上海市2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（16套）-05解答题提升题②

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上海市2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（16套）-05解答题提升题②
【考点目录】
一．函数与方程的综合运用（共1小题） 1
一十四．线性回归方程（共1小题） 8
三．数列递推式（共1小题） 14
四．利用导数研究函数的单调性（共2小题） 16
五．利用导数研究函数的最值（共2小题） 19
六．利用导数研究曲线上某点切线方程（共1小题） 22
九．椭圆的性质（共1小题） 27
一十．直线与椭圆的综合（共2小题） 29
一十三．离散型随机变量的期望与方差（共2小题） 45
一十四．线性回归方程（共1小题） 48
【专题练习】
一．函数与方程的综合运用（共1小题）
1．（2023•黄浦区二模）三个互不相同的函数，与在区间上恒有或恒有，则称为与在区间上的“分割函数”．
（1）设，，试分别判断、是否是与在区间上的“分割函数”，请说明理由；
（2）求所有的二次函数（用表示，，使得该函数是与在区间上的“分割函数”；
（3）若，，，且存在实数，，使得为与在区间，上的“分割函数”，求的最大值．
二．数列的求和（共1小题）
2．（2023•嘉定区二模）已知，等差数列的前项和为，记．
（1）求证：函数的图像关于点中心对称；
（2）若、、是某三角形的三个内角，求的取值范围；
（3）若，求证：．反之是否成立？并请说明理由．
三．数列递推式（共1小题）
3．（2023•杨浦区二模）已知数列是由正实数组成的无穷数列，满足，，，．
（1）写出数列前4项的所有可能取法；
（2）判断：是否存在正整数，满足，并说明理由；
（3）为数列的前项中不同取值的个数，求的最小值．
四．利用导数研究函数的单调性（共2小题）
4．（2023•普陀区二模）已知、，设函数的表达式为（其中．
（1）设，，当时，求的取值范围；
（2）设，，集合，，记，若在上为严格增函数且对上的任意两个变量，，均有成立，求的取值范围；
（3）当，，时，记，其中为正整数．求证：．
5．（2023•滁州模拟）已知定义域为的函数，其导函数为，满足对任意的都有．
（1）若，，，求实数的取值范围；
（2）证明：方程至多只有一个实根；
（3）若，是周期为2的周期函数，证明：对任意的实数，，都有．
五．利用导数研究函数的最值（共2小题）
6．（2023•徐汇区二模）已知常数为非零整数，若函数，，满足：对任意，，，，则称函数为函数．
（1）函数，，是否为（2）函数？请说明理由；
（2）若为（1）函数，图像在，是一条连续的曲线，，，且在区间上仅存在一个极值点，分别记、为函数的最大、小值，求的取值范围；
（3）若，，且为函数，，对任意，，，恒有，记的最小值为（a），求的取值范围及（a）关于的表达式．
7．（2023•松江区二模）已知，记，，．
（1）试将、、中的一个函数表示为另外两个函数复合而成的复合函数；
（2）借助（1）的结果，求函数的导函数和最小值；
（3）记，是实常数，函数的导函数是．已知函数有三个不相同的零点、、．求证：．
六．利用导数研究曲线上某点切线方程（共1小题）
8．（2023•闵行区二模）如果曲线存在相互垂直的两条切线，称函数是“正交函数”．已知，设曲线在点，处的切线为．
（1）当（1）时，求实数的值；
（2）当，时，是否存在直线满足，且与曲线相切？请说明理由；
（3）当时，如果函数是“正交函数”，求满足要求的实数的集合；若对任意，曲线都不存在与垂直的切线，求的取值范围．
七．直线与平面所成的角（共1小题）
9．（2023•崇明区二模）如图，已知点在圆柱的底面圆的圆周上，为圆的直径，圆柱的表面积为，，．
（1）求直线与平面所成角的大小；
（2）求点到平面的距离．

八．二面角的平面角及求法（共1小题）
10．（2023•长宁区二模）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，、分别为棱、中点．
（1）求证：平面平面；
（2）若平面平面，直线与平面所成的角为，且，求二面角的大小．

