2023年广东省汕头市潮阳区高考数学三模试卷

这是一份2023年广东省汕头市潮阳区高考数学三模试卷，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年广东省汕头市潮阳区高考数学三模试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  已知集合，，则(    )A.  B.  C.  D. 2.  设，则在复平面内的共轭复数对应的点位于(    )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3.  某圆柱的轴截面是周长为的矩形，则该圆柱的侧面积的最大值是(    )A.  B.  C.  D. 4.  函数具有性质(    )A. 最大值为，图象关于对称
B. 最大值为，图象关于对称
C. 最大值为，图象关于直线对称
D. 最大值为，图象关于直线对称5.  我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于的偶数可以表示为两个素数的和”，如在不超过的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于的概率是(    )A.  B.  C.  D. 6.  已知，，，则，，大小为(    )A.  B.  C.  D. 7.  已知函数有三个零点，则实数的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 8.  已知数列中，，若，则下列结论中正确的是(    )A.  B.
C.  D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.  一个袋子有个大小相同的球，其中有个红球，个黑球，试验一：从中随机地有放回摸出个球，记取到红球的个数为，期望和方差分别为，；试验二：从中随机地无放回摸出个球，记取到红球的个数为，期望和方差分别为，；则(    )A.  B.  C.  D. 10.  设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论正确的是(    )A.  B. 为奇函数
C. 在上为减函数 D. 方程仅有个实数解11.  椭圆：的左右焦点分别为，，过，分别作两条平行的射线，交椭圆于，两点，均在轴上方，则(    )A. 当时，
B. 的最小值为
C. 当时，四边形的面积为
D. 四边形面积的最大值为12.  水平面上紧挨着放置个半径的小球不叠起，用一个半径最小的大半球把这个球罩住，记大半球的半径为，则(    )A. 当时， B. 当时，
C. 当时， D. 当时，三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.  展开式中的系数是______ ．14.  在中，，，，，求 ______ ．15.  现在有人通过个不同的闸机进站乘车，每个闸机每次只能过人，要求每个闸机都要有人经过，则有______ 种不同的进站方式用数字作答
 16.  双曲线：的左右焦点为，，过右焦点的直线与双曲线的右支交于，两点，当与的内切圆半径之比为：：时，则直线的斜率为______ ，此时若，则右焦点到右顶点的距离为______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
等差数列和各项均为正数的等比数列满足：，．
求数列和的通项公式；
数列是由数列和中不同的项按照从小到大的顺序排列得到的新数列，记数列的前项和为，求．18.  本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，，边上的高为．
若，求的周长；
求的最大值．19.  本小题分
如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．
证明：；
若是边长为的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．
20.  本小题分
某单位有名职工，想通过验血的方式筛查乙肝病毒携带者，假设携带病毒的人占，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验次，统计专家提出了一种化验方法：随机地按人一组分组，然后将个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这人全部阴性；如果混合呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次每一小组都要按要求独立完成
按照这种化验方法能减少化验次数吗？如果能减少化验次数，大约能减少多少？
如果携带病毒的人只占，按照个人一组，取多大时化验次数最少？此时大约化验多少次？
说明：，先减后增
  21.  本小题分
抛物线：的焦点为，直线过焦点与抛物线交于，两点，当垂直于轴时．
求抛物线的方程；
点，直线，与抛物线的交点分别为，；探究直线是否过定点，如果过定点，求出该定点：如果不过定点，请说明理由．22.  本小题分
已知函数，．
若，求函数的最大值；
当时，若函数有两个极值点，，且不等式恒成立，试求实数的取值范围．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：解不等式得，
又，所以，即集合，
所以．
故选：．
解不等式可得集合，求函数值域可得集合，进而可得．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
 2.【答案】 【解析】解：复数，
所以的共轭复数，
所以在复平面内的共轭复数对应的点位于第四象限．
故选：．
先求出复数，再求其共轭复数，即可判断．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
 3.【答案】 【解析】解：设该圆柱的底面圆半径为，高为，
则，
所以，
该圆柱的侧面积，
当且仅当时取等号，
所以该圆柱的侧面积的最大值是．
故选：．
设该圆柱的底面圆半径为，高为，由题意得到和的关系，由侧面积公式以及基本不等式求解最值即可．
本题考查了圆柱几何性质的应用，圆柱的侧面积公式的应用以及基本不等式求解最值的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
 4.【答案】 【解析】解：，
所以的最大值为，故AC均错误；
令，，
，，函数的对称中心为：，故选项B错误；
令，，
，，
所以函数的对称轴方程为：，．
故选：．
利用辅助角公式对函数进行化简，再利用三角函数的性质，即可解出．
本题考查了三角函数的性质，学生的数学运算能力，属于基础题．
 5.【答案】 【解析】解：不超过的素数为：，，，，，，，，，，，，共个数，
其中，共组数，
所以其和等于的概率．
故选：．
随机选取两个不同的数，基本事件总数为，利用列举法求出其和等于包含的基本事件有个，由此求出其和等于的概率．
本题主要考查古典概型概率问题的求解，属于基础题．
 6.【答案】 【解析】解：可以看成与图象的交点的横坐标为，
可以看成与图象的交点的横坐标为，
可以看成与图象的交点的横坐标为，
画出函数的图象如下图所示，

