2020年浙江省杭州市萧山区中考数学一模试卷

这是一份2020年浙江省杭州市萧山区中考数学一模试卷，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列四个数，表示无理数的是（ ）
A．sin30°B．πC．D．
2．（3分）下列四种标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）下列各式正确的是（ ）
A．6a2﹣5a2＝a2B．（2a）2＝2a2
C．﹣2（a﹣1）＝﹣2a+1D．（a+b）2＝a2+b2
4．（3分）如图所示，直线a、b、c、d的位置如图所示，若∠1＝125°，∠2＝125°，∠3＝135°，则∠4的度数为（ ）
A．45°B．55°C．60°D．65°
5．（3分）某工艺品厂草编车间共有16名工人，为了了解每个工人的日均生产能力，随机调查了某天每个工人的生产件数，获得数据如下表：
则这一天16名工人生产件数的众数和中位数分别是（ ）
A．5件、11件B．12件、11件C．11件、12件D．15件、14件
6．（3分）如图，▱ABCD的周长为22cm，对角线AC、BD交于点O，过点O与AC垂直的直线交边AD于点E，则△CDE的周长为（ ）
A．8cmB．9cmC．10cmD．11cm
7．（3分）一个圆锥的主视图是边长为6cm的正三角形，则这个圆锥的侧面积等于（ ）
A．36 πcm2B．24πcm2C．18πcm2D．12 πcm2
8．（3分）如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O，DF⊥AB交AC于点G，反比例函数y＝（x＞0）经过线段DC的中点E，若BD＝4，则AG的长为（ ）
A．B．+2C．2+1D．+1
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）要使有意义，则实数x的取值范围是 ．
10．（3分）若x＝﹣1是关于x的方程2x+3m﹣7＝0的解，则m的值为 ．
11．（3分）青盐铁路（青岛一盐城），是我国“八纵八横”高速铁路网中第一纵“沿海通道”的一部分，全长428.752千米．数据428.752千米用科学记数法表示为 米．
12．（3分）在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有a个白球和3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值约为 ．
13．（3分）边长为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为 ．
14．（3分）如图，CE、BF分别是△ABC的高线，连接EF，EF＝6，BC＝10，D、G分别是EF、BC的中点，则DG的长为 ．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝1．将边BA绕点B顺时针旋转90°得线段BD，再将边CA绕点C顺时针旋转90°得线段CE，连接DE，则图中阴影部分的面积是 ．
16．（3分）如图，已知△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2．D为BC边一点，且BD：DC＝1：2．以D为一个点作等边△DEF，且DE＝DC连接AE，将等边△DEF绕点D旋转一周，在整个旋转过程中，当AE取得最大值时AF的长为 ．
三、解答题（本大题共有11小题，共102分.）
17．（6分）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来：
18．（6分）先化简，再求值：（x﹣3）2+2（x﹣2）（x+7）﹣（x+2）（x﹣2），其中x2+2x﹣3＝0．
19．（8分）已知关于x方程x2﹣6x+m+4＝0有两个实数根x1，x2
（1）求m的取值范围；
（2）若x1＝2x2，求m的值．
20．（8分）某校开展“我最喜爱的一项体育活动”调查，要求每名学生必选且只能选一项，现随机抽查了m名学生，并将其结果绘制成如下不完整的条形图和扇形图，请结合以上信息解答下列问题：
（1）求m的值；
（2）请补全上面的条形统计图；
（3）在图2中，“乒乓球”所对应扇形的圆心角的度数为多少度？
（4）已知该校共有1200名学生，请你估计该校约有多少名学生最喜爱足球活动？
21．（8分）“2019大洋湾盐城马拉松”的赛事共有三项：A，“全程马拉松”、B，“半程马拉松”、C．“迷你健身跑”，小明和小刚参与了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组．
（1）小明被分配到“迷你健身跑”项目组的概率为 ；
（2）求小明和小刚被分配到不同项目组的概率．
