2022北京四中高一（下）期中数学（教师版）

2022北京四中高一（下）期中

数    学

卷（I）

一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）

1. 在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 最小值

A. -1 B.  C.  D. 1

4. 在平面直角坐标系中，点，若向量，则实数（    ）

A. 4 B. 3 C. 2 D.

5. 已知单位向量，的夹角为，那么|＋2|＝（    ）

A.  B.

C.  D.

6. 向量，， 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若为与同方向的单位向量，则（    ）

A. 1.5 B. 2 C. -4.5 D. -3

7. 在△中，，则（    ）

A.  B.  C.  D. 或

8. 已知，则值为（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 将函数y=sin2x 的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是

A.  B.  C.  D.

10. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为的水车，一个水斗从点，出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过秒后，水斗旋转到点，设的坐标为，其纵坐标满足，，．则下列叙述错误的是（    ）

A.

B. 当，时，点到轴的距离的最大值为6

C. 当，时，函数单调递减

D 当时，

二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

11. 的值是___________.

12. 已知，则___________.

13. 在中，若，则___________.

14. 已知是单位向量，且，设向量，当时，___________；当时，的最小值为___________.

三､解答题（本大题共3小题，共40分）

15. 已知.

（1）求的值；

（2）求的值.

16. 已知函数.

（1）求的值；

（2）求函数的单调增区间；

（3）当时，求的最大值与最小值.

17. 在中，.

（1）求的大小；

（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选报两个作为已知，使得存在，求的面积.

条件①：；

条件②：；

条件③：.

卷（II）

一､选择题（本大题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）

18. “”是“”的（ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

19. 函数是奇函数，则等于（以下）（    ）

A  B.  C.  D.

20. 已知函数，则（    ）

A.

B. 是函数的一个对称中心

C. 任取方程的两个根，，则是的整数倍

D. 对于任意的，恒成立

二､填空题（本大题共3小题，每小题4分，共12分）

21. 在中，，若，则的大小是___________.

22. 已知在同一平面上的3个单位向量，它们相互之间的夹角均为，且，则实数k的取值范围是___________.

23. 已知函数，给出下列四个结论：

①的最小正周期为；

②在区间上单调递减；

③的最大值为1；

④当时，取得最大值或最小值.

以上正确结论的序号是___________.（写出所有正确的序号）

三､解答题（本大题共2小题，共26分）

24. 如图，点P是以为直径圆O上动点，是点P关于的对称点，.

（1）当点P是弧上靠近B的三等分点时，求的值；

（2）求的最大值和最小值.

25. 已知集合 .对于，给出如下定义：①；②；③A与B之间的距离为.说明：的充要条件是.

（1）当时，设，求；

（2）若，且存在，使得，求证：；

（3）记.若，且，求的最大值.

参考答案

卷（I）

一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）

1. 在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据三角函数的定义，直接计算，即可得出结果.

详解】∵∴，

∴，

故选：B.

【点睛】本题主要考查由三角函数定义求三角函数值，属于基础题型.

2. 的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用诱导公式求得正确答案.

【详解】.

故选：C

3. 最小值是

A. -1 B.  C.  D. 1

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：∵，∴当sin2x=-1即x=时，函数有最小值是，故选B

考点：本题考查了三角函数的有界性

点评：熟练掌握二倍角公式及三角函数的值域是解决此类问题的关键，属基础题

4. 在平面直角坐标系中，点，若向量，则实数（    ）

A. 4 B. 3 C. 2 D.

【答案】D

【解析】

【分析】首先求出、，依题意可得，根据向量数量积的坐标表示得到方程，解得即可；

【详解】解：因为，所以、，

又，所以，解得；

故选：D

5. 已知单位向量，的夹角为，那么|＋2|＝（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】对式子先平方后开方可得结果.

【详解】由题可知：

所以

故选：B

6. 向量，， 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若为与同方向的单位向量，则（    ）

A. 1.5 B. 2 C. -4.5 D. -3

【答案】D

【解析】

【分析】首先建系，确定向量的坐标，根据向量数量积的坐标表示求解.

