2022届辽宁省大连市高三第二次模拟考试试题数学试题及答案

年大连市高三第二次模拟考试

数 学

命题人:

校对人:

本试卷满分 分. 考试用时 分钟.

注意事项：1. 本试卷分第 卷 (选择题) 和第 II 卷（非选择题）两部分.

2. 考生作答时, 将答案答在答题卡上, 在本试卷上答题无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.

第 I 卷（选择题 共 分)

一、单项选择题 (本大题共 小题, 每小题 分, 共 分. 在每小题给出的四个选项中, 只

有一项是符合题目要求的)

1. 设集合 ,则

A.                       B.

C.                       D.

2. 已知复数 满足 , 则复数 的虚部为 ( )

A.                       B.

C.                       D.

3. 若直线 平分圆 的周长, 则 的取值范围是（

A.                       B.

C.                       D.

4. 某校高三年级有 人参加期末考试, 经统计发现数学成绩近似服从正态分布 ,且成绩不低于 分的人数为 , 则此次考试数学成绩高于 分的人数约为( )

A.                       B.

C.                       D.

5. 如图所示, 在正方体 中,点 是棱 上的一个动点（不包括顶点）,平面 交棱 于点 , 则下列命题中正确的是(  )

A. 存在点 , 使得 为直角                     

B. 对于任意点 , 都有直线 平面

C. 对于任意点 , 都有平面 平面                      

D. 当点 由 向 移动过程中, 三棱雉 的体积逐渐变大

6.色差和色度是衡量毛线玩具质量优劣的重要指标, 现抽检一批产品测得如下数据:

已知该产品的色度 和色差 之间满足线性相关关系, 且 , 现有一对测量数据为, 则该数据的残差为 ( )

A.                          B.

C.                       D.

7.下列不等式正确的是（）

A.                       B.

C.                       D.

8.中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽著作的基础上,把刘徽常用的方法概

括为“出入相补原理”: 一个图形不论是平面的还是立体的,都可以切害成有限多块,这有限

多块经过移动再组合成另一个图形, 则后一图形的面积或体积保持不变. 利用这个原理, 解

决下面问题: 已知函数 满足 , 且当 时的解析式为

,则函数 在 的图像与直线 所围

成封闭图形的面积为（）

A.                       B.

C.                       D.

二、多项选择题 (本大题共 小题, 每小题 分, 共 分. 在每小题给出的四个选项中,

有多项符合题目要求, 全部选对的得 分, 有选错的得 分, 部分选对的得 分. )

9. 为评估一种农作物的种植效果, 选了 块地作试验田. 这 块地的亩产量 (单位: ) 互

不相等,且从小到大分别为 , 则下列说法正确的有（）

A. 的平均数可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度                     

B. 的标准差可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度

C. 可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度                     

D. 的中位数为

10.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法.商功》中出现了如图所示的形状, 后人称为“三角垛” (下图所示的是一个 层的三角跺）.“三角垛”最上层有 个球, 第二层有 个球,第三层有 个球, ...., 设第 层有 个球, 从上往下 层球的球的总数为 , 则（）

A.                      

B.

C.                      

D.

11.已知在平面直角坐标系中, 为该平面上一动点, 记直线 的斜率分别为 和 , 且 , 设点 运动形成曲线 ,点 是曲线 上位于 轴上方的点,且 , 则下列说法正确的有（

A. 动点 的轨迹方程为                       B. 面积的最大值为

C. 的最大值为                       D. 的最小值为

12.球面几何学是几何学的一个重要分支,在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用,如图, 是球面上不在同一个大圆上的三点,经过这三个点中任意两点的大圆的劣弧分别为 , 由这三条劣弧围成的球面图形称为球面 .已知 为地球半径, 为北极点, 是地球表面上的两点, 则下列结论正确的有（）

A. 若 在赤道上, 且 , 则三棱雉 的体积为                      

B. 若 在赤道上, 且 , 则球面 的面积为

C. 若 , 则球面 的面积为                      

D. 若 , 则由球面 , 平面 , 平面 及平面 所围成的几何体的体积为

第II 卷（非选择题 共 分）

三、填空题（本大题共 小题, 每小题 分, 共 分.)

