人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线第2课时导学案

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线第2课时导学案，共23页。

第三章　圆锥曲线的方程
第2课时　直线与双曲线的位置关系
基础过关练
题组一　直线与双曲线的位置关系
1.(2023福建厦门双十中学期中)过P(1,2)作直线,使其与双曲线x24-y2=1有且仅有一个公共点,这样的直线有(　　)
A.1条　　B.2条　　C.3条　　D.4条
2.(2023吉林期中联考)已知直线l:y=kx与双曲线C:x29−y24=1有两个不同的交点,则k的取值可以是(　　)
A.-23　　B.33　　C.1　　D.3
3.(2022河南郑州四中期末)已知两点A(-5,0),B(5,0),若某直线上存在点P,使|PA|-|PB|=6,同时该直线上存在点Q,使|QB|-|QA|=6,则称该直线为“一箭双雕线”,给出下列直线,其中为“一箭双雕线”的是(　　)
A.y=43x　　　　B.x=2
C.y=x+1　　　　D.y=2x
4.(2023浙东北联盟期中)直线mx-y-2m=0与曲线x2+y|y|=1恰有两个交点,则实数m的取值范围为　　　　. 
5.(2023湖北部分高中期中联考)已知双曲线C的焦点在x轴上,其渐近线方程为y=±x,实轴长为2.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)过点P(0,1)的直线与双曲线C的左、右两支各交于一点,求该直线斜率的取值范围.




题组二　直线与双曲线的相交弦问题
6.(2023江苏无锡期中)过双曲线x2-y22=1的右焦点F作直线l,交双曲线于A,B两点,若|AB|=4,则这样的直线l有(　　)
A.1条　　　　B.2条
C.3条　　　　D.4条
7.(多选题)已知双曲线C:x2a2-y2=1(a>0)的左焦点为F,过点F的直线交C的左支于M,N两点,直线l:x-2y=0为C的一条渐近线,则下列说法正确的有(　　)
A.a=2
B.存在点M,使得|MF|=5-3
C.|MN|的最小值为1
D.点M到直线l':x-2y-2 022=0的距离的最小值为2 022
8.(多选题)(2022福建泉州六中期中)在平面直角坐标系Oxy中,动点P与两个定点F1(-3,0)和F2(3,0)连线的斜率之积等于13,记点P的轨迹为曲线E,直线l:y=k(x-2)与E交于A,B两点,则(　　)
A.E的方程为x23-y2=1
B.E的离心率为3
C.E的渐近线与圆(x-2)2+y2=1相切
D.满足|AB|=23的直线l有2条
9.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为3,双曲线C的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线C的右支上,且|PF1|-|PF2|=4.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)过点D(4,0)的直线l交双曲线C于A,B两点,且以AB为直径的圆过原点O,求弦AB的长.



题组三　直线与双曲线的位置关系的综合应用
10.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)与双曲线x22−y23=1有相同的焦点,且C的一条渐近线与直线x-2y+2=0平行.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线l与双曲线C的右支相切(切点不为右顶点),且l分别交双曲线C的两条渐近线于A,B两点,O为坐标原点,试判断△AOB的面积是不是定值,若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.


11.(2023广东东莞外国语学校期中)某高校的志愿者服务小组决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏,如图,A,B两个信号源相距10米,O是AB的中点,过O点的直线l与直线AB的夹角为45°,机器猫在直线l上运动,机器鼠的运动轨迹始终满足:接收到A点的信号比接收到B点的信号晚8v0秒(注:信号每秒传播v0米),在t0时刻,测得机器鼠距离O点4米.
(1)以O为原点,直线AB为x轴建立平面直角坐标系,求t0时刻机器鼠所在位置的坐标;
(2)游戏设定:当机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动时,有“被抓”的风险,如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变,那么它是否有“被抓”的风险?

