2022-2023学年福建省漳州市华安县八年级（下）期中数学试卷

2022-2023学年福建省漳州市华安县八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图，如图化学分子结构模型平面图中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如果分式在实数范围内有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C. 全体实数 D.

3.  华为手机搭载了全球首款纳米制程芯片，纳米就是米数据用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若一次函数的图象中值随值的增大而增大，则的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，▱的对角线，相交于点，且，若的周长为，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  在反比例函数的图象的每一条曲线上，都随的增大而减小，则的值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  直线一定经过点(    )

A.  B.  C.  D.

8.  数学家斐波那契编写的算经中有如下分钱问题：第一次由一组人平分元钱，每人分得若干，第二次比第一次增加人，平分元钱，则第二次每人分得的钱与第一次相同，设第二次分钱的人数为人，则可列方程为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，直线：与直线：相交于点，则方程组的解是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，点是双曲线上的一点，点是双曲线上的一点，所在直线垂直轴于点，点是轴上一点，连接、，则的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  点关于原点的对称点的坐标为          ．

12.  点在轴上，则        ．

13.  在平面直角坐标系中，第四象限内有一点，点到轴的距离为，到轴的距离为，则点的坐标是______ ．

14.  “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的三等分角仪能三等分任意一个角，这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕点转动，点固定，，点，可在槽中滑动，若，则的度数是______

15.  点沿着动点运动的方向平移个单位长度到点，则点的坐标为______ ．

16.  如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点、交轴于点，点与点关于轴对称，动点、分别在线段、上点不与点、重合，满足当为等腰三角形时，点的坐标是______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）

17.  如图，，海里，海里，我国钓鱼岛位于点，我国渔政船在点处发现有一不明国籍的渔船，自点出发沿着方向匀速驶向钓鱼岛所在地点，我国渔政船立即从处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点处截住了渔船．
请用直尺和圆规作出处的位置；
求我国渔政船行驶的航程的长．

四、解答题（本大题共8小题，共76.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
解一元一次不等式：．

19.  本小题分
解方程：．

20.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

21.  本小题分
如图，将正方形绕点逆时针旋转得到正方形，与相交于点，连接，若，求长．

22.  本小题分
如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
求反比例函数的表达式和点的坐标；
根据图象，直接写出使一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围．

23.  本小题分
同学们为校园文化艺术节活动到文具店挑选奖品，准备购买一些中性笔和笔记本，如果分别用元购买中性笔和笔记本，购买笔记本的数量比中性笔的数量少，已知中性笔的单价为笔记本单价的．
求中性笔、笔记本的单价分别为多少元？
学校计划购买中性笔、笔记本数量总和为，如果购买笔记本本，学校总计划费用不超过元，并且要求中性笔数不能超过笔记本的倍，设总费用元，那么应该如何安排购买方案才能使总费用最少，并求出费用的最小值．

24.  本小题分
阅读下列材料：
材料：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将假分数分式拆分成一个整数整式与一个真分数式的和差的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称之为分离整数法．此法在处理分式或整除问题时颇为有效．如将分式拆分成一个整式与一个分式分子为整数的和的形式．
解：设，则原式

材料：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法最终的目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来求解，它的应用非常广泛，在解方程、求最值、证明等式、化简根式、因式分解等方面都经常用到．如：当，时，
当，即时，有最小值．
根据以上阅读材料回答下列问题：
将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为______；
已知分式的值为整数，求整数的值；
当时，求代数式的最大值及此时的值．

