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2022-2023学年广东省汕头市潮阳区高二（上）期末数学试卷
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这是一份2022-2023学年广东省汕头市潮阳区高二（上）期末数学试卷，共24页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知命题p：∃x∈（1，+∞），3x+1＞5，则命题p的否定为（ ）
A．∃x∈（1，+∞），3x+1≤5B．∃x∈（﹣∞，1]，3x+1≤5
C．∀x∈（1，+∞），3x+1≤5D．∀x∈（﹣∞，1]，3x+1≤5
2．（5分）直线的倾斜角为（ ）
A．30°B．60°C．45°D．120°
3．（5分）已知i为虚数单位，复数z满足（1﹣i）z＝i，则（ ）
A．B．C．D．1
4．（5分）某公司10位员工的月工资（单位：元）为x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（ ）
A．，s2+1002B．+100，s2+1002
C．，s2D．+100，s2
5．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若，则＝（ ）
A．B．C．D．
6．（5分）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）
A．10名B．18名C．24名D．32名
7．（5分）已知正项等比数列{an}满足lg2a1+lg2a2+……+lg2a2022＝2022，则lg2（a1+a2022）的最小值为（ ）
A．1B．2C．1011D．2022
8．（5分）已知P，Q是椭圆3x2+6y2＝1上满足∠POQ＝90°的两个动点（O为坐标原点），则等于（ ）
A．45B．9C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）下列各式比较大小，正确的是（ ）
A．1.72.5＞1.73B．
C．1.70.3＞0.93.1D．
（多选）10．（5分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，其准线l与x轴交于点P，过C上一点M作l的垂线，若四边形MQPF为矩形，则（ ）
A．准线l的方程为x＝﹣1
B．矩形MQPF为正方形
C．点M的坐标为（1，2）
D．点M到原点O的距离为
（多选）11．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1的中点，下列说法正确的是（ ）
A．直线A1C与面A1BD夹角的余弦值为
B．直线AD1与直线A1C1夹角为45°
C．面A1BE截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得截面图形为等腰梯形
D．若面B1D1E与面BDE所成锐二面角的平面角大小为θ，则
（多选）12．（5分）已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．f（x）的图像关于点对称
B．f（x）的图像关于直线对称
C．将函数的图像向左平移个单位长度得到函数f（x）的图像
D．若方程f（x）＝m在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知函数f（x）的对应关系如下表，则f[f（7） ．
14．（5分）设等差数列{an}的前n的和为Sn，若S9＝72，则a2+a4+a9＝ ．
15．（5分）已知F1，F2分别是双曲线E的左、右焦点，过F1的直线与双曲线E的左支交于A，B两点，若|BF2|：|AB|：|AF2|＝5：12：13，则双曲线E的离心率为 ．
16．（5分）有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边中点，且该塔形的表面积（含C最底层正方体的底面面积）超过39 ．
四、解答题：本题共6小题，第17题满分70分，其它5个小题满分均为12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知圆C：x2+（y﹣1）2＝4，直线l：mx﹣y+1﹣m＝0．
（1）求证：任意m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；
（2）当m＝2时，求直线l被圆C截得的弦长．
18．（12分）已知数列{an}是等差数列，Sn是等比数列{bn}的前n项和，a6＝b1＝16，a2＝b3，S3＝12．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）求Sn的最大值和最小值．
19．（12分）如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，以DF为折痕把△DFC折起．使点C到达点P的位置，且PF⊥BF．
（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；
（2）求DP与平面ABFD所成角的余弦值．
20．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且A＝2B
（1）证明：a2＝b2+bc；
（2）若D是BC边上的中点，且AD＝c，求csA的值．
21．（12分）我市某校为了解高一新生对物理科与历史科方向的选择意向，对1000名高一新生发放意向选择调查表，统计知，400名学生选择历史科．分别从选择物理科和历史科的学生中随机各抽取20名学生的数学成绩得如下累计表（下表）：
（1）利用表中数据，试分析数学成绩对学生选择物理科或历史科的影响，并绘制选择物理科的学生的数学成绩的频率分布直方图（如图）；
（2）从数学成绩不低于70分的选择物理科和历史科的学生中各取一名学生的数学成绩，求选取物理科学生的数学成绩至少高于选取历史科学生的数学成绩一个分数段的概率．
22．（12分）已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦距与短轴长均为4．
（1）求E的方程；
（2）设任意过F2的直线l交E于M，N，分别作E在点M，N处的切线，过F1作平行于l的直线分别交PM，PN于A，B，求的取值范围．
2022-2023学年广东省汕头市潮阳区高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知命题p：∃x∈（1，+∞），3x+1＞5，则命题p的否定为（ ）
A．∃x∈（1，+∞），3x+1≤5B．∃x∈（﹣∞，1]，3x+1≤5
C．∀x∈（1，+∞），3x+1≤5D．∀x∈（﹣∞，1]，3x+1≤5
【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，变换量词，否定结论．
【解答】解：因为存在量词命题的否定是全称量词命题，
已知命题p：∃x∈（1，+∞），
所以命题p的否定为：∀x∈（1，+∞）．
故选：C．