能力提升练
题组一　“点差法”在双曲线中的应用
1.(2023四川成都嘉祥教育集团期中)已知倾斜角为π4的直线与双曲线C:y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)相交于A,B两点,M(1,3)是弦AB的中点,则双曲线的渐近线的斜率是(　　)
A.±3　　B.±33　　C.±2　　D.±22
2.(2023吉林长春外国语学校月考)过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点F(-3,0)的直线与双曲线交于M,N两点,且线段MN的中点坐标为(3,6),则双曲线的方程为　　　　　　. 
3.(2023浙东北联盟期中)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)经过点P(22,3),焦点F到渐近线的距离为3.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线l与双曲线C相交于A,B两点,M(4,2)是弦AB的中点,求弦AB的长度.









4.(2023河南南阳淅川月考)已知双曲线C的焦点在坐标轴上,其渐近线的方程为y=±2x,且过点P62,1.
(1)求双曲线的方程;
(2)是否存在被点B(1,1)平分的弦?如果存在,求出弦所在的直线方程;如果不存在,请说明理由.



题组二　双曲线中的面积问题
5.(2023江西临川一中期中)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为x-2y=0,焦点到渐近线的距离为1.
(1)求双曲线C的标准方程与离心率;
(2)已知斜率为-12的直线l与双曲线C交于A,B两点,且A,B两点均在x轴上方,O为坐标原点,直线OA,OB的斜率之积为-18,求△OAB的面积.



6.(2023湖南长沙期中联考)已知椭圆C1:x24+y2=1与双曲线C2:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)有共同的焦点F1,F2,且双曲线的实轴长为22.
(1)求双曲线C2的标准方程;
(2)若曲线C1与C2在第一象限的交点为P,求证:∠F1PF2=90°;
(3)过右焦点F2的直线l与双曲线C2的右支相交于A,B两点,与椭圆C1交于C,D两点.记△AOB,△COD的面积分别为S1,S2,求S1S2的最小值.



题组三　双曲线的综合应用
7.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,斜率为-3的直线l与双曲线C交于A,B两点,点M(4,-22)在双曲线C上,且|MF1|·|MF2|=24.
(1)求△MF1F2的面积;
(2)若OB+OB'=0(O为坐标原点),点N(3,1),记直线NA,NB'的斜率分别为k1,k2,问k1·k2是不是定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.



8.(2023河北衡水重点中学期中联考)设直线x=m与双曲线C:x2-y23=m(m>0)的两条渐近线分别交于A,B两点,且△OAB(O为坐标原点)的面积为3.
(1)求m的值;
(2)不与坐标轴垂直的直线l与C交于M,N两点,点M关于x轴的对称点为M',F为C的右焦点,若M',F,N三点共线,证明:直线l经过x轴上的一个定点.



9.如图,椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与一等轴双曲线相交,并且双曲线的左、右顶点分别是该椭圆的左、右焦点F1(-2,0),F2(2,0),双曲线的左、右焦点分别是椭圆的左、右顶点,设P为该双曲线上异于顶点的任意一点,直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,且直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D.
(1)分别求椭圆和双曲线的标准方程;
(2)证明:k1k2=1;
(3)是否存在常数λ,使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.

