2021北京师大二附中高一（下）期中数学（教师版）

2021北京师大二附中高一（下）期中

数    学

一、选择题（共10小题；共40分）

1．（4分）　　

A． B． C． D．

2．（4分）若向量，且，则的值为　　

A． B．0 C．1 D．0或1

3．（4分）设，且，则　　

A．或 B．或 C．或 D．或

4．（4分）已知，则　　

A． B． C． D．

5．（4分）向量，在正方形网格中的位置如图所示，则，　　

A． B． C． D．

6．（4分）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上为增函数的是　　

A． B． C． D．

7．（4分）设，，则使成立的的取值范围是　　

A． B． C． D．

8．（4分）在中，，，．是边上的动点，则的取值范围是　　

A．， B．， C．， D．，

9．（4分）若函数的图象向左平移个单位后，所得图象关于原点对称，则的最小值为　　

A． B． C． D．

10．（4分）已知菱形的边长为2，，点、分别在边、上，，．若，则的最小值　　

A． B． C． D．

二、填空题（共5小题；共25分）

11．（5分）设扇形半径为，圆心角的弧度数为2，则扇形的面积为　 　．

12．（5分）在平面直角坐标系中，角和角均以为始边，它们的终边关于轴对称．若，则　　．

13．（5分）已知，，则　　．

14．（5分）将函数，，的图象上所有点向左平行移动个单位长度，所得函数的部分图象如图所示，则　　．

15．（5分）已知函数．若存在，，，满足，且，，则的最小值为　　．

三、解答题（共6小题；共85分）

16．已知，且是第_______象限角．

从①一，②二，③三，④四，这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上，并根据你的选择，解答以下问题：

（1）求，的值；

（2）化简求值：．

17．如图，在平面直角坐标系中，点为单位圆与轴正半轴的交点，点为单位圆上的一点，且，点沿单位圆按逆时针方向旋转角后到点．

（1）当时，求的值：

（2）设，，求的取值范围．

18．已知函数的最大值为1．

（1）求常数的值．

（2）求函数的单调递减区间．

（3）若，求函数的值域．

19．在正中，，．

（1）试用，表示

（2）当取得最小值时，求的值．

20．已知向量，，设函数．

（1）求的最小正周期，对称中心，对称轴；

（2）若函数，，其中，试讨论函数的零点个数．

21．对于定义域为的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，则称为余弦周期函数，且称为其余弦周期．已知是以为余弦周期的余弦周期函数，其值域为．设单调递增，，．

（1）验证是以为周期的余弦周期函数；

（2）设，证明对任意（a），（b），存在，，使得；

（3）证明：“为方程在，上的解，”的充要条件是“为方程在区间，上的解”，并证明对任意，，都有．

参考答案

一、选择题（共10小题；共40分）

1．【分析】由、解之即可．

【解答】解：，

故选：．

【点评】本题考查余弦函数的诱导公式．

2．【分析】可以求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出的值．

【解答】解：，且，

，解得或1．

故选：．

【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，向量坐标的减法和数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．

3．【分析】由已知角及范围，结合特殊角的三角函数即可求解．

【解答】解：因为，且，

则或．

故选：．

【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值的应用，属于基础试题．

4．【分析】利用诱导公式先求出，，由此能求出结果．

【解答】解：，

，

．

故选：．

【点评】本题考查三角函数值的求法，考查诱导公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

5．【分析】可作，然后根据余弦定理即可求出，从而可得出，进而得出的值．

【解答】解：如图，，设网格的一个单位长度为1，则，由余弦定理得，，

，且，

，

．

故选：．

【点评】本题考查了相等向量的定义，余弦定理，考查了计算能力，属于基础题．

6．【分析】利用三角函数的单调性和周期性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．

【解答】解：在区间上，，没有单调性，故排除．

在区间上，，单调递减，故排除．

在区间上，单调递增，且其最小正周期为，故正确；

根据函数以为最小正周期，的周期为，可排除．

故选：．

【点评】本题主要考查三角函数的单调性和周期性，属于基础题．

7．【分析】利用正弦函数的图象和性质直接求解．

【解答】解：，，，

．

设，，则使成立的的取值范围是，．

故选：．

【点评】本题考查满足正弦值的角的取值范围的求法，考查正弦函数的图象和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

8．【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量、，求出的取值范围即可．

【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示；

则，，，

设，则，，；

，

，

，，

则的取值范围是，．

故选：．

【点评】本题考查了平面向量数量积的计算问题，是基础题．

9．【分析】根据图象平移关系求出函数的解析式，结合原点对称的性质进行求解即可．

【解答】解：若函数的图象向左平移个单位后，

则，

若所得图象关于原点对称，则，

得，

得，，

，当时，取得最小值，

故选：．

【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用原点对称的性质是解决本题的关键，是基础题．

10．【分析】由题意画出图形，把用表示，最后转化为含有，的代数式，再结合及基本不等式求得的最小值．

【解答】解：如图，

，，且，

，

．

由题意可得，，，

，

，则，

（当且仅当时等号成立），

的最小值为．

故选：．

【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量加法的三角形法则，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．

二、填空题（共5小题；共25分）

11．【分析】由已知利用扇形的面积公式即可计算得解．

【解答】解：由已知可得：半径为，圆心角的弧度数为2，

则扇形的面积．

故答案为：．

【点评】本题主要考查了扇形的面积公式的应用，属于基础题．

12．【分析】由题意可得，由此能求出结果．

【解答】解：在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称，

，

故答案为：．

【点评】本题考查角的正弦值的求法，考查对称角、诱导公式，正弦函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是基础题．