【点评】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．
2．（5分）直线的倾斜角为（ ）
A．30°B．60°C．45°D．120°
【分析】由斜截式可知直线的斜率，又由斜率公式可得倾斜角的正切值，进而利用特殊角的三角函数值求得倾斜角的大小．
【解答】解：由直线可知其斜率为，
则由k＝tanα得，
又0°≤α＜180°，所以α＝60°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了直线的斜率和倾斜角的关系，属于基础题．
3．（5分）已知i为虚数单位，复数z满足（1﹣i）z＝i，则（ ）
A．B．C．D．1
【分析】由复数z满足（1﹣i）z＝i，求出z，再求出即可．
【解答】解：∵i为虚数单位，复数z满足（1﹣i）z＝i，
∴，∴z+＝i，
∴＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查复数运算法则、复数的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．（5分）某公司10位员工的月工资（单位：元）为x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（ ）
A．，s2+1002B．+100，s2+1002
C．，s2D．+100，s2
【分析】根据变量之间均值和方差的关系和定义，直接代入即可得到结论．
【解答】解：由题意知yi＝xi+100，
则＝（x1+x8+…+x10+100×10）＝（x1+x5+…+x10）＝+100，
方差s2＝[（x2+100﹣（+100）2+（x2+100﹣（+100）4+…+（x10+100﹣（+100）2]＝[（x3﹣）2+（x2﹣）3+…+（x10﹣）2]＝s2．
故选：D．
【点评】本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系，利用均值和方差的定义是解决本题的关键，要求熟练掌握相应的计算公式．
5．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用空间向量线性运算法则求解．
【解答】解：＝＝+＝﹣+﹣+﹣．
故选：B．
【点评】本题主要考查了空间向量的线性运算，属于基础题．
6．（5分）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）
A．10名B．18名C．24名D．32名
【分析】由题意可得至少需要志愿者为＝18名．
【解答】解：第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，就按1600份计算，
第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95就按2100份计算，
因为公司可以完成配货1200份订单，则至少需要志愿者为，
故选：B．
【点评】本题考查了等可能事件概率的实际应用，属于基础题．
7．（5分）已知正项等比数列{an}满足lg2a1+lg2a2+……+lg2a2022＝2022，则lg2（a1+a2022）的最小值为（ ）
A．1B．2C．1011D．2022
【分析】先根据等比中的性质和对数的性质求出lg2（a1+a2022）的值，再利用基本不等式即可求出其最小值．
【解答】解：lg2a1+lg4a2+……+lg2a2022＝lg5（a1a2…a2022）＝2022，
所以，又数列{an}是正项等比数列，
所以，
所以．
故选：B．
【点评】本题主要考查了对数的运算性质、等比数列的性质及利用基本不等是求解最值等知识的综合应用，属于基础题．
8．（5分）已知P，Q是椭圆3x2+6y2＝1上满足∠POQ＝90°的两个动点（O为坐标原点），则等于（ ）
A．45B．9C．D．
【分析】如图所示，直线OP的斜率存在时，设斜率为k，其方程为：y＝kx，可得OQ的方程为：y＝﹣x，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，解得，，可得，同理可得，即可得出的值，直线OP的斜率不存在时，验证即可得出结论．
【解答】解：如图所示，直线OP的斜率存在时，其方程为：y＝kxx，
设P（x1，y8），Q（x2，y2），
联立，解得＝，＝，∴＝，
同理可得＝＝，
∴＝+＝3，
直线OP的斜率不存在时，上式也成立．
故选：B．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、方程的思想方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）下列各式比较大小，正确的是（ ）
A．1.72.5＞1.73B．
C．1.70.3＞0.93.1D．
【分析】利用指数函数的单调性和幂函数的单调性求解．
【解答】解：对于选项A：∵函数y＝1.7x在R上单调递增，且3.5＜3，
∴3.72.4＜1.76，故选项A错误，
对于选项B：＝，
∵函数y＝2x在R上单调递增，且，
∴＝，故选项B正确，
对于选项C：∵1.50.3＞6.70＝5，0＜0.63.1＜6.90＝8，
∴1.77.3＞0.23.1，故选项C正确，
对于选项D：∵函数y＝在R上单调递减，且，
∴，
又∵函数y＝在（0，且，
∴，
∴＜，故选项D错误，
故选：BC．
【点评】本题主要考查了利用指数函数和幂函数的单调性比较大小，是基础题．
（多选）10．（5分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，其准线l与x轴交于点P，过C上一点M作l的垂线，若四边形MQPF为矩形，则（ ）
A．准线l的方程为x＝﹣1
B．矩形MQPF为正方形
C．点M的坐标为（1，2）
D．点M到原点O的距离为
【分析】根据抛物线的定义和性质可以得出结论．
【解答】解：由抛物线C：y2＝4x，得其准线l的方程为x＝﹣8；
由抛物线的定义可知|MQ|＝|MF|，又因为四边形MQPF为矩形，B正确；
所以|MQ|＝|MF|＝p＝2，点M的坐标为（1，所以，D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查抛物线的简单性质，考查计算能力，属于中档题，也是易错题．
（多选）11．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1的中点，下列说法正确的是（ ）
A．直线A1C与面A1BD夹角的余弦值为
B．直线AD1与直线A1C1夹角为45°
C．面A1BE截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得截面图形为等腰梯形
D．若面B1D1E与面BDE所成锐二面角的平面角大小为θ，则
【分析】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，由异面直线所成角、线面角、二面角的向量计算公式可判断A，B，D；求出面A1BE截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得截面图形可判断C．
【解答】解：对于A，以D为坐标原点，如图所示：