25.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、点，点在轴的负半轴上，且，点是线段上的动点点不与，重合，以为斜边在直线的右侧作等腰直角三角形．
求直线的函数表达式；
如图，当时，求点的坐标；
如图，连接，点是线段的中点，连接，试探究的大小是否为定值，若是，求出的度数；若不是，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项A、、均不能找到一个点，使图形绕某一点旋转度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形．
选项B能找到一个点，使图形绕某一点旋转度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形．
故选：．
根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
此题主要考查了中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：分式在实数范围内有意义，
，
解得：．
故选：．
根据分式有意义的条件是分母不等于零，进而得出答案．
此题主要考查了分式的有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：；
故选：．
由科学记数法知；
本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法中与的意义是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象中值随值的增大而增大，
，
．
故选：．
由一次函数的图象中值随值的增大而增大，可得出，解之即可得出的取值范围，再对照四个选项即可得出结论．
本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
的周长为，
，
．
故选：．
直接利用平行四边形的性质得出，，，再由已知求出的长，进而得出答案．
本题考查了平行四边形的性质以及三角形周长的计算等知识；正确得出的值是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了反比例函数的性质，当时，图象的每一条曲线上都随的增大而减小；当时，图象的每一条曲线上都随的增大而增大．
根据反比例函数的性质，可得出，从而得出的取值范围．
【解答】
解：反比例函数的图象的每一条曲线上，都随的增大而减小，
，
解得，
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：当时，，
直线一定经过点．
故选：．
将代入直线解析式即得出答案．
本题考查一次函数与轴的交点问题．熟练掌握一次函数的图象和性质是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：第二次比第一次增加人，且第二次分钱的人数为人，
第一次分钱的人数为人．
根据题意得：．
故选：．
由两次分钱人数间的关系，可得出第一次分钱的人数为人，利用每人分得的钱数钱数分钱的人数，结合第二次每人分得的钱与第一次相同，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：将代入得，
解得，
点坐标为，
方程组的解为：．
故选：．
将代入求解．
本题考查一次函数与二元一次方程组，解题关键是掌握一次函数与方程的关系，掌握图象交点与方程组的解的关系．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图所示，作交的延长线于，
，
则，
设点的坐标为，，
所在直线垂直轴于点，
点坐标为，
，，
．
故选：．
作交的延长线于，则，设点的坐标为，再根据题意分别表示出，，计算即可得到答案．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征与三角形综合，解题的关键是作出恰当的辅助线，设出相关点的坐标，从而将需要的条件都表示出来，再进行计算即可．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．
此题主要考查了两个点关于原点对称时，关键是掌握点的坐标的变化规律．
【解答】
解：点关于原点的对称点的坐标为，
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：点在轴上，
，
，
故答案为：．
根据在轴上的点纵坐标为进行求解即可．
本题主要考查了在轴上的点的坐标特点，熟知在轴上的点纵坐标为是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：在平面直角坐标系中，第四象限内有一点，点到轴的距离为，到轴的距离为，则点的坐标是，
故答案为：．
根据点到轴的距离等于横坐标的绝对值，点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，即可解答．
本题考查了点的坐标，熟练掌握点到轴的距离等于横坐标的绝对值，点到轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：设，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据等腰三角形等边对等角、三角形外角的性质以及三角形内角和定理进行求解即可．
本题考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及三角形内角和定理等知识点，熟练掌握等腰三角形等边对等角以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解本题的关键．
 

15.【答案】或 

【解析】解：当时，，当时，与点重合，
设点沿着直线运动，
则，
解得：，
，
点、点都在直线上运动，
设，
，
解得或，
当时，，
当时，．
故答案为：或．
当时，，当时，与点重合，再求出点、平移的直线的关系式，利用两点间的距离公式求解即可．
本题考查点的平移，求一次函数解析式，坐标点之间的距离公式，解题的关键是点、点都在直线上运动．
 

16.【答案】或 

【解析】解：，
当时，，
当时，，
即点的坐标是，点的坐标是，
点与点关于轴对称，
的坐标是，
分为三种情况：
当时，
和关于轴对称，
，
，，，
，
和关于轴对称，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
，
点的坐标是；

当时，则，
，
，
而根据三角形的外角性质得：，
此种情况不存在；
当时，则，
即，
设此时的坐标是，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：，
即此时的坐标是．
当为等腰三角形时，点的坐标是或．
故答案为：或．
把和分别代入一次函数的解析式，求出、的坐标，分为三种情况：，，，分别求解即可．
本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是分类思想的运用．
 