【详解】如图，建立平面直角坐标系，由图可知，，，

则，所以

故选：D

7. 在△中，，则（    ）

A.  B.  C.  D. 或

【答案】A

【解析】

【分析】先求出，再借助正弦定理求解即可.

【详解】由得，由正弦定理得，，解得，又，故，.

故选：A.

8. 已知，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】首先由同角三角函数的基本关系求出，再根据利用两角和的余弦公式计算可得；

【详解】解：因为，所以，又，

所以，所以，

所以

故选：C

9. 将函数y=sin2x 的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】由题意知:平移后的函数解析式为

=,选B.

10. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为的水车，一个水斗从点，出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过秒后，水斗旋转到点，设的坐标为，其纵坐标满足，，．则下列叙述错误的是（    ）

A.

B. 当，时，点到轴的距离的最大值为6

C. 当，时，函数单调递减

D. 当时，

【答案】C

【解析】

【分析】求出各变量的值得选项A正确；点到轴的距离的最大值为6，故选项B正确；函数在，不是单调递减，故选项C不正确；，故选项D正确.

【详解】对于选项A,由题意，，，，

点，代入可得，，．故选项正确；

对于选项B，，当，时，，，点到轴的距离的最大值为6，故选项B正确；

对于选项C，当，时，，，函数不是单调递减，故选项C不正确；

对于选项D，当时，，的纵坐标为6，，故选项D正确.

故选：C．

【点睛】关键点睛：解答本题的关键是判断选项C的真假，直接利用复合函数的单调性判断效率比较高. 当，时，，，函数不是单调递减. 如果直接求函数的单调递减区间就比较复杂.

二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

11. 的值是___________.

【答案】

【解析】

【分析】直接利用两角和的正弦公式计算可得；

【详解】解：

故答案为：

12. 已知，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】利用诱导公式及二倍角正切公式计算可得；

【详解】解：因为，

所以；

故答案为：

13. 在中，若，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】由余弦定理直接计算可得.

【详解】由余弦定理可得

所以.

故答案为：

14. 已知是单位向量，且，设向量，当时，___________；当时，的最小值为___________.

【答案】    ①. ##    ②.

【解析】

【分析】求出，根据夹角公式可得，将表示为关于的二次函数，求出最小值即可.

【详解】当时，，，即，

，

因为，所以；

当时，

则，

当时，的最小值为，

故答案为：，.

三､解答题（本大题共3小题，共40分）

15 已知.

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用同角三角函数即可求解；

（2）利用两角和的正切公式即可求解.

【小问1详解】

因为，所以，

所以.

【小问2详解】

因为，所以.

16. 已知函数.

（1）求的值；

（2）求函数的单调增区间；

（3）当时，求的最大值与最小值.

【答案】（1） .   

（2）   

（3）所以的最大值为，最小值为.

【解析】

【分析】（1）由三角函数中的恒等变换应用可得，将代入即可得出答案;

（2）令，可得单调增区间；

（3）由，可得，利用正弦函数的性质从而可求函数的最大值与最小值.

【小问1详解】

，

=.

【小问2详解】

由,

所以函数的单调增区间是

【小问3详解】

由，可得，，从而，

所以函数的值域为.

所以的最大值为，最小值为.

17. 在中，.

（1）求的大小；

（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选报两个作为已知，使得存在，求的面积.

条件①：；

条件②：；

条件③：.

【答案】（1）   

（2）选②③，

【解析】

【分析】（1）根据余弦定理直接可得解；

（2）计算可得不能同时选①，则只能选②③，由正弦定理可求边，再由三角形内角和可得，进而可得三角形面积；

【小问1详解】

由，根据余弦定理得，所以；

小问2详解】

若选①，由，，可知，，

所以，不成立，

所以不能选①，只能选②③，

由正弦定理可知，即，

又，所以，

，

所以.

卷（II）

一､选择题（本大题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）

18. “”是“”的（ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【详解】试题分析：因为，所以“”是“”的充分不必要条件；故选A．

考点：1．二倍角公式；2．充分条件和必要条件的判定．

19. 函数是奇函数，则等于（以下）（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，化简函数的解析式可得 结合正弦函数的性质可得若函数为奇函数，则有从而可得答案.

