2023届甘肃省武威第六中学高三上学期第三次过关考试数学（理）试题（解析版）

2023届甘肃省武威第六中学高三上学期第三次过关考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合 ，则（    ）

A． B． C．  D．

【答案】B

【分析】求得集合 ，根据集合的交集运算，即可求得答案.

【详解】由题意得，

，

故，

故选：B

2．已知，若是纯虚数（是虚数单位），则（    ）

A．－1或1 B．0 C．－1 D．0或1

【答案】C

【分析】根据纯虚数的概念求解即可.

【详解】是纯虚数，

且，

解得，

故选：C

3．下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义，对每个选项进行逐一判断，即可选择.

【详解】对：容易知是偶函数，且在单调递减，故错误；

对：容易知是偶函数，当时，，

其在单调递增，在单调递减，故错误；

对：容易知是偶函数，当时，是单调增函数，故正确；

对：容易知是奇函数，故错误；

故选：C.

4．核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀值时，DNA的数量X与扩增次数n满足，其中为DNA的初始数量，p为扩增效率.已知某被测标本DNA扩增12次后，数量变为原来的1000倍，则扩增效率p约为（    ）（参考数据：）

A．22.2% B．43.8% C．56.2% D．77.8%

【答案】D

【分析】由题意，代入关系式，根据对数的运算性质及指数与对数的关系计算可得．

【详解】解：由题意知，，

即，

即，

所以，解得．

故选：D．

5．已知命题，，若是假命题，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】写出命题，由条件可得是真命题，然后由可得，然后根据的范围可得答案.

【详解】因为命题，，所以命题，，

因为是假命题，所以是真命题，

由可得，因为，所以，

故选：B

6．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用二倍角公式及诱导公式可得，进而可得，再利用和差角公式及二倍角公式即得.

【详解】∵，

∴，即，

又，

∴，

∴.

故选：A.

7．设平面向量，均为单位向量，则“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】将两边平方，化简后即可得，由此即可选出答案.

【详解】因为

，

所以“”是“”的充分必要条件，

故选：C.

8．已知函数，若方程在上有且只有三个实数根，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据两角和与差的三角函数公式将函数恒等变形，化为正弦型函数，进而根据三角函数的图象与性质，即可求出结果．

【详解】由题意，函数，

令得，即，

所以或，

所以或，

当x取正数时，从小到大依次为：，，，，…

因为在上有且只有三个实数根，所以，所以，

故选：A.

9．如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意可得，，由三点共线,可得，即可求得答案.

【详解】解：因为，

所以，

又因为，

所以，

又因为三点共线,

所以，

即，

所以，

所以，

解得.

故选：D.

10．△的内角，，的对边分别为，，.若，则（    ）

A．5 B．4 C．3 D．2

【答案】A

【分析】利用正弦定理进行角换边，再根据余弦定理即可得出答案.

【详解】，

利用正弦定理可得:，

又，

可得，

整理可得：，

故选：A.

11．设，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用作差法，判断运算结果与0比较，即可得出，判断可构造函数，根据导数符号可得出 在 上单调递减, 然后即可得出的大小关系，从而得出结论.

【详解】由 得 ；

而，设 ,

时, 在 上单调递减,

, 且 ,,

.

综上，

故选：D.

12．若关于的方程有三个不等的实数解，且，其中，为自然对数的底数，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】令，则有，令函数，画出其图象，结合图象可得关于的方程一定有两个实根，且，，即可求解．

【详解】解：由关于的方程，

令，则有，

令函数，则，

当时，当时，

在上单调递增，在上单调递减，

其图象如下：

要使关于的方程有3个不相等的实数解，，，

且，

结合图象可得关于的方程一定有两个实根，，

且，，由韦达定理知，，，

，

又，

可得，

故选：B．

【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是通过换元，将较复杂的方程转化为一元二次方程，再利用导数工具说明函数的单调性.

二、填空题

13．已知向量，，，若，则______.

【答案】

【分析】由向量垂直的坐标表示求解．

【详解】由题意得：，，，，解得.

故答案为：．

14．函数，的部分图象如图所示，则函数的解析式为_____________．

【答案】

【分析】由图可得，，即可求出，再根据函数过点求出，即可求出函数解析式；

【详解】解：由图可知，，所以，

又，所以，

所以，又函数过点，所以，

所以，解得，因为，

所以，所以；

故答案为：

15．在锐角中，，则的取值范围是___________.

【答案】

【分析】根据题意有，进而展开并结合降幂公式和辅助角公式化简，然后根据该三角形为锐角三角形确定出A的范围，最后求得答案.

【详解】根据题意，

而三角形ABC为锐角三角形，则，

所以，于是.

故答案为：.

