上海市2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（16套）-05解答题提升题①

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上海市2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（16套）-05解答题提升题①
【考点目录】
一．函数恒成立问题（共1小题） 1
一．函数恒成立问题（共1小题） 13
九．平面与平面垂直（共2小题） 24
一十六．离散型随机变量的期望与方差（共2小题） 41
【专题练习】
一．函数恒成立问题（共1小题）
1．（2023•奉贤区二模）设函数的定义域是，它的导数是．若存在常数，使得对一切恒成立，那么称函数具有性质．
（1）求证：函数不具有性质；
（2）判别函数是否具有性质．若具有求出的取值集合；若不具有请说明理由．
二．三角函数中的恒等变换应用（共1小题）
2．（2023•宝山区二模）已知函数．
（1）求函数的最小正周期和单调区间；
（2）若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围．
三．根据实际问题选择函数类型（共2小题）
3．（2023•奉贤区二模）某小区有块绿地，绿地的平面图大致如图所示，并铺设了部分人行通道．
为了简单起见，现作如下假设：
假设1：绿地是由线段，，，和弧围成的，其中是以点为圆心，圆心角为的扇形的弧，见图1；
假设2：线段，，，所在的路行人是可通行的，圆弧暂时未修路；
假设3：路的宽度在这里暂时不考虑；
假设4：路用线段或圆弧表示，休息亭用点表示．
图图3中的相关边、角满足以下条件：
直线与的交点是，，．米．
小区物业根据居民需求，决定在绿地修建一个休息亭．根据不同的设计方案解决相应问题，结果精确到米．

（1）假设休息亭建在弧的中点，记为，沿和线段修路，如图2所示．求的长；
（2）假设休息亭建在弧上的某个位置，记为，作交于，作交于．沿、线段和线段修路，如图3所示．求修建的总路长的最小值；
（3）请你对（1）和（2）涉及到的两种设计方案做个简明扼要的评价．

4．（2023•松江区二模）某城市响应国家号召，积极调整能源结构，推出多种价位的新能源电动汽车．根据前期市场调研，有购买新能源车需求的约有2万人，他们的选择意向统计如下：
车型






价格
9万元
12万元
18万元
24万元
30万元
40万元
占比






（1）如果有购车需求的这些人今年都购买了新能源车，今年新能源车的销售额预计约为多少亿元？
（2）车企推出两种付款方式：
全款购车：购车时一次性付款可优惠车价的；
分期付款：无价格优惠，购车时先付车价的一半，余下的每半年付一次，分4次付完，每次付车价的．
①某位顾客现有万元现金，欲购买价值万元的某款车，付款后剩余的资金全部用于购买半年期的理财产品（该理财产品半年期到期收益率为，到期后，可用资金（含理财收益）继续购买半年期的理财产品，问：顾客选择哪一种付款方式收益更多？（计算结果精确到
②为了激励购买理财产品，银行对采用分期付款方式的顾客，赠送价值1888元的大礼包，试问：这一措施对哪些车型有效？（计算结果精确到
四．数列的求和（共1小题）
5．（2023•普陀区二模）已知均为不是1的正实数，设函数的表达式为．
（1）设且，求的取值范围；
（2）设，，记，，现将数列中剔除的项后、不改变其原来顺序所组成的数列记为，求的值．
五．等差数列与等比数列的综合（共1小题）
6．（2023•奉贤区二模）已知等差数列的公差不为零，，且，，成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）计算．
六．利用导数研究曲线上某点切线方程（共2小题）
7．（2023•浦东新区二模）设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图像．若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”．
（1）判断点与点是否为函数的1度点，不需要说明理由；
（2）已知，．证明：点是的0度点；
（3）求函数的全体2度点构成的集合．
8．（2023•宝山区二模）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体．如：方程中，当取给定的实数时，表示一条直线；当在实数范围内变化时，表示过点的直线族（不含轴）．
记直线族（其中为，直线族（其中为．
（1）分别判断点，是否在的某条直线上，并说明理由；
（2）对于给定的正实数，点，不在的任意一条直线上，求的取值范围（用表示）；
（3）直线族的包络被定义为这样一条曲线：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上每一点处的切线都是该直线族中的某条直线．求的包络和的包络．
七．解三角形（共1小题）
9．（2023•徐汇区二模）已知向量，，函数．
（1）设，且，求的值；
（2）在中，，，且的面积为，求的值．
八．棱柱、棱锥、棱台的体积（共1小题）
10．（2023•普陀区二模）如图，在直三棱柱中，，，．
（1）求证：；
（2）设与底面所成角的大小为，求三棱锥的体积．

