20.3 数据的离散程度 华东师大版八年级数学下册教案
展开20.3 数据的离散程度
1. 方 差
2. 用计算器求方差
一、教学目标
1．掌握方差的定义和计算公式；
2．会用方差公式进行计算，会比较数据的波动大小．
二、教学重难点
重点：掌握方差的定义和计算公式；
难点：会用方差公式进行计算，会比较数据的波动大小．
三、教学过程
（一）情境导入
在生活和生产实际中，我们除了用平均数、中位数和众数来描述一组数据的集中程度外，有时需要了解一组数据的离散程度．
乒乓球的标准直径为40mm，质检部门对甲、乙两厂生产的乒乓球的直径进行检测．
甲、乙两厂生产的乒乓球中各抽样调查了10只，检测的结果如下(单位：mm)：
甲厂：40.0，40.1，39.9，40.0，39.8，40.2，40.0，40.1，40.0，39.9；
乙厂：40.1，39.8，39.9，40.3，39.8，40.2，40.1，40.2，39.7，39.9.
你认为哪个厂生产的乒乓球的直径与标准的误差更小呢？
（二）合作探究
探究点一：方差的计算
【类型一】 根据数据直接计算方差
为了从甲、乙两名同学中选拔出一名参加射击比赛，对他们的射击水平进行了测验，两名同学在相同条件下各射击10次，命中的环数如下(单位：环)：
甲：7，8，6，8，6，5，9，10，7，4
乙：9，5，7，8，6，8，7，6，7，7
(1)求，，s，s；
(2)你认为该选择哪名同学参加射击比赛？为什么？
解析：方差就是各变量值与其均值差的平方的平均数，根据方差公式计算即可，所以计算方差前要先算出平均数，然后再利用方差公式计算．
解：(1)＝(7＋8＋6＋8＋6＋5＋9＋10＋7＋4)÷10＝7，s＝[(7－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(5－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]÷10＝3，＝(9＋5＋7＋8＋6＋8＋7＋6＋7＋7)÷10＝7，s＝[(9－7)2＋(5－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2]÷10＝1.2；
(2)∵=，且s＞s，∴乙的成绩稳定，选择乙同学参加射击比赛．
方法总结：“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果就是方差．
【类型二】 已知原数据的方差，求新数据的方差
例2 已知数据x1，x2，x3，…，x20的平均数是2，方差是，则数据4x1－2，4x2－2，4x3－2，…，4x20－2的平均数和方差是( )
A．2， B．4，4
C．6， D．6，4
解析：∵＝(x1＋x2＋x3＋…＋x20)＝2，＝(4x1－2＋4x2－2＋4x3－2＋…＋4x20－2)＝6；s2＝[(x1－2)2＋(x2－2)2＋(x3－2)2＋…＋(x20－2)2]＝，s＝[(4x1－2－6)2＋(4x2－2－6)2＋(4x3－2－6)2＋…＋(4x20－2－6)2]＝×16＝4.故选D.
方法总结：掌握数据都加上一个数(或减去一个数)时，方差不变，即数据的波动情况不变，平均数也加或减这个数；当乘以一个数时，方差变成这个数的平方倍，平均数也乘以这个数是本题的关键．
【类型三】 根据统计图表判断方差的大小
例3 如图，下列说法正确的是（ ）
A．甲组数据的方差较大
B．乙组数据的方差较大
C．甲、乙两组数据的方差一样大
D．无法判断甲、乙两组数据的方差哪个较大
解析：由图形分析可得：乙组数据偏离平均数大，即波动较大，所以乙组数据的方差较大．故选：B．
方法总结：折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．
探究点二：由方差判断数据的离散程度
例4 为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽取10株麦苗，测得苗高如下(单位：cm)：
甲：12，13，14，13，10，16，13，13，15，11
乙：6，9，7，12，11，16，14，16，20，19
(1)将数据整理，并通过计算后把下表填全：
小麦 | 中位数 | 众数 | 平均数 | 方差 |
甲 | 13 |
| 13 |
|
乙 |
| 16 |
| 21 |
(2)选择合适的数据代表，说明哪一种小麦长势较好．
解析：(1)中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)；出现次数最多的这个数即为这组数据的众数；(2)方差越小，数据越稳定，小麦长势较好．
解：(1)将数据整理如下：
甲 | 10 | 11 | 12 | 13 | 13 | 13 | 13 | 14 | 15 | 16 |
乙 | 6 | 7 | 9 | 11 | 12 | 14 | 16 | 16 | 19 | 20 |
所以：
小麦 | 中位数 | 众数 | 平均数 | 方差 |
甲 | 13 | 13 | 13 | 2.8 |
乙 | 13 | 16 | 13 | 21 |
(2)因为甲种小麦苗高的方差远小于乙种小麦苗高的方差，故甲种小麦苗高整齐，而两种小麦苗高的中位数和平均数相同，故甲种小麦长势较好．
方法总结：平均数表示一组数据的平均程度；中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
（三）板书设计
1．方差的概念
2．方差的计算公式
四、教学反思
通过这节课的教学，让我深刻的体会到只要我们充分相信学生，给学生以最大的自主探索空间，让学生经历数学知识的探究过程，这样既能让学生自主获取数学知识与技能，而且还能让学生达到对知识的深层次理解，更主要的是能让学生在探究过程中学习科学研究的方法，从而增强学生的自主意识，培养学生的探索精神和创新思维．