设正方体的棱长为2，则A1（6，0，2），3，0），2，6），
设面A1BD的一个法向量为＝（x，y，
所以，
则，令x＝1，
所以，设直线A1C与面A1BD所成角为θ3，
所以sinθ1＝|cs＜，＞|＝|＝，
所以直线A1C与面A2BD夹角的余弦值为，故A正确；
对于B，因为C1（0，8，2），D1（6，0，2），8，0），
则，，
设直线AD1与直线A6C1夹角为α，
所以csα＝|cs＜，＞|＝||＝，
∵，
∴直线AD1与直线A6C1夹角为，故B错误；
对于C，取C4D1的中点为H，连接HA，
由正方体的结构特征可知，A，B，H，E四点共面，
所以面A1BE截正方体ABCD﹣A2B1C1D2所得截面为四边形A1BEH，
因为|A1H|＝＝，|BE|＝＝，
所以|A5H|＝|BE|，又AB∥HE，
所以面A1BE截正方体ABCD﹣A1B8C1D1所得截面图形为等腰梯形，故C正确；
对于D，由A可知B5（2，2，3），D1（0，2，2），2，2），2，0），
设面B2D1E的一个法向量为＝（x3，y1，z1），则，，
所以，令x1＝1，y5＝﹣1，z1＝﹣4，
所以，
设面BDE的一个法向量为＝（x7，y2，z2），则，，
所以，令x＝1，z＝2，
所以，
设面B1D1E与面BDE所成锐二面角的平面角大小为θ，
所以csθ＝|cs＜，＞|＝|＝，
∴，
∴，
又∵，
解得或（舍去），
故D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查了利用空间向量求直线与平面的夹角，以及平面与平面的夹角，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
（多选）12．（5分）已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．f（x）的图像关于点对称
B．f（x）的图像关于直线对称
C．将函数的图像向左平移个单位长度得到函数f（x）的图像
D．若方程f（x）＝m在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是
【分析】根据图像周期性求出ω，代入特殊点求φ，得到，对四个选项一一验证，对于A、B，代入验证即可；
对于C，利用平移左加右减的规律即可求得平移后的函数，化简进行比较；
对于D，先判断出单调性，求出最值，根据函数值的正负进行判断．
【解答】解：由题图可得A＝2，，故ω＝7，
所以f（x）＝2sin（2x+φ），又，即，
所以，k∈Z，
又，
所以，
所以．
对于A：当时，，故A错误；
对于B：当时，f（x）＝﹣2；
对于C：将函数的图像向左平移，的图像；
对于D：当时，，则当，
即时，f（x）单调递减；
当，即时，f（x）单调递增，
因为，，，
所以方程f（x）＝m在上有两个不相等的实数根时．
故选：BD．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知函数f（x）的对应关系如下表，则f[f（7） 25 ．
【分析】首先从表中找到x＝7，求f（7）的值，同理再求f[f（7）]的值．
【解答】解：由表可得f（7）＝10，
所以f[f（7）]＝f（10）＝25，
故答案为：25．
【点评】本题主要考查了函数值的求解，属于基础题．
14．（5分）设等差数列{an}的前n的和为Sn，若S9＝72，则a2+a4+a9＝ 24 ．
【分析】先由S9＝72用性质求得a5，而3（a1+4d）＝3a5，从而求得答案．
【解答】解：∵
∴a5＝6
又∵a2+a4+a3＝3（a1+3d）＝3a5＝24
故答案是24
【点评】本题主要考查等差数列的性质及项与项间的内在联系．
15．（5分）已知F1，F2分别是双曲线E的左、右焦点，过F1的直线与双曲线E的左支交于A，B两点，若|BF2|：|AB|：|AF2|＝5：12：13，则双曲线E的离心率为 ．
【分析】设|BF2|＝5t（t＞0），则|AB|＝12t，|AF2|＝13t，由勾股定理得AB⊥BF2，由双曲线的定义求得t，a关系，再由双曲线的定义求得|BF1|，然后由勾股定理求得c与t的关系，计算可得离心率．
【解答】解：由题意可设|BF2|＝5t（t＞6），则|AB|＝12t2|＝13t，
由勾股定理易知AB⊥BF2，
又由双曲线定义可知|BF3|+|AF2|﹣|AB|＝4a＝8t，∴2a＝3t，
又|AF7|﹣|AF1|＝|BF2|﹣|BF8|＝2a＝3t，
∴|AF4|＝|AF2|﹣3t＝10t，|BF7|＝|BF2|﹣3t＝4t，
∴，
∴离心率．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，勾股定理的应用，属基础题．
16．（5分）有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边中点，且该塔形的表面积（含C最底层正方体的底面面积）超过39 6 ．
【分析】求出各个层的正方体的表面积，求出它们的和，该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，求出正方体的个数至少个数．
【解答】解：底层正方体的表面积为24；第2层正方体的棱长2×＝；第3层正方体的棱长为3×；…，
第n层正方体的棱长为2×，每个面的面积为4×；
若该塔形为n层，则它的表面积为24+8×[4×+…+4×
∵＞39
∴该塔形中正方体的个数至少是6．
故答案是2．
【点评】本题是中档题，考查计算能力，数列求和的知识，正确就是解好数学问题的关键．
四、解答题：本题共6小题，第17题满分70分，其它5个小题满分均为12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知圆C：x2+（y﹣1）2＝4，直线l：mx﹣y+1﹣m＝0．
（1）求证：任意m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；
（2）当m＝2时，求直线l被圆C截得的弦长．
【分析】（1）求含参直线l所恒过的定点，定点在圆的内部，直线l与圆C总有两个不同的交点；
（2）求圆心到直线的距离，根据勾股定理求半弦长，再求出弦长．
【解答】证明：（1）直线l：mx﹣y+1﹣m＝0恒过定点A（4，1），
又15+（1﹣1）8＝1＜4，
所以点A（2，1）在圆C：x2+（y﹣3）2＝4的内部，
所以直线l与圆C总有两个不同的交点．
（2）解：由题设，l：8x﹣y﹣1＝0，7），
所以（0，1）到直线l的距离，
所以弦长为．
即直线l被圆C截得的弦长．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
18．（12分）已知数列{an}是等差数列，Sn是等比数列{bn}的前n项和，a6＝b1＝16，a2＝b3，S3＝12．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）求Sn的最大值和最小值．
【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，由题意利用等差数列的通项公式可列关于首项a1，d的方程组，同理可列关于q的方程，求解即可得出答案；