16．已知是定义在R上的奇函数，满足，有下列说法：

①的图象关于直线对称；

②的图象关于点对称；

③在区间上至少有5个零点；

④若上单调递增，则在区间上单调递增．

其中所有正确说法的序号为_______．

【答案】②③④

【分析】求得函数的图象关于点对称判断①②；求得在区间上零点个数判断③；求得在区间上的单调性判断④

【详解】因为，所以，

故函数是周期为3的周期函数，又是定义在R上的奇函数，

则，所以，

故函数的图象关于点对称，故①错误，②正确；

由题意可知，，因为，

令，可得， 即，

所以，从而，

故函数在区间上至少有5个零点，故③正确；

因为，，

且函数在区间上单调递增，则函数在区间上单调递增，

故函数在区间上也单调递增，故④正确．

故答案为：②③④

三、解答题

17．已知函数.

(1)求的最小正周期和对称轴方程；

(2)若函数在存在零点，求实数的取值范围.

【答案】(1)最小正周期为，对称轴方程为

(2)

【分析】（1）化简函数，结合三角函数的图象与性质，即可求解；

（2）根据题意转化为在上有解，根据时，得到，即可求解.

【详解】（1）解：对于函数

，

所以函数的最小正周期为，

令，解得，

所以函数的对称轴的方程为.

（2）解：因为函数在存在零点，

即方程在上有解，

当时，可得，可得，

所以，解得，

所以实数的取值范围.

18．在①，②，请在这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并完成解答.

在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设为的面积，满足______________(填写序号即可)．

(1)求角C的大小；

(2)若，求周长的最大值．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）若选①，由面积公式及余弦定理得到，即可求出，从而得解；若选②，利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式计算可得；

（2）利用余弦定理及基本不等式求出的最大值，即可得解.

【详解】（1）解：若选①，因为，

所以，

所以，

所以，

因为，

所以  

若选②，因为，

由正弦定理得，

所以，即，

，，，

又，.

（2）解：由余弦定理得，

因此，

，当且仅当时等号成立，

 所以的周长

因此的周长的最大值为.

19．如图，在三棱锥中，，，，为的中点.

(1)证明：平面ABC；

(2)若E是棱AC上的动点，当的面积最小时，求SC与平面SDE所成角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据三角形为等腰三角形得到，根据勾股定理得到，最后用线面垂直的判定定理证明即可；

（2）解法1：利用几何法得到为与平面所成的角，然后求余弦值即可；

解法2：建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求出线面角的正弦值，然后求余弦值即可.

【详解】（1）

因为，又D为BC的中点，

所以，且，

连接，，所以为等腰直角三角形，

且，

，由，可知，

由，，，平面，可知平面.

（2）解法1：因为，平面，所以，，所以，

当的面积最小时，取最小值，此时得，

这时为的中位线，且.

因为，且，，平面，所以平面，故为与平面所成的角.

因为E是AC的中点，所以.

在中，，

所以SC与平面SDE所成角的正弦值为，余弦值为.

解法2：同解法1，且.因为，，，两两互相垂直，故以D为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.

则，，，.

，，

设平面的法向量为，则，即，

所以可取，又，

设SC与平面SDE所成角为，则，余弦值为.

20．已知函数.

(1)当时，求在区间上的最小值；

(2)若有两个零点，求的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用导数求出函数的单调区间即得解；

（2）等价于有两个零点，令画出函数的图象即得解.

【详解】（1）解： ，令，得.当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.

当时，有极小值，也是最小值，最小值为.

（2）解：，定义域，由题意，

即有两个零点，

令

所以在时，，函数单调递增；当时，函数单调递减.

所以函数的最大值时，，

函数的图象如图所示，

所以，所以.

21．已知函数，．

（1）若在上单调递减，求实数的取值范围；

（2）当时，求证在上恒成立．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【分析】（1）求出导函数，问题转化为，恒成立，用分离参数法再转化为求函数的最值．

（2）求出在时的最大值，由最大值小于1证得结论成立，注意令，由单调性得有唯一零点，然后得出是最大值，再由的性质证明即可．

【详解】解：（1）因为，，

对，恒成立，

所以，设

故，所以在上单调递增，

所以，

所以；

（2）由题意知，要证在上，，

令，

则，

显然在上单调减，，

所以，

所以，，单调增，

，，单调减，

所以，得证．

【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，证明不等式成立，已知函数的单调性问题，一般转化为导函数的不等式恒成立，然后转化为求函数最值得参数范围，证明不等式也可转化为求函数的最值，由最值满足不等关系得出结论．

22．已知直线 l 的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．

(1)求直线 l 的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)已知直线 l 与曲线C相交于P，Q两点，点M的直角坐标为，求．

【答案】(1)，；

(2).

【分析】（1）直线的参数方程消去参数，即得的普通方程，利用极坐标和直角坐标方程的互化公式，即得解；

（2）将直线的参数方程代入，利用直线的参数方程的几何意义，可得，结合韦达定理，即得解.

【详解】（1）由（t为参数），

可得l的普通方程为；

由曲线C的极坐标方程及

可得，

整理得，

所以曲线C的直角坐标方程为．

（2）易知点M在直线 l 上，

将 l 的参数方程代入C的直角坐标方程，得，

即，

设P，Q对应的参数分别为，则，

因为，

所以．