九．平面与平面垂直（共2小题）
11．（2023•徐汇区二模）如图，在直三棱柱中，，，，点，分别在棱，上，且，．设．
（1）当时，求异面直线与所成角的大小；
（2）当平面平面时，求的值．

12．（2023•奉贤区二模）如图，在四棱锥中，，且．
（1）证明：平面平面；
（2）若，，且四棱锥的体积为，
求与平面所成的线面角的大小．

一十．二面角的平面角及求法（共2小题）
13．（2023•虹口区二模）如图，在圆锥中，是底面的直径，是底面圆周上的一点，且，，，是的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．

14．（2023•青浦区二模）如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，为侧棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值．

一十一．点、线、面间的距离计算（共2小题）
15．（2023•金山区二模）如图，在正三棱柱中，已知，是的中点．
（1）求直线与所成的角的大小；
（2）求证：平面平面，并求点到平面的距离．

16．（2023•杨浦区二模）四边形是边长为1的正方形，与交于点，平面，且二面角的大小为．
（1）求点到平面的距离；
（2）求直线与平面所成的角．

一十二．直线与椭圆的综合（共1小题）
17．（2023•浦东新区二模）椭圆的方程为，、为椭圆的左右顶点，、为左右焦点，为椭圆上的动点．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若△为直角三角形，求△的面积；
（3）若、为椭圆上异于的点，直线、均与圆相切，记直线、的斜率分别为、，是否存在位于第一象限的点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
一十三．直线与抛物线的综合（共1小题）
18．（2023•青浦区二模）如图，已知、、是抛物线上的三个点，且直线、分别与抛物线相切，为抛物线的焦点．
（1）若点的横坐标为，用表示线段的长；
（2）若，求点的坐标；
（3）证明：直线与抛物线相切．

一十四．直线与双曲线的综合（共1小题）
19．（2023•黄浦区二模）已知双曲线的中心在坐标原点，左焦点与右焦点都在轴上，离心率为3，过点的动直线与双曲线交于点、．设．
（1）求双曲线的渐近线方程：
（2）若点、都在双曲线的右支上，求的最大值以及取最大值时的正切值；（关于求的最值，某学习小组提出了如下的思路可供参考：①利用基本不等式求最值；②设为，建立相应数量关系并利用它求最值；③设直线的斜率为，建立相应数量关系并利用它求最值）
（3）若点在双曲线的左支上（点不是该双曲线的顶点，且，求证：△是等腰三角形．且边的长等于双曲线的实轴长的2倍．

一十五．直线与圆锥曲线的综合（共2小题）
20．（2023•闵行区二模）已知为坐标原点，曲线和曲线有公共点，直线与曲线的左支相交于、两点，线段的中点为．
（1）若曲线和有且仅有两个公共点，求曲线的离心率和渐近线方程；
（2）若直线经过曲线上的点，且为正整数，求的值；
（3）若直线与曲线相交于、两点，且直线经过线段中点，求证：．

21．（2023•松江区二模）已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为；双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，．过点作不垂直于轴的直线交曲线于点、，点为线段的中点，直线交曲线于、两点．
（1）求、的方程；
（2）若，求直线的方程；
（3）求四边形面积的最小值．

一十六．离散型随机变量的期望与方差（共2小题）
22．（2023•徐汇区二模）雅言传承文明，经典滋润人生，中国的经典诗文是中华民族精神文明的重要组成部分．某社区拟开展“诵读国学经典，积淀文化底蕴”活动．为了调查不同年龄人对此项活动所持的态度，研究人员随机抽取了300人，并将所得结果统计如表所示．
分组区间
，
，
，
，
，
人数
30
75
105
60
30
支持态度人数
24
66
90
42
18
（1）完成下列列联表，并判断是否有的把握认为年龄与所持态度有关；

