第19章 矩形、菱形与正方形 华东师大版数学八年级下册达标测试卷(含答案)

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第19章 矩形、菱形与正方形 达标测试卷一、选择题(每题3分，共24分)1．▱ABCD中，添加一个条件就成为矩形，则添加的条件是(　　)A．AB＝CD   B．∠B＋∠D＝180°C．AC＝AD   D．对角线互相垂直2．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠AOD＝120°，AC＝4，则CD的长为(　　)A.   B.   C．2   D．3     (第2题)　　    (第3题)3．如图，在矩形OABC中，OA＝2，OC＝1，把矩形OABC放在数轴上，O在原点，OA在正半轴上，把矩形的对角线OB绕着原点O顺时针旋转到数轴上，点B的对应点为B′，则点B′表示的实数是(　　)A．2   B．1   C.   D．－4．如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上的F处，则DE的长是(　　)A．3   B.   C．5   D.     (第4题)　  　 (第5题)5．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连结BO.若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为(　　)A．28°   B．52°   C．62°   D．72°6．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是(　　)A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CDB．AD∥BC，∠BAD＝∠BCDC．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BDD．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC7．下列判断错误的是(　　)A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B．四个内角都相等的四边形是矩形C．四条边都相等的四边形是菱形D．两条对角线互相垂直且平分的四边形是正方形8．如图，正方形ABCD与等边三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE＝DF时，∠BAE的大小可以是(　　)(第8题)A．15°   B．165°   C．15°或165°   D．90°二、填空题(每题4分，共24分)9．如图，▱ABCD中，AE，CF分别是∠BAD，∠BCD的平分线，请添加一个条件________，使四边形AECF为菱形．    (第9题)　　             (第10题)10．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠OCD＝56°，则∠EAO＝________．11．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的顶点A的坐标为(1，)，点O为坐标原点，则点B的坐标为____________________．(第11题)12．把如图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图②、图③所示的正方形，则图①中菱形的面积为________．(第12题)13．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，连结DE和BF，分别取DE，BF的中点M，N，连结AM，CN，MN，若AB＝2，BC＝3，则图中阴影部分的面积为________．      (第13题)　　　　 (第14题)14．如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC＝12，BD＝16，点P为边BC上一点，且P不与点B，C重合，过点P作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，连结EF，则EF的最小值等于________．三、解答题(15～18题每题8分，19～20题每题10分，共52分)15．如图，四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上(点F与点C，D不重合)，若BE⊥EF，且∠ABE＋∠CEF＝45°.求证：四边形ABCD是正方形．(第15题)  16.如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C.点E，F，G分别在边AB，BC，CD上，AE＝GF＝GC.(1)求证：四边形AEFG是平行四边形；(2)当∠FGC与∠EFB满足怎样的关系时，四边形AEFG是矩形？请说明理由．(第16题)           17．如图，在菱形ABCD中，E为边BC的中点，DE与对角线AC交于点M，过点M作MF⊥CD于点F，∠1＝∠2.求证：(1)DE⊥BC；(2)AM＝DE＋MF.(第17题)      18．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD＝6，BC＝10，AC＝8，∠ABC＝∠BCD.过点D作DE⊥BC，垂足为点E，延长DE至点F，使EF＝DE，连结BF，CF.(第18题)(1)求证：四边形ABFC是矩形；(2)求DE的长．          19．(1)在正方形ABCD中，E是边CD上一点．将△ADE绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABF，如图①所示，观察可知，与DE相等的线段是____________，与∠AFB相等的角是____________．(2)如图②，在正方形ABCD中，P，Q分别是边BC，CD上的点，且∠PAQ＝45°，猜想线段DQ，BP，PQ的数量关系，并证明；(3)在图②中，连结BD分别交AP，AQ于点M，N，直接写出BM，DN，MN的数量关系．(第19题)   20．菱形ABCD中，E，F为边AB，AD上的点，CF，DE相交于点G.(1)如图①，若∠A＝90°，DE⊥CF，求证：DE＝CF；(2)如图②，若DE＝CF.试探究此时∠EGF和∠A满足什么关系？并证明你的结论；(3)如图③，在(1)的条件下，平移线段DE到MN，使G为CF的中点，连结BD交MN于点H，连结FH，求∠HFC的大小．(第20题) 