九．椭圆的性质（共1小题）
11．（2023•奉贤区二模）已知椭圆，，．椭圆内部的一点，过点作直线交椭圆于，作直线交椭圆于．、是不同的两点．
（1）若椭圆的离心率是，求的值；
（2）设的面积是，的面积是，若，时，求的值；
（3）若点，，，满足且，则称点在点的左上方．求证：当时，点在点的左上方．
一十．直线与椭圆的综合（共2小题）
12．（2023•杨浦区二模）已知椭圆的右焦点为，直线．
（1）若到直线的距离为，求；
（2）若直线与椭圆交于、两点，且的面积为，求；
（3）若椭圆上存在点，过作直线的垂线，垂足为，满足直线和直线的夹角为，求的取值范围．

13．（2023•崇明区二模）已知椭圆，点，分别是椭圆与轴的交点（点在点的上方），过点且斜率为的直线交椭圆于，两点．
（1）若椭圆焦点在轴上，且其离心率是，求实数的值；
（2）若，求的面积；
（3）设直线与直线交于点，证明：，，三点共线．
一十一．直线与双曲线的综合（共1小题）
14．（2023•静安区二模）已知双曲线（其中，的左、右焦点分别为、（其中．
（1）若双曲线过点且一条渐近线方程为；直线的倾斜角为，在轴上的截距为．直线与该双曲线交于两点、，为线段的中点，求△的面积；
（2）以坐标原点为圆心，为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为．过作圆的切线，若切线的斜率为，求双曲线的离心率．
一十二．直线与圆锥曲线的综合（共7小题）
15．（2023•徐汇区二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于、两点点在点的上方），与轴交于点．
（1）当时，点为椭圆上除顶点外任一点，求△的周长；
（2）当且直线过点时，设，，求证：为定值，并求出该值；
（3）若椭圆的离心率为，当为何值时，恒为定值；并求此时面积的最大值．
16．（2023•金山区二模）已知椭圆．
（1）已知椭圆的离心率为，求椭圆的标准方程；
（2）已知直线过椭圆的右焦点且垂直于轴，记与的交点分别为、，、两点关于轴的对称点分别为、，若四边形是正方形，求正方形的内切圆的方程；
（3）设为坐标原点，、两点都在椭圆上，若是等腰直角三角形，其中是直角，点在第一象限，且、、三点按顺时针方向排列，求的最大值．
17．（2023•虹口区二模）已知动点到点的距离和它到直线的距离之比等于，动点的轨迹记为曲线，过点的直线与曲线相交于，两点．
（1）求曲线的方程；
（2）若，求直线的方程；
（3）已知，直线，分别与直线相交于，两点，求证：以为直径的圆经过点．
18．（2023•普陀区二模）在平面上设椭圆，梯形的四个顶点均在上，且．设直线的方程为

（1）若为的长轴，梯形的高为，且在上的射影为的焦点，求的值；
（2）设，直线经过点，求的取值范围；
（3）设，，与的延长线相交于点，当变化时，的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
19．（2023•宝山区二模）已知抛物线．
（1）求抛物线的焦点的坐标和准线的方程；
（2）过焦点且斜率为的直线与抛物线交于两个不同的点、，求线段的长；
（3）已知点，是否存在定点，使得过点的直线与抛物线交于两个不同的点、（均不与点重合），且以线段为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（2023•嘉定区二模）若直线和抛物线的对称轴不平行且与抛物线只有一个公共点，则称该直线是抛物线在该点处的切线，该公共点为切点．已知抛物线和，其中．与在第一象限内的交点为．和在点处的切线分别为和，定义和的夹角为曲线、的夹角．
（1）求点的坐标；
（2）若、的夹角为，求的值；
（3）若直线既是也是的切线，切点分别为、，当为直角三角形时，求出相应的的值．
21．（2023•长宁区二模）已知抛物线的焦点为，准线为，直线经过点且与交于点、．
（1）求以为焦点，坐标轴为对称轴，离心率为的椭圆的标准方程；
（2）若，求线段的中点到轴的距离；
（3）设为坐标原点，为上的动点，直线、分别与准线交于点、．求证：为常数．
一十三．离散型随机变量的期望与方差（共2小题）
22．（2023•长宁区二模）盒子中有5个乒乓球，其中2个次品，3个正品．现从中不放回地随机摸取2次小球，每次一个．
（1）记“第二次摸出的小球是正品”为事件，求证：；
（2）用表示摸出的2个小球中次品的个数，求的分布和期望．
23．（2023•崇明区二模）某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况：
（Ⅰ）从3月1日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率；
（Ⅱ）从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为，求的分布列及数学期望；
（Ⅲ）如图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据，制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（不用说明理由）．
一十四．线性回归方程（共1小题）
24．（2023•长宁区二模）某地新能源汽车保有量符合阻滞型增长模型，其中为自统计之日起，经过年后该地新能源汽车保有量，和为增长系数，为饱和量．
下表是该地近6年年底的新能源汽车的保有量（万辆）的统计数据：
年份
2018
2019
2020
2021
2022

