7.2探索平行线的性质（解答题-提升题）-七年级数学下学期期末复习知识点专题练习（苏科版-江苏期末真题精选）

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7.2探索平行线的性质（解答题-提升题）-七年级数学下学期期末复习知识点专题练习（苏科版-江苏期末真题精选）

一、解答题
1．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期末）推理填空：如图，，，．将求的过程填写完整．

因为，（已知）
所以______．（____________）
又因为，（已知）
所以______．（等量代换）
所以______．（____________）
所以______（____________）
又因为，
所以______．
2．（2022春·江苏南通·七年级统考期末）如图，中，，BD平分交的边AC于点D，E为直线AC上一点，过点E向直线AC的右边作射线EF，使，作的平分线EG交射线BD于点G．

(1)如图1，，点E与点A重合，求的度数；
(2)若，
①如图2，点E在DC的延长线上，求的度数（用含有的式子表示）；
②点E在直线AC上滑动，当存在时，其度数是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请直接用含的式子表示的度数．
3．（2022春·江苏盐城·七年级统考期末）填写下列推理中的空格：
已知：如图，//，直线EF分别交直线于点M、N，MG平分，NH平分．

求证：//．
证明：∵//（__________________），
∴_____（__________________）．
又∵MG平分平分（已知），
∴______，__________（___________）
∴（__________），
∴//（___________）．
4．（2022春·江苏南京·七年级统考期末）（1）如图1，AC平分，，试说明AB与CD的位置关系，并予以证明；
（2）如图2，在（1）的结论下，AB的下方点Р满足，G是CD上任一点，PO平分，，GM平分，下列结论：①的值不变；②的度数不变．可以证明，只有一个是正确的，请你作出正确的选择并求值．

5．（2022春·江苏泰州·七年级统考期末）如图，点B、D分别在AE、CF上，EF分别交AD、BC于点M、N，，．

(1)AD与BC有怎样的位置关系？为什么？
(2)求证：．
6．（2022春·江苏宿迁·七年级统考期末）请在括号内加注理由或在横线上填入相关内容：
已知：如图，直线分别交、于点、，且．求证：．

证明：过点作
∴（______）
∵（已知）
∴（______）
∴______（平行于同一条直线的两条直线平行）
∴（两直线平行，同旁内角互补）
∴____________（等式性质）
即：．
7．（2022春·江苏徐州·七年级统考期末）完成下面的证明．
已知：如图，，．
求证：．

证明：∵（已知），
（__________），
∴（等量代换）
∴（同旁内角互补，两直线平行），
∴（___________________），
∵（已知），
∴（_________________），
∴（______________________）．
8．（2022春·江苏连云港·七年级统考期末）已知：如图，//．求证：．

(1)下面是小明同学的推理过程，请按先后顺序填写空格：
解：连接．
∵（已知）
∴___________//___________（内错角相等，两直线平行）
∴（___________）
∵//（已知）
∴（两直线平行，内错角相等）
∴___________（___________）
即．
(2)试用其他方法进行推理，并书写证明过程．
9．（2022春·江苏常州·七年级统考期末）去年汛期期间，防汛指挥部在某重要河流的一段危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看河水及两岸河堤的情况．如图1，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是15度/秒，灯B转动的速度是5度/秒．假定这一带两岸河堤是平行的，即PQMN，且∠BAN=45°．

(1)若灯B射线先转动4秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
(2)如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若灯A射出的光束与灯B射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？若不变，请直接写出其数量关系；若改变，请说明理由．
10．（2022春·江苏淮安·七年级统考期末）已知：直线．
(1)如图，点E在直线BD的左侧，则∠B，∠D和∠E之间的数量关系是 ．

(2)如图，点E在直线BD的左侧，BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE，试探究∠BFD和∠BED的数量关系，并说明理由．

(3)如图，点E在直线BD的右侧，BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE，请直接写出∠BFD和∠BED的数量关系．

11．（2022春·江苏扬州·七年级统考期末）已知：如图1，AD∥BC，∠ABC=∠ADC，求证：AB∥CD.

