2022北京五十中高一（下）期中数学（教师版）

2022北京五十中高一（下）期中

数    学

一、选择题（每题 分， 共 分）

1. 复数满足， 则 （    ）

A.  B.  C.  D.

2. 设向量，， 则（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 已知 为第三象限角， ， 则 （    ）

A.  B.  C.  D.

4. 设是方程的两个根，则的值为

A. -3 B. -1 C. 1 D. 3

5. 在中，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 若都是锐角， 且，， 则（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 在直角坐标系 中， 的顶点与坐标原点重合， 始边与 轴正半轴单合， 终边与单位圆 的交点分别为 ， 则 （    ）

A  B.

C.  D.

8. 已知函数，则的奇偶性及最小值分别为(    )

A. 奇函数， B. 偶函数，

C. 奇函数， D. 偶函数，

9. 在中，“”是“”的（    ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

10. 如图，线段，点A，B分别在x轴和y轴的非负半轴上运动，以AB为一边，在第一象限内作矩形ABCD，，设O为原点，则的取值范围是（ ）

A.  B.  C.  D.

二、填空题 (每题 分，共 分)

11. 向量____________.(填“”或“”)

12. ___________.

13. 函数最大值为___________，最小正周期为______________.

14. 中，，，且，则___，____．

15. 在中， 点为中点， 若， 则___________.

16. 直线 与曲线 和曲线 分别相交于点 .

（1）若 ， 则 的最大值为____________.

（2）若 的最大值为 ， 则 的值为_____________.

三、解答题（共 题， 共 分）

17. 已知向量，，

（1）若与垂直， 求实数值;

（2）若与共线， 求实数的值.

18. 已知.

（1）求的值；

（2）求的单调递增区间.

19. 在 中， ， 求:

（1） 的值;

（2） 和 的面积.

20. 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC.

（1）求A；

（2）若BC=3，求周长的最大值.

21. 已知函数.

（1）求函数最小正周期；

（2）求函数在上的最小值；

（3）若关于的方程在区间上有两个不同解， 求实数的取值范围.

参考答案

一、选择题（每题 分， 共 分）

1. 复数满足， 则 （    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用复数的运算法则及其模长公式求解即可.

【详解】由已知得，

则，

 故选：B．

2. 设向量，， 则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由向量模长的坐标运算直接求解即可.

【详解】，.

故选：B.

3. 已知 为第三象限角， ， 则 （    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

分析】直接应用倍角公式即可求解

【详解】因为，所以

故选：A

4. 设是方程的两个根，则的值为

A -3 B. -1 C. 1 D. 3

【答案】A

【解析】

【详解】试题分析：由tanα，tanβ是方程x2-3x+2=0的两个根，利用根与系数的关系分别求出tanα+tanβ及tanαtanβ的值，然后将tan（α+β）利用两角和与差的正切函数公式化简后，将tanα+tanβ及tanαtanβ的值代入即可求出值．解：∵tanα，tanβ是方程x2-3x+2=0的两个根，∴tanα+tanβ=3，tanαtanβ=2,则tan（α+β）= -3，故选A.

考点：两角和与差的正切函数公式

点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及根与系数的关系，利用了整体代入的思想，熟练掌握公式是解本题的关键．

5. 在中，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由正弦定理可得，由余弦定理即可得解.

【详解】由正弦定理可得，

令，则，，

所以，

由于，所以，

故选：C.

6. 若都是锐角， 且，， 则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据同角三角函数平方关系可求得，根据，利用两角和差正弦公式可求得结果.

【详解】都是锐角，，，

，，

.

故选：B.

7. 在直角坐标系 中， 的顶点与坐标原点重合， 始边与 轴正半轴单合， 终边与单位圆 的交点分别为 ， 则 （    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由已知，可作图，利用分别表示出两点的坐标，然后计算向量数量积即可完成求解.

【详解】
 

如图所示，，，

因为两点在单位圆上，所以，，

所以，，

所以.

故选：B.

8. 已知函数，则的奇偶性及最小值分别为(    )

A. 奇函数， B. 偶函数，

C. 奇函数， D. 偶函数，

【答案】D

【解析】

【分析】化简f(x)的解析式，结合二次函数性质即可求解．

【详解】，

∵f(x)定义域为R关于原点对称，且，∴f(x)为偶函数，

根据二次函数性质可知，当时，f(x)取最小值．

故选：D．

9. 在中，“”是“”的（    ）

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】由余弦函数的单调性找出的等价条件为，再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出“”是“”的充分必要条件.

【详解】余弦函数在区间上单调递减，且，，

由，可得，，由正弦定理可得.

因此，“”是“”的充分必要条件.

故选：C.

【点睛】本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力，属于中等题.