0
1
2
3
4
保有量
9.6
12.9
17.1
23.2
31.4
假设该地新能源汽车饱和量万辆．
（1）若，假定2018年数据满足公式，计算的值（精确到并估算2023年年底该地新能源汽车保有量（精确到0.1万辆）；
（2）设，则与线性相关，请依据以上表格中相关数据，利用线性回归分析确定和的值（精确到．
附：线性回归方程中回归系数计算公式如下：
，

上海市2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（16套）-05解答题提升题②
参考答案与试题解析
一．函数与方程的综合运用（共1小题）
1．（2023•黄浦区二模）三个互不相同的函数，与在区间上恒有或恒有，则称为与在区间上的“分割函数”．
（1）设，，试分别判断、是否是与在区间上的“分割函数”，请说明理由；
（2）求所有的二次函数（用表示，，使得该函数是与在区间上的“分割函数”；
（3）若，，，且存在实数，，使得为与在区间，上的“分割函数”，求的最大值．
【答案】（1）是与在上的“分割函数”； 不是与在上的“分割函数”；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）因为恒成立，且恒成立，所以当时，恒成立，
故是与在上的“分割函数”；
又因为，当与1时，其值分别为1与，
所以与在上都不恒成立，
故不是与在上的“分割函数”；
（2）设是与在区间上的“分割函数”，
则对一切实数恒成立，
又因为，当时，它的值为4，
可知的图象在处的切线为直线，
它也是的图象在处的切线，
所以，可得，
所以对一切实数恒成立，
即且对一切实数恒成立，
可得且，即，
又时，与为相同函数，不合题意，
故所求的函数为；