22．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，对角线AC、BD交于点O，AO＝BO，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB＝2，求△OEC的面积．
23．（10分）某公司研发生产的560件新产品需要精加工后才能投放市场．现由甲、乙两个工厂来加工生产，已知甲工厂每天加工生产的新产品件数是乙工厂每天加工生产新产品件数的1.5倍，并且加工生产240件新产品甲工厂比乙工厂少用4天．
（1）求甲、乙两个工厂每天分别可加工生产多少件新产品？
（2）若甲工厂每天的加工生产成本为2.8万元，乙工厂每天的加工生产成本为2.4万元要使这批新产品的加工生产总成本不超过60万元，至少应安排甲工厂加工生产多少天？
24．（10分）如图，以AB为直径作半圆O，点C是半圆上一点，∠ABC的平分线交⊙O于E，D为BE延长线上一点，且DE＝FE．
（1）求证：AD为⊙O切线；
（2）若AB＝20，tan∠EBA＝，求BC的长．
25．（10分）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线OBCDA表示轿车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：
（1）当轿车刚到乙地时，此时货车距离乙地 千米；
（2）当轿车与货车相遇时，求此时x的值；
（3）在两车行驶过程中，当轿车与货车相距20千米时，求x的值．
26．（12分）【操作发现】如图（1），在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝45°，连接AC，BD交于点M．
①AC与BD之间的数量关系为 ；
②∠AMB的度数为 ；
【类比探究】如图（2），在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC，交BD的延长线于点M．请计算的值及∠AMB的度数；
【实际应用】如图（3），是一个由两个都含有30°角的大小不同的直角三角板ABC、DCE组成的图形，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠A＝∠D＝30°且D、E、B在同一直线上，CE＝1，BC＝，求点A、D之间的距离．
27．（14分）如图，二次函数y＝ax2﹣3ax+c的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C直线y＝﹣x+4经过点B、C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点A的直线交抛物线于点M，交直线BC于点N．
①点N位于x轴上方时，是否存在这样的点M，使得AM：NM＝5：3？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角∠ANB等于∠ACB的2倍时，请求出点M的横坐标．
2020年浙江省杭州市萧山区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列四个数，表示无理数的是（ ）
A．sin30°B．πC．D．
【分析】无限不循环小数叫做无理数，根据无理数的定义逐个排除即可．
【解答】解：A、sin30°＝，不是无理数，故本选项不符合题意；
B、π是无限不循环小数，是无理数，符合题意；
C、＝4，不是无理数，故本选项不符合题意；
D．＝﹣2，不是无理数，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了无理数，正确理解无理数的意义是解题的关键．
2．（3分）下列四种标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；
B、是轴对称图形，是中心对称图形；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．（3分）下列各式正确的是（ ）
A．6a2﹣5a2＝a2B．（2a）2＝2a2
C．﹣2（a﹣1）＝﹣2a+1D．（a+b）2＝a2+b2
【分析】根据合并同类项法则、积的乘方、单项式乘多项式法则及完全平方公式逐一判断即可得．
【解答】解：A．6a2﹣5a2＝a2，正确；
B．（2a）2＝4a2，错误；
C．﹣2（a﹣1）＝﹣2a+2，错误；
D．（a+b）2＝a2+2ab+b2，错误；
故选：A．
【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是掌握合并同类项法则、积的乘方、单项式乘多项式法则及完全平方公式．
4．（3分）如图所示，直线a、b、c、d的位置如图所示，若∠1＝125°，∠2＝125°，∠3＝135°，则∠4的度数为（ ）
A．45°B．55°C．60°D．65°