答案与分层梯度式解析
第三章　圆锥曲线的方程
第2课时　直线与双曲线的位置关系
基础过关练
1.D
2.B
3.C
6.C
7.AC
8.CD


1.D　易得双曲线x24-y2=1的渐近线方程为y=±12x,点P(1,2)的位置如图,

则过点P和双曲线有且仅有一个公共点的直线,包括两条和渐近线平行的直线l1,l4,还有两条和双曲线相切的直线l2,l3,因此过点P且与双曲线有且仅有一个公共点的直线有4条.故选D.
2.B　双曲线C:x29−y24=1的渐近线方程为y=±23x,因为直线l:y=kx与双曲线C:x29−y24=1有两个不同的交点,且直线l过原点,所以-23 3.C　∵|PA|-|PB|=6<10=|AB|,|QB|-|QA|=6<10=|AB|,
∴P,Q在以A,B为焦点的双曲线上,此双曲线的方程为x29−y216=1,且P在双曲线的右支上,Q在双曲线的左支上,即直线PQ与双曲线左、右两支各有一个交点,
易得双曲线x29−y216=1的渐近线方程为y=±43x.
对于A,直线y=43x为双曲线的渐近线,其与双曲线无交点,不符合题意,所以A错误;
对于B,当x=2时,2<3=a,直线与双曲线没有交点,不符合题意,所以B错误;
对于C,∵直线y=x+1的斜率k<43且过点(0,1),∴直线y=x+1与双曲线x29−y216=1交于两点,且两点分别位于左、右支上,符合题意,所以C正确;
对于D,∵直线y=2x的斜率k>43且过坐标原点,∴直线y=2x与双曲线x29−y216=1无交点,不符合题意,所以D错误.
故选C.
4.答案　−33,1
解析　当y≥0时,曲线x2+y|y|=1即x2+y2=1,当y<0时,曲线x2+y|y|=1即x2-y2=1.
当m=0时,直线方程为y=0,与曲线恰好有两个交点,符合题意.
当m≠0时,直线方程为y=m(x-2),直线过定点(2,0),
若m>0,则直线与双曲线x2-y2=1在x轴下方的部分恰有两个交点,双曲线的渐近线方程为y=±x,则0 若m<0,则直线与圆x2+y2=1在x轴上方的部分恰有两个交点,所以圆心(0,0)到直线的距离d 综上,m的取值范围是-33 5.解析　(1)由双曲线C的焦点在x轴上,其渐近线方程为y=±x,可设双曲线方程为x2a2−y2a2=1(a>0),
由实轴长为2,得2a=2,故a=1,
则双曲线的标准方程为x2-y2=1.
(2)因为过点P(0,1)的直线与双曲线C的左、右两支各交于一点,
所以该直线斜率一定存在,且该直线不和双曲线的渐近线平行,故设直线方程为y=kx+1,k≠±1,
联立y=kx+1,x2−y2=1,消去y,整理得(1-k2)x2-2kx-2=0,
则满足−21−k2<0,解得-1 即该直线斜率的取值范围为(-1,1).
6.C　设A(x1,y1),B(x2,y2).
当直线l的斜率不存在时,其方程为x=3,
由x=3,x2−y22=1,得y=±2,∴|AB|=|y1-y2|=4,满足题意.
当直线l的斜率存在时,设其方程为y=k(x-3),
由y=k(x−3),x2−y22=1,消去y,得(2-k2)x2+23k2x-3k2-2=0.
当2-k2≠0时,x1+x2=23k2k2−2,x1x2=3k2+2k2−2,
则|AB|=1+k2(x1+x2)2−4x1x2
=1+k223k2k2−22−12k2+8k2−2
=1+k216(k2+1)(k2−2)2=4(1+k2)|k2−2|=4,解得k=±22;
当2-k2=0时,直线l分别与双曲线的一条渐近线平行,最多有一个交点,不满足题意,故这样的直线l有3条.
7.AC　由l:x-2y=0为C的一条渐近线,可得1a=12,故a=2,又b=1,故c=a2+b2=5,故A正确;
根据双曲线的性质知|MF|>c-a=5-2,所以不存在点M,使得|MF|=5-3,故B错误;
MN为双曲线左支上的焦点弦,由双曲线的性质可知,当MN与x轴垂直时|MN|取最小值,且|MN|min=2b2a=1,故C正确;
直线l'和C的一条渐近线平行,且l'与C的左支不相交,故C上的点M到直线l'的距离没有最小值,故D错误.故选AC.
8.CD　令P(x,y),由题意得yx+3·yx−3=13,即x23-y2=1,其中x≠±3,故A错误;