答案一、1.B　2.C　3.C　4.C　5.C　6.C　7.D8．C　点拨：①如图①，当△AEF在正方形ABCD的内部时，(第8题)∵△AEF是等边三角形，∴AE＝AF，∠EAF＝60°.在△ABE和△ADF中，∴△ABE≌△ADF，∴∠BAE＝∠FAD.∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°.∵∠EAF＝60°，∴∠BAE＋∠FAD＝30°，∴∠BAE＝∠FAD＝15°.②如图②，当△AEF在正方形ABCD的外部时，同理可得∠BAE＝∠FAD.∵∠EAF＝60°，∴∠BAE＝(360°－90°－60°)×＋60°＝165°.综上，∠BAE＝15°或165°.故选C.二、9.AE＝EC(答案不唯一)　10.22°　11. (1－，1＋)　12.48　13.314．4.8　点拨：连结OP，如图所示．(第14题)∵四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，∴AC⊥BD，BO＝BD＝8，OC＝AC＝6，∴BC＝＝＝10，∵PE⊥AC，PF⊥BD，AC⊥BD，∴四边形OEPF是矩形，∴FE＝OP，易知当OP⊥BC时，OP最小，此时S△OBC＝OB·OC＝BC·OP，∴OP＝4.8，∴EF的最小值为4.8.三、15.证明：如图，过点E作EM⊥BC于点M，∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，∴EM∥AB，∴∠ABE＝∠BEM，∠BAC＝∠CEM，∵∠ABE＋∠CEF＝45°，∴∠BEM＋∠CEF＝45°，∵BE⊥EF，∠BEF＝90°∴∠CEM＝45°，∴∠BAC＝45°，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∴AB＝BC，∴矩形ABCD是正方形．(第15题)16．(1)证明：∵GF＝GC，∴∠C＝∠GFC，∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠GFC，∴AB∥GF，即AE∥GF，∵AE＝GF，∴四边形AEFG是平行四边形．(2)解：当∠FGC＝2∠EFB时，四边形AEFG是矩形，理由：∵∠FGC＋∠GFC＋∠C＝180°，∠GFC＝∠C，∠FGC＝2∠EFB，∴2∠GFC＋2∠EFB＝180°，∴∠EFB＋∠GFC＝90°.∴∠EFG＝90°.∵四边形AEFG是平行四边形，∴四边形AEFG是矩形．17．证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴∠BCA＝∠ACD，AB∥CD，CD＝BC，∴∠1＝∠ACD.∵∠1＝∠2，∴∠ACD＝∠2，∴MC＝MD.又∵MF⊥CD，∴∠CFM＝90°，CF＝CD.∵E为BC边的中点，∴CE＝BE＝BC，∴CF＝CE.在△CFM和△CEM中，∴△CFM≌△CEM.∴∠CEM＝∠CFM＝90°，即DE⊥BC.(2)如图，延长AB交DE的延长线于点N.(第17题)∵AB∥CD，∴∠N＝∠2.又∵∠BEN＝∠CED，BE＝CE，∴△BEN≌△CED.∴NE＝DE.∵∠1＝∠2，∠N＝∠2，∴∠1＝∠N.∴AM＝NM.又∵NM＝NE＋ME，∴AM＝NE＋ME＝DE＋ME.又由(1)得△CEM≌△CFM，∴ME＝MF.∴AM＝DE＋MF.18．(1)证明：∵DE⊥BC，∴∠DEC＝∠FEC＝90°，在△DEC与△FEC中，∴△DEC≌△FEC，∴CD＝CF，∠DCE＝∠FCE.∵AB＝CD，∠ABC＝∠BCD，∴CF＝AB，∠ABC＝∠FCE.∴AB∥CF.∴四边形ABFC是平行四边形．∵AB＝6，BC＝10，AC＝8，∴AB2＋AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴四边形ABFC是矩形；(2)解：过A作AH⊥BC于H，如图，∴∠AHB＝∠DEC＝90°，在△ABH与△DCE中，∴△ABH≌△DCE，∴AH＝DE，∵S△ABC＝AB·AC＝BC·AH，∴AH＝＝＝4.8.∴DE＝AH＝4.8.(第18题)19．解：(1)BF；∠AED(2)DQ＋BP＝PQ，证明：将△ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABG，如图，则∠D＝∠ABG＝90°，∵∠ABP＝90°，∴∠ABG＋∠ABP＝180°.∴点G、B、P共线，由旋转知，∠GAQ＝∠BAD＝90°，AG＝AQ，BG＝DQ，∵∠PAQ＝45°，∴∠PAG＝45°，∴∠PAQ＝∠PAG，在△APG和△APQ中；∴△APG≌△APQ，∴PG＝PQ，而PG＝PB＋BG＝PB＋DQ，∴DQ＋BP＝PQ.(3)BM2＋DN2＝MN2(第19题)20．(1)证明：∵菱形ABCD中，∠A＝90°，∴菱形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠A＝∠CDF＝90°，∵DE⊥CF，∴∠CGD＝90°，∴∠DCF＋∠CDE＝90°＝∠ADC＝∠ADE＋∠CDE，∴∠ADE＝∠DCF，∴ △ADE ≌△DCF，∴DE＝CF；(2)解：∠A＋∠EGF＝180°；证明如下：过D作DR⊥AB交BA的延长线于R，过C作CS⊥AD于S，如图①，(第20题)∵S菱形ABCD＝AB×DR＝AD×CS，AB＝AD，∴DR＝CS，∵DE＝CF，∴Rt△DRE≌Rt△CSF，∴∠CFS＝∠RED，∵∠CFS＋ ∠AFG＝180°，∴∠RED＋∠ AFG＝180°，∴∠EAF＋∠EGF＝180°；(3)连接FM，过H作TK// AB交AD于T，交BC于K，连接CH，如图②，(第20题)由(1)知MN⊥CF，又G为CF的中点，∴MN是CF的垂直平分线，∴CH＝FH，易知∠TKC＝∠KTD＝∠BCD＝90°，∴四边形KTDC是矩形，∴TD＝KC，∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，∴∠TDH＝45°，∴∠THD＝45°，∴TD＝TH＝CK，在Rt△TFH和Rt△KHC，HF＝CH，TH＝KC∴Rt△TFH≌Rt△KHC，∴∠THF＝∠HKC∴∠HKC＝90°，∴∠HCK＋∠KHC＝90°，∴∠THF＋∠KHC＝90°，∴∠FHC＝180°－(∠THF＋∠KHC) ＝90°，∴HF＝CH，∵∠HFC＝45°，