（2）由（1）得，求出Sn的表达式，分类讨论n＝2k﹣1，n＝2k时，判断数列的增减性，即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意可设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
∵a6＝b1＝16，a4＝b3，S3＝12，
∴16+16q+16q7＝12，解得q＝﹣，
∴数列{bn}的通项公式为bn＝16•（﹣）n﹣1，
则a6＝b3＝b1•q7＝16×（﹣）²＝7，
则，解得，
∴数列{an}的通项公式为an＝3n﹣2；
（2）由（1）得Sn＝＝[1﹣（﹣）n]，
当n＝2k﹣7（k∈N+）时，则Sn＝[1+（）n]，此时数列{Sn}是单调递减的，
则Sn≤S1＝16，即＜Sn≤16，
当n＝2k（k∈N+）时，则Sn＝[5﹣（）n]，此时数列{Sn}是单调递增的，
则Sn≥S7＝8，即8≤Sn＜，
综上所述，Sn的最大值为16和最小值为8．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的综合，考查分类讨论思想和转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19．（12分）如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，以DF为折痕把△DFC折起．使点C到达点P的位置，且PF⊥BF．
（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；
（2）求DP与平面ABFD所成角的余弦值．
【分析】（1）先证明BF⊥平面PEF，再由面面垂直的判定定理得结论；
（2）作PH⊥EF，垂足为H，得PH⊥平面ABFD，以H为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系H﹣xyz，由线面垂直的性质定理得线线垂直，求得图形中的线段长得出P点坐标，然后用空间向量法求线面角．
【解答】解：（1）证明：由已知可得，BF⊥PF，
又PF∩EF＝F，PF，
所以BF⊥平面PEF，又BF⊂平面ABFD，
所以平面PEF⊥平面ABFD；
（2）作PH⊥EF，垂足为H，
且平面PEF∩平面ABFD＝EF，PH⊂平面PEF，
以H为坐标原点，建系如图，
因为DE∥BF，BF⊥平面PEF，
所以DE⊥平面PEF，又PE⊂平面PEF，
所以DE⊥PE，又DP＝2，所以，EF＝2，
故PE⊥PF．可得，
则H（2，0，0），，则，
易知平面ABFD的一个法向量为，
所以，
设DP与平面ABFD所成角为θ，
则，
∴，
即DP与平面ABFD所成角的余弦值为．
【点评】本题考查面面垂直的证明，线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，向量法求解线面角问题，属中档题．
20．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且A＝2B
（1）证明：a2＝b2+bc；
（2）若D是BC边上的中点，且AD＝c，求csA的值．
【分析】（1）利用二倍角正弦公式和正弦定理和余弦定理将A＝2B转化为关于a，b，c的关系式，化简整理即可得到a2＝b2+bc；
（2）利用三角形中线的性质和（1）的结论列出关于a，b，c的方程组，进而得到a，b，c之间的关系，利用余弦定理即可求得csA的值．
【解答】解：（1）证明：△ABC中，由A＝2B，
则a＝2bcsB，则a＝6b•2c+b4﹣a2b﹣bc2＝8，
即（b﹣c）（a2﹣b2﹣bc）＝4，又b≠c2＝b2+bc．
（2）作图如下：
△ABC中，D是BC边上的中点，则
0＝cs∠ADB+cs∠ADC＝+＝，
则有，解之得
则csA＝＝＝﹣．
【点评】本题主要考查解三角形，属于基础题．
21．（12分）我市某校为了解高一新生对物理科与历史科方向的选择意向，对1000名高一新生发放意向选择调查表，统计知，400名学生选择历史科．分别从选择物理科和历史科的学生中随机各抽取20名学生的数学成绩得如下累计表（下表）：
（1）利用表中数据，试分析数学成绩对学生选择物理科或历史科的影响，并绘制选择物理科的学生的数学成绩的频率分布直方图（如图）；
（2）从数学成绩不低于70分的选择物理科和历史科的学生中各取一名学生的数学成绩，求选取物理科学生的数学成绩至少高于选取历史科学生的数学成绩一个分数段的概率．
【分析】（1）从统计表看出选择理科的学生的数学平均成绩高于选择文科的学生的数学平均成绩，反映了数学成绩对学生选择文理科有一定的影响，然后根据数据绘制出直方图即可；
（ 2 ） 利用互斥事件的加法公式，即可得出结论．
【解答】解：（1）由表格数据知，随着数学成绩分数的提升．
所以数学成绩越好，其选择物理科方向的概率越大．
频率分布直方图如下：
（2）设“选取物理科学生的数学成绩至少高于选取历史科的学生的数学成绩一个分数段”为事件C，
选择物理科的学生考分在[70，80），90），100]分别事件A1，A2，A4，
选择历史科的学生考分在[70，80），90），100]的事件分别为B1，B2，B5，
由表得、，，，
因为“选择物理科的学生考分在何分数段”与“选择历史科的学生考分在何分数段”相互独立，
∴A4，A2，A3，B5，B2，B3也明显互斥
∴P（C）＝P（A7B1+A3B6+A3B2）＝P（A6B1）+P（A3B3）+P（A3B2）
＝P（A8）P（B1）+P（A3）P（B8）+P（A3）P（B2）
＝．
【点评】本题考查频率分布直方图，考查概率的求法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
22．（12分）已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦距与短轴长均为4．
（1）求E的方程；
（2）设任意过F2的直线l交E于M，N，分别作E在点M，N处的切线，过F1作平行于l的直线分别交PM，PN于A，B，求的取值范围．
【分析】（1）由题意可得b，c的值，进而求出a的值，求出椭圆的方程；
（2）设直线l的方程，与椭圆的方程联立，求出两根之和及两根之积，求出直线过M的点的切线方程，与椭圆的方程联立，由判别式为0，可得直线OM的斜率，同理可得过切点N的切线方程，两式联立，整理可得P的坐标，可得MN的中点Q的坐标，再由三角形相似，即椭圆的对称性可得的取值范围．
【解答】解：（1）由题意，2c＝2b＝2，可得a2＝b2+c8＝8，
所以椭圆的方程为：+＝4；
（2）由题意，F2（2，6），故设l的方程为x＝ty+21，y5），N（x2，y2），
联立，即（t5+2）y2+8ty﹣4＝0，
故y7+y2＝﹣，y1y5＝﹣，
由题意可知M，N不在x轴上，N两点的切线斜率存在1＝k（x﹣x1），
与椭圆联立有，
整理可得：（4+2k2）x8﹣4k（kx1﹣y4）x+2（kx1﹣y5）2﹣8＝4，
Δ＝16k2（kx1﹣y7）2﹣2（2+2k2）[3（kx1﹣y1）6﹣8]＝0，
可得k＝﹣，即过M点的切线方程为y﹣y7＝﹣（x﹣x1），即x1x+7y1y＝8，
同理可得过N点的切线方程为x2x+2y2y＝8，
联立两切线方程，整理可得：（x2y2﹣x2y2）x＝8（y2﹣y5），