易得a=3,c=2,故离心率e=233,故B错误;
易得E的渐近线方程为y=±33x,而圆(x-2)2+y2=1的圆心为(2,0),半径为1,
∴圆心(2,0)到渐近线y=±33x的距离d=2331+13=1,故E的渐近线与圆(x-2)2+y2=1相切,故C正确;
联立曲线E与直线l的方程,消去y,并整理得(1-3k2)x2+12k2x-3(4k2+1)=0,
∴Δ=12(1+k2)>0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=12k23k2−1,x1x2=3(4k2+1)3k2−1,而|AB|=1+k2(x1+x2)2−4x1x2=23,
代入并整理得|AB|=23(1+k2)|3k2−1|=23,即有k2=1或k2=0,又当k=0时,直线l:y=0,它与双曲线x23-y2=1,x≠±3无交点,故k2=1,故k=±1,故D正确.
故选CD.
易错点睛　应用斜率公式时要保证分母不为0,即斜率存在,从而确定曲线E的轨迹中的限制条件,求得的k值要考虑此限制条件.
9.解析　(1)由题意及双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a=4,解得a=2.
因为双曲线C的离心率为3,所以ca=c2=3,解得c=23.因为c2=a2+b2,所以b2=c2-a2=8.
故双曲线C的标准方程为x24−y28=1.
(2)当直线l的斜率为0时,A,B两点为双曲线的顶点,此时以AB为直径的圆不过原点O,舍去.
当直线l的斜率不为0时,设直线l:x=my+4,A(x1,y1),B(x2,y2),
联立x=my+4,x24−y28=1,消去x,整理得(2m2-1)y2+16my+24=0,则y1+y2=-16m2m2−1,y1y2=242m2−1,
故x1x2=(my1+4)(my2+4)=m2y1y2+4m(y1+y2)+16.
因为以AB为直径的圆过原点O,所以OA⊥OB,
所以OA·OB=x1x2+y1y2=0,
所以(m2+1)y1y2+4m(y1+y2)+16=0,
即(m2+1)·242m2−1+4m·−16m2m2−1+16=0,
整理得8-8m2=0,即m2=1,
则|y1-y2|=(y1+y2)2−4y1y2=162−4×24=410,
故|AB|=m2+1|y1−y2|=2×410=85,即弦AB的长为85.
10.解析　(1)设双曲线C的焦距为2c(c>0),由题意可得c=2+3=5,c2=a2+b2,ba=12,则a=2,b=1,c=5,
则双曲线C的方程为x24-y2=1.
(2)△AOB的面积是定值.由于直线l与双曲线C的右支相切(切点不为右顶点),所以直线l的斜率存在,
设直线l的方程为y=kx+m,
联立y=kx+m,x24−y2=1,消去y并整理得(4k2-1)x2+8kmx+4m2+4=0,
则Δ=64k2m2-4(4k2-1)(4m2+4)=0,
可得1-4k2=-m2.
设l与x轴的交点为D,则D−mk,0,
则S△OAB=S△AOD+S△BOD=12|OD|×|yA-yB|
=12−mk·|k|·|xA−xB|=|−m2·|xA-xB|.
易得双曲线的渐近线方程为y=±12x,
联立y=kx+m,y=12x,解得x=2m1−2k,y=m1−2k,
联立y=kx+m,y=−12x,解得x=−2m2k+1,y=m2k+1,
则S△AOB=|−m2·|xA−xB|=|−m2·2m1−2k+2m1+2k=|−m2·4m1−4k2=|−m2·4m−m2=2,为定值.
故△AOB的面积是定值,该定值为2.
11.解析　(1)设机器鼠所在位置为点P,由题意可得|PA|v0−|PB|v0=8v0,即|PA|-|PB|=8,又8<10=|AB|,
结合双曲线的定义可得P的轨迹为双曲线的右支,且2c=10,2a=8,
故c=5,a=4,b=c2−a2=3,
则P的轨迹方程为x216−y29=1(x≥4),
在t0时刻,|OP|=4,即P(4,0),可得机器鼠所在位置的坐标为(4,0).
(2)设与曲线x216−y29=1(x≥4)相切的直线l的平行线l1的方程为y=x+m,切点为(x1,y1).