年龄在50周岁及以上
年龄在50周岁以下
总计
支持态度人数
_____
_____
_____
不支持态度人数
_____
_____
_____
总计
_____
_____
_____
（2）以（1）中的频率估计概率，若在该地区所有年龄在50周岁及以上的人中随机抽取4人，记为4人中持支持态度的人数，求的分布以及数学期望．
参考数据：
参考公式：
23．（2023•青浦区二模）在全民抗击新冠疫情期间，某校开展了“停课不停学”活动，一个星期后，某校随机抽取了100名居家学习的高二学生进行问卷调查，得到学生每天学习时间（单位：的频率分布直方图如下，若被抽取的这100名学生中，每天学习时间不低于8小时有30人．
（1）求频率分布直方图中实数，的值；
（2）每天学习时间在，的7名学生中，有4名男生，3名女生，现从中抽2人进行电话访谈，已知抽取的学生有男生，求抽取的2人恰好为一男一女的概率；
（3）依据所抽取的样本，从每天学习时间在，和，的学生中按比例分层抽样抽取8人，再从这8人中选3人进行电话访谈，求抽取的3人中每天学习时间在，的人数的分布列和数学期望．

一十七．线性回归方程（共1小题）
24．（2023•宝山区二模）下表是某工厂每月生产的一种核心产品的产量（件与相应的生产成本（万元）的四组对照数据．

4
6
8
10

12
20
28
84
（1）试建立与的线性回归方程；
（2）研究人员进一步统计历年的销售数据发现，在供销平衡的条件下，市场销售价格会波动变化．经分析，每件产品的销售价格（万元）是一个与产量相关的随机变量，分布列为








假设产品月利润月销售量销售价格成本．（其中月销售量生产量）
根据（1）进行计算，当产量为何值时，月利润的期望值最大？最大值为多少？
一十八．独立性检验（共1小题）
25．（2023•虹口区二模）电解电容是常见的电子元件之一．检测组在的温度条件下对电解电容进行质量检测，按检测结果将其分为次品、正品，其中正品分合格品、优等品两类
（1）铝是组成电解电容必不可少的材料．现检测组在的温度条件下，对铝箵质量与电解电容质量进行测试，得到如下列联表，那么他们是否有的把握认为电解电容质量与铝质量有关？请说明理由；

电解电容为次品
电解电容为正品
铝箔为次品
174
76
铝箔为正品
108
142
（2）电解电容经检验为正品后才能装箱，已知两箱电解电容（每箱50个），第一箱和第二箱中分别有优等品8件与9件．现用户从两箱中随机挑选出一箱，并从该箱中先后随机抽取两个元件，求在第一次取出的是优等品的情况下，第二次取出的是合格品的概率．附录：，其中．

0.100
0.050
0.025
0.010
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

上海市2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（16套）-05解答题提升题①
参考答案与试题解析
一．函数恒成立问题（共1小题）
1．（2023•奉贤区二模）设函数的定义域是，它的导数是．若存在常数，使得对一切恒成立，那么称函数具有性质．
（1）求证：函数不具有性质；
（2）判别函数是否具有性质．若具有求出的取值集合；若不具有请说明理由．
【答案】（1）证明详见解析；
（2）当时，具有性质．
【解答】证明：（1）假设具有性质，即对一切恒成立，
，解得，
显然不存在实数使得成立，
故假设错误，原命题成立；
（2）解：假设具有性质，
即对一切恒成立，即对一切恒成立，
故，即，解得，
综上所述，当时，具有性质．
二．三角函数中的恒等变换应用（共1小题）
2．（2023•宝山区二模）已知函数．
（1）求函数的最小正周期和单调区间；
（2）若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围．
【答案】（1），单调递增区间为，，．单调递减区间为，，．
（2），．
【解答】解：（1），
故，
令，，则，，，
故函数的单调递增区间为，，．
令，，则，，，
故函数的单调递减区间为，，．
（2）关于的方程在上有两个不同的实数解，
在，上有两个不同的实数解，即函数与函数的图象在，上有两个不同的交点，
令，则，，
即函数与函数的图象在，上有两个不同的交点，函数在，上单调递增，在，上单调递减，
且，，
，
故实数的取值范围为，．
三．根据实际问题选择函数类型（共2小题）
3．（2023•奉贤区二模）某小区有块绿地，绿地的平面图大致如图所示，并铺设了部分人行通道．
为了简单起见，现作如下假设：
假设1：绿地是由线段，，，和弧围成的，其中是以点为圆心，圆心角为的扇形的弧，见图1；
假设2：线段，，，所在的路行人是可通行的，圆弧暂时未修路；
假设3：路的宽度在这里暂时不考虑；
假设4：路用线段或圆弧表示，休息亭用点表示．
图图3中的相关边、角满足以下条件：
直线与的交点是，，．米．
小区物业根据居民需求，决定在绿地修建一个休息亭．根据不同的设计方案解决相应问题，结果精确到米．