即[（ty1+2）y5﹣（ty2+2）y4]x＝8（y2﹣y8），
化简可得x＝4，
代入+＝8，
可得y＝＝＝﹣2t，
可得P（4，﹣2t），
设MN的中点为Q（xQ，yQ），则yQ＝＝﹣，xQ＝﹣+2＝，
所以Q（，﹣），
因为kOQ＝＝﹣，kOP＝＝﹣OQ＝kOP，
即O，Q，P三点共线1平行于l的直线分别交PM，PN于A，B，
易得△PMN∽△PAB，取AB中点R，O，Q，P四点共线，
结合椭圆的对称性，可得＝＝|＝，
当且仅当t＝0时取等号．故的取值范围是（5．
【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
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0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
f（x）
﹣3
﹣2
﹣1
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3
5
10
15
20
25
30
分数段
物理人数
历史人数
[40，50）
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100）
x
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5
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8
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11
f（x）
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
3
5
10
15
20
25
30
分数段
物理人数
历史人数
[40，50）
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100）
1．（5分）已知命题p：∃x∈（1，+∞），3x+1＞5，则命题p的否定为（ ）
A．∃x∈（1，+∞），3x+1≤5B．∃x∈（﹣∞，1]，3x+1≤5
C．∀x∈（1，+∞），3x+1≤5D．∀x∈（﹣∞，1]，3x+1≤5
2．（5分）直线的倾斜角为（ ）
A．30°B．60°C．45°D．120°
3．（5分）已知i为虚数单位，复数z满足（1﹣i）z＝i，则（ ）
A．B．C．D．1
4．（5分）某公司10位员工的月工资（单位：元）为x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（ ）
A．，s2+1002B．+100，s2+1002
C．，s2D．+100，s2
5．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若，则＝（ ）
A．B．C．D．
6．（5分）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）
A．10名B．18名C．24名D．32名
7．（5分）已知正项等比数列{an}满足lg2a1+lg2a2+……+lg2a2022＝2022，则lg2（a1+a2022）的最小值为（ ）
A．1B．2C．1011D．2022
8．（5分）已知P，Q是椭圆3x2+6y2＝1上满足∠POQ＝90°的两个动点（O为坐标原点），则等于（ ）
A．45B．9C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）下列各式比较大小，正确的是（ ）
A．1.72.5＞1.73B．
C．1.70.3＞0.93.1D．
（多选）10．（5分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，其准线l与x轴交于点P，过C上一点M作l的垂线，若四边形MQPF为矩形，则（ ）
A．准线l的方程为x＝﹣1
B．矩形MQPF为正方形
C．点M的坐标为（1，2）
D．点M到原点O的距离为
（多选）11．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1的中点，下列说法正确的是（ ）
A．直线A1C与面A1BD夹角的余弦值为
B．直线AD1与直线A1C1夹角为45°
C．面A1BE截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得截面图形为等腰梯形
D．若面B1D1E与面BDE所成锐二面角的平面角大小为θ，则
（多选）12．（5分）已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．f（x）的图像关于点对称
B．f（x）的图像关于直线对称
C．将函数的图像向左平移个单位长度得到函数f（x）的图像
D．若方程f（x）＝m在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知函数f（x）的对应关系如下表，则f[f（7） ．
14．（5分）设等差数列{an}的前n的和为Sn，若S9＝72，则a2+a4+a9＝ ．
15．（5分）已知F1，F2分别是双曲线E的左、右焦点，过F1的直线与双曲线E的左支交于A，B两点，若|BF2|：|AB|：|AF2|＝5：12：13，则双曲线E的离心率为 ．
16．（5分）有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边中点，且该塔形的表面积（含C最底层正方体的底面面积）超过39 ．
四、解答题：本题共6小题，第17题满分70分，其它5个小题满分均为12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知圆C：x2+（y﹣1）2＝4，直线l：mx﹣y+1﹣m＝0．
（1）求证：任意m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；
（2）当m＝2时，求直线l被圆C截得的弦长．
18．（12分）已知数列{an}是等差数列，Sn是等比数列{bn}的前n项和，a6＝b1＝16，a2＝b3，S3＝12．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）求Sn的最大值和最小值．
19．（12分）如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，以DF为折痕把△DFC折起．使点C到达点P的位置，且PF⊥BF．
（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；
（2）求DP与平面ABFD所成角的余弦值．
20．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且A＝2B
（1）证明：a2＝b2+bc；
（2）若D是BC边上的中点，且AD＝c，求csA的值．
21．（12分）我市某校为了解高一新生对物理科与历史科方向的选择意向，对1000名高一新生发放意向选择调查表，统计知，400名学生选择历史科．分别从选择物理科和历史科的学生中随机各抽取20名学生的数学成绩得如下累计表（下表）：
