2022-2023学年上海市南洋模范中学高一下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年上海市南洋模范中学高一下学期期中数学试题

一、填空题

1．终边落在轴负半轴的角的集合为______.

【答案】.

【分析】根据终边相同角的表示方法，即可求解.

【详解】根据终边相同角的表示方法，可得终边轴负半轴的角的集合为.

故答案为：.

2．已知,则________

【答案】

【分析】先根据二倍角余弦公式化简，再利用弦化切，代入切的值计算得结果.

【详解】

故答案为：

【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及切化弦方法，考查基本分析求解能力，属基础题.

3．已知，，则=_____

【答案】

【分析】,然后由两角和的正切公式可得.

【详解】根据两角和的正切公式可得:

.

故答案为:.

【点睛】本题考查了两角和的正切公式,属于基础题.解题关键是将拆成两个已知角之和.

4．若，则的取值范围是______.

【答案】

【分析】通过讨论的取值范围，即可得出，进而求出的取值范围.

【详解】由题意，

，而，

则，

当时，解得或；

当时，解得，

综上：.

故答案为：.

5．一个扇形的面积为1，周长为4，则该扇形圆心角的弧度数为______．

【答案】

【分析】设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为，根据题意，由，求解.

【详解】设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为，

则．①

由扇形的面积公式，得．②

由①②得，，

∴．

∴扇形的圆心角为．

故答案为：

6．方程的解集为______.

【答案】

【分析】根据题意，由对数函数的单调性化简，再结合三角函数的运算，即可得到结果.

【详解】在上単调递增，由，

得，即，所以，，

又，，，，

即是第二象限角，即解集为.

故答案为: .

7．在内，使成立的的取值范围为____________

【答案】

【分析】把不等式变形为,不等式的左边用辅助角公式变形为正弦型函数的形式,运用正弦型函数的正负性,.可以求出的取值范围.

【详解】,即

,又因为,所以.

故答案为

【点睛】本题考查了三角不等式的解法,应用辅助角公式是解题的关键.本题还可以在同一直角坐标系内画出函数,的图象,运用数形结合思想可以解出, 还可以画出单位圆,利用正弦线和余弦线的知识也可以解答出来.

8．若，则函数的最大值为_________ ．

【答案】-8

【详解】试题分析：设

当且仅当时成立

【解析】函数单调性与最值

9．在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终点经过点，且（），定义：，称“”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质，其中正确的是______.（填上所有正确的序号）

①该函数的值域为；②该函数的图象关于原点对称；③该函数的图象关于直线对称；④该函数为周期函数，且最小正周期为.

【答案】①④

【分析】利用三角函数的定义得到，，，再逐项判断.

【详解】对于①：由三角函数的定义可知，，

，故①正确；

对于②：由于，，

函数关于原点对称是错误的，故②错误；

对于③：当时，，

图象关于对称是错误的，故③错误：

对于④：由于，函数为周期函数，且最小正周期为，故④正确，

综上，故正确的是①④.

故答案为：①④

10．函数的值域为________.

【答案】

【分析】分析函数在区间的单调性，利用单调性得出函数的最大值和最小值，由此可得出函数的值域.

【详解】设，，作出函数在区间上的图象如下图所示：

可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

当时，，由，得，由，得，所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

则函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以，，

又，，

，，

因此，函数的值域为.

故答案为.

【点睛】本题考查函数值域的求解，将函数分拆成两个简单函数来分析单调性，进而分析原函数的单调性是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

11．已知，则的取值范围是______.

【答案】

【分析】根据题意得到，求得或，结合，即可求解.

【详解】因为，可得，

解得或，

又由

因为，或，所以.

故答案为：.

12．已知函数，（），若函数在区间内没有零点，则的取值范围为_______.

【答案】

【分析】先由二倍角公式和辅助角公式得到，再令，得到，，根据函数在区间内没有零点，得到，然后由，得到k的范围，然后将函数在区间内没有零点，转化为在内没有整数求解.

【详解】解：，

由，得，即，.

函数在区间内没有零点，

，若.

则，

若函数在区间内没有零点，等价于在内没有整数，

则，即，

若内有整数，.

则当时，由，得，即

若当时，由，得，即，此时.

当时，由，得，即此时超出范围.

即若内有整数，则或.

则若内没有整数，则或，

故答案为：.

二、单选题

13．若在中，是的（    ）条件

A．充分非必要 B．必要非充分

C．充要 D．既非充分又非必要

【答案】C

【分析】在三角形中，结合正弦定理，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．

【详解】解：在三角形中，若，根据大角对大边可得边，由正弦定理，得．

若，则正弦定理，得，根据大边对大角，可知．

所以，“”是“”的充要条件．

故选：C．

14．已知知 △ABC 内接于单位圆.则长为sin A 、sin B 、sin C 的三条线段（    ） .

A．能构成一个三角形， 其面积大于△ABC 面积的

B．能构成一个三角形， 其面积等于△ABC 面积的

C．能构成一个三角形， 其面积小于△ABC 面积的

D．不一定能构成三角形

【答案】C

【详解】由正弦定理得，故以sin A、sin B 、sin C 组成的三角形与△ABC 相似， 其面积为△ABC 面积的, 选C.

15．把化成时，下列关于辅助角的表述中，不正确的是（    ）

A．辅助角一定同时满足，

B．满足条件的辅助角一定是方程的解

C．满足方程的角一定都是符合条件的辅助角

D．在平面直角坐标系中，满足条件的辅助角的终边都重合

【答案】C

【分析】首先利用辅助角公式对式子化简，得到辅助角的正弦值、余弦值.

