2021届甘肃省武威第六中学高三上学期第三次过关考试数学（理）试题

2021届甘肃省武威第六中学高三上学期第三次过关考试数学（理）试题

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．）

1．已知集合Q＝{x|2x2﹣5x≤0，x∈N}，且P⊆Q，则满足条件的集合P的个数是（　　）

 A．3 B．4 C．7 D．8

2．若复数z满足z•i＝﹣1+i，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于（　　）

 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．已知f（x）在R上是偶函数，且满足f（x+2）＝f（x﹣2），当x∈（0，2）时，f（x）＝2x2，则f（2019）等于（　　）

 A．﹣2  B．2  C．﹣98  D．98

4．已知sinα＝2sin（α+），则cos2α＝（　　）

 A．  B．﹣7  C．   D．﹣3

5. 函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（　　）

 A．y＝2sin   B. y＝2sin  

 C. y＝2sin     D.y＝2sin

6．已知向量 =（2,3）, =（6, m）,且⊥,则向量在+方向上的投影为（　　）

 A. B. C.  D.

7．  平面向量与的夹角为60°，＝（2，0），||＝1，则|+2|＝（　　）

 A． B． C．12 D．

8. 函数 f（ x）= x 3- 3 x,若对于区间[- 3,2]上的任意 x 1, x 2,都有| f（ x 1）- f（ x 2）|≤ t,则实数 t的最小值是（　　）

 A. 20  B. 18  C. 3  D. 0

9．如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB等于（　　）

 A．5 B．15 

 C．5 D．15

10．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋1＝Sn＋1（n∈N*），则S5＝（　　）

 A．31 B．42    C．37   D．47

11．已知函数f（x）＝1＋2cosxcos（x＋3φ）是偶函数，其中φ∈，

则下列关于函数g（x）＝cos（2x－φ）的正确描述是（　　）

 A．g（x）在区间上的最小值为－1

 B．g（x）的图象可由函数f（x）的图象向上平移2个单位长度，向右平移个单位长度得到

 C． g（x）的图象的一个对称中心是

 D． g（x）的一个单调递减区间是

12．已知函数f（x）＝ln x－＋a在x∈[1，e]上有两个零点，则a的取值范围是（　　）

 A.         B.          C.        D.[－1，e]

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）

13．命题p：“∀a≥0，a4＋a2≥0”的否定为________.

14．曲线y＝在点（﹣1，0）处的切线方程为________.

15．《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺布”，则第5天织布________.

16．已知△ABC是边长为2的正三角形，点P为平面内一点，且||＝，则·（＋）的取值范围是________.

三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）

17.（12分）设{an}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列.

（1） 求{an}的通项公式；

（2） 记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值.

18.（12分）设函数f（x）＝sin＋sin，其中0＜ω＜3，已知f＝0.

（1） 求ω；

（2） 将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在上的最小值.

19.（12分）设的内角的对边分别为，

且

（1）求角的大小；

（2）若，，求的面积．

20.（12分）已知函数f（x）＝－－aln x.

（1） 当a＝0时，求函数f（x）的单调区间；

（2） 若函数f（x）在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围.

21.（12分）已知函数f（x）＝－ax2＋ex－1（0≤a≤）.

（1） 若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为e，求a的值；

（2） 求证：当x>0时，f（x）>0.

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α（α为常数）的直线l过点M（－2，－4），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2 θ＝2cos θ，

（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；

（2）若直线l与C交于A，B两点，且|MA|·|MB|＝40，求倾斜角α的值.

武威六中2021届高三年级第一轮复习第三次过关考试试卷

数   学（理）参考答案

一、选择题

DDBCB    ABADD    CA

二、填空题

13.   14.2x﹣y+2＝0；   15.  7尺 ；  16.  [0，12]

三、解答题

17. 解　(1)设{an}的公差为d.

因为a1＝－10，所以a2＝－10＋d，a3＝－10＋2d，a4＝－10＋3d.

因为a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列，所以(a3＋8)2＝(a2＋10)(a4＋6).

所以(－2＋2d)2＝d(－4＋3d).

解得d＝2.  所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－12.

(2)法一　由①知，an＝2n－12.

则当n≥7时，an>0；当n＝6时，an＝0，当n<6时，an<0；

所以Sn的最小值为S5＝S6＝－30.

法二　由①知，Sn＝(a1＋an)＝n(n－11)＝－，又n∈N*，

∴当n＝5或n＝6时，Sn的最小值S5＝S6＝－30.

18.解　(1)因为f(x)＝sin＋sin，

所以f(x)＝sin ωx－cos ωx－cos ωx

＝sin ωx－cos ωx＝＝sin.

由题设知f＝0，所以－＝kπ(k∈Z)，

故ω＝6k＋2(k∈Z).又0＜ω＜3，所以ω＝2.

(2)由(1)得f(x)＝sin，

所以g(x)＝sin＝sin.

因为x∈，所以x－∈，

当x－＝－，即x＝－时，g(x)取得最小值－.

19.解：（1）由已知及正弦定理可得，-----------2分

整理得，                  

所以．    -----------4分

 又，故．  -----------6分

（2）由正弦定理可知，又，，，

所以．  

又，故或． -----------8分

若，则，于是；  ----------10分

若，则，于是．-----------12分

20.解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，

当a＝0时，f(x)＝，则f′(x)＝，

令f′(x)>0，得x>1；令f′(x)<0，得0<x<1.

所以f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1).

(2)f′(x)＝.

①当a≤e时，若x∈(1，＋∞)，则ex－a≥ex－e>0.

此时f′(x)＝>0，

函数f(x)在x＝1处不可能取得极大值.

②当a>e时，ln a>1.

当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下：

函数f(x)在x＝1处取得极大值.

综上可知，a的取值范围是(e，＋∞).

21.(1)解　由函数f(x)＝－ax2＋ex－1，可得f′(x)＝ex－2ax，

∵曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为e，

∴f′(1)＝e－2a＝e，∴a＝0.

(2)证明　由(1)知f′(x)＝ex－2ax，

令h(x)＝f′(x)，则h′(x)＝ex－2a(x>0)，

①当0≤a≤时，h′(x)>0，h(x)＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，f′(x)>f′(0)＝1，

f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(x)>f(0)＝0，满足题意.

②当<a≤时，令h′(x)＝ex－2a＝0，解得x＝ln(2a)，

当x∈(0，ln(2a))时，h′(x)<0，f′(x)＝h(x)在(0，ln(2a))上单调递减；

当x∈(ln(2a)，＋∞)时，h′(x)>0，f′(x)＝h(x)在(ln(2a)，＋∞)上单调递增.

∴f′(x)min＝f′(ln(2a))

＝eln(2a)－2aln(2a)＝2a(1－ln(2a))，

∵<a≤，∴1－ln(2a)≥0，∴f′(x)min≥0，

∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，

故f(x)>f(0)＝0，满足题意，

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题10分）

解　(1)∵倾斜角为α的直线l过点M(－2，－4)，

∴直线l的参数方程是(t是参数).

∵曲线C的极坐标方程为ρsin2 θ＝2cos θ，

∴曲线C的直角坐标方程是y2＝2x.

(2)把直线l的参数方程代入y2＝2x，

得t2sin2 α－(2cos α＋8sin α)t＋20＝0，

设A，B对应的参数分别为t1，t2，

∴t1t2＝，

根据直线参数方程中参数的几何意义，

得|MA|·|MB|＝|t1t2|＝＝40，

又α∈[0，π)，故α＝或α＝，

又∵Δ＝(2cos α＋8sin α)2－80sin2 α>0，∴α＝.