由图象可知，．
故选：．
，，可以看成分别与，，图象的交点的横坐标，画出图象即可得出答案．
本题主要考查对数值大小的比较，属于中档题．
 7.【答案】 【解析】解：函数有三个零点，
即为有个实根，
可得有个实根，设，
可得，
由时，，递增；
或，，递减，
可得处取得极小值，处取得极大值，
画出的图象和直线，可得：
当时，和的图象有个交点，
故选：．
由题意可得有个实根，可得有个实根，设，求得导数和单调性、极值，画出的图象和直线，即可得到所求范围．
本题考查函数方程的转化，以及函数的导数的运用，考查数形结合思想，属于中档题．
 8.【答案】 【解析】解：由题得，，
，
所以，当时，也满足，
所以，所以该选项错误；
B.，
，
得，故B错误，
C.，所以该选项正确．
D.由前面得，
所以，也适合，所以．
设，，，所以函数在单调递减，
所以，所以，所以，，
所以，所以，所以该选项错误；
故选：．
A.由题得，所以该选项正确；
B.利用数列的递推公式，进行求解即可．
C.，所以该选项错误．
D.，设，，得到，再诫值相加即得，所以该选项正确；
本题考查数列的递推公式，考查学生的运算能力，属于难题．
 9.【答案】 【解析】解：从中随机地有放回摸出个球，则每次摸到红球的概率为，
则，故，，
从中随机地无放回摸出个球，记红球的个数为，
的可能取值是，，，，
则，，
，，
故随机变量的概率分布为      则数学期望为，
方差为，
故E，
故选：．
由题意得，由二项分布的均值和方差公式可求出，；求出的可能取值，及其对应的概率，即可求出的分布列，可得，，分别比较，和，，即可得出答案．
本题考查离散型随机变量的期望和方差，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 10.【答案】 【解析】解：因为为偶函数，
所以，
所以，即，
因为为奇函数，所以，
所以，即，
所以，
所以，
所以，
所以，即函数的一个周期为．
在中，令，得，
在中，令，得，
又，所以，故A错误；
因为在区间上是增函数，且的一个周期为，
所以在上单调递增，在上不为减函数．故C错误；
因为，所以，
所以，
从而为奇函数，故B正确；
因为为奇函数，所以的图象关于点对称，
因为为偶函数，所以的图象关于直线对称，
又当时，，
作出与的大致图象，如图所示．
其中单调递减且，所以两函数图象有个交点，
故方程仅有个实数解，故D正确．
故选：．
根据为奇函数，为偶函数，推出函数的一个周期为、的图象关于点对称、关于直线对称，再根据这些性质可判断A错误，B正确，C错误；作出与的大致图象，结合图像可判断D正确．
本题考查函数的性质，属于中档题．
 11.【答案】 【解析】解：设，，：．
联立，得．
由韦达定理有，．
设，，由，得：．
联立，得．
，．
而，，
由对称性可知
，
当时，，．
，选项正确；
当时，
四边形的面积为，选项错误．
，
，，的最小值为，选项正确；
，且．
四边形为平行四边形，
，
设，，
在上单调递增，
．
故的最大值为，此时四边形面积的最大值为，选项正确．
故选：．
设直线把代入椭圆方程得出的一元二次方程，从而得两根和及两根积，由弦长公式得，再根据对称性判断，，选项；写出平行四边形面积，应用导数求得最小值可得出选项．
本题考查椭圆的性质，属于中档题．
 12.【答案】 【解析】解：选项，当时，根据题意可得：最小的半球显然是，恰好能盖住个半径为的球，选项错误；
选项，当时，对于个球，作出如下截面图：

设两球外切于点，其中一球和半球内切于点，
则半球的半径为，选项正确；
选项，当时，对于个球，这个球的球心和半球的球心会构成一个正三棱锥如图，且正三棱锥的高是，
设这三个球的球心分别是，，，半球的球心是，设其中一个小球和半球内切于点．
如图，设平面，垂足为，则为外心，

在等边三角形中，外接圆半径易得，
又，则，故半球半径为，C正确；
选项，当时，对于个球，这个球的球心和半球的球心会构成一个正四棱锥如图，
且正四棱锥的高是，设这四个球的球心分别是，，，，半球的球心是，
设其中一个小球和半球内切于点如图，设平面，垂足为，
根据正棱锥性质，为正方形中心，
易得，又，则，故半球半径为，D错误．