(1)请补充下面证明过程
证明：∵AD∥BC（已知）
∴∠____+∠ABC =180°(________________________)
∵∠ABC=∠ADC（已知）
∴∠ ∠ADC =180°（ ）
∴AB∥CD(__________________________)
(2)某同学想到了另一种证法，请你补充完整他的证明过程.
证明：连接BD，如图2.
12．（2022秋·江苏·七年级期末）如图1，T，Z为直线UV同侧的两点，W为直线UV上的一点，连接WT，WZ．若，则称点W为T，Z两点关于直线UV的反射点．

(1)如图2，点О是A，B两点关于CD的反射点．若，直接写出射线OA的方向；
(2)如图3，A，B为CD同侧的两点，点О为CD上的一点，．若，求证：点О是A，B两点关于CD的反射点；
(3)如图4，点G是M，N两点关于EF的反射点，GP，GQ分别平分，．若，请补全图形并求的度数．
13．（2022秋·江苏苏州·七年级统考期末）如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点A，C，AD平分∠BAC，交CD于点D，若∠1＝∠2，且∠ADC＝54°．

(1)直线AB、CD平行吗？为什么？
(2)求∠1的度数．
14．（2022秋·江苏苏州·七年级统考期末）如图所示，已切直线AB∥直线CD，直线EF分别交直线AB、CD于点A，C．且∠BAC＝60°，现将射线AB绕点A以每秒2°的转速逆时计旋转得到射线AM．同时射线CE绕点C以每秒3°的转速顺时针旋转得到射线CN，当射线CN旋转至与射线CA重合时，则射线CN、射线AM均停止转动，设旋转时间为t（秒）．

(1)在旋转过程中，若射线AM与射线CN相交，设交点为P．
①当t＝20（秒）时，则∠CPA＝　 　°；
②若∠CPA＝70°，求此时t的值；
(2)在旋转过程中，是否存在AM∥CN？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
15．（2022秋·江苏苏州·七年级统考期末）如图，正方形网格中点A，B，C为三个格点（网格线的交点即为格点）．

(1)根据以下要求画图
①画直线AB，画射线AC；
②在图中确定一个格点D，画直线CD，使得直线CD⊥AC，交AB于点E；
③过点B画直线交线CD于点F；
(2)在第（1）小题中，与∠BAC相等的角有 　 　个．

参考答案：
1．∠3；两直线平行，同位角相等；∠3；DG；内错角相等，两直线平行；∠AGD；两直线平行，同旁内角互补；110°．
【分析】此题要注意由EF∥AD，可得∠2=∠3，由等量代换可得∠1=∠3，可得DG∥BA，根据平行线的性质可得∠BAC+∠AGD=180°，即可求解．
【详解】解：∵EF∥AD（已知）
∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等）；
∵∠1=∠2（已知），
∴∠1=∠3（等量代换）；
∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行）．
∴∠BAC+∠AGD=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠BAC=70°，
∴∠AGD=110°．
故答案为∠3；两直线平行，同位角相等；∠3；DG；内错角相等，两直线平行；∠AGD；两直线平行，同旁内角互补；110°．

此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定与性质定理．
2．(1)65°
(2)①；②变化，或

【分析】(1)过G作交AB于点M，根据平行线的性质及角平分线的定义，可得，，据此即可求得；
(2)①过G作交AB于点M，根据平行线的性质及角平分线的定义，可得，，据此即可求得；②根据(1)和①即可解答．
【详解】（1）解：如图1，过G作交AB于点M．
∵，
∴，
∴，．
∵BD平分，，
∴．
∵，
∴．
∵EG平分，
∴．
∴．

（2）解：①如图2，过G作交AB于点M．
∵，
∴．
∵BD平，EG平分，
∴ ，．
∴．
②变化；
当点E在点D的上方时，方法同(1)可得，，
当点E在点D的下方时，方法同①可得，，
故当存在时，其度数发生变化，度数为或．

