2024版高中同步新教材选择性必修第一册（人教A版）数学 第一章 空间向量与立体几何 专题强化练2 空间向量在立体几何中的应用

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专题强化练2　空间向量在立体几何中的应用1.(2022黑龙江八校期中联考)在如图所示的三棱锥P-ABC中,D是棱PB的中点,PA⊥底面ABC,PA=BC=2,AB=4,AB⊥BC,则异面直线PC,AD所成角的正弦值为              (　　)A.2.(多选题)(2021辽宁六校期中联考)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1D1,C1D1的中点,则下列结论正确的是              (　　)A.A1C1∥平面CEFB.B1D⊥平面CEFC.D.点D与点B1到平面CEF的距离相等3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动,则直线D1E与A1D所成角的大小是　　　　,若D1E⊥EC,则AE=　　　　. 4.(2023黑龙江哈三中期中)在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,∠BAD=90°,PA=AB=BC=AD=1,BC∥AD,已知Q是四边形ABCD内一点(包含边界),且二面角Q-PD-A的平面角的大小为,则动点Q的轨迹的长度为　　　　. 5.(2023湖南长沙名校联考)如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,AC=16,PA=PC=10,O为AC中点,H为△PBC内的动点(含边界).(1)求点O到平面PBC的距离;(2)若OH∥平面PAB,求直线PH与平面ABC所成角的正弦值的取值范围.     答案与分层梯度式解析专题强化练2　空间向量在立体几何中的应用1.D　因为PA⊥平面ABC,AB,BC⊂平面ABC,所以PA⊥AB,PA⊥BC.过点A作AE∥CB,因为CB⊥AB,所以AP,AB,AE两两互相垂直.如图,以A为坐标原点,AB,AE,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),P(0,0,2),B(4,0,0),C(4,-2,0).因为D为PB的中点,所以D(2,0,1).故=(-4,2,2),=(2,0,1).设异面直线PC,AD所成的角为θ,则cos θ=|cos<,所以异面直线PC,AD所成角的正弦值为.故选D.2.AC　∵E,F分别是A1D1,C1D1的中点,∴EF∥A1C1,又EF⊂平面CEF,A1C1⊄平面CEF,∴A1C1∥平面CEF,故A中结论正确.建立空间直角坐标系,如图所示,设正方体的棱长为2,则C(0,2,0),E(1,0,2),F(0,1,2),B1(2,2,2),D(0,0,0),∴=(2,2,2),=(-1,1,0),=(0,-1,2).设平面CEF的法向量为n=(x,y,z),∴令x=2,则y=2,z=1,∴n=(2,2,1).∵与n不平行,∴B1D不垂直于平面CEF,故B中结论错误.,故C中结论正确.由上面所建坐标系可知=(0,2,0),设点D到平面CEF的距离为d1,则d1=;易知=(-2,0,-2),设点B1到平面CEF的距离为d2,则d2==2,故D中结论错误.故选AC.3.答案　90°;1解析　以D为坐标原点,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),D1(0,0,1),A1(1,0,1),C(0,2,0).设E(1,m,0),0≤m≤2,则=(1,m,-1),=(-1,0,-1),=(-1,2-m,0).∵=-1+0+1=0,∴直线D1E与A1D所成角的大小是90°.若D1E⊥EC,则=-1+m(2-m)+0=0,解得m=1(二重根),∴AE=1.4.答案　解析　因为PA⊥平面ABCD,AB,AD⊂平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD,又因为∠BAD=90°,所以PA,AB,AD两两互相垂直,所以以A为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图,因为PA=AB=BC=AD=1,所以P(0,0,1),D(0,2,0),A(0,0,0),B(1,0,0),由题可设Q(m,n,0),其中则=(0,2,-1),=(m,n,-1).易知平面PDA的一个法向量为(1,0,0),记m=(1,0,0),设平面QPD的法向量为n=(x,y,z),则若m≠0,令y=1,则z=2,x=,所以n=,故cos<m,n>=,由m>0,m+n≤2,可得2-n>0,故cos<m,n>=>0,设二面角Q-PD-A的平面角为θ,则θ=,则cos θ=cos<m,n>=,故m+n=2;若m=0,则n=2,满足m+n=2,故动点Q的轨迹方程为x+y=2,其中x+y=2与x轴,y轴的交点分别为E,F,令x=0得y=2,故F(0,2),令y=0得x=,故E,故动点Q的轨迹的长度即为线段EF的长,由勾股定理得EF=,所以动点Q的轨迹的长度为.5.解析　(1)在三棱锥P-ABC中,连接OB,OP,因为△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,PA=PC,O为AC中点,所以OP⊥OC,OB⊥OC,又平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,OP⊂平面PAC,所以OP⊥平面ABC,又OB⊂平面ABC,所以OP⊥OB,所以OB,OC,OP两两互相垂直.易得V三棱锥O-PBC=V三棱锥P-OBC=·PO·S△OBC=×××=64.易得PB==10,故PB=PC,故S△PBC=×8×,所以点O到平面PBC的距离d=.(2)由(1)知OB,OC,OP两两互相垂直.以O为坐标原点,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz,如图,则O(0,0,0),P(0,0,6),A(0,-8,0),C(0,8,0),B(8,0,0),设H(x,y,z),则=(x,y,z),=(x,y,z-6),=(0,-8,-6),=(8,0,-6),=(0,8,-6),设平面PAB的法向量为n1=(x1,y1,z1),则令y1=-3,则x1=3,z1=4,故n1=(3,-3,4).同理可求得平面PBC的一个法向量为(3,3,4),记n2=(3,3,4).因为OH∥平面PAB,PH⊂平面PBC,所以所以H,所以.易得所以0≤x≤4.易知(0,0,1)是平面ABC的一个法向量,记n3=(0,0,1).设直线PH与平面ABC所成的角为θ,则sin θ=|cos<n3,,0≤x≤4,令t=+1,则t∈[1,2],∈,所以sin θ=,令f +1,∈,则f ∈,所以sin θ∈,所以直线PH与平面ABC所成角的正弦值的取值范围为.