2022年山东省济南市历下区历中考数学模拟试卷（6月份）（含解析）

2022年山东省济南市历下区历中考数学模拟试卷（6月份）

一、选择题（本大题共12小题，共48分）

1. 的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 下列几何体中，俯视图为三角形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 港珠澳大桥总投资亿，那么用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，将直尺与含角的三角尺摆放在一起，若，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

5. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

6. 下列运算中，计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7. 若方程有两个不相等的实数根．则的值不可能是(    )

A.  B.  C.  D.

8. 学生进校园必须戴口罩、测体温，安徽某校开通了，，，四条测温通道，在四条通道中，每位同学都只能随机选择其中一条通道．则该校学生刘鑫和刘雨选择不同测温通道进入校园的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 若，则正比例函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

10. 如图，在矩形中按以下步骤作图：分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；作直线交于点；连接，若，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

11. 如图为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道．若点与点的水平距离米，水平赛道米，赛道，的坡角均为，则点的高为(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

12. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴的交点为，过点作直线垂直于轴．将抛物线在轴左侧的部分沿直线翻折，其余部分保持不变，组成图形点，为图形上任意两点．若对于，，都有，则的取值范围(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

13. 因式分解： ______ ．
14. 一个不透明的袋子中装有个小球，其中个红球，个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率为______．
15. 方程的解为______．
16. 如图，将一个正六边形与一个正五边形如图放置，顶点、、、四点共线，为公共顶点．则______．

17. 小泽和小帅两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动．如图折线和线段分别表示小泽和小帅离甲地的距离单位：千米与时间单位：小时之间函数关系的图象，则当小帅到达乙地时，小泽距乙地的距离为______千米．

18. 如图，矩形纸片，：：，点，分别在，上，把纸片如图沿折叠，点，的对应点分别为，，连接并延长交线段于点，则的值为______．

三、解答题（本大题共9小题，共78分）

19. 计算：．
20. 解不等式组：，并写出它的正整数解．
21. 如图，在▱中，点是对角线上的一点，过点作，且，连接、求证：．

22. 某校为调查学生对海洋科普知识的了解情况，从全校学生中随机抽取名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如图的频数直方图和扇形统计图．
    
    请根据图中信息解答下列问题：
    补全频数直方图；
    在扇形统计图中，“”这组的百分比______；
    已知“”这组的数据如下：，，，，，，，，，，，抽取的名学生测试成绩的中位数是______分；
    若成绩达到分以上含分为优秀，请你估计全校名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生人数．
23. 如图，是的切线，点在上，与相交于，是的直径，连接，若．
    求证：平分；
    当，时，求的半径长．

24. 某厂计划生产，两种产品若干件，已知两种产品的成本价和销售价如表：

第一次工厂用元资金生产了，两种产品共件，求两种产品各生产多少件？
第二次工厂生产时，工厂规定种产品生产数量不得超过种产品生产数量的一半．工厂计划生产两种产品共件，应如何设计生产方案才能获得最大利润，最大利润是多少？

25. 正方形的边长为，，交于点在点处建立平面直角坐标系如图所示．
    如图，双曲线过点，完成填空：点的坐标是______，点的坐标是______，双曲线的解析式是______；
    如图，双曲线与，分别交于点，求证；
    如图，将正方形向右平移个单位长度，使过点的双曲线与交于点当为等腰三角形时，求的值．
     

26. 【问题情境】
    如图，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接、，则与的数量关系是______ ；
    【类比探究】
    如图，四边形是矩形，，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且：：，连接、判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由；
    【拓展提升】
    如图，在的条件下，连接，则的最小值为______ ．
     

27. 如图，抛物线：交正半轴于点，将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位得到抛物线，与交于点，直线交于点．
    求抛物线的解析式；
    点是抛物线上含端点间的一点，作轴交抛物线于点，连接、当的面积为时，求点的坐标；
    如图，将直线向上平移，交抛物线于点、，交抛物线于点、，试判断的值是否为定值，并说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据负数的绝对值等于它的相反数即可得出答案．
本题考查了绝对值，掌握负数的绝对值等于它的相反数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、的俯视图是圆，故A不符合题意；
B、俯视图是矩形，故B不符合题意；
C、俯视图是圆，故C不符合题意；
D、俯视图是三角形，故D符合题意；
故选：．
根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
 

3.【答案】 

【解析】解：用科学记数法表示为，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于时，是正数；当原数的绝对值小于时，是负数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：是的外角，，，
，
，
，
故选：．
首先根据三角形外角的性质求出的度数，再根据平行线的性质得到的度数．
本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握三角形外角的性质，此题难度不大．
 

5.【答案】 

【解析】解：不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用合并同类项法则，积的乘方运算法则、完全平方公式和同底数幂的除法法则分别计算即可得出答案．
【解答】
解：，故此选项错误；
B.，故此选项正确；
C.，故此选项错误；
D.，故此选项错误；
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：方程有两个不相等的实数根，
，即，
整理得：，
解得：或，
则的值不可能是．
故选：．
根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于，求出的范围，即可作出判断．
此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式的意义是解本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：画树状图如图：

