2021-2022学年陕西省西安市长安区第一中学高二上学期期末教学质量检测数学（文）试题含答案

长安一中2021—2022学年度第一学期期末考试

                 高二文科数学试题

一、选择题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的).

1.已知，则（   ）

A．      B．        C．     D．

2.已知命题: ,命题: 则是的(   )条件.

A充分不必要      B．必要不充分       C．充分必要        D．既不充分也不必要

3.设抛物线C:的焦点为，准线为．是抛物线C上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（  ）

A. 经过点                           B. 经过点        

C. 平行于直线                     D. 垂直于直线

4.若，则与的大小关系是【   】

A．     B．      C．         D．不能确定

5.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的

可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（  ）

A．           B．            C．              D．

6. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（   ）

A.        B.  

C.        D.

7.观察，，，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则=（   ）

A．           B．         C．          D．

8. 若关于x的方程有解，则实数的取值范围为（  ）

A.           B.          C.          D.

9.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人

来到该路口遇到红灯，则至少需要等待18秒才出现绿灯的概率为(   )

A．             B．            C．            D．

10.等差数列的通项公式，数列，其前项和为，则等于【   】

A.            B.           C.           D.

11.圆与直线的位置关系为（  ）

A.相切              B.相离              C.相交             D.无法确定

12.若，，且函数在处有极值，则的最大值等于(  )

A．2              B．3             C．9             D．6

13.已知是定义在上的奇函数，对任意两个不相等的正数，都有记，则(   )

A.          B.         C.       D.

14.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则双曲线的离心率是（  ）

A.                 B.                C.             D.

二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上).

15.我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案.通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，则a=      ．

16.若，且，则      ．

17.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x=     ,y=     .  

18.一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为　　    ．

19.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：

① 曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；

② 曲线上任意一点到原点的距离都不超过;

③ 曲线所围城的“心形”区域的面积小于3.

其中，所有正确结论的序号是___________.

20.已知函数，若过点存在三条直线与曲线相切，则的取值范围为___________.

三、解答题(本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

21. （本小题满分12分）

已知函数

（Ⅰ）求函数的单调递减区间；

（Ⅱ）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足，，求面积的最大值.

22.（本小题满分12分）

如图所示，四棱锥的底面为直角梯形，，，，，底面，为的中点.

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求点到平面的距离.

23（本小题满分13分）

已知椭圆（）的左、右焦点为，，焦距为2，离心率为．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程．

（Ⅱ）的左顶点为，过右焦点的直线交椭圆于，两点，记直线，，的斜率分别为，，，求证：．

24.（本小题满分13分）已知函数在处的切线与轴平行．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）判断在上零点的个数，并说明理由．

长安一中2021—2022学年度第一学期期末考试

                 高二文科数学试题

一、选择题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的).

二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上).

15.  0.3     16.       17.      18.  12      19.①②     20.

三、解答题(本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

21. （本小题满分12分）

【解析】

（1）由己知可得，

由，解得：，

所以的单调递减区间是.

（2）由，即，所以（舍）或，故，

又由余弦定理可得：，

即，当且仅当时取到等号，

于是有，

所以面积的最大值为.

22.（本小题满分12分）

【解析】（Ⅰ）设与交点为，延长交的延长线于

点，则，∴，∴，

∴，

又∵，∴，

又∵，∴，

∴，∴

又∵底面，∴，∴平面，

∵平面，∴平面平面

（Ⅱ）由于，所以可知点到平面的距离等于点到平面的距离的，即. 在中，，

从而点到平面的距离等于。

23（本小题满分13分）

【解析】（Ⅰ）因为，所以．又因为离心率，所以，则，

所以椭圆的标准方程是．

（Ⅱ）证明：由题意知，，，则直线的解析式为，

代入椭圆方程，得．

设，，则．又因为，

，所以．

24.（本小题满分13分）

【解析】（Ⅰ）f′(x，         …………2分

所以k＝f′(0)＝－a＝0，所以a＝0；            …………4分

（Ⅱ）由，可得，

令，π)，所以，     …………6分

①当时，sinx＋cosx≥1，ex＞1，所以g′(x)＞0，

所以g(x)在上单调递增，又因为g(0)＝0，

所以g(x)在上无零点；                               …………8分

②当时，令，

所以h′(x)＝2cosx ex＜0，即h(x)在上单调递减，

又因为h()＝e－1＞0，h(π)＝－eπ－1＜0，

所以存在，，                              …………10分

所以g(x)在上单调递增，在上单调递减，

因为g()＝e－＞0，g(π)＝－π＜0，

所以g(x)在上且只有一个零点；

综上所述：f(x)在(0，π)上有且只有一个零点．                 …………13分