2021北京顺义一中高一（下）期中数学（教师版）

2021北京顺义一中高一（下）期中

数    学

一、选择题（每题4分）

1. 在复平面内，复数对应的点位于（    ）

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2. 设向量，的模分别为2和3，且夹角为，则等于（    ）

A.  B. 13 C.  D. 19

3. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象

A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度

C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度

4. 四边形满足：，，则该四边形的形状是（    ）

A. 梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形

5. 已知，，其中，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

6. 某数学兴趣小组在数学实践活动中，欲测量本校校园国旗旗杆的高度，该小组在操场的点处测得旗杆顶端的仰角为，从点向旗杆底部端点的方向前进了后到达点，此时测得旗杆顶点的仰角为，则该小组所测旗杆的高度为（    ）（所测旗杆台阶高度及测量设备高度等忽略不计）

A.  B.

C.  D.

7. 已知复数满足，则的虚部为

A. -4 B.

C. 4 D.

8. 平行四边形中，与交于，点满足，若，，则（    ）

A. 0 B.  C.  D.

9. 关于函数，的图象与直线（为常数）的交点情况，下列说法正确的是（    ）

A. 当或，有0个交点

B. 当或时，有1个交点

C 当，有2个交点

D. 当时，有2个交点

10. 在中，角所对边分别为，若，则的形状为（    ）

A. 等腰三角形 B. 直角三角形

C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形

二、填空题（每题5分）

11. 的值为______

12. 复数满足，则符合条件的一个复数为_______

13. 在中，，，，则______

14. 已知正方形的边长为，为的中点，则__________．

15. 在中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则_______，________

三、解答题

16. 已知复数，，、

（1）若，求；

（2）若，计算.

17. 已知向量，与向量

（1）当何值时，；

（2）当时，求向量与向量的夹角；

（3）求的最小值以及取得最小值时向量 的坐标．

18. 在中，角、、所对的边分别为、、，若，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：

（1）的值；

（2）的面积

条件①：；条件②：

19. 已知函数

（1）请用“五点法”画出函数在一个周期上图象（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）；

（2）求单调递增区间；

（3）求在区间上的最大值和最小值及相应的值

20. 已知函数

（1）求的值；

（2）将函数的图象向左平移个单位长度，所得函数图象与函数的图象重合，求实数的最小值；

（3）若时，最小值为，求的最大值

21. 对于集合，定义函数

对于两个集合，，定义运算．

（1）若，，写出与的值，并求出；

（2）证明：；

（3）证明：运算具有交换律和结合律，即，．

参考答案

一、选择题（每题4分）

1. 【答案】B

【解析】

【分析】先计算复数,再结合几何意义求解即可.

【详解】因为复数，

所以复数对应的点为，位于第二象限.

故选：B

2. 【答案】C

【解析】

【分析】所求平方代值可得.

【详解】

故选：C

【点睛】本题考查平面向量数量积的应用.

求向量模的常用方法:

(1)若向量是以坐标形式出现的，求向量的模可直接利用公式.

(2)若向量 是以非坐标形式出现的，求向量的模可应用公式或 ，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．

3. 【答案】D

【解析】

【详解】，据此可知，为了得到函数的图象，可以将函数的图象向右平移个单位长度.

本题选择D选项.

4. 【答案】B

【解析】

【分析】利用向量相等判断出为平行四边形，再由，得到对角线互相垂直，即可得到为菱形.

【详解】因为，所以四边形为平行四边形.

又因为，所以，

所以四边形为菱形.

故选：B

5. 【答案】A

【解析】

【分析】先求出时，或，然后利用集合法判断即可.

【详解】因为，，所以.

因为，所以，即，解得：或.

因为，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选：A

6. 【答案】A

【解析】

【分析】根据题意画出图形，结合图形正确的表示出相关边长，求出旗杆高度

【详解】如图示：AB=30，A=30°，∠DBC=45°，旗杆CD，设CD=h，

在直角三角形ACD中，，即所以，

在直角三角形BCD中，，即所以，

由题意可得：，解得：，

即旗杆的高度为.

故选：A

7. 【答案】D

【解析】

【详解】试题解析：设

∴ ，解得

考点：本题考查复数运算及复数的概念

点评：解决本题的关键是正确计算复数，要掌握复数的相关概念

8. 【答案】C

【解析】

【分析】根据图形，利用平面向量的基本定理求解即可

【详解】如图所示：

由图可知

，

故选：C

9. 【答案】B

【解析】

【分析】在同一个坐标系内做出，的图象与直线的图像，根据交点的个数直接判断即可.

【详解】在同一个坐标系内做出，的图象与直线的图像如图示：

根据图像，进行判断：

对于A：当t=2时，有一个交点，故A错误；

对于B：当或时，有1个交点，故B正确；

对于C：当，有2个交点，当，有1个交点，故C错误；

对于D：当，有1个交点，故D错误.