本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，作出辅助线和采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
3．已知；END；两直线平行，同位角相等；EMB；END；角平分线的定义；等量代换；同位角相等，两直线平行
【分析】根据角平分线的性质以及平行线的判定与性质即可解答．
【详解】证明：∵AB∥CD（已知），
∴∠EMB＝∠ END （两直线平行，同位角相等）．
又∵MG平分∠EMB，NH平分∠END （已知），
∴∠EMG＝EMB  ，∠ENH＝END （角平分线的定义 ），
∴∠EMG＝∠ENH （等量代换），
∴MG∥NH （同位角相等，两直线平行）．
本题主要考查角平分线的定义以及平行线的判定与性质，掌握角平分线的定义以及平行线的判定与性质是解题的关键．
4．（1），证明见解析；（2）②正确，19°
【分析】（1）由AC平分ÐDAB，Ð1=Ð2，可得∠2=∠BAC,进而即可得到结论；
（2）由角平分线的定义和三角形外角的性质，可得∠MGP=（∠BPG+∠B），由PQ∥GN，得∠NGP=∠GPQ=∠BPG，进而由∠MGN=∠MGP-∠NGP，即可得到结论．
【详解】解：（1）．
理由如下：∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）②正确
如图，根据三角形的外角性质，，

∵平分，平分，
∴，．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴②的度数不变．
本题主要考查角平分线的性质定理与平行线的性质和判定定理，理清角的和差倍分关系，是解题的关键．
5．(1)；理由见解析
(2)见解析

【分析】（1）根据，，以及，得出，即可得出；
（2）根据，得出，根据平行线的性质得出，根据，得出，即可得出答案．
(1)
解：；理由如下：
∵，，
又∵，
∴，
∴．
(2)
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
本题主要考查了平行线的性质和判定，熟练掌握两直线平行同位角相等，内错解相等，两直线平行，是解题的关键．
6．两直线平行，同旁内角互补；内错角相等，两直线平行；CD；∠3；∠4
【分析】作出辅助线，先判断出∠A+∠3=180°，再判断出∠C+∠4=180°，即可得到结论
【详解】证明：过点E作EHAB（经过直线外有且只有一条直线与已知直线平行），
∴∠A+∠3=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵∠1=∠2（已知），
∴ABCD（内错角相等，两直线平行），
∴EHCD（平行于同一条直线的两条直线平行），
∴∠C+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴∠A+∠3+∠4+∠C=180°+180°（等式性质），
即：∠A+∠AEC+∠C=360°．
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；内错角相等，两直线平行；CD；∠3；∠4．
此题是平行线的性质和判定，掌握平行线的性质和判定是解本题的关键．作出辅助线是本题的难点，是一道常规题．
7．对顶角相等；；（或）；两直线平行，同位角相等；
等量代换；内错角相等，两直线平行
【分析】先依据同旁内角互补，两直线平行，即可得到DF∥AB，再根据平行线的性质，即可得出∠B=∠FDH，进而得到∠3=∠FDH，即可依据内错角相等，两直线平行，判定EF∥BC．
【详解】证明：∵∠1+∠2=180°（已知），
∠2=∠4（对顶角相等），
∴∠1+∠4=180°（等量代换），
∴AB∥DF（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠B=∠FDH（两直线平行，同位角相等），
∵∠3=∠B（已知），
∴∠3=∠FDH（等量代换），
∴EF∥BC（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：对顶角相等；DF；同旁内角互补，两直线平行；∠FDH；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行．
本题考查了平行线的性质和判定，补角定义的应用，能运用平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键，注意：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
8．(1)BF；CE；两直线平行，内错角相等；∠ECB；等式的性质
(2)见解析

【分析】（1）根据平行线的性质与判定进行填空即可求解；
（2）分别延长EF、FE交AB、CD于点G、H，根据平行线的性质可得，根据，，由，从而得证．
【详解】（1）解：连接．
∵（已知）
∴BF //（内错角相等，两直线平行）。
∴（两直线平行，内错角相等；）
∵//（已知）
∴（两直线平行，内错角相等）
∴∠ECB（等式的性质），
即．
故答案为：BF；CE；两直线平行，内错角相等；∠ECB；等式的性质
（2）如图，分别延长EF、FE交AB、CD于点G、H
，
，
，
，
，
．