选项A、B可直接代入来说明是正确的；选项C通过所求解的不确定性来说明是错误的；选项D根据三角函数的定义来说明是正确的.

【详解】因为

，

其中，，，.

选项A：由上述解答知，选项A正确.

选项B：因为，所以满足条件的辅助角一定是方程的解，故选项B正确.

选项C： 因为由可以得到，但也可以得到，

所以满足方程的角不一定都是符合条件的辅助角，故选项C不正确.

选项D：因为当一个角的正弦值、余弦值都确定时，它与单位圆的交点就确定了，所以当两个角的正弦值、余弦值都相等时，它们与单位圆的交点必在同一点，所以它们的终边相同，故选项D正确.

故选：C.

16．有一个解三角形的题因纸张破损有一个条件不清，具体如下：“在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，______，求角.”经推断破损处的条件为三角形一边的长度，且答案提示.在同学的相互讨论中，甲同学认为应该填写的条件为：“”；乙同学认为应该填写条件为“”，则下列判断正确的是（    ）

A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确

C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确

【答案】B

【分析】根据，，得到，再利用正弦定理求得边b，c，验证即可.

【详解】可得，，

，

又，

由正弦定理得，

则，

解得，.

若条件为，

则由正弦定理得：，解得，

或，答案不唯一，不符合题意，

若条件为，

则由正弦定理得：，解得，

或，

，，答案唯一，符合题意，

故答案为，

故选：B.

三、解答题

17．已知.

（1）求的值；

（2）求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）化，然后利用两角差的正切公式可得答案；

（2）先利用二倍角公式、诱导公式化简，然后弦化切可得答案.

【详解】（1）；

（2）

.

18．在中，，，分别为内角，，所对的边，且满足

.

(1)求的大小；

(2)现给出三个条件：（1）；（2）；（3）.试从中选出两个可以确定的条件写出你的选择，并以此为依据求的面积.（需写出所有可行的方案）

【答案】(1)；

(2)答案见解析

【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角相互转化即可得到结果.

（2）根据题意，分别选（1）（3），（1）（2），（2）（3），结合正弦定理与余弦定理以及三角形的面积公式即可得到结果.

【详解】（1）因为，结合正弦定理可得，

，

化简可得，

即，又，

得，，即.

（2）①②③

①若选择（1）（3），

由余弦定理可得，，即

解得，则，

②若选择（1）（2）

由正弦定理可得，，

又，

③若选择（2）（3），则,

由正弦定理可得，

且，，即，

所以这样的三角形不存在.

19．如图，在海岸线一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段，该曲线段是函数，的图象，图象的最高点为.边界的中间部分为长1千米的直线段，且.游乐场的后部分边界是以为圆心的一段圆弧.

(1)求曲线段的函数表达式；

(2)如图，在扇形区域内建一个平行四边形休闲区，平行四边形的一边在海岸线上，一边在半径上，另外一个顶点在圆弧上，且，求平行四边形休闲区面积的最大值及此时的值.

【答案】（1），，；（2）时，平行四边形面积最大值为．

【分析】（1）由题意可得，，代入点求，从而求解析式；（2）作图求得，从而求得最值．

【详解】（1）由已知条件，得，

又，，．

又当时，有，．

曲线段的解析式为，，．

（2）如图，，，，，

作轴于点，在中，，

在中，，

．

  ．

当时，即时，平行四边形面积最大值为．

【点睛】本题主要考查了三角函数在实际问题中的应用，考查了学生的作图能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题．

20．己知函数（，）的周期为，图像的一个对称中心为，将函数图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图象.

(1)求函数的解析式；

(2)若与在轴右侧的前三个交点分别为、、，求的面积的值；

(3)当，求实数与正整数，使在恰有2023个零点.

【答案】(1)

(2)

(3)，.

【分析】（1）由周期为求得，再根据图象的一个对称中心为求得；

（2）利用伸缩变换和平移变换得到，再令得到A，B，C，然后利用三角形面积公式求解；

（3）由，得到，设或（），再分，，求解.

【详解】（1）解：，

当时，（），

取；

（2）将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），

得到，

再将所得图像向右平移个单位长度后得到函数，

由，得，即，

解得或.

得、、，

；

（3）由，.

令，对称轴，

不妨设或（），显然，，

若，则在上必有偶数个零点，得或，

当，则（舍去）；

当，则，此时在上有3个零点，

故，

综上所述，，.

21．已知函数，（其中，）

(1)当时，求函数的严格递增区间；

(2)当时，求函数在上的最大值（其中常数）；

(3)若函数为常值函数，求的值.

【答案】(1)，；

(2)

(3).

【分析】（1）当时，化简为，再由，，求解即可；

（2）由（1）得， 从而，令，先求得，则转化为求，的最大值，分和两种情况求解即可；

（3）由函数为常值函数，采用赋值法求得的值，再代入验证即可.

【详解】（1）当时，

由，，得，.

故的严格递增区间为，.

（2）由（1）可知，当时，，

则，

令，当时，则，所以，

则，即.

于是，

①当时，，当且仅当时，最大值为；

②当时，在上递减，则在上是增函数，则当时，最大值为，

综上所述，

（3）由函数为常值函数，令，则原式，

令，则原式（为正整数）；

令，则原式，即，

因为（为正整数），即为正奇数，所以，

即，则，

解得或，

又因为（为正整数），所以.

当时，原式为

.

所以当时，函数为常值函数.

【点睛】关键点睛：第三问的关键是抓住函数为常值函数，因此可以采用赋值法先确定的值，再代入验证即可.