（1）利用表中数据，试分析数学成绩对学生选择物理科或历史科的影响，并绘制选择物理科的学生的数学成绩的频率分布直方图（如图）；
（2）从数学成绩不低于70分的选择物理科和历史科的学生中各取一名学生的数学成绩，求选取物理科学生的数学成绩至少高于选取历史科学生的数学成绩一个分数段的概率．
22．（12分）已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦距与短轴长均为4．
（1）求E的方程；
（2）设任意过F2的直线l交E于M，N，分别作E在点M，N处的切线，过F1作平行于l的直线分别交PM，PN于A，B，求的取值范围．
2022-2023学年广东省汕头市潮阳区高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知命题p：∃x∈（1，+∞），3x+1＞5，则命题p的否定为（ ）
A．∃x∈（1，+∞），3x+1≤5B．∃x∈（﹣∞，1]，3x+1≤5
C．∀x∈（1，+∞），3x+1≤5D．∀x∈（﹣∞，1]，3x+1≤5
【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，变换量词，否定结论．
【解答】解：因为存在量词命题的否定是全称量词命题，
已知命题p：∃x∈（1，+∞），
所以命题p的否定为：∀x∈（1，+∞）．
故选：C．
【点评】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．
2．（5分）直线的倾斜角为（ ）
A．30°B．60°C．45°D．120°
【分析】由斜截式可知直线的斜率，又由斜率公式可得倾斜角的正切值，进而利用特殊角的三角函数值求得倾斜角的大小．
【解答】解：由直线可知其斜率为，
则由k＝tanα得，
又0°≤α＜180°，所以α＝60°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了直线的斜率和倾斜角的关系，属于基础题．
3．（5分）已知i为虚数单位，复数z满足（1﹣i）z＝i，则（ ）
A．B．C．D．1
【分析】由复数z满足（1﹣i）z＝i，求出z，再求出即可．
【解答】解：∵i为虚数单位，复数z满足（1﹣i）z＝i，
∴，∴z+＝i，
∴＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查复数运算法则、复数的模等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．（5分）某公司10位员工的月工资（单位：元）为x1，x2，…，x10，其均值和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（ ）
A．，s2+1002B．+100，s2+1002
C．，s2D．+100，s2
【分析】根据变量之间均值和方差的关系和定义，直接代入即可得到结论．
【解答】解：由题意知yi＝xi+100，
则＝（x1+x8+…+x10+100×10）＝（x1+x5+…+x10）＝+100，
方差s2＝[（x2+100﹣（+100）2+（x2+100﹣（+100）4+…+（x10+100﹣（+100）2]＝[（x3﹣）2+（x2﹣）3+…+（x10﹣）2]＝s2．
故选：D．
【点评】本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系，利用均值和方差的定义是解决本题的关键，要求熟练掌握相应的计算公式．
5．（5分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用空间向量线性运算法则求解．
【解答】解：＝＝+＝﹣+﹣+﹣．
故选：B．
【点评】本题主要考查了空间向量的线性运算，属于基础题．
6．（5分）在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）
A．10名B．18名C．24名D．32名
【分析】由题意可得至少需要志愿者为＝18名．
【解答】解：第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，就按1600份计算，
第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95就按2100份计算，
因为公司可以完成配货1200份订单，则至少需要志愿者为，
故选：B．
【点评】本题考查了等可能事件概率的实际应用，属于基础题．
7．（5分）已知正项等比数列{an}满足lg2a1+lg2a2+……+lg2a2022＝2022，则lg2（a1+a2022）的最小值为（ ）
A．1B．2C．1011D．2022
【分析】先根据等比中的性质和对数的性质求出lg2（a1+a2022）的值，再利用基本不等式即可求出其最小值．
【解答】解：lg2a1+lg4a2+……+lg2a2022＝lg5（a1a2…a2022）＝2022，
所以，又数列{an}是正项等比数列，
所以，
所以．
故选：B．
【点评】本题主要考查了对数的运算性质、等比数列的性质及利用基本不等是求解最值等知识的综合应用，属于基础题．
8．（5分）已知P，Q是椭圆3x2+6y2＝1上满足∠POQ＝90°的两个动点（O为坐标原点），则等于（ ）
A．45B．9C．D．
【分析】如图所示，直线OP的斜率存在时，设斜率为k，其方程为：y＝kx，可得OQ的方程为：y＝﹣x，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，解得，，可得，同理可得，即可得出的值，直线OP的斜率不存在时，验证即可得出结论．
【解答】解：如图所示，直线OP的斜率存在时，其方程为：y＝kxx，
设P（x1，y8），Q（x2，y2），
联立，解得＝，＝，∴＝，
同理可得＝＝，
∴＝+＝3，
直线OP的斜率不存在时，上式也成立．
故选：B．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、方程的思想方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）下列各式比较大小，正确的是（ ）
A．1.72.5＞1.73B．
C．1.70.3＞0.93.1D．
【分析】利用指数函数的单调性和幂函数的单调性求解．
【解答】解：对于选项A：∵函数y＝1.7x在R上单调递增，且3.5＜3，
∴3.72.4＜1.76，故选项A错误，
对于选项B：＝，
∵函数y＝2x在R上单调递增，且，
∴＝，故选项B正确，
对于选项C：∵1.50.3＞6.70＝5，0＜0.63.1＜6.90＝8，
∴1.77.3＞0.23.1，故选项C正确，
对于选项D：∵函数y＝在R上单调递减，且，
∴，
又∵函数y＝在（0，且，
∴，
∴＜，故选项D错误，
故选：BC．
【点评】本题主要考查了利用指数函数和幂函数的单调性比较大小，是基础题．
（多选）10．（5分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，其准线l与x轴交于点P，过C上一点M作l的垂线，若四边形MQPF为矩形，则（ ）