17.【答案】解：作的垂直平分线与交于点；

设为海里，则也为海里，
，
在中，，
即：，
解得：，
答：我国渔政船行驶的航程的长为海里． 

【解析】由题意得，我渔政船与不明船只行驶距离相等，即在上找到一点，使其到点与点的距离相等，所以连接，作的垂直平分线即可．
利用第题中的设海里，则海里．在直角三角形中，海里、海里，利用勾股定理列出方程，解得即可．
本题考查了线段的垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，利用勾股定理不仅仅能求直角三角形的边长，而且它也是直角三角形中一个重要的等量关系．
 

18.【答案】解：去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得． 

【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为可得．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向要改变．
 

19.【答案】解：原方程可化为，
两边都乘以，得，
解得，
检验：把代入，得，
是原方程的增根，
原方程无解． 

【解析】首先去掉分母，然后解整式方程，最后验根即可求解．
此题主要考查了解分式方程，解题的一般步骤是：去分母，解整式方程，最后验根．
 

20.【答案】解：原式


，
当时，
原式
． 

【解析】先算括号内的，再算除法，将结果化简即可．
本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键．
 

21.【答案】解：在正方形和正方形中，，，，
根据旋转的性质可知：，，
，
≌，
，，
，
，
，
在中，，，
，
故答案为：． 

【解析】根据旋转的性质可知：，，再证明≌，即有，，进而可得，在中，可得．
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识，证明≌，是解答本题的关键．
 

22.【答案】解：把代入到反比例函数中得，
，
反比例函数表达式为，
把代入到反比例函数中得，，
；
由函数图象可知当或时一次函数图象在反比例函数图象上方，
使一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围是或． 

【解析】根据待定系数法，可得函数解析式；
根据一次函数图象在反比例函数图象上方的部分，可得答案．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求解析式，数形结合是解题的关键．
 

23.【答案】解：设笔记本单价为元，则中性笔的单价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验是原方程的解，
中性笔的单价为元．
答：中性笔、笔记本的单价分别为元和元；

购买中性笔、笔记本数量总和为，购买笔记本本，
购买中性笔支．
由题意得：．
学校总计划费用不超过元，中性笔数不能超过笔记本的倍，
，
解得：．
，
随的增大而增大．
，且为整数，
当时，最小，，
购买笔记本本，中性笔支，此时费用最小，为元． 

【解析】设笔记本单价为元，则中性笔的单价为元，由用元购买中性笔和笔记本，购买笔记本的数量比中性笔的数量少，即可列出关于的分式方程，解出的值，进而即可求解；
由题意得列出与的函数关系式和关于的一元一次不等式组，解出的解集，再结合一次函数的性质解答即可．
本题考查分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用．理解题意，找出数量关系，列出等式和不等式是解题关键．
 

24.【答案】 

【解析】解：设，
，
原式



，
故答案为：；
设，
，
原式，


当或或时，该分式的值为整数，
是整数，
或；
设，
，
，

原式，
，
，
，
原式，
当且仅当时取等号，
即，原分式的最大值为：，
此时，
．
根据题意给出的方法即可求出答案；
将分式化为一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式即可求出答案；
将分式化为一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，然后根据材料的结论即可求出答案．
本题考查分式，解题的关键是正确理解题意给出的结论、熟练运用一元二次方程的解法以及配方法，本题属于中等题型．
 

25.【答案】解：在中，令得，
，
，
，
设直线的函数表达式为，
，
解得，
；
设，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
在中，令得，
，
，
，
，
解得，
，
，
，
；
是定值，的度数为，理由如下：
延长到，使，连接，，如图：

设，，
，，
≌，
，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
≌，
，，
，
． 

【解析】在中，令得，得，而，得，用待定系数法可得；
设，，由，，知，又，故，可解得；
延长到，使，连接，，设，，根据≌，有，，从而，，再证≌，可得，，故，即得．
本题考查一次函数综合题，涉及的待定系数法，三角形面积，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．