（1）假设休息亭建在弧的中点，记为，沿和线段修路，如图2所示．求的长；
（2）假设休息亭建在弧上的某个位置，记为，作交于，作交于．沿、线段和线段修路，如图3所示．求修建的总路长的最小值；
（3）请你对（1）和（2）涉及到的两种设计方案做个简明扼要的评价．

【答案】（1）约为346米；
（2）约为651米；
（3）（1）涉及到的设计方案总路径是米，比起方案2显然不是最优（短路径；
（2）涉及到的设计方案显然相对于方案1是相对不便捷（不利于段附近居民前往）．
【解答】解：（1）如图，以原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，

点为弧的中点，，即，
又可以计算得，
（米，
的长约为346米；
（2）设，
则，，，
设修建的总路长为，
则
，
，
令，则，，解得，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
的最小值为（米，
修建的总路长的最小值约为651米；
（3）（1）涉及到的设计方案总路径是米，比起方案2显然不是最优（短路径；
（2）涉及到的设计方案显然相对于方案1是相对不便捷（不利于段附近居民前往）．
4．（2023•松江区二模）某城市响应国家号召，积极调整能源结构，推出多种价位的新能源电动汽车．根据前期市场调研，有购买新能源车需求的约有2万人，他们的选择意向统计如下：
车型