13. 已知直线 为双曲线 的一条渐近线, 则 的离

心率为                         .

14.将函数 的图像分别向左、向右各平移 个单位长度后, 所得的两个函数图像的对称轴重合, 则 的最小值为                      .

15. 已知 , 点 在曲线 上, 则 的最小值为                      .

16. 若 对任意 恒成立, 则实数 的取值范围是                      .

四、解答题（本大题共 小题, 共 分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )

17. (本小题满分 分)

已知数列 是首项 的正项等比数列, 是公差 的等差数列, 且满足

( I ) 求数列 的通项公式;

(II ) 若                    , 求 的前 项和 .

*请在① ;② . 这两个条件中任选一个,补充在上面的横线中,并

加以解答.

18. (本小题满分 分)

在 中, 角 的对边分别为 , 满足 , 且 的平分线交 于点 .

(I) 求 的大小;

(II)若 , 且 , 求 的面积.

19. (本小题满分 分)

年 月 日至 月 日, 北京冬奥会在我国盛大举行. 在冬奥会如火如茶地进行过程中, 不少外国运动员纷纷化身 “干饭人” , 在社交媒体上发布沉浸式 “吃播” , 直呼 “好吃到到舍不得回家”。其中麻辣汤、豆沙包、宫保鸡丁、饺子……会频频亮相会频频亮相. 月 日美联社称麻辣汤成为欧洲部分运动员眼中最好吃的冬奥会美食. 荷兰速滑运动员尤塔 - 里尔达姆（jutta leerdam）就对麻辣浈赞不绝口, 在社交媒体上发布的视频获得 多万点赞. 西班牙冰舞选手奥利维亚 - 斯马特 (olivia smart) 和搭档阿德里安・迪亚斯 (adrian diaz) 也告诉美联社, 他们每天都在食堂吃麻辣汤. 针对于此,欧洲某中餐馆决定在餐厅售卖麻辣汤. 该中餐馆通过中国美食协会共获得两种不同地方特色麻辣烫配方 (分别称为 配方和 配方), 并按这两种配方制作售卖. 由于不熟悉当地居民是否能吃辣, 故按照麻辣程度定义了每碗麻辣烫的麻辣值（麻辣值越大表明越麻辣）, 得到下面第一天的售卖结果:

配方的售卖频数分布表

配方的售卖频数分布表

定义本餐厅麻辣汤的 “麻辣度指数” 如下表:

( I ) 试分别估计第一天 配方, 配方售卖的麻辣汤的麻辣值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）, 并比较大小.

（II ) 用样本估计总体, 将频率视为概率, 从当地同时吃过两种配方麻辣汤的消费者中随机抽取 人进行调查, 试估计其评价 A 配方的 “麻辣度指数” 比 B配方的 “麻辣度指数”高的概率.

20. (本小题满分 分)

在三棱台 中, 平面 分别是 的中点.

(I )求证: 平面 平面 ;

(II) 求二面角 的余弦值.

21. (本小题满分 分)

已知抛物线 的焦点为 , 点 在抛物线上, 为坐标原点, 且

( I ) 抛物线 的标准方程;

( II ) 如图所示, 过点 和点 分别做两条斜率为 的平行弦分别和

抛物线 相交于点 和点 , 得到一个梯形 . 记梯形两腰 和 的斜率

分别为 和 , 且 .

( i ) 试求实数 的值;

( ii ) 若存在实数 , 使得 , 试求实数 的取值范围.

22. (本小题满分 分)

已知函数 .

（I）求函数 的单调区间;

(II ) 设 , 若函数 有两个极值点 , 且 .

( i ) 求实数 的取值范围;

(ii ) 求证: .

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