（3）关于函数，令，可得，，
当与时，；当，与，时，，
可知是函数极小值点，0是极大值点，
该函数与的图象如图所示：

由为与在区间，上的“分割函数”，
故存在使得且直线与的图象相切，并且切点横坐标，，，
此时切线方程为，
即，，
设直线与的图象交于点，，，，
则由，可得，
所以，，
令，，，
则，当时，，
所以在，上单调递减，
所以（2），
所以，
所以的最大值为．
二．数列的求和（共1小题）
2．（2023•嘉定区二模）已知，等差数列的前项和为，记．
（1）求证：函数的图像关于点中心对称；
（2）若、、是某三角形的三个内角，求的取值范围；
（3）若，求证：．反之是否成立？并请说明理由．
【答案】（1）证明详见解析；
（2）；
（3）证明详见解析，反之不成立．
【解答】证明：（1）在函数的图像上任取一点，
点关于点的对称点为，
，
则，即点在函数图像上，
故函数的图像关于点中心对称．
（2）解：若、、是某三角形的三个内角，
则由三角形内角和性质可知，，
又为等差数列，
则，解得，
，
则，，，
，
不妨设，
则，即，
故的取值范围为，；
（3）证明：若，又，
因为为等差数列且，
所以当时，，于是，
故，
所以，得证，
若，则，
考虑存在等差数列，满足，则，
则与关于对称，
故．
下面证明，存在可以使得且．
不妨设，又，
则，
，考虑函数，，
其中，
因为，，
由零点存在定理可知，存在使得，
所以存在，使得即，但是，
故反之不成立．
三．数列递推式（共1小题）
3．（2023•杨浦区二模）已知数列是由正实数组成的无穷数列，满足，，，．
（1）写出数列前4项的所有可能取法；
（2）判断：是否存在正整数，满足，并说明理由；
（3）为数列的前项中不同取值的个数，求的最小值．
【答案】（1）数列前4项的所有可能取法有：，，，或，，，或，，，；
（2）不存在正整数，满足；
（3）的最小值为51．
【解答】解：（1），
，或，
则，或，
，，
，或，
①当时，，或，
②当时，，或，
数列是由正实数组成的无穷数列，
不符合题意，故舍去，
数列前4项的所有可能取法有：，，，或，，，或，，，；
（2）不存在，理由如下：
，
或，
当时，
数列是由正实数组成的无穷数列，
，即，或，
，
当时，
数列是由正实数组成的无穷数列，
，即，
，或（不合题意，舍去），
综上所述，，
，，，
不存在正整数，满足；
（3），
，
对于任意的，，均可以使用①递推，只有满足时，才可以使用②递推；
若，显然有，下一次只能用①递推，即，即②不能连续使用，
记，且，，，
若，则；
若，则，则，
且，
，，，中至少有，，，，，共51项，即，
则举例如下：，
数列中3，7，10，3，13，10，23，13，36，23，，此时，
的最小值为51．
四．利用导数研究函数的单调性（共2小题）
4．（2023•普陀区二模）已知、，设函数的表达式为（其中．
（1）设，，当时，求的取值范围；
（2）设，，集合，，记，若在上为严格增函数且对上的任意两个变量，，均有成立，求的取值范围；
（3）当，，时，记，其中为正整数．求证：．
【答案】（1）；（2）；（3）证明过程见解答．
【解答】解：（1）由题设，则，即，
故，
又，则，即，
所以的取值范围为；
（2）由题意，要使上的任意两个变量，，均有成立，
则只需当，时，成立即可，
又在上为严格增函数，则（1），
且在，上恒成立，
又在，上单调递减，则（1），解得，
由且，，，则在，上递减，
所以（1），则，解得，
综上，实数的取值范围为；
（3）证明：依题意，，且，，
令，则，
所以，
而，
，
则，
又，且，当且仅当时等号成立，
所以，
同理，，且均在时等号成立，
所以，
则，即得证．
5．（2023•滁州模拟）已知定义域为的函数，其导函数为，满足对任意的都有．
（1）若，，，求实数的取值范围；
（2）证明：方程至多只有一个实根；
（3）若，是周期为2的周期函数，证明：对任意的实数，，都有．
【答案】（1）；
（2）证明见解析
（3）证明见解析．
【解答】（1）解：因为，，，所以，
由题意知，在，上恒成立，即在，上恒成立，
所以，即在，上恒成立，
令，易知，在，上，函数和均单调递增，
所以，即实数的取值范围是．
（2）证明：令，故，
所以函数是严格减函数，故至多只有一个实根；
（3）证明：设的最大值为，最小值为，
在一个周期内，函数值必能取到最大值与最小值，
设（a），（b），
因为函数是周期为2，取一个周期，，且，
则有，
若，则成立，
若，设，即，故，且，则，
所以（a）成立，
综上，对任意实数，都成立，所以原式得证．
五．利用导数研究函数的最值（共2小题）
6．（2023•徐汇区二模）已知常数为非零整数，若函数，，满足：对任意，，，，则称函数为函数．
（1）函数，，是否为（2）函数？请说明理由；
（2）若为（1）函数，图像在，是一条连续的曲线，，，且在区间上仅存在一个极值点，分别记、为函数的最大、小值，求的取值范围；
（3）若，，且为函数，，对任意，，，恒有，记的最小值为（a），求的取值范围及（a）关于的表达式．
【答案】（1）是，理由见解析；
（2）；
（3），．
【解答】解：（1）是（2）函数，理由如下，
对任意，，，，
故
（2）（ⅰ）若为在区间上仅存的一个极大值点，则在严格递增，在，严格递减，
由，即，得，
又，，则，（构造时，等号成立），
所以；
（ⅱ）若为在区间上仅存的一个极小值点，则在严格递减，在，严格递增，
由，同理可得，
又，，则，（构造时，等号成立），
所以；
综上所述：所求取值范围为；
（3）显然为，上的严格增函数，任意，，，不妨设，
此时，
由为函数，得恒成立，即恒成立，
设，则为，上的减函数，
，得对，恒成立，
易知上述不等号右边的函数为，上的减函数，
所以，所以的取值范围为，
此时，
法1：当时，即，由，而，，所以为，上的增函数，
法，
因为，当，，，所以为，上的增函数，
由题意得，，．
7．（2023•松江区二模）已知，记，，．
（1）试将、、中的一个函数表示为另外两个函数复合而成的复合函数；
（2）借助（1）的结果，求函数的导函数和最小值；
（3）记，是实常数，函数的导函数是．已知函数有三个不相同的零点、、．求证：．
【答案】（1）；
（2），最小值为；
（3）证明见解析．
【解答】解：（1）；
（2）利用复合函数的求导法则可求得，
令，可求得：
令，，，所以，
解得，当时，，此时单调递减，
当时，，此时单调递增，
所以函数的最小值为；
证明：（3），
由，
，，
令，解得，此时单调递增，
令，解得，此时单调递减，
因为函数有三个不相同的零点，，，
而的零点为1，不妨设，则的零点为，，
不妨设，则，
令，
则，
令，则，
所以当时，，所以当时，是严格单调递增的，
所以当时，（1），
所以当时，，
则在上单调递增，
所以在上，．所以，
又，所以，
即，
又函数在上单调递增，所以，
即，
综上，．
六．利用导数研究曲线上某点切线方程（共1小题）
8．（2023•闵行区二模）如果曲线存在相互垂直的两条切线，称函数是“正交函数”．已知，设曲线在点，处的切线为．
（1）当（1）时，求实数的值；
（2）当，时，是否存在直线满足，且与曲线相切？请说明理由；
（3）当时，如果函数是“正交函数”，求满足要求的实数的集合；若对任意，曲线都不存在与垂直的切线，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）存在，理由见解析；
（3），，，，．
【解答】解：（1）由题设，函数定义域为，且，
由（1），则．
（2）当时，，则（8），
即的斜率，假设存在，则的斜率，
则有解，即在上有解，
该方程化简为，解得或，符合要求，
因此该函数存在另外一条与垂直的切线．
（3），
令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
设曲线的另一条切线的斜率为，
①当时，，显然不存在，即不存在两条相互垂直的切线；
②当时，（1），且（1），
趋近于0或趋向于正无穷大时，都趋向于正无穷大，
所以在、上各有一个零点、，
故当或，时，都有，，
当，时，，故必存在，
即曲线存在相互垂直的两条切线，所以，，
因为，，
由②知，曲线存在相互垂直的两条切线，
不妨设，，，，，
满足，即，
又，，
所以，
故，当且仅当时等号成立，
所以，解得，，，
又，即，
解得，
因为，，
所以，，
综上可知，对任意满足的所有函数不存在与垂直的切线的的取值范围是，，．
七．直线与平面所成的角（共1小题）
9．（2023•崇明区二模）如图，已知点在圆柱的底面圆的圆周上，为圆的直径，圆柱的表面积为，，．
（1）求直线与平面所成角的大小；
（2）求点到平面的距离．