共有个等可能的结果，刘鑫和刘雨选择不同通道测温进校园的结果有个，
该校学生刘鑫和刘雨选择不同测温通道进入校园的概率是，
故选：．
先画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出刘鑫和刘雨选择不同通道测温进校园的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
分两种情况：
当，时，正比例函数数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无选项符合．
当，时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，故B选项正确．
故选：．
根据及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从，和，两方面分类讨论得出答案．
本题主要考查了反比例函数的图象性质和正比例函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
 

10.【答案】 

【解析】解：由作法得垂直平分，
，
在中，，
，
在中，，
，
四边形为矩形，
，
．
故选：．
利用基本作图可判断垂直平分，则，再利用勾股定理计算出，所以，在中利用正切的定义得到，所以，然后利用矩形的性质和平行线的性质得到的度数．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和矩形的性质．
 

11.【答案】 

【解析】解：延长交于点，
赛道，的坡角均为，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
米．
故选：．
延长交于点，利用平行四边形的判定与性质得出的长，再利用锐角三角函数关系得出答案．
此题主要考查了解直角三角形的应用以及平行四边形的判定与性质，正确得出的长是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：抛物线的对称轴为，
点，为图形上任意两点，，，
当时，，
当时，，
，为抛物线上关于对称轴对称的两点，
下面讨论当变化时，轴与点，的相对位置：
如图，当轴在点左侧时含点，

经翻折后，得到点，的纵坐标相同，，不符题意；
如图，当轴在点右侧时含点，

经翻折后，点，的纵坐标相同，，不符题意；
如图，当轴在点，之间时不含，，

经翻折后，点在下方，点，重合，在上方，，符合题意．
此时有，即．
综上所述，的取值范围为．
故选：．
通过计算可知，，为抛物线上关于对称轴对称的两点，下面讨论当变化时，轴与点，的相对位置：分三种情形：当轴在点左侧时含点，当轴在点右侧时含点，当轴在点，之间时不含，，分别求解即可．
本题考查了二次函数的性质，轴对称翻折变换，函数的增减性等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，正确作出图形是解决问题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：从袋子中随机摸出一个小球共有种等可能结果，其中摸出的小球是红球的有种结果，
摸出的小球是红球的概率为，
故答案为：．
用红球的个数除以球的总个数即可．
本题主要考查概率公式，随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
 

15.【答案】 

【解析】解：去分母得：，
检验：当时，，
是原分式方程的解．
故答案为：．
先把分式方程转化成整式方程，求出方程的解，再检验即可．
本题考查了解分式方程，利用了转化思想，解分式方程注意要检验．
 

16.【答案】 

【解析】解：由多边形的内角和可得，
，
，
，
，
由三角形的内角和得：
．
故答案为：．
根据多边形的内角和，分别得出，，再根据平角的定义和三角形的内角和算出．
本题考查了多边形的内角和定理，掌握定理是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：由图象可得，点和点在直线上，设直线的解析式为：
代入得，，解得，

当时，，解得，
点点
点，点在直线上，
设直线的解析式为：
代入得，解得

当时，，
此时小泽距离乙地的距离为：千米
故答案为：
由图象，通过点和点直线的解析式，求点的横坐标，即可求出点的坐标，从而可以求出直线的函数解析式，小帅到达乙地的时间为小时，则将代入直线解析式即可知此时小泽的位置，从而可以求出当小帅到达乙地时，小泽距乙地的距离．
此题考查的是一次函数的应用，掌握函数图象上点的坐标及其性质是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：过作于，设交于，如图：

四边形是矩形，
，
，
，
四边形是矩形，
，
：：，
：：，
把纸片如图沿折叠，点，的对应点分别为，，
是的垂直平分线，
，
，
，
∽，
，
，
故答案为：．
过作于，设交于，根据四边形是矩形，可得四边形是矩形，即得：：，由把纸片如图沿折叠，点，的对应点分别为，，可得∽，即可得出答案．
本题考查矩形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，证明∽．
 

19.【答案】解：


． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
 

20.【答案】解：，
不等式的解集为：．
不等式的解集为：．
不等式组的解集为：．
不等式组的的正整数解为：，． 

【解析】解不等式组求出它的解集，再取正整数解即可．
本题主要考查了一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的正整数解，利用一元一次不等式组的解法正确求得不等式组的解集是解题的关键．
 

21.【答案】证明：四边形  是平行四边形，
，，
，
又，
，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定证明≌，由全等三角形的性质可得出结论．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质和全等三角形的判定解答．
 