联立直线l1的方程与双曲线方程x216−y29=1(x≥4),消去y,可得7x2+32mx+16m2+144=0,
即有Δ=(32m)2-28(16m2+144)=0,且2x1=-32m7>0,可得m=-7,
即l1:y=x-7与双曲线的右支相切,易知切点即为双曲线的右支上距离l最近的点,
此时l与l1的距离d=|−7|2=142,即机器鼠到直线l的最小距离为142>1.5,
故如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变,那么它没有“被抓”的风险.
能力提升练
1.A　设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x22=1,y1+y22=3,y1−y2x1−x2=tan π4=1,
由A,B在双曲线上,可得y12a2−x12b2=1①,y22a2−x22b2=1②,①-②,可得(y1−y2)(y1+y2)a2−(x1−x2)(x1+x2)b2=0,
则6a2−2b2=0,即a2=3b2,则a=3b,
则双曲线C:y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)的渐近线的斜率为±ab=±3.故选A.
2.答案　x23−y26=1
解析　设M(x1,y1),N(x2,y2),则x12a2−y12b2=1,x22a2−y22b2=1,两式相减可得x12−x22a2=y12−y22b2,所以(x1−x2)(x1+x2)a2=(y1−y2)(y1+y2)b2,
因为点(3,6)是线段MN的中点,所以x1+x2=6,y1+y2=12,
所以kMN=y1−y2x1−x2=x1+x2y1+y2×b2a2=612×b2a2=b22a2,又因为kMN=6−03−(−3)=1,所以b22a2=1,即b2=2a2,
因为c2=a2+b2=3a2=9,所以a2=3,b2=6,所以双曲线的方程是x23−y26=1.
规律总结　
　　　　　 已知AB是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条弦,线段AB的中点为M(x0,y0),则直线AB的斜率为b2x0a2y0.
3.解析　(1)由双曲线的对称性,不妨设焦点F(c,0),则其到渐近线y=bax的距离d=bca1+ba2=b=3,
又因为双曲线C经过点P(22,3),
所以8a2−33=1,解得a=2(负值舍去),
所以双曲线C的方程为x24−y23=1.
(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2).
因为M(4,2)是弦AB的中点,所以x1+x2=8,y1+y2=4.
由于点A,B均在双曲线上,故x124−y123=1,x224−y223=1,
两式相减,得(x1+x2)(x1−x2)4=(y1+y2)(y1−y2)3,所以y1−y2x1−x2=3(x1+x2)4(y1+y2)=32,
从而直线l的方程为y-2=32(x-4),即y=32x-4.
联立y=32x−4,3x2−4y2=12,消去y,得3x2-24x+38=0,所以x1+x2=8,x1x2=383,
从而|AB|=1+322|x1−x2|=1+322·(x1+x2)2−4x1x2=3903,即弦AB的长度为3903.
4.解析　(1)因为双曲线C的焦点在坐标轴上,其渐近线的方程为y=±2x,所以可设双曲线的方程为x2-y22=λ(λ≠0),将62,1代入此方程可解得λ=1,故所求方程为x2-y22=1.
(2)解法一:设存在被点B(1,1)平分的弦,其所在的直线方程为y=k(x-1)+1,与双曲线方程x2-y22=1联立,消去y,得(k2-2)x2-2k(k-1)x+k2-2k+3=0,∴Δ=[-2k(k-1)]2-4(k2-2)(k2-2k+3)>0,解得k<32,
由根与系数的关系得x1+x2=2k(k−1)k2−2.∵B(1,1)是弦的中点,∴k(k−1)k2−2=1,∴k=2,又2>32,
故不存在被点B(1,1)平分的弦.
解法二:设存在被点B平分的弦MN,M(x1,y1),N(x2,y2).
则x1+x2=2,y1+y2=2,且x12−y122=1,①x22−y222=1.②
