2022-2023学年四川省达州市高二（上）期末数学试卷（文科）（含解析）

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2022-2023学年四川省达州市高二（上）期末数学试卷（文科）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  小明家种植的芝麻晾晒后，黑芝麻和白芝麻均匀地混在一起，从中随机取出一部分，数得粒芝麻内含有粒白芝麻，则小明家的芝麻含有白芝麻约为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  关于线性回归的描述，下列说法不正确的是(    )

A. 回归直线方程中变量，成正相关关系
B. 相关系数越接近，相关程度越强
C. 回归直线方程中变量，成正相关关系
D. 残差平方和越小，拟合效果越好

3.  设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，下列说法正确的是(    )

A. 如果，那么 B. 如果，那么
C. 如果，那么 D. 如果，那么

4.  执行如图所示的程序框图．如果输入的为，输出的为，那么(    )
 

A.  B.  C.  D.

5.  双曲线的渐近线方程为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  为了了解客流量单位：人对纯收入单位：元的影响，对某面馆天的客流量和纯收入统计如表．已知和具有线性相关关系，且回归直线方程为参考公式：，那么的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  若数据，，，的方差为，则数据，，，的标准差为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  长方体中，，，，，为中点，则下列选项中与垂直的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  直线上两点，到直线的距离分别等于它们到的距离，则(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图，所有棱长都等于的三棱柱的所有顶点都在球上，球的体积为(    )

A.
B.
C.
D.

12.  已知动点在直线：上，以点和为焦点的椭圆经过点，当椭圆的长轴长最小时，点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  抛物线的焦点也是双曲线的焦点，则        ．

14.  如图是某核酸采集点次核酸采集人数的茎叶图，则这次核酸采集人数的方差为______．

15.  已知是双曲线的一个焦点，的离心率为，，是上关于原点对称的两点，则双曲线的标准方程为______．

16.  已知，实数，，，满足，，则的取值范围为        ．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知圆过原点，圆心在射线上，圆心到轴距离为．
求圆的标准方程；
直线与圆交于，两点，求．

18.  本小题分
在某校年春季的高一学生期末体育成绩中随机抽取个，并将这些成绩共分成五组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图在的成绩为不达标，在的成绩为达标．
根据样本频率分布直方图求的值，并估计样本的众数和中位数中位数精确到个位；
已知名学生中有名女生，其中女生体育测试成绩不达标的有人，那么男生体育测试成绩达标的有多少人？男生体育测试成绩不达标的有多少人？