【详解】根据题意，

若函数为奇函数，则有即 .

故选：A．

20. 已知函数，则（    ）

A.

B. 是函数的一个对称中心

C. 任取方程的两个根，，则是的整数倍

D. 对于任意，恒成立

【答案】D

【解析】

【分析】A．先求解出的解析式，再判断是否为对称轴；

B．根据的解析式判断出对称中心的位置变化，再根据的取值确定出对称中心；

C．根据正弦型函数图象的对称中心分布特点，确定出的取值情况；

D．先求解出在上的值域，然后根据的大小关系判断不等式是否恒成立.

【详解】因为，所以，

所以既不是最大值也不是最小值，所以直线不是其图象的对称轴，故A错误；

因为图象整体向上平移了一个单位长度，所以对称中心也向上平移了一个单位长度，

且，所以点是其对称中心，故B错误；

任取方程得到的两个根，即为方程的任意两根，

它们之间相差为的整数倍，且，所以它们彼此之间相差的是的整数倍，故C错误；

当时，，此时的最小值为，最大值为，

所以对于任意的，恒成立，故D正确.

故选：D.

二､填空题（本大题共3小题，每小题4分，共12分）

21. 在中，，若，则的大小是___________.

【答案】##

【解析】

【分析】由余弦定理结合已知可的b、c关系，进而可得的形状，然后可解.

【详解】由余弦定理可得

整理得，即

由，所以为等边三角形

所以.

故答案为：

22. 已知在同一平面上的3个单位向量，它们相互之间的夹角均为，且，则实数k的取值范围是___________.

【答案】

【解析】

【分析】通过平方将向量的模转化为数量积，解不等式可得.

【详解】因为为单位向量，且相互之间的夹角均为

所以，

因为

所以

即，解得或

即实数k的取值范围是.

故答案为：

23. 已知函数，给出下列四个结论：

①的最小正周期为；

②在区间上单调递减；

③的最大值为1；

④当时，取得最大值或最小值.

以上正确结论的序号是___________.（写出所有正确的序号）

【答案】①③④

【解析】

【分析】化简,利用余弦函数的质对①②③④四个选项逐一分析即可.

【详解】.

所以周期.故①正确；

，所以不单调.故②错误；

.故③正确；

令，则，即时，取得最大值或最小值.故④正确.

故答案为：①③④

三､解答题（本大题共2小题，共26分）

24. 如图，点P是以为直径的圆O上动点，是点P关于的对称点，.

（1）当点P是弧上靠近B的三等分点时，求的值；

（2）求的最大值和最小值.

【答案】（1）3    （2）最小值，最大值2.

【解析】

【分析】（1）建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示直接计算可得；

（2）设点P坐标，将所求数量积用坐标表示，结合点P坐标满足圆的方程，消元后由二次函数的性质可得.

【小问1详解】

以O为原点，AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，

则

因为点P是弧上靠近B的三等分点，不妨设点P在x轴上方，

所以

又，所以

所以，

则

【小问2详解】

设点，则

则

所以…①

又因为点P在圆上，

所以，代入①可得

当时，有最小值，当时，有最大值2.

25. 已知集合 .对于，给出如下定义：①；②；③A与B之间的距离为.说明：的充要条件是.

（1）当时，设，求；

（2）若，且存在，使得，求证：；

（3）记.若，且，求的最大值.

【答案】（1）   

（2）见解析    （3）26

【解析】

【分析】（1）当 时，直接利用求得的值

（2）设，则由题意可得

，使得，其中，得出 与同为非负数或同为负数，由此计算 的结果，计算 的结果，从而得出结论

（3）设 中有 项为非负数， 项为负数

不妨设 时， ， 时，

利用，得到

得到

求出 ， ，即可得到 的最大值

得到，再验证得到成立的条件即可；

【小问1详解】

解：由于，

则

故

【小问2详解】

解：设

使，

使得：，

，使得 ，其中 ，

与 同为非负数或同为负数，

，故得证；

【小问3详解】

解：

设 中有 项为非负数， 项为负数

不妨设 时，

时，

所以

，整理得

又

即

对于

有 ，且

综上所得，的最大值为