①-②得(x1+x2)(x1-x2)-12(y1+y2)(y1-y2)=0,
∴kMN=y1−y2x1−x2=2,故直线MN:y-1=2(x-1).
由y−1=2(x−1),x2−y22=1,消去y得,2x2-4x+3=0,
其中Δ=-8<0,这说明直线MN与双曲线不相交,故不存在被点B平分的弦.
规律总结　双曲线中的中点弦问题的解题策略
(1)可以将直线方程与双曲线方程联立,消元后,用判别式和中点坐标公式求解;
(2)可以用点差法和中点坐标公式求解,此时要注意检验.
5.解析　(1)由题意知焦点(c,0)到渐近线x-2y=0的距离为c3=1,则c=3,
因为一条渐近线方程为x-2y=0,所以ba=22,
又a2+b2=3,所以a=2,b=1,
所以双曲线C的标准方程为x22-y2=1,离心率e=ca=32=62.
(2)由题可设直线l:y=-12x+t(t>0),A(x1,y1),B(x2,y2),y1>0,y2>0.
联立y=−12x+t,x22−y2=1,消去y,得x2+4tx-4(t2+1)=0,则Δ=16t2+16(t2+1)>0,
所以x1+x2=-4t,x1x2=-4(t2+1),
由kOA·kOB=y1x1·y2x2=−12x1+t−12x2+tx1x2=14+−t2(x1+x2)+t2x1x2=14+−t2(−4t)+t2−4(t2+1)=−18,
解得t=1或t=-1(舍去),
所以x1+x2=-4,x1x2=-8,
故直线l:y=-12x+1,
令x=0,得y=1,记D(0,1).
则|x1-x2|=(x1+x2)2−4x1x2=16+32=43,
所以△OAB的面积S=12|OD|(|x1|+|x2|)=12|OD|·|x1−x2|=12×1×43=23.
6.解析　(1)因为椭圆C1:x24+y2=1与双曲线C2:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)有共同的焦点F1,F2,且双曲线的实轴长为22,
所以a2+b2=3,2a=22,
解得a=2,b=1,
故双曲线C2的标准方程为x22-y2=1.
(2)证明:联立x24+y2=1,x22−y2=1,解得x=±263,y=±33,所以点P263,33,不妨设F1,F2分别为左、右焦点,则F1(-3,0),F2(3,0),
F1P=26+333,33,F2P=26−333,33,则F1P·F2P=24−279+13=0,∴∠F1PF2=90°.
(3)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).当直线l的斜率不存在时,|AB|=2,|CD|=1,此时S1S2=|AB||CD|=2;
当直线l的斜率存在时,设方程为y=k(x-3),与椭圆方程联立,消去y,得(1+4k2)x2-83k2x+12k2-4=0,
则x3+x4=83k21+4k2,x3x4=12k2−41+4k2,
由弦长公式得|CD|=1+k2(x3+x4)2−4x3x4=4(1+k2)1+4k2.把直线方程y=k(x-3)与双曲线方程联立,消去y,得(1-2k2)x2+43k2x-6k2-2=0,
则x1+x2=−43k21−2k2,x1x2=-6k2+21−2k2,
由弦长公式得|AB|=1+k2(x1+x2)2−4x1x2=22(1+k2)|2k2−1|.因为直线l与双曲线C2的右支相交于A,B两点,所以1−2k2≠0,Δ>0,−43k21−2k2>0,−6k2−21−2k2>0,解得k2>12,故|AB|=22(1+k2)2k2−1.
设原点到直线l的距离为d,
∴S1S2=12|AB|d12|CD|d=|AB||CD|=22(1+4k2)4(2k2−1)=22×2+32k2−1∈(2,+∞).
综上可知,S1S2的最小值为2.
7.解析　(1)依题意可知,F1(-c,0),F2(c,0),则|MF1|=(4+c)2+(−22−0)2=(4+c)2+8,
|MF2|=(4−c)2+(−22−0)2=(4−c)2+8,
又|MF1|·|MF2|=24,所以(4+c)2+8·(4−c)2+8=24,解得c2=16(c2=0舍去),
又c>0,所以c=4,则|F1F2|=8,
