2022北京五十中高一（上）期中数学（教师版）

这是一份2022北京五十中高一（上）期中数学（教师版），共13页。试卷主要包含了本试卷分为试题、答题卡两部分，认真填写所在班级、姓名、学号， 已知函数，则， 若函数为偶函数，则a=， 函数，的值域等内容，欢迎下载使用。

命题人：杜宝霞 审核人：席立红
考生须知
1.本试卷分为试题、答题卡两部分.满分150分.考试时间120分钟.
2.认真填写所在班级、姓名、学号.
3.请用2B铅笔填涂机读卡，用黑色签字笔在二卷上按要求作答.
一、选择题.（每题5分，共50分）
1. 若，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 命题的否定是：，使得.则命题为（ ）
A. ，使得B. ，使得
C. ，使得D. ，使得
3. 下列四个图象中，是函数图象的是
A. ①B. ①③④C. ①②③D. ③④
4. 已知函数，则（ ）
A 8B. 16C. D. 8或
5. 若函数为偶函数，则a=
A. B. C. D.
6. 函数，的值域（ ）
A. B. C. D.
7. 若时，不等式恒成立，则实数的最小值为（ ）
A. 2B. 3C. 6D. 不存在最小值
8. “函数在区间上单调递增”的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
9. 下列函数中，为偶函数且有最小值的是（ ）
A. B.
C D.
10. 已知函数是上的增函数，函数是上的减函数，则下列函数一定是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每题5分，共30分）
11. 函数的定义域为__________．
12. 若集合满足，则集合______.（写出一个集合即可）
13. 已知幂函数的图象过点，则幂函数的解析式_______．
14. 已知实数满足不等式，则的取值范围为______
15. 某公司购买一批机器投入生产，根据市场分析每台机器生产的产品可获得的年平均利润（万元）与机器运转时间（年数）的关系为.则每台机器的年平均利润的最大值为______万元.
16. 已知函数,
则（ⅰ）= ；
（ⅱ）给出下列三个命题：
①函数是偶函数；
②存在，使得以点为顶点的三角形是等腰直角三角形；
③存在，使得以点为顶点的四边形为菱形.
其中，所有真命题的序号是 .
三、解答题（共70分）
17. 设全集，集合，.
（1）当时，求，；
（2）若，求的取值范围.
18. 已知函数是定义在上的奇函数,且当时,
（1）当时,求函数的解析式;
（2）用函数的单调性定义证明:函数在上是增函数.
19. 已知函数和，其中.若函数与的图象的一个公共点恰好在轴上.
（1）求证：；
（2）求不等式解集.
20. 有一张隧道横截面设计图（如图所示），上部为半圆形，下部为矩形，横截面周长限定为10米，设半圆的半径为米.
（1）求的取值范围；
（2）求此横截面面积与的函数关系式；
（3）当半圆半径为多少米时，此横截面面积最大？试求出此最大值.
21. 已知函数，定义
（1）写出函数的解析式；
（2）若，求实数的值；
（3）已知函数，集合，集合，，若函数是偶函数，写出所有满足条件的解析式.
参考答案
一、选择题.（每题5分，共50分）
1. 【答案】C
【解析】
【分析】利用补集的定义可求得结果.
【详解】因为，，则.
故选：C.
2. 【答案】D
【解析】
【分析】根据全称命题的否定是特称命题直接得结果.
【详解】根据全称命题的否定是特称命题得
命题为，使得.
故选：D.
3. 【答案】B
【解析】
【详解】由函数的定义知，对于定义域中的每一个自变量，只能有唯一的与之对应，故②不是函数，①③④是函数.
故选B.
点睛：函数定义中要求：
1.两个函数都是非空集合；
2.A中的每个元素在B中都有与之对应的元素；
3.对应形式为“一对一”或“多对一”，但不能是“一对多”（一个 对应多个 ；
只有满足了这几个特点的对应关系才是函数关系.
本题解题的关键是观察：图象对应的是否是函数；定义域与值域是否是对的.
4. 【答案】A
【解析】
【分析】先计算，再计算的值.
【详解】,.
故选：A
5. 【答案】C
【解析】
【详解】因为函数y＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则f(x)=f(-x),那么可知a=1,则a等于1,选C
6. 【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的性质即可得解.
【详解】解：，
则，
所以函数的值域为.
故选：D.
7. 【答案】C
【解析】
【分析】时，不等式恒成立，即，令，求出函数的最大值即可得解.
【详解】解：时，不等式恒成立，
即，
令，
故，
所以，即实数的最小值为.
故选：C.
8. 【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数性质可构造不等式求得，根据推出关系依次判断各个选项即可.
【详解】若在上单调递增，则，解得：；
对于A，是原命题的充要条件，A错误；
对于B，，，是原命题的充分不必要条件，B错误；
对于C，，，是原命题的必要不充分条件，C正确；
对于D，，，是原命题的充分不必要条件，D错误.
故选：C.
9. 【答案】D
【解析】
分析】根据奇偶性定义可判断出ABC错误；根据奇偶性定义和基本不等式可知D正确.