10. 如图，线段，点A，B分别在x轴和y轴的非负半轴上运动，以AB为一边，在第一象限内作矩形ABCD，，设O为原点，则的取值范围是（ ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】令，由边长为1，2的长方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上，可得出B，C的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的内积即可．

【详解】解：如图令，，由于，故，，

如图，，故，，

故，同理可求得，即，

∴，

∵，∴．∵，∴的最大值是3，最小值是1，

故选：C．

二、填空题 (每题 分，共 分)

11. 向量____________.(填“”或“”)

【答案】

【解析】

【分析】由向量加减法运算直接求解即可.

【详解】.

故答案为：.

12. ___________.

【答案】

【解析】

【分析】由两角和差正弦公式直接求解即可.

【详解】.

故答案为：.

13. 函数的最大值为___________，最小正周期为______________.

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】利用二倍角公式降幂，再利用余弦函数的性质即可求得函数的最大值，直接利用周期公式即可求得最小正周期.

【详解】由二倍角公式得，

由知的最大值为1，

.

故答案为：1，.

14. 在中，，，且，则___，____．

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】先判断A＜B，B＝2A，再利用正弦定理、二倍角公式求得cosA的值，进而求得A和B，再利用三角形内角和公式求得C的值．

【详解】△ABC中，，且sin2A＝sinB，∴A＜B，∴B＝2A．

由正弦定理可得，则cosA，

∴A，B，∴C＝π﹣A﹣B，

故答案为；．

【点睛】本题主要考查正弦定理、二倍角公式、三角形内角和公式，属于中档题．

15. 在中， 点为中点， 若， 则___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据平面向量的线性运算可求得，由此可得结果.

详解】，

，，.

故答案为：.

16. 直线 与曲线 和曲线 分别相交于点 .

（1）若 ， 则 的最大值为____________.

（2）若 的最大值为 ， 则 的值为_____________.

【答案】    ①.     ②. （）

【解析】

【分析】（1）应用辅助角公式及正弦的有界性即可求解（2）应用辅助角公式及正弦的有界性即可求解

【详解】（1）当时

当且仅当（）即（）取等号

（2）

其中的象限由点决定，且

所以

当且仅当（）取等号

依题意，，所以，所以（）

故答案为：；（）

三、解答题（共 题， 共 分）

17. 已知向量，，

（1）若与垂直， 求实数的值;

（2）若与共线， 求实数的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算直接求解即可；

（2）根据向量共线的坐标运算直接求解即可.

【小问1详解】

，与垂直，，解得：.

【小问2详解】

，与共线，，解得：.

18. 已知.

（1）求的值；

（2）求的单调递增区间.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）将直接代入解析式求解即可；

（2）利用二倍角和辅助角公式化简可得，利用正弦型函数单调区间的求解方法直接求解即可.

【小问1详解】

.

【小问2详解】

，

令，解得：，

的单调递增区间为.

19. 在 中， ， 求:

（1） 的值;

（2） 和 的面积.

【答案】（1）   

（2）;

【解析】

【分析】（1）由同角三角函数的关系求得，由正弦定理可求得，结合，求得答案；

（2）结合（1）求得b的值，利用两角和的正弦公式求得的值，利用三角形面积公式即可求得三角形面积.

【小问1详解】

由题意，在 中，，

故，

由正弦定理得： ，则 ，

又因为，故解得 ；

【小问2详解】

由（1）可得，

;

由（1）可得 ，故 .

20. 中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC.

（1）求A；

（2）若BC=3，求周长的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得；

（2）方法一：利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果.

【详解】（1）由正弦定理可得：，

，

，.

（2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式

由余弦定理得：，

即.

（当且仅当时取等号），

，

解得：（当且仅当时取等号），

周长，周长的最大值为.

[方法二]：正弦化角（通性通法）

设，则，根据正弦定理可知，所以，当且仅当，即时，等号成立．此时周长的最大值为．

[方法三]：余弦与三角换元结合

在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由余弦定理得，即．令，得，易知当时，，

所以周长的最大值为．

【整体点评】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；

方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.

方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决.

方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题.

21. 已知函数.

（1）求函数的最小正周期；

（2）求函数在上的最小值；

（3）若关于的方程在区间上有两个不同解， 求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式可化简得，由正弦型函数最小正周期的求法可得结果；

（2）根据的范围可求得的范围，由正弦型函数值域的求法可求得最小值；

（3）由可得，令，可得范围，根据有两个不同解可构造不等式求得结果.

【小问1详解】

，

的最小正周期.

小问2详解】

当时，，，

.

【小问3详解】

令，解得：，

令，则当时，，

在上有两个不同解，在有两个不同解，

，解得：，即实数的取值范围为.