19.  本小题分
已知等差数列中，，，的前项和为．
求和；
，，求．

20.  本小题分
如图，在四棱锥中，面，，，点，分别为，的中点，．
证明：直线平面；
求点到平面的距离．

21.  本小题分
已知过圆：上一点的直线与该圆另一交点为，为原点，记，．
当时，求的值和的方程；
当时，，求的单调递增区间．

22.  本小题分
古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长、短半轴长的乘积已知椭圆的中心为原点，焦点，均在轴上，离心率等于，面积为．
求的标准方程；
若，过点的直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据题意，设芝麻中含有白芝麻约为，
又由从中随机取出一部分，数得粒芝麻内含有粒白芝麻，则有，
解可得：，即小明家的芝麻含有白芝麻约为，
故选：．
根据题意，设芝麻中含有白芝麻约为，分析可得，解可得答案．
本题考查概率的计算，注意模拟方法估算概率的方法，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：对于，因为回归直线方程中的，所以变量，成负相关关系，故选项A错误；
对于，因为相关系数的绝对值越接近，相关度越强，所以当相关系数越接近，相关程度越强，故选项B正确；
对于，因为回归直线方程中的，所以变量，成正相关关系，故选项C正确；
对于，因为残差平方和越小，拟合效果越好，所以选项D正确，
综上：说法不正确的是，
故选：．
根据线性回归的性质可知：的正负决定正负相关，可判断选项A，；根据相关系数的绝对值越接近，相关性越强，可判断；残差平方和越小，拟合效果越好，可判断选项D．
本题主要考查了线性回归方程的应用，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，由面面垂直的判断方法，，，若，那么，A正确；
对于，如果，与可能平行或斜交，B错误；
对于，如果，则、可能相交，C错误；
对于，如果，，可能异面，D错误；
故选：．
根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
本题直线与平面的位置关系，涉及直线与平面垂直的证明，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意可得，，
当时，满足判断框，即．
故选：．
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：双曲线的渐近线方程：．
故选：．
直接利用双曲线方程求解渐近线方程即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
根据线性回归方程必过样本的中心，
，
解得．
故选：．
计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，列出方程，求解即可得到结论．
本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点，这是线性回归方程中最常考的知识点，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：数据，，，的方差为，
则数据，，，的方差，标准差为．
故选：．
根据已知条件，结合方差的线性公式，以及标准差的定义，即可求解．
本题主要考查方差的线性公式，以及标准差的定义，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意，该几何体为圆锥，
圆锥的底面半径为，高为，
则该几何体的侧面积是．
故选：．
根据三视图判断出立体图形并根据圆锥侧面积公式即可求解．
本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：以为原点，以所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，，，，
因为，为中点，
所以，
所以，
对于，，则，所以与不垂直，所以A错误；
对于，，则，所以与不垂直，所以B错误；
对于，，则，所以与不垂直，所以C错误；
对于，，则，所以，所以D正确．
故选：．
建立空间直角坐标系，然后利用空间向量逐个分析判断即可．
本题主要考查空间直线与直线垂直的判断，考查空间向量法的应用，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，两点在直线，
则可设，，
，两点到直线的距离分别为，，
，，
则，
同理可得，，
由题意可知，，，解得，或，，
故．
故选：．
根据已知条件，设出，，再结合两点之间的距离公式，即可求解．
本题主要考查两点间的距离公式，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图，三棱柱外接球的球心在上下底面三角形中心连线的中点处，
设，分别是等边三角形和的中心，
则点是线段的中点，即外接球的球心，
又，，
球的体积．
故选：．
首先判断几何体外接球的球心位置，再根据几何关系求外接球的半径，即可计算球的体积．
本题考查三棱柱的外接球问题，球的体积公式，属基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，设点关于直线：的对称点为，
则，解得，，
，，
当点，，三点共线时，等号成立，
此时长轴取得最小值，点为直线与：的交点，
，直线，
联立，解得：，即．
故选：．
首先作出点关于直线的对称点，利用对称，转化，再利用数形结合，转化为三点共线时，求取得最小值时的点的坐标．
本题考查直线与椭圆的位置关系，点关于直线的对称问题，方程思想，数形结合思想，化归转化思想，属中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：抛物线方程为，焦点坐标为，
又抛物线的焦点也是双曲线的焦点，
，，
故答案为：．
先利用抛物线求出焦点坐标，结合双曲线性质算出即可
本题考查抛物线的几何性质，双曲线的几何性质，属基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：．
根据方差公式计算即可求解．
本题考查茎叶图，考查方差的计算，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：设为双曲线的另外一个焦点，
由双曲线图象的对称性可得，
又，
则，
则，
则，
又的离心率为，
则，
即，
则，
则双曲线的标准方程为，
故答案为：．
由双曲线的性质，结合双曲线的标准方程的求法求解即可．
本题考查了双曲线的性质，重点考查了双曲线的标准方程的求法，属基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：因为表示平面内一点与点的距离的平方加上，
又因为，所以点在以原点为圆心的单位圆上，
因为，所以点在以为圆心，以为半径的圆的内部，
因为两圆相离，所以为两圆心距加上两圆的半径，为两圆心距减去两圆的半径，而两圆心距，
所以，，
故，
也即，
故答案为：．
由题意可知：表示平面内一点与点的距离的平方加上表示以原点为圆心的单位圆，表示以为圆心，以为半径的圆的内部，将问题转化为两圆上两点间的距离的最值问题即可求解．
本题主要考查了圆与圆的位置关系，属于中档题．
 