价格
9万元
12万元
18万元
24万元
30万元
40万元
占比






（1）如果有购车需求的这些人今年都购买了新能源车，今年新能源车的销售额预计约为多少亿元？
（2）车企推出两种付款方式：
全款购车：购车时一次性付款可优惠车价的；
分期付款：无价格优惠，购车时先付车价的一半，余下的每半年付一次，分4次付完，每次付车价的．
①某位顾客现有万元现金，欲购买价值万元的某款车，付款后剩余的资金全部用于购买半年期的理财产品（该理财产品半年期到期收益率为，到期后，可用资金（含理财收益）继续购买半年期的理财产品，问：顾客选择哪一种付款方式收益更多？（计算结果精确到
②为了激励购买理财产品，银行对采用分期付款方式的顾客，赠送价值1888元的大礼包，试问：这一措施对哪些车型有效？（计算结果精确到
【答案】（1）43.3亿元；（2）①顾客选择全款购车方式收益更多；②这一措施对购买，，车型有效．
【解答】解：（1）销售一辆车的价格的数学期望为：
，
（万元）（亿
所以，今年新能源车的销售额预计约为43.3亿元；
（2）①全款购车两年后资产总额为：（万元），
分期付款购车两年后资产总额为（万元），
因为，所以顾客选择全款购车方式收益更多；
②由①得：，所以，
故这一措施对购买，，车型有效．
四．数列的求和（共1小题）
5．（2023•普陀区二模）已知均为不是1的正实数，设函数的表达式为．
（1）设且，求的取值范围；
（2）设，，记，，现将数列中剔除的项后、不改变其原来顺序所组成的数列记为，求的值．
【答案】（1），；（2）10216．
【解答】解：（1）由且，可得，
又，且，均为不是1的正实数，可得，
由，可得，即的取值范围是，；
（2）由，
，
而的前100项中有，0，4，6，8，，194，196，
其中属于的有4，16，64，
所以的前100项是的前103项去掉4，16，64三个元素，
则．
五．等差数列与等比数列的综合（共1小题）
6．（2023•奉贤区二模）已知等差数列的公差不为零，，且，，成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）计算．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）设等差数列的公差为，
则，．
因为，，成等比数列，所以，
即，代入，解得舍去）．
所以，
所以的通项公式为；
（2）因为，
所以数列正整数）是以25为首项，为公差的等差数列，
所以．
六．利用导数研究曲线上某点切线方程（共2小题）
7．（2023•浦东新区二模）设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图像．若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”．
（1）判断点与点是否为函数的1度点，不需要说明理由；
（2）已知，．证明：点是的0度点；
（3）求函数的全体2度点构成的集合．
【答案】（1）是的1度点，不是的1度点；（2）证明见解析；（3）或，．
【解答】解：（1）由题意，设，则曲线在点处的切线方程为，
该切线过原点时，，解得，故原点是函数的一个1度点；
又因为该切线过点，所以，
设，则，令，得，
所以时，，单调递减；时，，单调递增，
所以在处取得极小值，也是最小值，且（1），
所以无解，点不是函数的1度点；
（2）证明：设，，则曲线在点处的切线方程为，
则该切线过点，当且仅当，
设，，时，，
故在区间上单调递增，
当时，，恒不成立，即点是的一个0度点；
（3），
对任意，曲线在点处的切线方程为，
故点为函数的一个2度点当且仅当关于的方程恰有两个不同的实数解，
设，则点为函数的一个2度点，当且仅当有两个不同的零点，
若，则在上严格增，只有一个零点，不合要求；
若，，令得或，
由或时，，得严格增；当时，，得严格减，
故在时取得极大值，在时取得极小值（a），
又，，
当（a）时，由零点存在定理，在，，上各有一个零点，不合要求；
当（a）时，仅上有一个零点，不合要求；
当（a）时，仅上有一个零点，也不合要求；
故有两个不同零点当且仅当或（a），
若，同理可得有两个不同零点当且仅当或（a），
综上，函数的全体2度点构成的集合为或，．
8．（2023•宝山区二模）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体．如：方程中，当取给定的实数时，表示一条直线；当在实数范围内变化时，表示过点的直线族（不含轴）．
记直线族（其中为，直线族（其中为．
（1）分别判断点，是否在的某条直线上，并说明理由；
（2）对于给定的正实数，点，不在的任意一条直线上，求的取值范围（用表示）；
（3）直线族的包络被定义为这样一条曲线：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上每一点处的切线都是该直线族中的某条直线．求的包络和的包络．
【答案】（1）点在直线上；点不在的某条直线上；
（2）；
（3）的包络是曲线，；的包络为抛物线．
【解答】解：（1）将点代入直线族，可得，解得，
故点在直线上；
将代入直线族，可得，该方程无解，
故点不在的某条直线上；
（2）若点，不在的任意一条直线上，则关于的方程无解，
令，则，
当时，，单调递增，当，时，，单调递减，
则，则，即的取值范围为；
（3）由（2）的结论猜测的包络是曲线，，则，
由，解得，
在曲线，上任取一点，，则过该点的切线方程为，即，
而对任意的，的确为曲线，的切线，
故的包络是曲线，；
将整理为关于的方程，
若该方程无解，则△，整理得，
猜测的包络为，则，
由，得，
在抛物线上任取一点，
则过该点的切线方程为，即，
而对任意的，的确为抛物线的切线，
故的包络为抛物线．
七．解三角形（共1小题）
9．（2023•徐汇区二模）已知向量，，函数．
（1）设，且，求的值；
（2）在中，，，且的面积为，求的值．
【答案】（1）或；
（2）．
【解答】解：（1），
，，
，，
或；
（2），由（1）知，
在中，设内角、的对边分别是，，
则，
由余弦定理得，，
解得或，，
由正弦定理得，
故．
八．棱柱、棱锥、棱台的体积（共1小题）
10．（2023•普陀区二模）如图，在直三棱柱中，，，．
（1）求证：；
（2）设与底面所成角的大小为，求三棱锥的体积．

【答案】（1）证明见解答；
（2）．
【解答】解：（1）证明：由，，，得，
，，
在直三棱柱中，可得，，
平面，平面，
；
（2）由平面，可得为在底面内的射影，
知即为与平面所成的角，，
又△为直角三角形，且，，
为三棱锥的高，，
，
三棱锥的体积．
九．平面与平面垂直（共2小题）
11．（2023•徐汇区二模）如图，在直三棱柱中，，，，点，分别在棱，上，且，．设．
（1）当时，求异面直线与所成角的大小；
（2）当平面平面时，求的值．

【解答】解：（1）直三棱柱，平面，
，平面，，，
，建立分别以，，为，，轴的空间直角坐标系，
设，则，，
，0，，，0，，，0，，，1，，
，0，，，1，，
，，
，
向量和所成角为．
异面直线与所成角为．
（2），0，，，，，，0，，，，，
设平面的法向量，，，
则，取，得，，，
同理得平面的一个法向量，，，
平面平面，
，解得．
当平面平面时，的值为．