【分析】先依据同位角相等，判定a∥b，再根据平行线的性质，即可得出∠4＝45°．
【解答】解：如图所示，∵∠1＝125°，∠2＝125°，
∴a∥b，
∴∠4＝∠5，
又∵∠3＝135°，
∴∠5＝45°，
∴∠4＝45°，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的判定和性质的应用，能求出a∥b是解此题的关键．
5．（3分）某工艺品厂草编车间共有16名工人，为了了解每个工人的日均生产能力，随机调查了某天每个工人的生产件数，获得数据如下表：
则这一天16名工人生产件数的众数和中位数分别是（ ）
A．5件、11件B．12件、11件C．11件、12件D．15件、14件
【分析】根据众数和中位数的概念求解可得．
【解答】解：这组数据的众数为11件，中位数为＝12（件），
故选：C．
【点评】此题考查了众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），众数是一组数据中出现次数最多的数．
6．（3分）如图，▱ABCD的周长为22cm，对角线AC、BD交于点O，过点O与AC垂直的直线交边AD于点E，则△CDE的周长为（ ）
A．8cmB．9cmC．10cmD．11cm
【分析】由平行四边形的性质可得AB＝CD，AD＝BC，AO＝CO，可得AD+CD＝11cm，由线段垂直平分线的性质可得AE＝CE，即可求△CDE的周长＝CE+DE+CD＝AE+DE+CD＝AD+CD＝11cm．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB＝CD，AD＝BC，AO＝CO，
又∵EO⊥AC，
∴AE＝CE，
∵▱ABCD的周长为22cm，
∴2（AD+CD）＝22cm
∴AD+CD＝11cm
∴△CDE的周长＝CE+DE+CD＝AE+DE+CD＝AD+CD＝11cm
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练运用平行四边形的性质是本题的关键．
7．（3分）一个圆锥的主视图是边长为6cm的正三角形，则这个圆锥的侧面积等于（ ）
A．36 πcm2B．24πcm2C．18πcm2D．12 πcm2
【分析】根据视图的意义得到圆锥的母线长为6cm，底面圆的半径为3cm，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
【解答】解：根据题意得圆锥的母线长为6cm，底面圆的半径为3cm，
所以这个圆锥的侧面积＝×6×2π×3＝18π（cm2）．
故选：C．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
8．（3分）如图，菱形ABCD的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC、BD交于原点O，DF⊥AB交AC于点G，反比例函数y＝（x＞0）经过线段DC的中点E，若BD＝4，则AG的长为（ ）
A．B．+2C．2+1D．+1
【分析】过E作y轴和x的垂线EM，EN，证明四边形MENO是矩形，设E（b，a），根据反比例函数图象上点的坐标特点可得ab＝，进而可计算出CO长，根据三角函数可得∠DCO＝30°，再根据菱形的性质可得∠DAB＝∠DCB＝2∠DCO＝60°，∠1＝30°，AO＝CO＝2，然后利用勾股定理计算出DG长，进而可得AG长．
【解答】解：过E作y轴和x的垂线EM，EN，
设E（b，a），
∵反比例函数y＝（x＞0）经过点E，
∴ab＝，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，DO＝BD＝2，
∵EN⊥x，EM⊥y，
∴四边形MENO是矩形，
∴ME∥x，EN∥y，
∵E为CD的中点，
∴DO•CO＝4，
∴CO＝2，
∴tan∠DCO＝＝．
∴∠DCO＝30°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAB＝∠DCB＝2∠DCO＝60°，∠1＝30°，AO＝CO＝2，
∵DF⊥AB，
∴∠2＝30°，
∴DG＝AG，
设DG＝r，则AG＝r，GO＝2﹣r，
∵AD＝AB，∠DAB＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB＝60°，
∴∠3＝30°，
在Rt△DOG中，DG2＝GO2+DO2，
∴r2＝（2﹣r）2+22，
解得：r＝，
∴AG＝．
故选：A．
【点评】此题主要考查了反比例函数和菱形的综合运用，关键是掌握菱形的性质：菱形对角线互相垂直平分，且平分每一组对角，反比例函数图象上的点横纵坐标之积＝k
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）要使有意义，则实数x的取值范围是 x≥﹣1 ．