【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）由题意知，直线与平面的夹角，即为，

易知，，
又，
故，进而有，，
由圆柱的表面积为，
可得，
故，
故直线与平面的夹角为．
（2）设点到平面的距离为，
则，，，
因为平面，，
所以平面，即，
在△中，，
故，
所以，即点到平面的距离为．

八．二面角的平面角及求法（共1小题）
10．（2023•长宁区二模）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，、分别为棱、中点．
（1）求证：平面平面；
（2）若平面平面，直线与平面所成的角为，且，求二面角的大小．

【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解答】解：（1）证明：因为、分别为棱、中点，
所以在中，，
因为平面，平面，
所以平面，
因为，，为棱中点．
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，
因为，，平面，
所以平面平面；
（2）因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，
所以是直线与平面所成的角，
因为直线与平面所成的角为，
所以，
所以，
因为，平面，
所以，，
因为，，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，即为直角三角形，
所以在中，由可得，
所以，即，
因为，，
所以是二面角的平面角，
所以二面角的大小为．
九．椭圆的性质（共1小题）
11．（2023•奉贤区二模）已知椭圆，，．椭圆内部的一点，过点作直线交椭圆于，作直线交椭圆于．、是不同的两点．
（1）若椭圆的离心率是，求的值；
（2）设的面积是，的面积是，若，时，求的值；
（3）若点，，，满足且，则称点在点的左上方．求证：当时，点在点的左上方．
【答案】（1）的值为1或4；
（2）1；
（3）证明见解析．
【解答】解：（1）因为椭圆的离心率是，
当时，，得；
当时，，得；
所以的值为1或4；
（2）由题意，直线的斜率存在，直线的斜率存在，，直线的方程，设，．
则，直线的方程，设，，
则，
由图，，
注意到，则．
又，
同理可得，
则．

