精品解析：天津市红桥区高一下学期期末数学试题

高一数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.

祝各位考生考试顺利！

参考公式：

柱体的体积公式  ，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高．

锥体的体积公式  ，其中表示锥体的底面积，表示锥体的高．

球的体积公式    ，其中表示球的半径．

第Ⅰ卷

注意事项：

1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.

2．本卷共9题，每小题4分，共36分.

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 若为虚数单位，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】对分母进行实数化，利用复数四则运算法则即可求解.

【详解】.

故选：B.

2. 已知是非零向量，若，，且，则实数的值为（    ）

A. 3 B.

C. 12 D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据共线向量的坐标表示公式进行求解即可.

【详解】因为，，，

所以，

故选：B

3. 下列命题正确的是

A. 经过三点确定一个平面

B. 经过一条条直线和一个点确定一个平面

C 梯形确定一个平面

D. 四边形确定一个平面

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：在A中，过共线三点不能确定一个平面；在B中，经过一条直线和这条直线上一个点不能确定一个平面；在C中，梯形确定一个平面；在D中，空间四边形不一定能确定一个平面．

解：在A中，经过不共线的三点确定一个平面，故A错误；

在B中，经过一条直线和这条直线外一个点确定一个平面，故B错误；

在C中，由梯形中有一组对边平行，得到梯形确定一个平面，故C正确；

在D中，空间四边形不一定能确定一个平面，如右图的空间四边形就不能确定一个平面，故D错误．

故选C．

考点：平面的基本性质及推论．

4. 某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了分到分之间的名学生的成绩，并根据这名学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示.则成绩在内的学生人数为（    ）

A. 300 B.

C 600 D. 1200

【答案】C

【解析】

【分析】根据频率之和为1先求出的值，再结合频率求出频数．

【详解】由题意，，解得，

成绩在，内的学生人数为，

故选：C．

5. 某人打靶时连续射击两次，下列事件与事件“至多一次中靶”互为对立的是（    ）

A. 至少一次中靶 B. 两次都中靶

C. 只有一次中靶 D. 两次都没有中靶

【答案】B

【解析】

【分析】直接利用对立事件的定义判断即可.

【详解】由已知条件得

∵事件“至多一次中靶”包含事件两次都未中靶和两次只有一次中靶，

∴事件“至多一次中靶”的对立事件为“两次都中靶”，

故选：.

6. 已知是非零向量，且不共线，，若向量与互相垂直，则实数的值为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据互相垂直的向量的性质，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.

【详解】因为向量与互相垂直，

所以有，

故选：D

7. 已知，是两个不同的平面，直线，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】由面面垂直的判定定理及面面垂直的性质，结合充分必要条件的定义即可判断.

【详解】根据面面垂直的判定定理，可知若，则“”则成立，满足充分性；

反之，若，则与的位置关系不确定，即不满足必要性；

所以“”是“”的充分不必要条件，

故选：A.

8. 已知四面体的各棱长均为，则该四面体的表面积为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据等边三角形的面积公式进行求解即可.

【详解】因为四面体的各棱长均为，

所以四面体的四个面都是等边三角形，

所以该四面体的表面积为，

故选：D

9. 如图所示，在菱形中，，，为 的中点，则的值是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据向量的加法运算，表示出，然后根据数量积的运算法则求得答案.

【详解】由题意得： ,

故

，

故选：A

二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．

10. 若为虚数单位，已知复数，则______.

【答案】

【解析】

【分析】根据复数的模的概念即可计算.

【详解】∵，所以.

故答案为：.

11. 已知是非零向量，若，，与的夹角是，则______.

【答案】1

【解析】

【分析】直接利用平面向量数量积的公式求解即可.

【详解】由已知得

.

故答案为：.

12. 抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），则Ⅰ号骰子的点数等于Ⅱ号骰子的点数的概率为______.

【答案】

【解析】

【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.

【详解】记Ⅰ号和Ⅱ号骰子的点数为，则所有的基本事件构成的集合为：

，该集合中共有36个基本事件，

Ⅰ号和Ⅱ号骰子的点数相等时对应的基本事件的集合为，

记为为“Ⅰ号和Ⅱ号骰子的点数相等”，则，

故答案为：.

13. 将棱长为的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为______.

【答案】##

【解析】

【分析】求出正方体的内切球的半径后可求体积

【详解】将棱长为的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球为原正方体的内切球，

故其半径为，故体积为.

故答案为：

14. 正方体中，异面直线与所成角的大小为_________.

【答案】

【解析】

【分析】连接、，证明，可得即为异面直线与所成角，在求即可求解.

【详解】

如图，连接、，

因为，所以四边形是平行四边形，

所以，

所以即为异面直线与所成角，

设正方体的棱长为，在中，，

所以是等边三角形，

所以，即异面直线与所成角为，

故答案为：

【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，具体步骤如下

（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；

（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．

15. 已知向量为单位向量，且，若满足，则的最大值是______.

【答案】

【解析】

【分析】可根据题意设，令，利用坐标法求出（x，y）的轨迹，由此即可求出的最大值.

【详解】向量为单位向量，且，
不妨设，令，
则，
即，它表示以为圆心，为半径的圆，
可知表示圆上的点到原点距离，故其最大值是.
故答案为：.

三、解答题：本大题共4个小题，共40分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16. 已知是虚数单位，复数，R.

（1）当复数为实数时，求的值；

（2）当复数纯虚数时，求的值.

【答案】（1）或；   

（2）.

【解析】

【分析】(1)虚部为零，则为实数；

(2)虚部不零，实部为零，则为纯虚数.

【小问1详解】

当时，得；

【小问2详解】

当时，得.

17. 设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为、9、，现用分层抽样的方法从三个协会中抽取名运动员参加比赛.

（1）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；

（2）现从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.

①列出所有可能的结果；

②求选到的两名运动员来自同一协会的概率.

【答案】（1）甲、乙、丙三个乒乓球协会分别抽取运动员人数为、、   

（2）①答案见解析，②

【解析】

【分析】（1）求出甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数的比例，然后可得答案；

（2）列出所有的情况，然后求解即可.

【小问1详解】

甲、乙、丙三个乒乓球协会分别抽取运动员人数为、、；

小问2详解】

设甲乒乓球协会分别抽取的名运动员编号为，

乙乒乓球协会分别抽取的1名运动员编号为，

丙乒乓球协会分别抽取的名运动员编号为，

①选出两人共有15种结果，

，

，

，

，

②两名运动员来自同一协会的结果：，共有种；

所以选到的两名运动员来自同一协会的概率为.

18. 在△中，内角所对的边分别是，已知，，.

（1）求的值；

（2）求△的面积.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）直接利用余弦定理即可求解；

（2）先用同角三角函数关系式求出，再用三角形面积公式求解即可.

【小问1详解】

由余弦定理可得

，即，

解得，

【小问2详解】

∵，且，

∴,

由得，,

∴.

故△的面积为.

19. 如图，在三棱锥P- ABC中，PA⊥底面ABC，BC⊥AC，M、N分别是BC、PC的中点.

（1）求证：MN//平面PAB；

（2）求证：BC⊥PC.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）依题意可得，即可得证；

（2）由线面垂直得到，再由，即可得到平面，即可得证；

【详解】解：（1）因为M、N分别是BC、PC 的中点，

所以，

又平面，

平面，

则平面

（2）因为PA⊥底面ABC，

且 平面ABC，

所以，

又，

且，平面

所以平面，

又平面，

所以BC⊥PC.