【分析】根据二次根式的性质可以得到x﹣1是非负数，由此即可求解．
【解答】解：依题意得
x+1≥0，
∴x≥﹣1．
故答案为：x≥﹣1．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数即可解决问题．
10．（3分）若x＝﹣1是关于x的方程2x+3m﹣7＝0的解，则m的值为 3 ．
【分析】使方程左右两边的值相等的未知数的值是该方程的解．将方程的解代入方程可得关于m的一元一次方程，从而可求出m的值．
【解答】解：根据题意得：2×（﹣1）+3m﹣7＝0
解得：m＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了一元一次方程的解的定义．已知条件中涉及到方程的解，把方程的解代入原方程，转化为关于m字母系数的方程进行求解，注意细心．
11．（3分）青盐铁路（青岛一盐城），是我国“八纵八横”高速铁路网中第一纵“沿海通道”的一部分，全长428.752千米．数据428.752千米用科学记数法表示为 4.28752×105 米．
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：428.752千米＝428752米＝4.28752×105米．
故答案为：4.28752×105．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
12．（3分）在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有a个白球和3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值约为 12 ．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到红球的频率稳定在20%左右得到比例关系，列出方程求解即可．
【解答】解：由题意可得，×100%＝20%，
解得a＝12．
经检验：a＝12是原分式方程的解，
所以a的值约为12，
故答案为：12．
【点评】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
13．（3分）边长为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为 70 ．
【分析】先把所给式子提取公因式ab，再整理为与题意相关的式子，代入求值即可．
【解答】解：根据题意得：a+b＝7，ab＝10，
则a2b+ab2＝ab（a+b）＝70．
故答案为70．
【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了数学整体思想和正确运算的能力．
14．（3分）如图，CE、BF分别是△ABC的高线，连接EF，EF＝6，BC＝10，D、G分别是EF、BC的中点，则DG的长为 4 ．
【分析】连接EG、FG，根据直角三角形的性质得到EG＝FG＝BC＝5，根据等腰三角形的性质求出ED，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：连接EG、FG，
∵CE，BF分别是△ABC的高线，
∴∠BEC＝90°，∠BFC＝90°，
∵G是BC的中点，
∴EG＝FG＝BC＝5，
∵D是EF的中点，
∴ED＝EF＝3，GD⊥EF，
由勾股定理得，DG＝＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
15．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝1．将边BA绕点B顺时针旋转90°得线段BD，再将边CA绕点C顺时针旋转90°得线段CE，连接DE，则图中阴影部分的面积是 ﹣ ．
【分析】作EF⊥CD于F，根据勾股定理骑车AC，根据旋转变换的性质求出EF，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：作EF⊥CD于F，
由旋转变换的性质可知，EF＝BC＝1，CD＝CB+BD＝4，
由勾股定理得，CA＝＝＝，
则图中阴影部分的面积＝△ABC的面积+扇形ABD的面积+△ECD的面积﹣扇形ACE的面积
＝×1×3++﹣
＝﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查的是扇形面积计算、旋转变换的性质，掌握扇形面积公式：S＝是解题的关键．
16．（3分）如图，已知△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2．D为BC边一点，且BD：DC＝1：2．以D为一个点作等边△DEF，且DE＝DC连接AE，将等边△DEF绕点D旋转一周，在整个旋转过程中，当AE取得最大值时AF的长为 2 ．