12．（2023•奉贤区二模）如图，在四棱锥中，，且．
（1）证明：平面平面；
（2）若，，且四棱锥的体积为，
求与平面所成的线面角的大小．

【答案】（1）证明详见解析；
（2）．
【解答】证明：（1）在四棱锥中，，
，，
又，
，
，
平面，
平面，
平面平面；
（2）解：取中点，连结，

，为的中点，
，
平面，平面，
，
，
底面，
设，
则，，
四棱锥的体积为，底面，
，解得，
，
，
底面，
为与平面所成的角，
在中，，
，
故与平面所成的线面角为．
一十．二面角的平面角及求法（共2小题）
13．（2023•虹口区二模）如图，在圆锥中，是底面的直径，是底面圆周上的一点，且，，，是的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）证明过程见解析；（2）二面角的余弦值为．
【解答】证明：（1）如图，由题意，，
为的中点，为的中点，，
则，
而平面，平面，则，
又，平面，
又平面，平面平面；
解：（2）平面，平面，则平面平面，
在平面中，过作，垂足为，在平面中，过作，垂足为，
连接，则平面，得，可得为二面角的平面角．
由已知可得，，，则，，，．
，，，
又，，得．
在中，，，得．
．
即二面角的余弦值为．

14．（2023•青浦区二模）如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，为侧棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值．

【答案】（1）证明过程见解答；（2）．
【解答】解：（1）证明：因为底面是等腰直角三角形，且，
所以，
因为平面，所以，
又，
所以平面．
（2）以为原点，直线，，为，，轴，建立空间直角坐标系，

则，0，，，0，，，2，，，0，，，2，，，0，，
由（1），是平面的一个法向量，
，，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，，
所以，
设与的夹角为，则，
所以，
所以，二面角的正弦值为．
一十一．点、线、面间的距离计算（共2小题）
15．（2023•金山区二模）如图，在正三棱柱中，已知，是的中点．
（1）求直线与所成的角的大小；
（2）求证：平面平面，并求点到平面的距离．

【答案】（1）；
（2）证明见解答，点到平面的距离为．
【解答】解：（1），是直线与所成的角，
在直角三角形中，，
直线与所成的角的大小为；
（2）平面，平面，，
又是的中点，，
，平面，
再由平面，平面平面，
过作于，平面平面，且平面平面，

平面，线段的长就是点到平面的距离，
，点到平面的距离为．
16．（2023•杨浦区二模）四边形是边长为1的正方形，与交于点，平面，且二面角的大小为．
（1）求点到平面的距离；
（2）求直线与平面所成的角．

【答案】（1）点到平面的距离为；
（2）直线与平面所成的角为．
【解答】解：（1）作于，
平面，平面，
，，
，平面，
平面，，
，，
平面，
为到平面的距离，
根据二面角的定义知，则，
，，
解得，
点到平面的距离为；
（2）作于，连接，，，

，，，平面，
平面，，
，，平面，
为与平面所成的角，
中，，，
得，．
直线与平面所成的角为．
一十二．直线与椭圆的综合（共1小题）
17．（2023•浦东新区二模）椭圆的方程为，、为椭圆的左右顶点，、为左右焦点，为椭圆上的动点．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若△为直角三角形，求△的面积；
（3）若、为椭圆上异于的点，直线、均与圆相切，记直线、的斜率分别为、，是否存在位于第一象限的点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）．
（2）或．
（3）存在位于第一象限的点，使得，点的坐标为，理由见解答．
【解答】解：（1）由椭圆的方程为，得标准方程为，
．，离心率．
（2）设，，
当时，，，，
此时；，
由对称性，不妨设时，且在第一象限，则，，
此时；，
综上，△的面积为或．
（3）设，，则直线的方程为，
由已知．，
同理：，
因而，，是方程的两根，所以，
得，由在第一象限得，
存在位于第一象限的点，使得，点的坐标为．
一十三．直线与抛物线的综合（共1小题）
18．（2023•青浦区二模）如图，已知、、是抛物线上的三个点，且直线、分别与抛物线相切，为抛物线的焦点．
（1）若点的横坐标为，用表示线段的长；
（2）若，求点的坐标；
（3）证明：直线与抛物线相切．