（3）证明：由题意，直线的斜率存在，直线的斜率存在，，直线的方程，设，．
则，
，直线的方程，设，，
则，
则
，
又在椭圆内部，则，故，
又根据题意知，所以，所以当时，点在点的左上方．
一十．直线与椭圆的综合（共2小题）
12．（2023•杨浦区二模）已知椭圆的右焦点为，直线．
（1）若到直线的距离为，求；
（2）若直线与椭圆交于、两点，且的面积为，求；
（3）若椭圆上存在点，过作直线的垂线，垂足为，满足直线和直线的夹角为，求的取值范围．

【答案】（1）；
（2）；
（3），，．
【解答】解：（1）椭圆的右焦点为，
又到直线的距离为，，解得（舍去）或；
（2）设直线与轴交于点，与椭圆交于，，，，
，得，
由，得，
，解得，
经检验判别式大于0成立，
；
（3）若，直线经过，此时直线和直线的夹角为，不符合题意，
若，直线和直线的夹角为且，
的斜率为0或不存在，
又点在直线上，故或，
直线的方程为或，
代入椭圆方程可得：
或，
由△或△，
解得或，
综上所述：的取值范围为，，．
13．（2023•崇明区二模）已知椭圆，点，分别是椭圆与轴的交点（点在点的上方），过点且斜率为的直线交椭圆于，两点．
（1）若椭圆焦点在轴上，且其离心率是，求实数的值；
（2）若，求的面积；
（3）设直线与直线交于点，证明：，，三点共线．
【答案】（1）；
（2）；
（3）证明见解析．
【解答】解：（1）若椭圆焦点在轴上，且其离心率是，
则，解得．
（2）若，则过点且斜率为的直线的方程为：，椭圆的方程为：．
设，，，，联立，消去整理得，
解得，则，故，
于是．
依题意知，，
则点到的距离为，
故．
（3）证明：设，，，，
联立，得到，
由，得到直线方程为：，
令，解得，即，
又，，，为说明，，三点共线，
只用证，即证：，下用作差法说明它们相等：
，
而，，，
，
于是上式变为：，
由韦达定理，，于是，
故，命题得证．
一十一．直线与双曲线的综合（共1小题）
14．（2023•静安区二模）已知双曲线（其中，的左、右焦点分别为、（其中．
（1）若双曲线过点且一条渐近线方程为；直线的倾斜角为，在轴上的截距为．直线与该双曲线交于两点、，为线段的中点，求△的面积；
（2）以坐标原点为圆心，为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为．过作圆的切线，若切线的斜率为，求双曲线的离心率．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）双曲线过点且一条渐近线方程为，
则①，
双曲线过点，
则②，
联立①②解得，，，
故双曲线的方程为，
直线的倾斜角为，在轴上的截距为，
则的方程为，代入双曲线方程可得，，
设，，，，，
则，
为线段的中点，
则，，即，
，
△的面积为；
（2）由题意可知，圆的方程为，
联立，解得，，即，，
切线的斜率为，
则，化简整理可得，，
故，即，解得，
故双曲线的离心率为．
一十二．直线与圆锥曲线的综合（共7小题）
15．（2023•徐汇区二模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于、两点点在点的上方），与轴交于点．
（1）当时，点为椭圆上除顶点外任一点，求△的周长；
（2）当且直线过点时，设，，求证：为定值，并求出该值；
（3）若椭圆的离心率为，当为何值时，恒为定值；并求此时面积的最大值．
【答案】（1）；
（2）证明见解析，；
（3）；1．
【解答】解：（1）当时，椭圆，△的周长为；
（2）证明：当且直线过点时，椭圆，直线斜率存在，，