【分析】点E，F在以D为圆心，DC为半径的圆上，当A，D，E在同一直线上时AE取最大值，过点A作AH⊥BC交BC于H，通过解直角三角形求出DH，BH，CH的长度，∠ADH的度数，证明四边形DEFC是菱形，△ACF为直角三角形，通过勾股定理可求出AF的长度．
【解答】解：如图，点E，F在以D为圆心，DC为半径的圆上，当A，D，E在同一直线上时AE取最大值，
过点A作AH⊥BC交BC于H，
∴∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，
∴∠B＝∠ACB＝30°，BH＝CH，
∴在Rt△ABH中，
AH＝AB＝，BH＝AH＝3，
∴BC＝2BH＝6，
∵BD：DC＝1：2，
∴BD＝2，CD＝4，
∴DH＝BH﹣BD＝1，
在Rt△ADH中，AH＝，DH＝1，
∴tan∠DAH＝＝，
∴∠DAH＝30°，∠ADH＝60°，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠E＝60°，DE＝EF＝DC，
∵∠ADC＝∠E＝60°，
∴DC∥EF，
∵DC＝EF，
∴四边形DEFC为平行四边形，
又∵DE＝DC，
∴平行四边形DEFC为菱形，
∴FC＝DC＝4，∠DCF＝∠E＝60°，
∴∠ACF＝∠ACB+∠DCF＝90°，
在Rt△ACF中，
AF＝＝＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，菱形的判定与性质等，解题关键是能够确定AE取最大值时的位置．
三、解答题（本大题共有11小题，共102分.）
17．（6分）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来：
【分析】先去分母，然后去括号，再移项、合并同类项，系数化为1即可，再用数轴表示解集．
【解答】解：去分母得3（2+x）≤2（2x﹣1）+6，
去括号得6+3x≤4x﹣2+6，
移项得3x﹣4x≤﹣2+6﹣6，
合并得﹣x≤﹣2，
系数化为1得，x≥2，
用数轴表示为：
【点评】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．也考查了在数轴上表示不等式的解集．
18．（6分）先化简，再求值：（x﹣3）2+2（x﹣2）（x+7）﹣（x+2）（x﹣2），其中x2+2x﹣3＝0．
【分析】原式利用完全平方公式，平方差公式，以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，求出方程的解得到x的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝x2﹣6x+9+2x2+10x﹣28﹣x2+4＝2x2+4x﹣15，
由x2+2x﹣3＝0，得到x2+2x＝3，
则原式＝2（x2+2x）﹣15＝6﹣15＝﹣9．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19．（8分）已知关于x方程x2﹣6x+m+4＝0有两个实数根x1，x2
（1）求m的取值范围；
（2）若x1＝2x2，求m的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2＝6，x1x2＝m+4，结合x1＝2x2可求出x1，x2的值，再将其代入x1x2＝m+4中可求出m的值．
【解答】解：（1）∵关于x方程x2﹣6x+m+4＝0有两个实数根，
∴△＝（﹣6）2﹣4×1×（m+4）≥0，
解得：m≤5．
（2）∵关于x方程x2﹣6x+m+4＝0有两个实数根x1，x2，
∴x1+x2＝6，x1x2＝m+4．
又∵x1＝2x2，
∴x2＝2，x1＝4，
∴4×2＝m+4，
∴m＝4．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）根据根与系数的关系结合x1＝2x2，求出x1，x2的值．
20．（8分）某校开展“我最喜爱的一项体育活动”调查，要求每名学生必选且只能选一项，现随机抽查了m名学生，并将其结果绘制成如下不完整的条形图和扇形图，请结合以上信息解答下列问题：
（1）求m的值；
（2）请补全上面的条形统计图；
（3）在图2中，“乒乓球”所对应扇形的圆心角的度数为多少度？
（4）已知该校共有1200名学生，请你估计该校约有多少名学生最喜爱足球活动？
【分析】（1）根据排球人数及其所占百分比可得总人数；
（2）求得“足球“的人数＝150×20%＝30人，补全上面的条形统计图即可；
（3）360°×乒乓球”所占的百分比即可得到结论；
（4）用总人数乘以样本中足球所占的百分比．
【解答】解：（1）m＝21÷14%＝150；
（2）足球的人数为150×20%＝30，
补全图形如下：
（3）在图2中，“乒乓球”所对应扇形的圆心角的度数为360°×＝36°；