本题考查了平行线的判定与性质，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
9．(1)2秒或17秒
(2)不变，

【分析】（1）设A灯转动x秒时两灯的光束互相平行，分两种情况进行讨论：①在灯A射线转到AN之前；②在灯A射线转到AN之后．分别求得x的值即可．
（2）设灯A转动的时间为x秒，根据角的和差关系分别用含x的代数式表示出∠BAC和∠BCD，即可得到两角的数量关系．
【详解】（1）设A灯转动x秒时两灯的光束互相平行，
①当0＜x＜12时，
15x＝(x＋4)×5，
解得x＝2；
②12＜x＜24时，
180−15(x−12)＝(4＋x)×5，
解得x＝17；
③24＜x＜32时，
15(x−24)＝(4＋x)×5，
解得x＝38，
38＞32，不符合题意，舍去．
综上所述，当A灯转动2秒或17秒时两灯的光束互相平行．
（2）设灯A转动的时间为x秒，
则∠MAC＝15x，∠PBC＝5x．
∴∠CAN＝180°−15x，
∴∠BAC＝45°−（180°−15x）＝15x−135°，
∵PQ∥MN，
∴∠BCA＝∠PBC＋∠CAN＝180°−10x．
∵∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝90°−∠BCA＝10x−90°＝10（x−9°），
∵∠BAC＝15x−135°＝15（x−9°），
∴∠BAC：∠BCD＝3：2，
即2∠BAC＝3∠BCD．
本题考查了平行线的性质及角的和差关系，分类讨论是解题的关键．
10．(1)
(2),理由见解析
(3)

【分析】（1）作直线l平行于AB，根据两直线平行内错角相等，可得∠B=∠1，∠D=∠2，则∠BED=∠1+∠2=∠B+∠D；
（2）根据角平分线的性质可得，根据（1）的结论可得，所以；
（3）过点E作，由两直线平行同旁内角互补可得，根据角平分线的性质可得，代入前式得．
【详解】（1）过点E作直线l平行于AB，如图，

∵
∴
∴∠B=∠1，∠D=∠2
∴∠BED=∠1+∠2=∠B+∠D
即
（2）如图2，

∵BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，
∴，，
∴
由（1），可得

，
∴．
（3）．
解析：如图3，

过点E作
∵，，
∴，
∴，，
∴，
由（1）知，，
又∵BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，
∴，，
∴，
∴
本题考查了平行线和角平分线，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
11．(1)A；两直线平行，同旁内角互补；A；等量代换；同旁内角互补，两直线平行
(2)见解析

【分析】（1）结合平行线的性质和判定与部分证明补充完整即可；
（2）根据平行线的性质和判定进行证明即可．
（1）
证明：∵AD∥BC（已知），
∴∠A+∠ABC =180°(两直线平行，同旁内角互补)，
∵∠ABC=∠ADC（已知），
∴∠A+∠ADC=180°（等量代换），
∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)；
故答案为：A；两直线平行，同旁内角互补；A；等量代换；同旁内角互补，两直线平行；
（2）
证明：连接BD，如图2，
∵AD∥BC（已知），
∴∠ADB=∠CBD(两直线平行，内错角相等)，
∵∠ABC=∠ADC（已知），
∴∠ABD=∠CDB（等量代换），
∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)．
本题主要考查平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定定理是解题的关键．
12．(1)西偏北
(2)见解析
(3)图形见解析，

【分析】（1）根据题目反射点的概念可知，可得∠AOC＝∠BOD，即可得出射线OA的方向；
（2）根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等可得，∠C＝∠BOD，∠D＝∠AOC，由已知∠C＝∠D，等量代换可得∠AOC＝∠BOD，即可得出答案；
（3）根据题意画图，如解析图，设∠FGP＝，根据角平分线的性质可得∠FGP＝∠PGN，根据题意可得∠FGN＝∠EGM＝2，即可算出∠FGM＝180°－∠EGM，根据角平分线的性质可得∠FGQ＝∠MGQ，由∠PGQ＝∠FGQ－∠FGP＝50°，即可算出的度数，即可得出答案．
【详解】（1）解：射线OA的方向西偏北 ；
（2）∵，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴点О是A，B两点关于CD的反射点；
（3）如图，设 ，