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解答．
【解答】解：（1）因为点的横坐标为，所以，
又的准线，；
（2）显然直线，的斜率都存在，
设，则过点的抛物线的切线方程为，
由，得，
令，则的两个解，分别为直线，的斜率，
，，，；
（3）证明：设，直线，
即，
由，得，
又直线与抛物线相切，△，
又直线与抛物线相切，同理可得，
又，是方程，即的两根，
，，，
直线与抛物线相切．
一十四．直线与双曲线的综合（共1小题）
19．（2023•黄浦区二模）已知双曲线的中心在坐标原点，左焦点与右焦点都在轴上，离心率为3，过点的动直线与双曲线交于点、．设．
（1）求双曲线的渐近线方程：
（2）若点、都在双曲线的右支上，求的最大值以及取最大值时的正切值；（关于求的最值，某学习小组提出了如下的思路可供参考：①利用基本不等式求最值；②设为，建立相应数量关系并利用它求最值；③设直线的斜率为，建立相应数量关系并利用它求最值）
（3）若点在双曲线的左支上（点不是该双曲线的顶点，且，求证：△是等腰三角形．且边的长等于双曲线的实轴长的2倍．

【答案】（1）；（2），；（3）证明见解答．
【解答】解：（1）因为双曲线的中心在坐标原点，左焦点与右焦点都在轴上，离心率为3，
可得设双曲线的方程为，
由，
可得，即有渐近线的方程为；
（2）由（1）可得，，所以双曲线的方程为，设，，
因为点，都在双曲线的右支上，所以，
所以，当且仅当时取得等号，即，
当时，，所以，
所以轴且，
又双曲线的方程为，
可令，解得，可得，又，
所以，
．
（3）证明：设直线的方程为，将代入双曲线的方程，可得，
设，，，，可得，，
由，可得，
故，
又，同号，所以，即，
所以，解得，
此时直线的斜率的绝对值为，
可知直线与双曲线的两支都相交，
又，所以，
则，它等于双曲线实轴长的2倍，
此时，
所以△是等腰三角形．

一十五．直线与圆锥曲线的综合（共2小题）
20．（2023•闵行区二模）已知为坐标原点，曲线和曲线有公共点，直线与曲线的左支相交于、两点，线段的中点为．
（1）若曲线和有且仅有两个公共点，求曲线的离心率和渐近线方程；
（2）若直线经过曲线上的点，且为正整数，求的值；
（3）若直线与曲线相交于、两点，且直线经过线段中点，求证：．

【答案】（1）；
（2）；
（3）证明见解析．
【解答】解：（1）因为曲线和有且仅有两个公共点，
所以曲线和的两公共点为左右顶点，
则，曲线的半焦距，
所以曲线的离心率，
渐近线方程为；
（2）联立，得，
设，，，，则，
所以，
故直线的方程为，
依题意直线经过点，代入得，则，所以，
因为直线与曲线的左支相交于两点，故，
得，则，所以，
又曲线和有公共点，所以，所以，
又为正整数，所以，
所以；
证明：（3）由（2）可得，
同理，联立直线与曲线，
可得，
因为，所以，
又因为，
所以，
即．
21．（2023•松江区二模）已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为；双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，．过点作不垂直于轴的直线交曲线于点、，点为线段的中点，直线交曲线于、两点．
（1）求、的方程；
（2）若，求直线的方程；
（3）求四边形面积的最小值．

【答案】（1）；
（2）或；
（3）2．
【解答】解：（1）由题意可知：，
所以，
解得：，
故椭圆，双曲线；
（2）由（1）知，因为直线不垂直于轴，设直线的方程为：，设点，，，，
则，
由，则，即，
联立：，可得：，△，
由韦达定理可得：，
将代入得：，解得，
当时，弦的中点，此时直线的方程为：，
当时，弦的中点，此时直线的方程为：，
所以直线的方程为或；
（3）设的中点，，由（2）可得，
且，点，
，直线的方程为：，
联立可得：，且，
由双曲线的对称性，不妨取点，
所以点到直线的距离为：，
点到直线的距离为：，
，
所以四边形的面积为，
因为，
所以当，即时，四边形的面积取最小值2．
一十六．离散型随机变量的期望与方差（共2小题）
22．（2023•徐汇区二模）雅言传承文明，经典滋润人生，中国的经典诗文是中华民族精神文明的重要组成部分．某社区拟开展“诵读国学经典，积淀文化底蕴”活动．为了调查不同年龄人对此项活动所持的态度，研究人员随机抽取了300人，并将所得结果统计如表所示．
分组区间
，
，
，
，
，
人数
30
75
105
60
30
支持态度人数
24
66
90
42
18
（1）完成下列列联表，并判断是否有的把握认为年龄与所持态度有关；