（4）估计该校最喜爱足球活动的学生约有1200×20%＝240人．
【点评】本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
21．（8分）“2019大洋湾盐城马拉松”的赛事共有三项：A，“全程马拉松”、B，“半程马拉松”、C．“迷你健身跑”，小明和小刚参与了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组．
（1）小明被分配到“迷你健身跑”项目组的概率为 ；
（2）求小明和小刚被分配到不同项目组的概率．
【分析】（1）利用概率公式直接计算即可；
（2）先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出其中小明和小刚被分配到不同项目组的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：（1）∵共有A，B，C三项赛事，
∴小明被分配到“迷你健身跑”项目组的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中小明和小刚被分配到不同项目组的结果数为6，
所以小明和小刚被分配到不同项目组的概率＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
22．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，对角线AC、BD交于点O，AO＝BO，DE平分∠ADC交BC于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若AB＝2，求△OEC的面积．
【分析】（1）证出∠BAD＝∠BCD，得出四边形ABCD是平行四边形，得出OA＝OC，OB＝OD，证出AC＝BD，即可解决问题；
（2）作OF⊥BC于F．求出EC、OF即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，∠ADC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠BAD＝∠BCD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵OA＝OB，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
（2）解：作OF⊥BC于F，如图所示．
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2，∠BCD＝90°，AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，
∴AO＝BO＝CO＝DO，
∴BF＝FC，
∴OF＝CD＝1，
∵DE平分∠ADC，∠ADC＝90°，
∴∠EDC＝45°，
在Rt△EDC中，EC＝CD＝2，
∴△OEC的面积＝•EC•OF＝1．
【点评】本题考查矩形的性质、三角形的面积、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，属于中考常考题型．
23．（10分）某公司研发生产的560件新产品需要精加工后才能投放市场．现由甲、乙两个工厂来加工生产，已知甲工厂每天加工生产的新产品件数是乙工厂每天加工生产新产品件数的1.5倍，并且加工生产240件新产品甲工厂比乙工厂少用4天．
（1）求甲、乙两个工厂每天分别可加工生产多少件新产品？
（2）若甲工厂每天的加工生产成本为2.8万元，乙工厂每天的加工生产成本为2.4万元要使这批新产品的加工生产总成本不超过60万元，至少应安排甲工厂加工生产多少天？
【分析】（1）设乙工厂每天可加工生产x件新产品，则甲工厂每天可加工生产1.5x件新产品，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）设甲工厂加工生产y天，根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可得到结果．
【解答】解：（1）设乙工厂每天可加工生产x件新产品，则甲工厂每天可加工生产1.5x件新产品，
根据题意得：+4＝，
去分母得：240+6x＝360，
解得：x＝20，
经检验x＝20是分式方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝30，
则甲、乙两个工厂每天分别可加工生产30件、20件新产品；
（2）设甲工厂加工生产y天，
根据题意得：2.8y+2.4×≤60，
解得：y≥9，
则少应安排甲工厂加工生产9天．
【点评】此题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，弄清题意是解本题的关键．
