学质量检测数学（文）试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、已知集合，，则(   )

A. B. C. D.

2、若，则(   )

A.0 B.2 C.-2 D.1

3、若向量，满足，则(   )

A. B.2 C. D.-2

4、已知点F是拋物线的焦点，是C上的一点，，则(   )

A.2 B.4 C.6 D.8

5、若圆锥的母线与底面所成的角为，底面圆的半径为，则该圆锥的体积为(   )

A. B. C. D.

6、已知数据，，…，的平均值为2，方差为1，若数据，，…，的平均值为b，方差为4，则(   )

A.5 B.4 C.3 D.2

7、函数的图象大致形状是(   )

A. B.

C. D.

8、设x，y满足约束条件，则的最小值为(   )

A.2 B.-1 C.-2 D.-3

9、已知函数的最小正周期为，将函数的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像，则(   )

A.  B.

C. D.

10、已知函数，则不等式的解集为(   )

A. B. C. D.

11、已知的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则(   )

A. B. C. D.

12、已知函数,的图象上存在点M，函数的图象上存在点N，且M，N关于x轴对称，则a的取值范围是(   )

A.  B.

C.  D.

二、填空题

13、已知，则=______．

14、已知双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则C的离心率为__________．

15、将写有1，2，3，4的4张卡片中不放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是6的倍数的概率为______．

16、在长方体中，底面ABCD是边长为4的正方形，，过点作平面与AB,AD分别交于M，N两点，且与平面所成的角为，给出下列说法：

①异面直线与所成角的余弦值为；

②平面；

③点B到平面的距离为；

④截面面积的最小值为6．

其中正确的是__________（请填写所有正确说法的编号）

三、解答题

17、已知数列是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和．

18、已知函数．

（1）求的图像在点处的切线方程；

（2）求在上的值域．

19、某产品的广告费用支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）的数据如下表．

（1）在给出的坐标系中画出散点图；

（2）建立销售额关于广告费用支出的一元线性回归模型；

（3）利用所建立的模型，预测当广告费用支出为12万元时，销售额为多少．

（参考公式：线性回归方程中的系数，）

20、如图，在三棱锥中，平面，M，N分别是PB，AC的中点，且．

（1）证明：平面PAC．

（2）若，，求点P到平面AMC的距离．

21、已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为45°，到直线l的距离为．

（1）求椭圆C的焦距；

（2）若，求椭圆C的方程．

22、已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）若直线l与曲线C交于P，Q两点，点M的直角坐标为，求．

23、已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若函数的最大值为，正数，满足，求的最小值．

参考答案

1、答案：A

解析：因为，，

所以.

故选：A.

2、答案：C

解析：因为，所以，则．

故选：C.

3、答案：D

解析：因为，所以 ，所以，解得．

故选：D.

4、答案：C

解析：由抛物线的定义可知，，所以．

故选：C.

5、答案：B

解析：设圆锥的高为h，

因为母线与底面所成的角为，所以，解得．

圆锥的体积．

故选：B

6、答案：A

解析：因为，，…，的平均值为2，方差为1，

由数据，，…，的平均值为b，方差为4，

所以，解得，．

故选：A．

7、答案：D

解析：由，

得，

则函数是奇函数，图象关于原点中心对称，排除A，B，

当时，排除C，

故选：D.

8、答案：C

解析：作出可行域，如图所示，

目标函数的几何意义是直线在y轴上的截距，

转化为，令，则，

作出直线并平移使它经过可行域的点，经过A时，

所以，解得，所以.

此时z取得最小值，即．

故选：C.

9、答案：A

解析：因为的最小正周期为，所以．将的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像．

故选：A.

10、答案：B

解析：根据题目所给的函数解析式，可知函数在上是减函数，

所以，解得．

故选：B

11、答案：B

解析：由，边化角得，

又，所以，

展开得，

所以，

因为，所以．

故选：B．

12、答案：A

解析：因为函数与函数的图象关于x轴对称，

根据已知得函数,的图象与函数的图象有交点，

即方程在上有解，

即在上有解．

令，，

则，

可知在上单调递增，在上单调递减，

故当时，，

由于，，且，

所以．

故选：A．

13、答案：

解析：因为，所以，则．

故答案为：．

14、答案：

解析：因为C的实轴长是虚轴长的3倍，所以，从而．

故答案为: .

15、答案：

解析：从4张卡片中不放回地抽取2张，共有,,,,,这6种情况，

设抽到的2张卡片上的数字之积是6的倍数的事件为A,其中A包含的基本事件有，这2种情况，

由古典概型的计算公式得故概率为．

故答案为：.

16、答案：②④

解析：依题意得，因为，

所以异面直线与所成的角即或其补角，

在中，，

所以异面直线与所成角的余弦值为，故①错误．

由于,平面平面，

所以平面，故②正确．

设点B到平面的距离为h，由，

得，解得，故③错误．

如图，过点A作，连接，

因为平面ABCD，所以，又，

所以平面，平面，

则，平面平面，平面平面，

故为与平面所成的角，则，

在中，，则有，

在中，由射影定理得，

由基本不等式得，

当且仅当，即E为MN的中点时，等号成立，

所以截面面积的最小值为，，故④正确．

故答案为：②④.

17、答案：（1）；   

（2）.

解析：（1）等差数列中，，解得，因，，成等比数列，即，

设的公差为d，于是得，整理得，而，解得，

所以

（2）由（1）知，，

所以.

18、答案：（1）；   

（2）．

解析：（1）因为，所以，所以，，

故所求切线方程为，即．

（2）由（1）知，．

令，得；令，得．

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以．

又，，

所以，即在上的值域为．

19、答案：（1）见解析

（2）   

（3）107万元

解析：（1）如图所示，

（2），，

则，

，

所以，

则，

所以销售额关于广告费用支出的一元线性回归为；

（3）由（2）得，当时，，

所以当广告费用支出为12万元时，销售额为107万元.

20、答案：（1）证明见解析；

（2）.

解析：（1）由平面ABC，平面ABC，

,

又，N为AC的中点，

所以．

由，M为PB的中点，得，

所以，即．

又，，PA,平面PAC

所以平面PAC．

（2）由（1）可得，因为，

所以，

因为，所以，

因为是斜边上的中线，

所以，

又MN是线段AC的中垂线，所以，

从而，

作，垂足为D，因为，，

所以平面PAB，

即CD是三棱锥的高，且，．

设点P到平面AMC的距离为h，

由，得，

解得．

21、答案：（1）2

（2）

解析：（1）由题意知直线l的方程为．

因为到直线l的距离为，所以，解得：，

所以椭圆C的焦距为2．

（2）由（1）知直线l的方程为，设，，

联立方程组消去x得，

所以，．

因为，所以，

所以，，

消去得，

解得：，从而，

所以椭圆C的方程为．

22、答案：（1）直线l的普通方程为，曲线C的直角坐标方程为   

（2）

解析：（1）因为直线l的参数方程为（t为参数），

所以直线l的普通方程为，

由，得，

因为，

所以曲线C的直角坐标方程为，即；

（2）因，

所以M点在直线l上，

将直线l得方程转化为参数得标准式为（m为参数），

代入，

得，

则，

所以.

23、答案：（1）   

（2）

解析：（1）当时，由，解得，此时；

当时，由，解得，此时；

当时，由，解得，此时．

综上所述，不等式的解集为．

（2）因为，

所以，当时取得等号，所以．

因为，所以

，

当且仅当，即，时，等号成立，即的最小值为．