苏科版八年级下册9.3 平行四边形课后复习题

专题06 难点探究专题：特殊平行四边形动态及新定义问题

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【典型例题】

【考点一 特殊平行四边形中的动点问题】

例题：（2022春·河北保定·八年级统考期末）如图，在菱形中，，点E是边的中点．点M是边上一动点（不与点A重合），连接并延长交的延长线于点N，连接．

(1)求证：四边形是平行四边形；

(2)当时，求证：四边形是矩形；

(3)填空：当的值为        时，四边形是菱形．

【变式训练】

1．（2022春·河南·八年级校考期末）如图，在菱形CDEF中，CD=6，∠DCF=120°，动点Q从点D出发以1个单位长度秒的速度沿DE方向向点E运动，同时动点P从点F出发沿FD方向向点D运动，它们同时到达目的地，则运动到多少秒时，QP=QO                  （    ）

A． B．3 C． 或 3 D．3或

2．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期末）如图①，在矩形ABCD中，AB>AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿A→B→C运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AB边的长为（    ）

A．6 B．6.4 C．7.2 D．8

3．（2023秋·河南郑州·九年级校考期末）如图1，菱形ABCD中，，动点P以每秒1个单位的速度自点A出发沿线段AB运动到点B，同时动点Q以每秒2个单位的速度自点B出发沿折线运动到点D．图2是点P、Q运动时，△BPQ的面积S随时间t变化关系图象，则a的值是（    ）

A．2 B．2.5 C．3 D．

4．（2022秋·全国·八年级期末）如图1，在菱形ABCD中，动点P从点C出发，沿着C→A→D运动至终点D，设点P运动的路程为x，△BCP的面积为y，若y与x的函数图像如图2所示，则图中的值为_____．

5．（2022秋·四川达州·九年级校考期中）在矩形中，．动点P从点A开始沿边以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度运动．点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．那么______秒后四边形为矩形？

6．（2022春·广东江门·八年级校考期中）如图，在矩形中，，，点P在边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在之间往返运动，两个动点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒．

(1)用含t的式子表示线段的长度：______cm，

(2)当时，运动时间t为______秒时，以A、P、Q、B为顶点的四边形是矩形．

(3)当时，以P、D、Q、B为顶点的四边形有没可能是平行四边形？若有，请求出t；若没有，请说明理由．

7．（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在中，．动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒．

(1)的长为______．

(2)用含t的代数式表示线段的长．

(3)连接，

①是否存在t的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

②是否存在t的值，使得与互相平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

(4)若点P关于直线对称的点恰好落在直线上，请直接写出t的值．

【考点二 特殊平行四边形中的图形变化问题】

例题：（2022秋·山东德州·九年级校考期中）如图①，等腰直角三角形的直角顶点O为正方形的中心，点C，D分别在和上，现将绕点O逆时针旋转α角（），连接，（如图②）．

(1)在图②中，___________  ；（用含α的式子表示）

(2)在图②中猜想与的数量关系，并证明你的结论．

【变式训练】

1．（2022秋·广东东莞·九年级东莞市虎门第三中学校联考期中）如图，是由在平面内绕点旋转而得，且，，连接．

(1)       

(2)求证：；

(3)试判断四边形的形状，并说明理由．

2．（2022秋·福建厦门·九年级厦门一中校考阶段练习）已知：在矩形中，把矩形绕点旋转，得到矩形，且点落在边上，连接交于点．

(1)如图1，连接，求证：平分；

(2)如图2，连接，若平分，判断与之间的数量关系，并说明理由．

3．（2022秋·广西防城港·九年级统考期中）如图，已知是正方形内一点，，，将绕点旋转至，连结．

(1)直接写出、的长度和的度数．

(2)求的长．

(3)试判断的形状并说明理由．

4．（2022秋·山西大同·九年级统考期中）综合与实践

问题情境：在中，，点O是的中点，，将绕点O旋转，的两边分别与射线交于点D和E．

(1)数学思考：如图1，在旋转的过程中，当点D为边的中点时，试判断四边形的形状，并说明理由．

(2)猜想证明：当转动至如图2所示位置时，猜想线段与的数量关系，并加以证明；

(3)问题解决：当转动至如图3所示位置时，请直接写出三者之间的数量关系．

5．（2022秋·天津河北·九年级天津二中校考期末）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为．

(1)如图1，当时，求点D的坐标；

(2)如图2，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标；

(3)当点D落在线段上时，直接写出点E的坐标．

【考点三 特殊平行四边形中的新定义型问题】

例题：（2021秋·湖北省直辖县级单位·八年级校考期中）定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

(1)概念理解：如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；

(2)性质探究：如图2，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD．证明：；

(3)解决问题：如图3，分别以RtΔACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE．已知AC=4，AB=5，求GE的长．

【变式训练】

1．（2022秋·安徽宿州·九年级统考期中）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：

(1)如图1，正方形中，E是上的点，将绕B点旋转，使与重合，此时点E的对应点F在的延长线上，则四边形为“直等补”四边形，为什么？

(2)如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，，点B到直线的距离为，求的长．

2．（2021春·江西赣州·八年级赣州市第三中学校考阶段练习）（1）【定义理解】如图1，在中，E是的中点，P是的中点，就称是的“双中线”，，，，则__________．

（2）【类比探究】

①如图2，E是菱形一边上的中点，P是上的中点，则称是菱形的“双中线”，若，，则＝__________．

②如图3，是矩形的“双中线”，若，，求的长．

（3）【拓展应用】

如图4，是平行四边形的“双中线”，若，，，求的长．

3．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）定义：有一个内角为90°，且对角线相等的四边形称为准矩形．

（1）如图1，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，若AB＝2，BC＝4，则BD＝　   　；

（2）如图2，正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB上的点，且CF⊥BE，求证：四边形BCEF是准矩形；

（3）如图3，准矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝2，AC＝DC，求这个准矩形的面积．

4．（2021春·陕西西安·八年级高新一中校考期末）定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”．

【提出问题】

（1）如图①，四边形与四边形都是正方形，，求证：四边形是“等垂四边形”；

【类比探究】

（2）如图②，四边形是“等垂四边形”，，连接，点，，分别是，，的中点，连接，，．试判定的形状，并证明；

【综合运用】

（3）如图③，四边形是“等垂四边形”，，，则边长的最小值为________．

5．（2022·江西赣州·统考二模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．例如：如图①，，则四边形为“等邻角四边形”．

(1)定义理解：以下平面图形中，是等邻角四边形的是___________．

①平行四边形；②矩形；③菱形；④等腰梯形．

(2)深入探究：

①已知四边形为“等邻角四边形”，且，则________．

②如图②，在五边形中， ，对角线平分，求证：四边形为等邻角四边形．

(3)拓展应用：如图③，在等邻角四边形中，，点P为边BC上的一动点，过点P作，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，的值是否会发生变化？请说明理由．