24．（10分）如图，以AB为直径作半圆O，点C是半圆上一点，∠ABC的平分线交⊙O于E，D为BE延长线上一点，且DE＝FE．
（1）求证：AD为⊙O切线；
（2）若AB＝20，tan∠EBA＝，求BC的长．
【分析】（1）先利用角平分线定义、圆周角定理证明∠4＝∠2，再利用AB为直径得到∠2+∠BAE＝90°，则∠4+∠BAE＝90°，然后根据切线的判定方法得到AD为⊙O切线；
（2）解：根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，设AE＝3k，BE＝4k，则AB＝5k＝20，求得AE＝12，BE＝16，连接OE交AC于点G，如图，解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠1＝∠2，
∵AB为直径，
∴AE⊥BD，
∵DE＝FE，
∴∠3＝∠4，
∵∠1＝∠3，
∴∠4＝∠2，
∵AB为直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠2+∠BAE＝90°
∴∠4+∠BAE＝90°，即∠BAD＝90°，
∴AD⊥AB，
∴AD为⊙O切线；
（2）解：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，∵tan∠EBA＝，
∴设AE＝3k，BE＝4k，则AB＝5k＝20，
∴AE＝12，BE＝16，
连接OE交AC于点G，如图，
∵∠1＝∠2，
∴＝，
∴OE⊥AC，
∵∠3＝∠2，
∴tan∠EBA＝tan∠3＝，
∴设AG＝4x，EG＝3x，
∴AE＝5x＝12，
∴x＝，
∴AG＝，
∵OG∥BC，
∴AC＝2AG＝，
∴BC＝＝．
【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了圆周角定理、垂径定理和解直角三角形．
25．（10分）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地，如图，线段OA表示货车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线OBCDA表示轿车离甲地距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：
（1）当轿车刚到乙地时，此时货车距离乙地 30 千米；
（2）当轿车与货车相遇时，求此时x的值；
（3）在两车行驶过程中，当轿车与货车相距20千米时，求x的值．
【分析】（1）根据图象可知货车5小时行驶300千米，由此求出货车的速度为60千米/时，再根据图象得出货车出发后4.5小时轿车到达乙地，由此求出轿车到达乙地时，货车行驶的路程为270千米，而甲、乙两地相距300千米，则此时货车距乙地的路程为：300﹣270＝30千米；
（2）先求出线段CD对应的函数关系式，再根据两直线的交点即可解答；
（3）分两种情形列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）根据图象信息：货车的速度V货＝，
∵轿车到达乙地的时间为货车出发后4.5小时，
∴轿车到达乙地时，货车行驶的路程为：4.5×60＝270（千米），
此时，货车距乙地的路程为：300﹣270＝30（千米）．
所以轿车到达乙地后，货车距乙地30千米．
故答案为：30；
（2）设CD段函数解析式为y＝kx+b（k≠0）（2.5≤x≤4.5）．
∵C（2.5，80），D（4.5，300）在其图象上，
，解得，
∴CD段函数解析式：y＝110x﹣195（2.5≤x≤4.5）；
易得OA：y＝60x，
，解得，
∴当x＝3.9时，轿车与货车相遇；
（3）当x＝2.5时，y货＝150，两车相距＝150﹣80＝70＞20，
由题意60x﹣（110x﹣195）＝20或110x﹣195﹣60x＝20，
解得x＝3.5或4.3小时．
答：在两车行驶过程中，当轿车与货车相距20千米时，x的值为3.5或4.3小时．
【点评】本题考查了一次函数的应用，对一次函数图象的意义的理解，待定系数法求一次函数的解析式的运用，行程问题中路程＝速度×时间的运用，本题有一定难度，其中求出货车与轿车的速度是解题的关键．
26．（12分）【操作发现】如图（1），在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝45°，连接AC，BD交于点M．
①AC与BD之间的数量关系为 AC＝BD ；
②∠AMB的度数为 45° ；
【类比探究】如图（2），在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC，交BD的延长线于点M．请计算的值及∠AMB的度数；