故选：B

10. 【答案】D

【解析】

【分析】由正弦定理边化角，利用平方关系，二倍角公式，三角函数性质运算求解即得或.

详解】由正弦定理得a=2RsinA,b=2RsinB,代入已知条件中并化简得：sinA+cosA=sinB+cosB,两边平方,并结合平方关系得：2sinAcosA=2sinBcosB,即sin2A=sin2B,

因为所以或即或,易于验证当或，sinA+cosA=sinB+cosB成立.

故选：.

二、填空题（每题5分）

11. 【答案】

【解析】

【分析】利用诱导公式直接求解.

【详解】.

故答案为：

12. 【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】根据直接写出一个复数即可.

【详解】要使复数满足，，可以取（答案不唯一）.

故答案为：（答案不唯一）

13. 【答案】

【解析】

【分析】直接利用余弦定理即可求得.

【详解】在中，因为，所以,

由余弦定理得：，

所以

故答案为：

14. 【答案】2

【解析】

【详解】·=(+)·(-)

=-·+·-·=22-×22=2.

15. 【答案】    ①.     ②. 2

【解析】

【分析】将代入中，再利用二倍角公式可求出的值，由求出，由求出，再利用正弦定理结合可求出

【详解】解：因，，所以，

所以，得，

因为，所以角为锐角，

所以，

所以，

因为，，所以，

由正弦定理可得，，得，

因为 ，所以，解得，

故答案为：，2

三、解答题

16. 【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】（1）利用复数相等的条件列方程组，解出x、y，得到，即可求出

（2）当时，先求出，，直接求出.

【详解】（1）因为复数，，、，且，

所以，解得：，

所以，

所以.

（2）对复数，，

当时，，，

所以.

17. 【答案】（1）；（2）；（3）最小值3，．

【解析】

【分析】（1）由计算；

（2）由计算；

（3）由模的坐标运算表示出，然后由二次函数性质得结论．

【详解】（1），，所以时，；

（2）由题意，，所以；

（3）由已知，

所以，所以时，取得最小值3，此时．

【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，数量积的性质，向量垂直与向量数量积的关系，求向量的夹角、向量的模．掌握平面向量数量积的坐标运算是解题关键，本题属于中档题．

18. 【答案】答案见解析.

【解析】

【分析】结合正弦定理和可得.

选择条件①：

（1）用c表示a、b，再由余弦定理，可得关于c的方程，即可求出c；

（2）直接利用三角形的面积公式即可.

选择条件②：

（1）利用正弦定理，可得关于c的方程，即可求出c；

（2）直接利用三角形的面积公式即可.

【详解】由正弦定理知,,∵,∴.

选择条件①:

（1）∵,∴，

由余弦定理知，，

整理化简得：,∵c>0,∴.

（2）∵

∴△ABC的面积.

选择条件②

(1)由正弦定理知:,所以

∵，∴；

（2）∵

∴△ABC的面积.

19. 【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）当时, 取最小值0；当时, 取最大值1.

【解析】

【分析】（1）利用“五点法”列表，然后作出一个周期的图象即可；

（2）利用整体代换以及正弦函数的单调递增区间进行求解即可；

（3）由x的范围，求出的范围，再利用正弦函数的性质求解最值即可.

【详解】（1）分别令，可得：

画出在一个周期的图像如图所示：

（2）要求的单调递增区间，

只需令，

解得：，

所以函数的单调递增区间为;

(3)因为,所以，所以当,即时, 取最小值0；当,即时, 取最大值1.

20. 【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

【分析】先对函数解析式化简，

（1）直接代入求解；

（2）利用图形变换和诱导公式求出m的最小值；

（3）利用正弦型函数的定义域和值域，即可求出的最大值.

【详解】

（1）；

（2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到，与重合，

所以，由m>0,所以当k=0时，；

（3）当时，时，

因为的最小值为，所以可以取到，即，

所以，即的最大值为.

21.【答案】（1），，；（2）证明见解析；（3）证明见解析

【解析】

【分析】

（1）由新定义的元素即可求出与的值,再分情况求出；

（2）对x是否属于集合,分情况讨论,即可证明出；

（3）利用（2）的结论即可证明出*运算具有交换律和结合律．

【详解】解：（1）,,

,,

；

（2）①当且时,,

所以 ．所以,

所以,

②当且时,,,

所以．所以,

所以,

③当且时,．

所以．所以．

所以．

综上,；

④当且时, ．

所以．所以．

所以．

（3）因为, ,

所以．

因为,

,

所以．

【点睛】本题主要考查了集合的基本运算,考查了新定义问题,是难题．