A．准线l的方程为x＝﹣1
B．矩形MQPF为正方形
C．点M的坐标为（1，2）
D．点M到原点O的距离为
【分析】根据抛物线的定义和性质可以得出结论．
【解答】解：由抛物线C：y2＝4x，得其准线l的方程为x＝﹣8；
由抛物线的定义可知|MQ|＝|MF|，又因为四边形MQPF为矩形，B正确；
所以|MQ|＝|MF|＝p＝2，点M的坐标为（1，所以，D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查抛物线的简单性质，考查计算能力，属于中档题，也是易错题．
（多选）11．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1的中点，下列说法正确的是（ ）
A．直线A1C与面A1BD夹角的余弦值为
B．直线AD1与直线A1C1夹角为45°
C．面A1BE截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得截面图形为等腰梯形
D．若面B1D1E与面BDE所成锐二面角的平面角大小为θ，则
【分析】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，由异面直线所成角、线面角、二面角的向量计算公式可判断A，B，D；求出面A1BE截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得截面图形可判断C．
【解答】解：对于A，以D为坐标原点，如图所示：
设正方体的棱长为2，则A1（6，0，2），3，0），2，6），
设面A1BD的一个法向量为＝（x，y，
所以，
则，令x＝1，
所以，设直线A1C与面A1BD所成角为θ3，
所以sinθ1＝|cs＜，＞|＝|＝，
所以直线A1C与面A2BD夹角的余弦值为，故A正确；
对于B，因为C1（0，8，2），D1（6，0，2），8，0），
则，，
设直线AD1与直线A6C1夹角为α，
所以csα＝|cs＜，＞|＝||＝，
∵，
∴直线AD1与直线A6C1夹角为，故B错误；
对于C，取C4D1的中点为H，连接HA，
由正方体的结构特征可知，A，B，H，E四点共面，
所以面A1BE截正方体ABCD﹣A2B1C1D2所得截面为四边形A1BEH，
因为|A1H|＝＝，|BE|＝＝，
所以|A5H|＝|BE|，又AB∥HE，
所以面A1BE截正方体ABCD﹣A1B8C1D1所得截面图形为等腰梯形，故C正确；
对于D，由A可知B5（2，2，3），D1（0，2，2），2，2），2，0），
设面B2D1E的一个法向量为＝（x3，y1，z1），则，，
所以，令x1＝1，y5＝﹣1，z1＝﹣4，
所以，
设面BDE的一个法向量为＝（x7，y2，z2），则，，
所以，令x＝1，z＝2，
所以，
设面B1D1E与面BDE所成锐二面角的平面角大小为θ，
所以csθ＝|cs＜，＞|＝|＝，
∴，
∴，
又∵，
解得或（舍去），
故D错误．
故选：AC．
【点评】本题主要考查了利用空间向量求直线与平面的夹角，以及平面与平面的夹角，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
（多选）12．（5分）已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．f（x）的图像关于点对称
B．f（x）的图像关于直线对称
C．将函数的图像向左平移个单位长度得到函数f（x）的图像
D．若方程f（x）＝m在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是
【分析】根据图像周期性求出ω，代入特殊点求φ，得到，对四个选项一一验证，对于A、B，代入验证即可；
对于C，利用平移左加右减的规律即可求得平移后的函数，化简进行比较；
对于D，先判断出单调性，求出最值，根据函数值的正负进行判断．
【解答】解：由题图可得A＝2，，故ω＝7，
所以f（x）＝2sin（2x+φ），又，即，
所以，k∈Z，
又，
所以，
所以．
对于A：当时，，故A错误；
对于B：当时，f（x）＝﹣2；
对于C：将函数的图像向左平移，的图像；
对于D：当时，，则当，
即时，f（x）单调递减；
当，即时，f（x）单调递增，
因为，，，
所以方程f（x）＝m在上有两个不相等的实数根时．
故选：BD．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查转化能力，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知函数f（x）的对应关系如下表，则f[f（7） 25 ．
【分析】首先从表中找到x＝7，求f（7）的值，同理再求f[f（7）]的值．
【解答】解：由表可得f（7）＝10，
所以f[f（7）]＝f（10）＝25，
故答案为：25．
【点评】本题主要考查了函数值的求解，属于基础题．
14．（5分）设等差数列{an}的前n的和为Sn，若S9＝72，则a2+a4+a9＝ 24 ．
【分析】先由S9＝72用性质求得a5，而3（a1+4d）＝3a5，从而求得答案．
【解答】解：∵
∴a5＝6
又∵a2+a4+a3＝3（a1+3d）＝3a5＝24
故答案是24
【点评】本题主要考查等差数列的性质及项与项间的内在联系．
15．（5分）已知F1，F2分别是双曲线E的左、右焦点，过F1的直线与双曲线E的左支交于A，B两点，若|BF2|：|AB|：|AF2|＝5：12：13，则双曲线E的离心率为 ．
【分析】设|BF2|＝5t（t＞0），则|AB|＝12t，|AF2|＝13t，由勾股定理得AB⊥BF2，由双曲线的定义求得t，a关系，再由双曲线的定义求得|BF1|，然后由勾股定理求得c与t的关系，计算可得离心率．
【解答】解：由题意可设|BF2|＝5t（t＞6），则|AB|＝12t2|＝13t，
由勾股定理易知AB⊥BF2，
又由双曲线定义可知|BF3|+|AF2|﹣|AB|＝4a＝8t，∴2a＝3t，
又|AF7|﹣|AF1|＝|BF2|﹣|BF8|＝2a＝3t，
∴|AF4|＝|AF2|﹣3t＝10t，|BF7|＝|BF2|﹣3t＝4t，
∴，
∴离心率．
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，勾股定理的应用，属基础题．
16．（5分）有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边中点，且该塔形的表面积（含C最底层正方体的底面面积）超过39 6 ．
【分析】求出各个层的正方体的表面积，求出它们的和，该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，求出正方体的个数至少个数．
【解答】解：底层正方体的表面积为24；第2层正方体的棱长2×＝；第3层正方体的棱长为3×；…，
第n层正方体的棱长为2×，每个面的面积为4×；
若该塔形为n层，则它的表面积为24+8×[4×+…+4×
∵＞39
∴该塔形中正方体的个数至少是6．
故答案是2．
【点评】本题是中档题，考查计算能力，数列求和的知识，正确就是解好数学问题的关键．