【实际应用】如图（3），是一个由两个都含有30°角的大小不同的直角三角板ABC、DCE组成的图形，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠A＝∠D＝30°且D、E、B在同一直线上，CE＝1，BC＝，求点A、D之间的距离．
【分析】【操作发现】如图（1），证明△COA≌△DOB（SAS），即可解决问题．
【类比探究】如图（2），证明△COA∽△ODB，可得＝＝，∠MAK＝∠OBK，已解决可解决问题．
【实际应用】分两种情形解直角三角形求出BE，再利用相似三角形的性质解决问题即可．
【解答】解：【操作发现】如图（1）中，设OA交BD于K．
∵∠AOB＝∠COD＝45°，
∴∠COA＝∠DOB，
∵OA＝OB，OC＝OD，
∴△COA≌△DOB（SAS），
∴AC＝DB，∠CAO＝∠DBO，
∵∠MKA＝∠BKO，
∴∠AMK＝∠BOK＝45°，
故答案为：AC＝BD，∠AMB＝45°
【类比探究】如图（2）中，
在△OAB和△OCD中，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，
∴∠COA＝∠DOB，OC＝OD，OA＝OB，
∴＝，
∴△COA∽△DOB，
∴＝＝，∠MAK＝∠OBK，
∵∠AKM＝∠BKO，
∴∠AMK＝∠BOK＝90°．
【实际应用】如图3﹣1中，作CH⊥BD于H，连接AD．
在Rt△DCE中，∵∠DCE＝90°，∠CDE＝30°，EC＝1，
∴∠CEH＝60°，
∵∠CHE＝90°，
∴∠HCE＝30°，
∴EH＝EC＝，
∴CH＝，
在Rt△BCH中，BH＝＝＝，
∴BE＝BH﹣EH＝4，
∵△DCA∽△ECB，
∴AD：BE＝CD：EC＝，
∴AD＝4．
如图3﹣2中，连接AD，作 CH⊥DE于H．
同法可得BH＝，EH＝，
∴BE＝+＝5，
∵△DCA∽△ECB，
∴AD：BE＝CD：EC＝，
∴AD＝5．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
27．（14分）如图，二次函数y＝ax2﹣3ax+c的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C直线y＝﹣x+4经过点B、C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点A的直线交抛物线于点M，交直线BC于点N．
①点N位于x轴上方时，是否存在这样的点M，使得AM：NM＝5：3？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角∠ANB等于∠ACB的2倍时，请求出点M的横坐标．
【分析】（1）由直线y＝﹣x+4知：点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，4），则二次函数表达式为：y＝ax2﹣3ax+4，将点A的坐标代入上式，即可求解；
（2）①设点N（m，mk+k），即：mk+k＝﹣m+4…①，则点M[m+，]，将点M的坐标代入二次函数表达式得：＝﹣（+）2+3（+）+4…②，联立①②即可求解；②当∠ANB＝2∠ACB时，则∠ANB＝90°，即可求解．
【解答】解：（1）由直线y＝﹣x+4知：点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，4），
则二次函数表达式为：y＝ax2﹣3ax+4，将点B的坐标代入上式并解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4，
则点A（﹣1，0）；
（2）①不存在，理由：
设直线AM的表达式为：y＝kx+b，
将点A的坐标代入上式并解得：
直线AM的表达式为：y＝kx+k，
如图1所示，分别过点M、N作x轴的垂线交于点H、G，
∵AM：NM＝5：3，则MH＝NG，
设点N（m，mk+k），即：mk+k＝﹣m+4…①，
则点M[m+，]，
将点M的坐标代入二次函数表达式得：
＝﹣（+）2+3（+）+4…②，
联立①②并整理得：5m2﹣2m+3＝0，
△＜0，故方程无解，
故不存在符合条件的M点；
②当∠ANB＝2∠ACB时，如下图，
则∠NAC＝∠NCA，
∴CN＝AN，
直线BC的表达式为：y＝﹣x+4
设点N（n，﹣n+4），
由CN＝AN，
即：（n）2+（4﹣n﹣4）2＝（n+1）2+（4﹣n）2，
解得：n＝，
则点N（，），
将点N、A坐标代入一次函数表达式并解得：
直线NA的表达式为：y＝x+…③，
将③式与二次函数表达式联立并解得：x＝，
故点M（，）．
【点评】本题为二次函数综合题，涉及到一次函数、平行线分线段成比例等，其中（2）①，数据处理较为复杂，而准确简洁确定点的坐标是解题的关键．
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