2023年山东省日照市中考数学二模试卷

2023年山东省日照市中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有几个(    )

 

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

3.  计算下列各式结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  几何体的三视图如图所示，这个几何体是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点、则时的取值范围是(    )

A. 或
B.
C.
D.

6.  如图是一架人字梯，已知米，与地面的夹角为，则两梯脚之间的距离为(    )

A. 米
B. 米
C. 米
D. 米

7.  关于的方程有实数根，方程的两根分别是、，且，则值是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，将缩小为原来的得到，当反比例函数的图象经过的中点时，的值为(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

9.  已知，，分别是的三条边长，为斜边长，，我们把关于的形如的一次函数称为“勾股一次函数”若点在“勾股一次函数”的图象上，且的面积是，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在菱形中，，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处不与，重合，折痕为，若，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  若二次函数是不为的常数的图象与轴交于 、两点下列结论：；当时，随的增大而增大；无论取任何不为的数，该函数的图象必经过定点；若线段不含端点上有且只有个横坐标为整数的点，则的取值范围是其中正确的结论是(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图，正方形的中心与坐标原点重合，将顶点绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点依此类推，则点的坐标是(    )

 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.  代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______ ．

14.  已知扇形的面积为，半径等于，则它的圆心角等于______度．

15.  如图，的半径是，是的弦，点是弦上的动点，且，则弦所对的圆周角的度数是______．

16.  如图，菱形的四个顶点均在坐标轴上，对角线、交于原点，于点，交于点，反比例函数的图象经过线段的中点，若，则的长为______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中．
解不等式组，并把求出的解集在数轴上表示出来．

18.  本小题分
为响应中考改革，我市某中学组织了一次全校名学生参加的“中考模拟”测试，测试结束后发现所有参赛学生的成绩均不低于分，为了更好地了解本次模拟测试的成绩分布情况，学校随机抽取了其中名学生的成绩成绩取整数，总分分作为样本进行整理，得到如图表不完整的统计图表：

请根据所给信息，解答下列问题：
______ ， ______ ；
请补全频数分布直方图；
这次比赛成绩的中位数会落在______ 分数段；
若某班恰有名女生和名男生的成绩均为分，从这名学生中随机选取名学生进行复测，请用列表法或画树状图法求选出的名学生恰好为一名男生、一名女生的概率．

19.  本小题分
为了减少农产品库存，某板栗公司利用网络平台直播销售板栗，为提高大家购买的积极性，直播时板栗公司每天拿出元作为红包发给购买者，已知该板栗的成本价格为元千克，每天的销售量千克与销售单价元千克满足关系式，销售单价不低于成本且不高于元千克，设销售板栗日获利为元．
求日获利与销售单价的函数关系式；
当销售单价定为多少时，日获利最大？最大利润为多少元？
当时，网络平台将向公司收取元千克的相关费用，若此时日获利的最大值为元，求的值．

20.  本小题分
如图，在的边上取一点，以为圆心，为半径画与边相切于点，，连接交于点，连接，并延长交线段于点．
求证：是切线；
若，，求半径；
若是中点，求证：．

21.  本小题分
定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．

根据以上定义，解决下列问题：
如图，正方形中是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，则四边形 ______填“是”或“不是”“直等补”四边形；
如图，已知四边形是“直等补”四边形，，，，过点作于．
过作于点，试证明：，并求的长；
若是边上的动点，求周长的最小值．

22.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且．
试求抛物线的解析式；
直线与轴交于点，与抛物线在第一象限交于点，与直线交于点，记，试求的最大值及此时点的坐标；
在的条件下，取最大值时，点是轴上的一个动点，点是坐标平面内的一点，是否存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形？请直接写出满足条件的点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
的倒数是，
故选：．
先化简绝对值，根据倒数的定义求解即可．
本题考查了绝对值的定义和倒数的定义，互为倒数的两个数乘积为．
 

2.【答案】 

【解析】解：第一个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
第二个图形是轴对称图形，是中心对称图形；
第三个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
第四个图形不是轴对称图形，是中心对称图形；
既是中心对称图形又是轴对称图形的有个，
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图形重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项符合题意；
故选：．
根据同底数幂的乘法判断选项；根据幂的乘方判断选项；根据合并同类项判断选项；根据同底数幂的乘法判断选项．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，掌握是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据该组合体的三视图发现该几何体为
．
故选：．
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
考查了由三视图判断几何体的知识，解题时要认真审题，仔细观察，注意合理地判断空间几何体的形状．
 