∵PG平分，
∴ ，
∴ ，
∵点G是M，N两点关于EF的反射点，
∴ ，
∴ ，
∵GQ平分，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
本题主要考查了平行线的性质，角的计算及新定义的应用，熟练掌握平行线的性质，角的计算及新定义的应用进行求解是解决本题的关键．
13．(1)，见解析；
(2)72°

【分析】（1）根据对顶角的性质得到∠1=∠DCA，推出∠2=∠DCA，即可证得；
（2）根据平行线的性质求出∠DAB的度数，利用角平分线定义求出∠BAC，利用补角性质求出∠2，即可得到答案．
【详解】（1）解：，
理由：∵∠1=∠2，∠1=∠DCA，
∴∠2=∠DCA，
∴
（2）解：∵∠ADC＝54°，，
∴∠DAB=∠ADC＝54°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠DAB=108°，
∴∠2=180°-∠BAC=72°，
∴∠1=72°．
此题考查了平行线的判定及性质，对顶角相等，角平分线的定义，邻补角的定义，熟记平行线的判定定理及性质定理是解题的关键．
14．(1)①40°；②26
(2)12或48．

【分析】①当t=20（秒）时，∠ECP=60°，∠BAP=40°，可得∠CAP=20°，即得∠CPA=∠ECP-∠CAP=40°；②根据∠BAM=2t°，∠ECN=3t°，且AB∥CD，∠BAC=60°，可得（60°-2t°）+（180°-3t°）+70°=180°，即可解得t=26；
（2）分两种情况：分别画出图形，根据平行线的性质，找到相等的角列方程，即可解得答案．
【详解】（1）①如图：

当t=20（秒）时，∠ECP=20×3°=60°，∠BAP=20×2°=40°，
∵∠BAC=60°，
∴∠CAP=∠BAC-∠BAP=20°，
∴∠CPA=∠ECP-∠CAP=40°，
故答案为：40°；
②如图：

根据题意知：∠BAM=2t°，∠ECN=3t°，
∵AB//CD，∠BAC=60°，
∴∠CAP=60°-2t°，∠ACP=180°-3t°，
∵∠CPA=70°，
∴（60°-2t°）+（180°-3t°）+70°=180°，
解得t=26，
∴t的值是26；
（2）存在AM//CN，
分两种情况：
（Ⅰ）如图：

∵AM//CN，
∴∠ECN=∠CAM，
∴3t°=60°-2t°，
解得t=12，
（Ⅱ）如图：

∵AM//CN，
∴∠ACN=∠CAM，
∴180°-3t°=2t°-60°，
解得t=48，
综上所述，t的值为12或48．
本题考查一次方程的应用，涉及平行线与相交线、三角形内角和等知识，解题的关键是分类画出图形，找到等量关系列方程．
15．(1)①画图见解析；②画图见解析；③画图见解析；
(2)2

【分析】（1）①过画直线，以为端点画射线即可；
②利用线段是6个小正方形组成的长方形的对角线这个特点画直线 确定交点即可；
③利用线段是6个小正方形组成的长方形的对角线这个特点画直线 确定交点即可；
（2）利用平行线证明 结合对顶角的性质证明从而可得答案.
【详解】（1）解：①如图，直线 射线即为所求，
②如图，直线即为所求，点D即为所求作的格点，点即为所求的交点，
③如图，直线即为所求，

（2）解：如（1）图，




所以与相等的角有 共2个，
故答案为2
本题考查的是线段，射线，直线的作图，利用网格图的特点作垂线，作平行线，同时考查对顶角相等，平行线的性质，掌握以上知识是解本题的关键.