年龄在50周岁及以上
年龄在50周岁以下
总计
支持态度人数
_____
_____
_____
不支持态度人数
_____
_____
_____
总计
_____
_____
_____
（2）以（1）中的频率估计概率，若在该地区所有年龄在50周岁及以上的人中随机抽取4人，记为4人中持支持态度的人数，求的分布以及数学期望．
参考数据：
参考公式：
【答案】（1）列联表、答案见解析；
（2）分布列见解析；．
【解答】解：（1）完成列联表如下：

年龄在50周岁及以上
年龄在50周岁以下
总计
支持态度人数
60
180
240
不支持态度人数
30
30
60
总计
90
210
300
，
有的把握认为年龄与所持态度具有相关性；
（2）依题意，服从二项分布，
故，，
，
，，
的分布列为：

0
1
2
3
4






．
23．（2023•青浦区二模）在全民抗击新冠疫情期间，某校开展了“停课不停学”活动，一个星期后，某校随机抽取了100名居家学习的高二学生进行问卷调查，得到学生每天学习时间（单位：的频率分布直方图如下，若被抽取的这100名学生中，每天学习时间不低于8小时有30人．
（1）求频率分布直方图中实数，的值；
（2）每天学习时间在，的7名学生中，有4名男生，3名女生，现从中抽2人进行电话访谈，已知抽取的学生有男生，求抽取的2人恰好为一男一女的概率；
（3）依据所抽取的样本，从每天学习时间在，和，的学生中按比例分层抽样抽取8人，再从这8人中选3人进行电话访谈，求抽取的3人中每天学习时间在，的人数的分布列和数学期望．

【答案】（1），；
（2）；
（3）的分布列为：

0
1
2




．
【解答】解：（1）由，解得，
，
解得．
（2）从7名学生中任选2人进行电话访谈种数：，
记任选2人有男生为事件，则，
记任选2人有女生为事件，则，
则；
（3）用按比例分层抽样的方式从每天学习时间在，和，的学生中抽取8人，
抽中的8人每天学习时间在，的人数为人，
抽中的8人每天学习时间在，的人数为人，
设从8人中抽取的3人每天学习时间在，的人数为，则，1，2，
，
的分布列为：

0
1
2




的数学期望为．
一十七．线性回归方程（共1小题）
24．（2023•宝山区二模）下表是某工厂每月生产的一种核心产品的产量（件与相应的生产成本（万元）的四组对照数据．

4
6
8
10

12
20
28
84
（1）试建立与的线性回归方程；
（2）研究人员进一步统计历年的销售数据发现，在供销平衡的条件下，市场销售价格会波动变化．经分析，每件产品的销售价格（万元）是一个与产量相关的随机变量，分布列为








假设产品月利润月销售量销售价格成本．（其中月销售量生产量）
根据（1）进行计算，当产量为何值时，月利润的期望值最大？最大值为多少？
【答案】（1）；（2）当产量为39.4件时，月利润的期望值最大，最大值为1594.76万元．
【解答】解：（1）由表可知，，，
，，
所以，
，
故与的线性回归方程为．
（2）设月利润为，则，
所以月利润的分布列为








所以，
所以当时，取得最大值1594.76，
故当产量为39.4件时，月利润的期望值最大，最大值为1594.76万元．
一十八．独立性检验（共1小题）
25．（2023•虹口区二模）电解电容是常见的电子元件之一．检测组在的温度条件下对电解电容进行质量检测，按检测结果将其分为次品、正品，其中正品分合格品、优等品两类
（1）铝是组成电解电容必不可少的材料．现检测组在的温度条件下，对铝箵质量与电解电容质量进行测试，得到如下列联表，那么他们是否有的把握认为电解电容质量与铝质量有关？请说明理由；

电解电容为次品
电解电容为正品
铝箔为次品
174
76
铝箔为正品
108
142
（2）电解电容经检验为正品后才能装箱，已知两箱电解电容（每箱50个），第一箱和第二箱中分别有优等品8件与9件．现用户从两箱中随机挑选出一箱，并从该箱中先后随机抽取两个元件，求在第一次取出的是优等品的情况下，第二次取出的是合格品的概率．附录：，其中．

0.100
0.050
0.025
0.010
0.001

2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
【答案】（1）有的把握认为电解电容质量与铝质量有关；
（2）．
【解答】解：（1）列联表如下：

电解电容为次品
电解电容为正品
合计
铝箔为次品
174
76
250
铝箔为正品
108
142
250
合计
282
218
500
，
有的把握认为电解电容质量与铝质量有关；
（2）设第一次取出的是优等品为事件，第二次取出的是合格品为事件，
（A），
，
．
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