5.【答案】 

【解析】解：由函数图象知：当时，的取值范围是．
故选：．
利用图象直接得出结论，注意．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，函数图象上点的坐标特征，体现了数形结合的思想．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，过点作，交于点，
米，，
，
，
米，
米，
故选：．
直接利用等腰三角形的性质得出，再利用锐角三角函数关系得出的长，即可得出答案。
此题主要考查了解直角三角形的应用以及等腰三角形的性质，正确表示出的长是解题关键。
 

7.【答案】 

【解析】解：关于的方程有实数根，方程的两根分别是、，
，，
，
，
，
，
，
整理得：，
解得，
，
，
故选：．
根据韦达定理可知，，利用完全平方公式可得，整体代入解方程即可．
本题考查了根与系数的关系、解一元二次方程，掌握根与系数的关系并利用完全平方公式变形是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：以原点为位似中心，将缩小为原来的得到，
而，，
，或，，
的中点坐标为或，
把代入得或把代入得．
故选：．
根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标变换规律得到，或，，则的中点坐标为或，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求的值．
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或也考查了反比例函数图象上点的坐标特征．
 

9.【答案】 

【解析】解：点在“勾股一次函数”的图象上，
，即，
又，，分别是的三条边长，，的面积是，
，即，
又，
，
即，
解得，
故选：．
依据题意得到三个关系式：，，，运用完全平方公式即可得到的值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理的应用，根据题目中所给的材料结合勾股定理和乘法公式是解答此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，

由折叠的性质得：，
四边形是菱形，
，
又，
，
为等边三角形，
，
又，
，
，
设，则，
在中，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
解得：，
即，
故选：．
过点作于，由菱形的性质可证为等边三角形，设，则，，，则，在中，由勾股定理得，即可解决问题．
本题主要考查了菱形的性质，翻折的性质，等边三角形的判定与性质，特殊角的三角函数，勾股定理等知识，运用勾股定理列方程是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：二次函数，
顶点为，在轴的下方，
函数的图象与轴交于、两点，
抛物线开口向上，，故正确；
时，随的增大而增大，故错误；
由题意可知当，二次函数是不为的常数的图象一定经过点，故正确；
线段上有且只有个横坐标为整数的点，
时，时，
，
解得，故错误；
故选：．
求得顶点坐标，根据题意即可判断正确；根据二次函数的性质即可判断错误；二次函数是不为的常数的顶点，即可判断错误；根据题意时，时，即可判断正确．
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意，利用二次函数的性质解答是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，

正方形的中心与坐标原点重合，，
，，，
，，，
将顶点绕点逆时针旋转得点，
，，，
，，
，，
，
再将绕点逆时针旋转得点，
，，，
，，
，
，
再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点
同理可得：，，，，，
观察发现：每四个点一个循环，，，，，
，
；
故选：．
如图，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，可得，，，，，，，观察发现：每四个点一个循环，，，，，由，推出．
本题考查坐标与图形的变化旋转，等腰直角三角形性质，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考选择题中的压轴题．
 

13.【答案】且且 

【解析】解：代数式在实数范围内有意义，
，解得，
实数的取值范围是且且．
故答案为：且且．
根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数；再根据分式有意义的条件：分母不等于，以及零指数幂的底数不等于即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数；分式有意义的条件：分母不等于，零指数幂的底数不等于是解决问题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据扇形的面积公式，得
．
故答案为：．
根据扇形的面积公式，得．
此题主要是能够灵活运用扇形的面积公式．
 

15.【答案】或 

【解析】

【分析】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了含度的直角三角形三边的关系．
作，如图，利用垂线段最短得，则根据含度的直角三角形三边的关系得，根据三角形内角和定理可计算出，则可根据圆周角定理得到，根据圆内接四边形的性质得，求出弦所对的圆周角的度数．
【解答】
解：作，
点是弦上的动点，且，
，
，
，
，
，
，
即弦所对的圆周角的度数为或，
故答案为：或．  

16.【答案】 

【解析】解：在菱形中，，，，，
点，
设点，
点为的中点，
点，
反比例函数的图象经过点，
，
解得：，即点，
，
，，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
．
故答案为：．
根据菱形的性质，可得点，设点，根据点为的中点，可得点，再由反比例函数的图象经过点，可得，从而得到，，可证得为等边三角形，再根据等边三角形的性质，即可求解．
本题主要考查了反比例函数的图象和性质，等边三角形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，熟练掌握反比例函数的图象和性质，等边三角形的判定和性质，菱形的性质是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