13．【分析】由同角三角函数的基本关系求得，再由利用两角差的余弦公式求出结果．

【解答】解：已知，，

，

，

故答案为．

【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式的应用，属于中档题．

14．【分析】利用三角函数平移变换可得平移后的解析式，利用平移后的图象即可求得，，，从而得解．

【解答】解：将函数的图象上所有点向左平行移动个单位长度，

所得函数，

由图象可得，，所以，所以，

因为，所以，

，，

所以，，

因为，所以，

所以．

故答案为：．

【点评】本题主要考查函数图象的平移变换和三角函数的解析式的确定，属于中档题．

15．【分析】由正弦函数的有界性可得，对任意，，，2，3，，，都有，要使取得最小值，尽可能多让，2，3，，取得最高点，然后作图可得满足条件的最小值．

【解答】解：对任意，，，2，3，，，都有，

要使取得最小值，尽可能多让，2，3，，取得最高点，

考虑，，

按下图取值即可满足条件，

的最小值为8．

故答案为：8．

【点评】本题考查正弦函数的图象和性质，考查分析问题和解决问题的能力，考查数学转化思想方法，正确理解对任意，，，2，3，，，都有是解答该题的关键，是难题．

三、解答题（共6小题；共85分）

16．【分析】（1）由已知可得为第三象限或第四象限角，分类讨论，利用同角三角函数基本关系式即可求解．

（2）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简即可计算得解．

【解答】解：（1）因为，所以为第三象限或第四象限角；

若选③，，；

若选④，，；

（2）原式．

【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了分类讨论思想和转化思想，属于基础题．

17．【分析】（1）由三角函数的正弦、余弦的定义可得，的值；

（2）由三角函数的定义和辅助角公式，以及正弦函数的单调性，可得所求范围．

【解答】解：（1）由题意可得，即为，，

，，可得；

（2）由题意可得，，

即有，

由，，可得，，

则的范围是，．

【点评】本题考查任意角三角函数的定义和三角函数的恒等变换，以及三角函数的求值，考查运算能力，属于基础题．

18．【分析】首先化简函数．

（1）可得，即可求得．

（2）由，，可得，，即可求得函数的单调递减区间；

（3）当时，，，求得，，即可．

【解答】解：函数．

（1）函数的最大值为1，且，

，．

（2）由，，

可得，，

函数的单调递减区间为，，，

（3）当时，，，

则，，

函数的值域为．

【点评】本题考查了三角恒等变形，三角函数的性质、值域，属于中档题．

19．【分析】（1）根据即可得出，从而解出；

（2）可得出，根据即可得出，而根据解是正三角形，即可求出，，从而进行数量积的运算即可得出，配方即可得出时，取最小值．

【解答】解：（1）；

；

；

（2）是正三角形，且；

；

；

；

；

时，取最小值．

【点评】考查向量减法、加法的几何意义，向量的数乘运算，以及向量的数量积运算及计算公式，配方法解决二次函数问题的方法．

20．【分析】（1）．

根据周期计算公式可得的最小正周期，令可得对称中心，令可得对称轴；

（2）由（1）可得函数在，递增，在递减，且，，结合图像即可求得函数与的交点个数，从而求解．

【解答】解：（1）

．

所以的最小正周期为，

令，可得对称中心为：，，，

令，可得对称轴为：直线，；

（2）由，可得，则，

所以函数，的值域为，．

由（1）可得函数在，递增，在递减，

且，，

因为函数，的零点个数．就是函数与的交点个数．

所以．当，，或时，函数的零点个数为1；

当，或，时，函数的零点个数为0；

当，时，函数的零点个数为2；

【点评】本题考查了三角恒等变形，三角函数的性质，属于中档题．

21．【分析】（1）根据余弦函数的周期定义，判断是否等于即可；

（2）根据的值域为，便可得到存在，使得，而根据在上单调递增即可说明，，从而完成证明；

（3）只需证明为方程在区间，上的解得出为方程在，上的解，是否为方程的解，代入方程，使方程成立便是方程的解．证明对任意，，都有，可讨论，，三种情况：时是显然成立的；时，可得出，从而得到，，根据单调递增便能得到，然后根据的单调性及方程在，和它在，上解的个数的情况说明，和是不存在的，而时结论成立，这便说明时结论成立；而对于时，通过考查的解得到，综合以上的三种情况，最后得出结论即可．

【解答】解：（1）；

是以为周期的余弦周期函数；

（2）的值域为；

存在，使；

又（a），（b）；

（a）（b），而为增函数；

；

即存在，，使；

（3）证明：若为方程在区间，上的解；

则：，；

，且；

为方程在，上的解；

“为方程在，上得解”的充分条件是“为方程在区间，上的解”；下面证明对任意，，都有

①当时，，显然成立；

②当时，；

，，，且，；

若，，由（2）知存在，使；

，；

；

；

，无解；

若，，则存在，使得，；

则，，，为在，上的4个解；

但方程在，上只有，，，3个解，矛盾；

当时，，结论成立；

③当时，，，考查方程在上的解；

设其解为，，，，；

则，，，为方程在上的解；

又，；

而，，，，为方程在上的解；

；

综上对任意，，都有．

【点评】考查对余弦周期函数定义的理解，充分条件的概念，方程的解的概念，知道由能得出，，以及构造方程解题的方法，在证明最后一问时能运用第二问的结论．