17.【答案】解：由圆心在射线上，圆心到轴距离为，
设圆的标准方程为，
又圆过坐标原点，所以，
所以圆的标准方程为．
由知半径，圆心到直线的距离，
由于直线与圆交于，两点，
故． 

【解析】根据已知条件可设圆的标准方程为，代入原点坐标可得，从而求得圆的标准方程；
计算圆心到直线的距离，进而利用勾股定理可得弦长．
本题考查了圆的标准方程，直线与圆的位置关系，属于基础题．
 

18.【答案】解：由频率分布直方图可得，
解得，
由频率分布直方图可知成绩在的最多，所以众数为，
因为前两组的频率和为，前三组的频率和为，
所以中位数在第三组，
设中位数为，则，
解得，
所以中位数约为；
由频率分布直方图可知体育测试成绩不达标的人数为，
则体育测试成绩达标的人数为人，
因为名学生中有名女生，其中女生体育测试成绩不达标的有人，
所以男生体育测试成绩不达标的有人，男生体育测试成绩达标的有人． 

【解析】根据各组频率和为可求出的值，然后根据众数和中位数的定义求解即可；
先根据频率分布直方图求出体育测试成绩不达标和达标的人数，再由名学生中有名女生，其中女生体育测试成绩不达标的有人，可求得结果．
本题主要考查频率分布直方图，考查运算求解能力，属于中档题．
 

19.【答案】解：设等差数列的公差为，则，可得，
，．
，则，且，
数列为等比数列，且该数列的首项为，公比为，
因此． 

【解析】设等差数列的公差为，根据题中条件求出的值，进而可求得和；
推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，利用等比数列的求和公式可求得．
本题主要考查等差数列与等比数列的前项和公式，考查运算求解能力，属于基础题．
 

20.【答案】解：证明：点，分别为，的中点，
，
，又平面，平面，
平面；
过作于平面，
点到平面的距离等于点到平面的距离，
又点为的中点，点到平面的距离等于点到平面的距离一半．
底面，，，
又，，平面，又，
平面，又平面，
，又，
平面，
由，得，
由，得，
点到平面的距离为，
点到平面的距离为． 

【解析】根据线面平行的判断定理，转化证明，即可证明线面平行；
利用线面关系，将点到平面的距离转化为求点到平面的距离，利用垂直关系，即可求解．
本题考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理与性质，点面距的求解，化归转化思想，属中档题．
 

21.【答案】解：点在圆：上，
，
，，
，
，
，
由条件得到的距离为，
不与轴垂直，
设的方程为，即，
，解得，或，
所以的方程为，或．
当时，，由，
得，
当且仅当，，
即，时，单调递增，
所以的单调递增区间为，． 

【解析】由题意可求，利用余弦定理可求的值，结合范围，可求，利用点到直线的距离可求，设的方程为，由，解得的值即可得解．
当时，，可得，进而利用余弦函数的单调性即可求解．
本题考查了余弦定理，点到直线的距离，余弦函数的单调性，考查了函数思想，属于中档题．
 

22.【答案】解：设椭圆的方程为，
由，得．
由，得则，
解得，所以．
椭圆的方程为；
由知，，不共线，直线过点，
则直线斜率存在，设直线方程为，
代入椭圆方程，得．
由，得．
设，，则．
因点坐标为，所以，
令，则．
，
当且仅当，即时，面积的最大值为． 

【解析】根据条件列出关于，，的方程组，可求椭圆方程；
首先直线与椭圆方程联立，利用韦达定理表示的面积，结合基本不等式求面积的最大值．
本题主要考查了椭圆方程的求解，还考查了直线与椭圆位置关系的应用，属于中档题．