，
，
，
原式；

解不等式得，
，
解不等式得，
，
在数轴上表示如图所示，

不等式组的解集为：． 

【解析】先通分化简括号，再约分化到最简，根据特殊角三角函数值求出代入即可得到答案；
分别解出不等式，在数轴上表示出解集，取公共部分即可得到答案．
本题考查分式化简求值，特殊三角函数计算，解不等式组，解题的关键是熟练掌握分式的性质、特殊角三角函数值及不等式的性质．
 

18.【答案】     

【解析】解：由题意可得，，，
故答案为：，；
结合，补全频数分布直方图如图所示，

，，
这次比赛成绩的中位数会落在分数段；
故答案为：；
由题意得，树状图如下：
，
 由图可得，总共有种等可能的情况，恰好为一名男生、一名女生的有种情况，
．
用减去表格中频数已知量即可得到的值，用减去频率已知量即可得到的值；
根据补充条形统计图即可得到答案；
根据中位数定义，找到最中间两个数落在哪个分数段即可得到答案；
根据题意列出树状图，直接求解即可得到答案．
本题考查数据统计分析，树状图法求概率，求中位数，解题的关键是求出各项频数，正确画出树状图．
 

19.【答案】解：根据题意得：，
销售单价不低于成本且不高于元千克，
，
；
当时，，
，对称轴为，
当时，有最大值为元，
当销售单价定为元时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为元；
当元时，，
，，
当时，，
又，
，
此时：日获利，
对称轴为直线，
由知，
当时，日获利的最大值为元，
，
，，
，
． 

【解析】由日获利销售单价成本日销售量，可求解；
结合，把函数关系式配成顶点式，即可求解；
由，可求当时，从而可得，由二次函数的性质可求解．
本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，读懂题意，列出函数关系式是解题的关键．
 

20.【答案】证明：连，

在和中，
，
≌，
，
与相切，
，
，
，
，
为半径，
是切线；
解：连接，

设，则，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
半径为；
证明：为的中点，，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
． 

【解析】连，证明≌，由全等三角形的性质得出，由切线的性质得出，则可得出，可得出结论；
设，则，由勾股定理得出，解方程求出，得出，设，则，得出，求出则可求出答案；
由直角三角形的性质得出，得出，证明∽，由相似三角形的性质得出，则可得出结论．
本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，切线的判定与性质，直角三角形的性质，证明∽是解题的关键．
 

21.【答案】是 

【解析】解：将绕点旋转，与重合，点的对应点在的延长线上，

，，
四边形是正方形，
，
，
，即，
，
，，
四边形是“直等补”四边形．
故答案为：是；
证明：四边形是“直等补”四边形，，，，
，，
，
，，
，，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，，
≌，
，，
，
；
四边形是矩形，
，
≌，
，
，
设，则，
在中，，
解得：或舍去，
的长是；
周长，
当的值最小时，的周长最小，
如图，延长到点，使，连接交于点，过点作，交的延长线于点，

，
点与点关于对称，
，即，
当点与重合时，的值最小，即的周长最小，
在中，，
四边形是“直等补”四边形，
，
，
，
，
∽，
，即，
，，
，
，
周长的最小值为．
由旋转的性质可得，，根据正方形的性质得，可得出，即可得出答案；
首先证明四边形是矩形，则，，再证≌，根据全等三角形的判定和性质可得，，等量代换即可得；由，可得，设，根据勾股定理求出的值即可；
延长到点，使，连接交于点，过点作，交的延长线于点，证明∽，根据相似三角形的性质求出、的值，在中，根据勾股定理求出，即可求解．
本题是四边形的一个综合题，主要考查新定义，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，轴对称的性质，第题关键在证明三角形全等，第题关键确定的位置．
 

22.【答案】解：，
，
，
，
，
抛物线经过点、、，
，
解得：，
该抛物线的解析式为；
如图，过点作轴交直线于，连接，

设直线的解析式为，
、，
，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，
，
直线与轴交于点，
，
，
轴，即，
∽，
，
，
，
，
当时，取得最大值，此时点的坐标为；
存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形．
由知：，，
当是矩形的边时，有两种情形，

当四边形为矩形时，如图，连接，过点作轴于，
则，
，
四边形为矩形，
，，
，
，
，
，
≌，
，，
，，
∽，
，即，
，
，
；
当四边形是矩形时，如图，过点作轴交的延长线于，过点作轴于，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
∽，
，即，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，
；
当是对角线时，设，则，，，
是直角顶点，
，
，
整理得，方程无解，此种情形不存在；
综上所述，点的坐标为或． 

【解析】运用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
利用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，可得，再由∽，可得，根据等高三角形的面积比等于底的比可得：，运用二次函数的性质即可得出答案；
分两种情形分别求解即可：当是矩形的边时，有两种情形；当是对角线时．
本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，一次函数的应用，二次函数的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．