联立，消去得：，△恒成立，
设，，，，则，
由，点的横坐标为0，
考虑向量横坐标得到，，
从而

，所以为定值3；
（3），解得，故椭圆方程，联立，
消元得，△，即，
设，，，，则，，
则
，
当为定值时，即与无关，故，得，
此时，
又点到直线的距离，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
经检验，此时△成立，所以面积的最大值为1．
16．（2023•金山区二模）已知椭圆．
（1）已知椭圆的离心率为，求椭圆的标准方程；
（2）已知直线过椭圆的右焦点且垂直于轴，记与的交点分别为、，、两点关于轴的对称点分别为、，若四边形是正方形，求正方形的内切圆的方程；
（3）设为坐标原点，、两点都在椭圆上，若是等腰直角三角形，其中是直角，点在第一象限，且、、三点按顺时针方向排列，求的最大值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解答】解：（1）椭圆的离心率为，
则，，解得，
，
故椭圆的标准方程为；
（2）设右焦点，左焦点，
四边形是正方形，
不妨设点在第一象限，则，
，，
则，解得，
正方形的内切圆的圆心为，半径为，
则所求圆的方程为；
（3）设直线的倾斜角为，，斜率为，
则直线的斜率为，
设，，，，
则，，
联立，得，
同理可得，，
，
，即，化简整理可得，，
且，
则要使上述关于的一元二次方程有正数解，
则△，解得，
故的最大值为．
17．（2023•虹口区二模）已知动点到点的距离和它到直线的距离之比等于，动点的轨迹记为曲线，过点的直线与曲线相交于，两点．
（1）求曲线的方程；
（2）若，求直线的方程；
（3）已知，直线，分别与直线相交于，两点，求证：以为直径的圆经过点．
【答案】（1）；（2）或；（3）证明见解析．
【解答】解：（1）动点到点的距离和它到直线的距离之比等于，
，，
曲线的方程为；
（2）当过点的直线的斜率为0时，直线的方程为，
直线与椭圆的交点为，，，，
，，，，，
，，，，
，与矛盾，
当过点的直线的斜率不为0时，设直线的方程为，
联立得，即，
设，，，，
则①，②，
，，，，③，
由①②③得，，
直线的方程为或；
证明：（3），，，
直线的方程为，直线的方程为，
联立得，解得，，同理得，，
，，，，




，
，
以为直径的圆经过点．
18．（2023•普陀区二模）在平面上设椭圆，梯形的四个顶点均在上，且．设直线的方程为

（1）若为的长轴，梯形的高为，且在上的射影为的焦点，求的值；
（2）设，直线经过点，求的取值范围；
（3）设，，与的延长线相交于点，当变化时，的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）2；（2）；（3）的面积是定值，定值为．
【解答】解：（1）因为为的长轴，的高为，，
所以点的纵坐标为，代入椭圆方程得，
可得，又因为在上的射影为的焦点，
，解得，，．
（2）由题意，椭圆，直线的方程为，
设，，，，则，
化简得，△，
得，，，

，
，，
的取值范围为；
（3）设直线的方程为，，，，，
，，，，联立，化简得，
△，，，
，
联立，化简得，，，
，
，所以，
化简得，即，又的高为，
，
将代入化简得，，
故的面积为定值．
19．（2023•宝山区二模）已知抛物线．
（1）求抛物线的焦点的坐标和准线的方程；
（2）过焦点且斜率为的直线与抛物线交于两个不同的点、，求线段的长；
（3）已知点，是否存在定点，使得过点的直线与抛物线交于两个不同的点、（均不与点重合），且以线段为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）焦点，准线；
（2）20；
（3）．
【解答】解：（1）抛物线，
则，且焦点在轴正半轴，
故抛物线的焦点，准线；
（2）由（1）可得，，
则直线方程为，
设，，，，
联立方程，化简整理可得，，
△，，
故；
（3）存在，理由如下：
设直线，，，，，
联立方程，消去可得，，
则△，，，
，，
若以线段为直径的圆恒过点，
则，