【详解】对于A，定义域为，，为奇函数，A错误；
对于B，；当时，，，为奇函数，B错误；
对于C，的定义域为，为非奇非偶函数，C错误；
对于D，定义域为，，为偶函数；
令，（当且仅当时取等号），
的最小值为，D正确.
故选：D.
10. 【答案】B
【解析】
【分析】根据函数单调性性质逐一判断即可.
【详解】解：因为函数是上的增函数，函数是上的减函数，
所以函数是上的增函数，
函数是上的减函数，
函数，的单调性无法判断.
故选：B.
二、填空题（每题5分，共30分）
11. 【答案】
【解析】
【分析】直接解不等式即可.
【详解】 ，所以定义域为
故答案为：
12. 【答案】（答案不唯一）.
【解析】
【分析】根据题意可知集合中至少含元素1和2，且为集合的子集，从而可求出集合.
【详解】因为集合满足，
所以，或，或，或，
故答案为：（答案不唯一）.
13. 【答案】
【解析】
【详解】试题分析：设
考点：幂函数
14. 【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解法，即可求解.
【详解】不等式等价于，即，
对应方程的根是和，
所以不等式的解集是.
故答案为：
15. 【答案】
【解析】
【分析】利用基本不等式可直接求得结果.
【详解】时，（当且仅当时取等号），
当时，
故答案为：.
16. 【答案】【答题空1】
【答题空2】①③
【解析】
【分析】利用分段函数求值即得；对于①，根据奇偶性的定义可判断，对于②，可以分类判定三角形的形状进行判断，而命题③，可以构造成立的例子．
【详解】（ⅰ）因为 ，所以是的真子集，
所以；
（ⅱ）对于①：当时，，；
当时，，；
所以恒成立，所以函数是偶函数，故①正确；
对于②：当都是有理数时，三点纵坐标都是，三点共线，不构成三角形；
同理当都是无理数时，也不合题意；
所以只有可能两个有理数，一个为无理数，或两个无理数，一个有理数，
对于两个为有理数，一个为无理数的情况，
设是有理数，是无理数，对应三点，
显然都不可能为直角，
故要为等腰直角三角形，必须为直角，且,
所以关于直线对称，于是，
此式等号左边为有理数，右边为无理数，不可能成立；
对于两个为无理数，一个为有理数的情况，
设是无理数，是有理数，对应三点,
同样都不可能为直角，
故要为等腰直角三角形，必须为直角，且,
所以关于直线对称，
如图所示：
于是，，
但都是有理数，而是无理数，
这也不可能成立；
综上，②错误；
对于③：令,
则对应四点坐标为,
如图所示：
，四边形为菱形，故③正确.
综上，所有真命题的序号是①③.
故答案为：；①③.
三、解答题（共70分）
17. 【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由交集和并集定义可直接求得结果；
（2）由补集定义可得，由包含关系可构造不等关系求得的范围.
【小问1详解】
当时，，又，
，.
【小问2详解】
由题意知：；
，，，即的取值范围为.
18. 【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】(1)设,则,将代入,再根据函数是定义在上的奇函数即可求出结果.
(2)设为区间上的任意实数,且,利用作差法和分解因式法比较与的大小即可证明.
【小问1详解】
设,则,
,
函数是定义在上的奇函数,
,
即当时,.
【小问2详解】
设为区间上的任意实数,且,
,
,
,
,
函数在上是增函数.
19. 【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）先求出与轴的交点，然后根据题意可知此点在的图象上，代入化简可得结论；
（2）由（1）可得，然后利用一元二次不等式的解法可求得结果.
【小问1详解】
证明：令，得，
所以与轴交于点，
因为函数与的图象的一个公共点恰好在轴上，
所以点在图象上，
所以，
因为，所以，
所以；
【小问2详解】
由（1）可得，
因为，所以，
，解得，
所以不等式的解集为.
20. 【答案】（1）
（2），
（3）半圆半径为米时，横截面面积最大值为平方米
【解析】
【分析】（1）（2）由题意列式求解，
（3）由二次函数性质求解，
【小问1详解】
由题意得，且，得
即的取值范围是，
【小问2详解】
半圆的半径为米，则矩形的长为，宽为，
，
【小问3详解】
由二次函数性质知当时，有最大值
即半圆半径为米时，横截面面积最大值为平方米
21. 【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
分析】（1）由新定义，讨论，解不等式即可得到所求函数；
（2）讨论，由求得，运用恒成立的思想，即可得到的值；
（3）将问题转化为不等式的解集关于原点对称，即解集的形式为，利用二次函数的性质解答即可.
【小问1详解】
定义，
当，即时，；
当，即时，；
当，即时，；
可得；
【小问2详解】
当时，，则，
即有恒成立，即在上恒成立，
即，得；
当时，，则，
即有，解得或；
当时，，则，
即有恒成立，当必成立，
则当时，有或在上恒成立，
即或，解得或；
综上实数的值为
【小问3详解】
若为偶函数，
则不等式的解集关于原点对称，即解集的形式为，
令，
则，解得
故
【点睛】关键点点睛：第一问的关键是通过分类讨论确定代入分段函数的哪段进行计算；第二问的关键是将恒成立问题转化为最值问题；第三问的关键是将问题转化为不等式有关于原点对称的解集.