所以△MF1F2的面积S=12×8×22=82.
(2)由(1)及题意可得16a2−8b2=1,a2+b2=16,解得a2=b2=8.
所以双曲线C的方程为x28−y28=1.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则B'(-x2,-y2),则k1=y1−1x1−3,k2=−y2−1−x2−3.
设直线l的方程为y=-3x+m,与双曲线C的方程联立,消去y得8x2-6mx+m2+8=0,
由Δ=(-6m)2-32(m2+8)>0,得|m|>8.
由一元二次方程根与系数的关系得x1+x2=3m4,x1x2=m2+88,
所以y1y2=(-3x1+m)(-3x2+m)=9x1x2-3m(x1+x2)+m2=-m28+9.
则k1·k2=y1−1x1−3·−y2−1−x2−3=y1y2+y1−y2−1x1x2+3x1−3x2−9=−m28+8−3(x1−x2)m28−8+3(x1−x2)=-1,故k1·k2为定值,该定值为-1.
8.解析　(1)双曲线C:x2-y23=m(m>0)的渐近线方程为y=±3x,
不妨设点A在x轴上方,则A,B两点的坐标分别为(m,3m)和(m,-3m),
所以S△OAB=12m×23m=3,所以m=1.
(2)证明:由(1)知双曲线C:x2-y23=1,则F的坐标为(2,0),
设l与x轴交于点(p,0),l的斜率为k(k≠0),则l的方程为y=k(x-p)(k≠0),
设M(x1,y1),N(x2,y2),则M'(x1,-y1).
联立y=k(x−p),x2−y23=1,消去y,得(3-k2)x2+2pk2x-(k2p2+3)=0,
由题可知3-k2≠0,所以x1+x2=2pk2k2−3,x1x2=k2p2+3k2−3.
因为M',F,N三点共线,所以kM'F=kFN,
即−y1x1−2=y2x2−2,即-y1(x2-2)=y2(x1-2),
所以-k(x1-p)(x2-2)=k(x2-p)(x1-2).
因为k≠0,所以(x1-p)(x2-2)+(x2-p)(x1-2)=0,
所以2x1x2-(p+2)(x1+x2)+4p=0,
所以2·k2p2+3k2−3-(p+2)·2pk2k2−3+4p=0,
所以2k2p2+6-2p2k2-4pk2+4pk2-12p=0,
解得p=12,所以直线l经过x轴上的定点12,0.
9.解析　(1)设双曲线的标准方程为x2a12−y2b12=1(a1>0,b1>0).由题意知,a1=b1=2,故双曲线的标准方程为x24−y24=1.在椭圆中,c=2,a=22,故b=a2−c2=2,
故椭圆的标准方程为x28+y24=1.
(2)证明:设点P(x0,y0),则k1=y0x0+2,k2=y0x0−2,则k1k2=y0x0+2·y0x0−2=y02x02−4.
由点P在双曲线上,可知x024−y024=1,即有x02−4=y02,从而y02x02−4=1,故k1k2=1.
(3)假设存在常数λ,使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立.
由(2)知k1k2=1,所以可设直线AB的方程为y=k(x+2),直线CD的方程为y=1k(x-2).
将直线AB的方程y=k(x+2)与椭圆方程联立,消去y,整理得(1+2k2)x2+8k2x+8(k2-1)=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=-8k21+2k2,x1x2=8(k2−1)1+2k2,
因此|AB|=(1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2]=42(1+k2)1+2k2.
同理可得|CD|=42(k2+1)2+k2.
因此由|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|知λ=1|AB|+1|CD|=1+2k242(1+k2)+2+k242(k2+1)=3+3k242(k2+1)=328.
所以存在常数λ=328,使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立.