，
，解得或，
若，即，
直线，过定点，与点重合，不符合题意，
若，即，
则△，
则直线，过定点，
综上所述，直线过定点．
20．（2023•嘉定区二模）若直线和抛物线的对称轴不平行且与抛物线只有一个公共点，则称该直线是抛物线在该点处的切线，该公共点为切点．已知抛物线和，其中．与在第一象限内的交点为．和在点处的切线分别为和，定义和的夹角为曲线、的夹角．
（1）求点的坐标；
（2）若、的夹角为，求的值；
（3）若直线既是也是的切线，切点分别为、，当为直角三角形时，求出相应的的值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）或．
【解答】（1）解：若直线和抛物线的对称轴不平行且与抛物线只有一个公共点，则称该直线是抛物线在该点处的切线，该公共点为切点，
已知抛物线和，其中．与在第一象限内的交点为．和在点处的切线分别为和，定义和的夹角为曲线、的夹角，
设点，联立方程，
解得，即点的坐标为；
（2）解：设和的斜率分别为和，
因为在第一象限内，对于考虑函数，求导，
代入点横坐标，得，
对于，考虑函数，求导，代入点横坐标，得，
因为、的夹角为，所以和的夹角为，由夹角公式得：，
化简为，即，得；
（3）若直线既是也是的切线，切点分别为、，当为直角三角形时，
因为显然不与坐标轴平行，所以其方程设为，
因为和只有一个公共点，所以方程组有两个相同的解，所以的判别式△，即，
同理方程组有两个相同的解，所以的判别式△，即，
联立方程，解得，又点纵坐标为，点横坐标为，
所以、，
设，则，，，
若为直角，则，，，；
若为直角，则，，，；
若为直角，则，，无解，
综上，或为所求，
则相应的的值为或．
21．（2023•长宁区二模）已知抛物线的焦点为，准线为，直线经过点且与交于点、．
（1）求以为焦点，坐标轴为对称轴，离心率为的椭圆的标准方程；
（2）若，求线段的中点到轴的距离；
（3）设为坐标原点，为上的动点，直线、分别与准线交于点、．求证：为常数．
【答案】（1）．
（2）1；
（3）证明详见解析．
【解答】解：（1）的焦点为，
设椭圆方程为，半焦距为，
则，，
所以，，
故椭圆的标准方程为．
（2）设，，，，
因为，所以，
由题意可知，直线过点，
则可设直线的方程为，
联立，化简整理可得，，
由韦达定理可得，，得，
设线段的中点，，
则，
所以线段的中点到轴的距离为1；
（3）证明：抛物线，
则准线方程，
设，，，，，，，，
直线的斜率为，直线的斜率为，
直线的方程为，
直线的方程为，
所以，，
设直线的方程为，
代入抛物线方程得，
所以，
所以
，
故为常数．
一十三．离散型随机变量的期望与方差（共2小题）
22．（2023•长宁区二模）盒子中有5个乒乓球，其中2个次品，3个正品．现从中不放回地随机摸取2次小球，每次一个．
（1）记“第二次摸出的小球是正品”为事件，求证：；
（2）用表示摸出的2个小球中次品的个数，求的分布和期望．
【答案】（1）详见解答过程；
（2）分布列见解答过程，．
【解答】证明：（1）记“第一次摸出的小球是正品”为事件，
，，
，，
因为，
所以．
（2），，，
所以的分布为

0
1
2

0.3
0.6
0.1
故．
23．（2023•崇明区二模）某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况：
（Ⅰ）从3月1日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率；
（Ⅱ）从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为，求的分布列及数学期望；
（Ⅲ）如图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据，制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（不用说明理由）．
【解答】解：（Ⅰ）设“职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000”为事件（1分）
从3月1日至3月7日这七天中，3月2日，3月5日，3月7日这三天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000，所以；（3分）
（Ⅱ）的所有可能取值为0，1，2，（4分）
，
，
（7分）
的分布列为

0
1
2




（8分）；（10分）
（Ⅲ）3月3日（13分）
由直方图知，微信记步数落在，，，，，，，，，（单位：千步）区间内的人数依次为，，，，据折线图知，这只有3月2日、3月3日和3月7日；而由乙微信记步数排名第142，可知当天乙微信记步数在之间，根据折线图知，这只有3月3日和3月6日．所以只有3月3日符合要求．
一十四．线性回归方程（共1小题）
24．（2023•长宁区二模）某地新能源汽车保有量符合阻滞型增长模型，其中为自统计之日起，经过年后该地新能源汽车保有量，和为增长系数，为饱和量．
下表是该地近6年年底的新能源汽车的保有量（万辆）的统计数据：
年份
2018
2019
2020
2021
2022

0
1
2
3
4
保有量
9.6
12.9
17.1
23.2
31.4
假设该地新能源汽车饱和量万辆．
（1）若，假定2018年数据满足公式，计算的值（精确到并估算2023年年底该地新能源汽车保有量（精确到0.1万辆）；
（2）设，则与线性相关，请依据以上表格中相关数据，利用线性回归分析确定和的值（精确到．
附：线性回归方程中回归系数计算公式如下：
，
【答案】（1）29.21，40.3万辆．
（2），．
【解答】解：（1）因为，
所以，
因为，
所以估计2023年底该地新能源汽车保有量为40.3万辆；
（2）设，则，

0
1
2
3
4

9.6
12.9
17.1
23.2
31.4

3.37
3.07
2.77
2.44
2.11
，，
，即，
，
故．
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