22.【答案】解：人，人，补全频数直方图如图所示：

；
；
人，
答：全校名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生有人． 

【解析】

【分析】
本题考查频数分布直方图，扇形统计图，属于中档题．
求出调查人数，和“”的人数，即可补全频数直方图；
用“”的频数除以调查人数，即可得出的值；
利用中位数的意义，求出中间位置的两个数的平均数，即可得出中位数；
用样本估计总体，即可得解．
【解答】
见答案；
，
故答案为；
将个数据从小到大排列后，处在第、位的两个数的平均数为，
因此中位数是，
故答案为；
见答案．  

23.【答案】证明：如图，连接，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，即平分；
解：如图，连接，
在中，，，
由勾股定理得：，
是的直径，
，
，
，
∽，
，即，
解得：，
的半径长为． 

【解析】连接，根据切线的性质得到，进而证明，根据平行线的性质、等腰三角形的性质证明结论；
连接，根据勾股定理求出，证明∽，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．
本题考查的是切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
 

24.【答案】解：设生产了种产品件，种产品件，
由题意得：，
解得：，
答：生产了种产品件，种产品件；
设种产品生产件，
由题意得：，
，
设总利润为元，
由题意得：，
，
随的增大而增大，
当时，最大，
此时，
答：生产种产品件，种产品件，才能获得最大利润，最大利润是元． 

【解析】设生产了种产品件，种产品件，由表中数据列出二元一次方程组，解方程组即可；
设种产品生产件，总利润为元，由题意：工厂规定种产品生产数量不得超过种产品生产数量的一半．列出一元一次不等式，得，再求出，然后由一次函数的性质求解即可．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
 

25.【答案】解：正方形的边长为，，交于点，
，，
将点坐标代入双曲线得，，
解得，
双曲线的解析式为，
故答案为：，，；
双曲线与，分别交于点，，
设，，
，
，
，
由正方形可知，，
，，
，
；
正方形边长为，
由知，
，
当时，
，，，在反比例函数图象上，
，
；
当时，点与点重合，
，，，在反比例函数图象上，
，
；
当时，、不可能都在反比例函数图像上，故此情况不存在；
综上所述，满足条件的的值为或． 

【解析】根据正方形的边长可确定点的坐标，再利用正方形的性质得出点坐标，用待定系数法求出双曲线解析式即可；
设出点和点的坐标，根据坐标的性质得出，推出即可得出；
根据点的坐标求出的长，再分三种情况讨论分别求出的值即可．
本题主要考查反比例函数的性质，正方形的性质等知识，熟练掌握反比例函数的性质和正方形的性质是解题的关键．
 

26.【答案】   

【解析】解：
理由：
正方形

正方形



在和中

≌

，理由如下：延长、相交于点．

矩形、矩形


：：：
：：
：：

∽
，

矩形

，，


作于，交的延长线于．

易证∽，
，
，
，
点的运动轨迹是直线，
作点关于直线的对称点，连接交于，此时的值最小，最小值
由知，


的最小值就是的最小值．
，
的最小值为
故答案为．
通过证明和全等，得到．
通过证明∽得到，所以延长、相交于点因为矩形，所以，所以
，，所以，所以．
作于，交的延长线于首先证明点的运动轨迹是线段，将的最小值转化为求的最小值．
本题考查了正方形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质．在判断全等和相似时出现“手拉手”模型证角相等．这里注意利用三边关系来转化线段的数量关系求出最小值．
 

27.【答案】解：，
将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位可得抛物线的解析式为：
；
联立两条抛物线解析式可得：
，
化简得：，
解得：，
当时，，
为，
设直线的解析式为：，
，
解得，
直线的解析式为：，
联立直线和抛物线解析式得：

化简得：，
解得：，，
当时，，
为，
点是抛物线上含端点间的一点，且轴，
设为，则为，
，
又，
，
，，
当时，可得，，
为，
点是抛物线上含端点间的一点，为，
，
，
，
为；
是定值，理由如下：
将直线向上平移得到直线，
可设直线解析式为：，
令，
解得：，
同理，可得，的横坐标分别为：
，，
分别过、点作轴平行线，过、点作轴平行线，交点分别为，，
则，，
∽，
，
又，
，
． 

【解析】先将抛物线写成顶点式，根据二次函数平移结论，直接写出抛物线的解析式；
先联立直线与抛物线的解析式，求出它们的交点，继而求出直线解析式，联立直线与抛物线的解析式，求出交点的坐标，
同时设出和点坐标，表示出的长度，根据的面积列出方程，求得和的横坐标，根据题意，舍掉不符合条件的解，从而求出点坐标；
根据题意设出直线的解析式，联立直线与抛物线的解析式，求得直线与抛物线交点和的横坐标，联立直线与抛物线的解析式，求得它们的交点和的横坐标，过、作轴平行线，过、画轴平行线，交点为、，构造∽，得到，即可求解．
本题考查的函数面积问题，关键是找到平行于坐标轴的边作为底边来列方程会比较简单，通过构造横平竖直线，构造两个直角三角形相似，将斜线段的比转化为垂线段比是解决第三问的思想方法．