故选：．
作出每种情形下大致的截面图，利用球的相切性质进行计算．
本题考查球与球相切的问题，化归转化思想，数形结合思想，属中档题．
 13.【答案】 【解析】解：因为是个相乘，
的展开式中项可以由个项、个项和个常数项，或个项、个项和个常数项相乘，
所以展开式中的系数是．
故答案为：．
的展开式中项可以由个项、个项和个常数项，或个项、个项和个常数项相乘，从而得解．
本题主要考查二项式定理，属于中档题．
 14.【答案】 【解析】解：，，，，
．
，
，
．
故答案为：．
根据已知条件得出，，化简应用数量积公式计算求解即得．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
 15.【答案】 【解析】解：将人分为组，有和两种情况：
当分组为时：共有，
当分组为时：共有，
综上所述：共有种不同的进站方式．
故答案为：．
考虑和两种情况，结合同一闸机的不同人的顺序，计算相加得到答案．
本题主要考查了排列组合知识，考查了分类加法计数原理的应用，属于基础题．
 16.【答案】  【解析】解：令双曲线的焦距为，，的内切圆心为，，与轴切于，，
则，
所以重合于双曲线右顶点，
同理可得，重合于双曲线右顶点
由于对称性，不妨设在轴的下方，
当与的内切圆半径之比为：：即：：时，
故设，，，，
易得，，
在中，，
即，解得，
所以，
所以此时直线的斜率为，
根据对称性可得当设在轴的上方时，直线的斜率为；
若，所以，即右焦点到右顶点的距离为．
故答案为：；．
令，的内切圆心为，，与轴切于，，通过内切圆的性质和双曲线的定义可得以、重合于双曲线右顶点，设，，，，通过几何运算可得，即可求出答案．
本题考查双曲线的性质，属于中档题．
 17.【答案】解：由题意得，，
又，解得，，
故，；
当时，，由，得，，
又，，，，
故在数列的前项中含有数列中的项，
所以，
所以． 【解析】根据等差数列和等比数列公式列方程求解即可；
由，，得，数列的前项中含有数列中的项，再求和得到答案．
本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式的应用，属于中档题．
 18.【答案】解：，，
，，
由余弦定理知，，
，，
的周长为．
由正弦定理知，，


其中为锐角，且
，
当时，取得最大值． 【解析】由，可得和的值，再由余弦定理，求得的值，即可得解；
结合中结论、正弦定理、两角差的正弦公式与辅助角公式，可推出，再由正弦函数的图象与性质，求出的最大值．
本题考查解三角形与三角恒等变换的综合，熟练掌握正余弦定理、三角形面积公式、两角差的正弦公式与辅助角公式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 19.【答案】证明：，为中点，
，
面，面面，且面面，
面，
又面，
；
解：以为坐标原点，为轴，为轴，垂直且过的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，是边长为的等边三角形，点在棱上，，
则，，，，
由，所以，故，
，，
设为面法向量，
则有令，则，，
，
因为面，
则面法向量可取，
，解得，，
，，，
设直线与平面所成的角的大小为，，
直线与平面所成角的正弦值为． 【解析】根据面面垂直的性质证明面，再根据线面垂直的性质即可得证；
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可．
本题主要考查直线与平面所成的角，考查转化能力，属于难题，
 20.【答案】解：人一组需要验血次数的所有可能取值为，．
，，
的分布列为： ，
共需要化验次数大约为：次，
大约减少次，
混合化验能减少化验的次数，大约减少次．
假设个人一组，设每个人需要化验的次数为，
若混合血样呈阴性，则，若混合血样呈阳性，则，
的分布列为： ，
先减后增，
，，
，，
当时，最小，最小值为：，
此时大约化验：次． 【解析】根据题意求出人一组需要验血次数的均值，然后求出总共需要多少次，再根据题中数据作差即可求解；
假设个人一组，设每个人需要化验的次数为，先求出每个人需要化验的次数的分布列，然后求出均值的表达式，再利用函数的单调性即可求解．
本题考查随机变量的分布列以及数学期望，属于中档题．
 21.【答案】解：，
当轴时，，
根据抛物线的定义可得，解得，
抛物线的方程：；
设，，，，

直线方程为：即，
直线过点，
，
同理，直线：，即，
直线过点，，同理可得，
，，
直线的方程为：，
，
当时，，
直线恒过定点． 【解析】当轴时，根据抛物线的定义可得，可求出，即可求解；
设，，，，求出直线，直线，直线的方程，可得到，故可得到直线的方程为，即可求得定点
本题主要考查直线与抛物线的综合，考查转化能力，属于难题．
 22.【答案】解：当时，，
所以，，
令，得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，有最大值为．
因为的定义域为，，
令，又因为函数有两个极值点，，
所以有两个不等实数根，，
所以，且，，
从而，
由不等式恒成立，所以恒成立，
又，
令，
所以，当时恒成立，
所以函数在上单调递减，所以，
故实数的取值范围是． 【解析】对求导，利用导数求出的单调性，从而可求得最大值；
求出的导数，求出，且，，由恒成立，问题转化为恒成立，根据函数的单调性求出的范围即可．
本题主要考查利用导数研究函数的极值与最值，不等式恒成立问题，考查转化思想与运算求解能力，属于难题．