四、解答题：本题共6小题，第17题满分70分，其它5个小题满分均为12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知圆C：x2+（y﹣1）2＝4，直线l：mx﹣y+1﹣m＝0．
（1）求证：任意m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；
（2）当m＝2时，求直线l被圆C截得的弦长．
【分析】（1）求含参直线l所恒过的定点，定点在圆的内部，直线l与圆C总有两个不同的交点；
（2）求圆心到直线的距离，根据勾股定理求半弦长，再求出弦长．
【解答】证明：（1）直线l：mx﹣y+1﹣m＝0恒过定点A（4，1），
又15+（1﹣1）8＝1＜4，
所以点A（2，1）在圆C：x2+（y﹣3）2＝4的内部，
所以直线l与圆C总有两个不同的交点．
（2）解：由题设，l：8x﹣y﹣1＝0，7），
所以（0，1）到直线l的距离，
所以弦长为．
即直线l被圆C截得的弦长．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
18．（12分）已知数列{an}是等差数列，Sn是等比数列{bn}的前n项和，a6＝b1＝16，a2＝b3，S3＝12．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）求Sn的最大值和最小值．
【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，由题意利用等差数列的通项公式可列关于首项a1，d的方程组，同理可列关于q的方程，求解即可得出答案；
（2）由（1）得，求出Sn的表达式，分类讨论n＝2k﹣1，n＝2k时，判断数列的增减性，即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意可设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
∵a6＝b1＝16，a4＝b3，S3＝12，
∴16+16q+16q7＝12，解得q＝﹣，
∴数列{bn}的通项公式为bn＝16•（﹣）n﹣1，
则a6＝b3＝b1•q7＝16×（﹣）²＝7，
则，解得，
∴数列{an}的通项公式为an＝3n﹣2；
（2）由（1）得Sn＝＝[1﹣（﹣）n]，
当n＝2k﹣7（k∈N+）时，则Sn＝[1+（）n]，此时数列{Sn}是单调递减的，
则Sn≤S1＝16，即＜Sn≤16，
当n＝2k（k∈N+）时，则Sn＝[5﹣（）n]，此时数列{Sn}是单调递增的，
则Sn≥S7＝8，即8≤Sn＜，
综上所述，Sn的最大值为16和最小值为8．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的综合，考查分类讨论思想和转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19．（12分）如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，以DF为折痕把△DFC折起．使点C到达点P的位置，且PF⊥BF．
（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；
（2）求DP与平面ABFD所成角的余弦值．
【分析】（1）先证明BF⊥平面PEF，再由面面垂直的判定定理得结论；
（2）作PH⊥EF，垂足为H，得PH⊥平面ABFD，以H为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系H﹣xyz，由线面垂直的性质定理得线线垂直，求得图形中的线段长得出P点坐标，然后用空间向量法求线面角．
【解答】解：（1）证明：由已知可得，BF⊥PF，
又PF∩EF＝F，PF，
所以BF⊥平面PEF，又BF⊂平面ABFD，
所以平面PEF⊥平面ABFD；
（2）作PH⊥EF，垂足为H，
且平面PEF∩平面ABFD＝EF，PH⊂平面PEF，
以H为坐标原点，建系如图，
因为DE∥BF，BF⊥平面PEF，
所以DE⊥平面PEF，又PE⊂平面PEF，
所以DE⊥PE，又DP＝2，所以，EF＝2，
故PE⊥PF．可得，
则H（2，0，0），，则，
易知平面ABFD的一个法向量为，
所以，
设DP与平面ABFD所成角为θ，
则，
∴，
即DP与平面ABFD所成角的余弦值为．
【点评】本题考查面面垂直的证明，线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，向量法求解线面角问题，属中档题．
20．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且A＝2B
（1）证明：a2＝b2+bc；
（2）若D是BC边上的中点，且AD＝c，求csA的值．
【分析】（1）利用二倍角正弦公式和正弦定理和余弦定理将A＝2B转化为关于a，b，c的关系式，化简整理即可得到a2＝b2+bc；
（2）利用三角形中线的性质和（1）的结论列出关于a，b，c的方程组，进而得到a，b，c之间的关系，利用余弦定理即可求得csA的值．
【解答】解：（1）证明：△ABC中，由A＝2B，
则a＝2bcsB，则a＝6b•2c+b4﹣a2b﹣bc2＝8，
即（b﹣c）（a2﹣b2﹣bc）＝4，又b≠c2＝b2+bc．
（2）作图如下：
△ABC中，D是BC边上的中点，则
0＝cs∠ADB+cs∠ADC＝+＝，
则有，解之得
则csA＝＝＝﹣．
【点评】本题主要考查解三角形，属于基础题．
21．（12分）我市某校为了解高一新生对物理科与历史科方向的选择意向，对1000名高一新生发放意向选择调查表，统计知，400名学生选择历史科．分别从选择物理科和历史科的学生中随机各抽取20名学生的数学成绩得如下累计表（下表）：
（1）利用表中数据，试分析数学成绩对学生选择物理科或历史科的影响，并绘制选择物理科的学生的数学成绩的频率分布直方图（如图）；
（2）从数学成绩不低于70分的选择物理科和历史科的学生中各取一名学生的数学成绩，求选取物理科学生的数学成绩至少高于选取历史科学生的数学成绩一个分数段的概率．
【分析】（1）从统计表看出选择理科的学生的数学平均成绩高于选择文科的学生的数学平均成绩，反映了数学成绩对学生选择文理科有一定的影响，然后根据数据绘制出直方图即可；
（ 2 ） 利用互斥事件的加法公式，即可得出结论．
【解答】解：（1）由表格数据知，随着数学成绩分数的提升．
所以数学成绩越好，其选择物理科方向的概率越大．
频率分布直方图如下：
（2）设“选取物理科学生的数学成绩至少高于选取历史科的学生的数学成绩一个分数段”为事件C，
选择物理科的学生考分在[70，80），90），100]分别事件A1，A2，A4，
选择历史科的学生考分在[70，80），90），100]的事件分别为B1，B2，B5，
由表得、，，，
因为“选择物理科的学生考分在何分数段”与“选择历史科的学生考分在何分数段”相互独立，
∴A4，A2，A3，B5，B2，B3也明显互斥
∴P（C）＝P（A7B1+A3B6+A3B2）＝P（A6B1）+P（A3B3）+P（A3B2）
＝P（A8）P（B1）+P（A3）P（B8）+P（A3）P（B2）
＝．
【点评】本题考查频率分布直方图，考查概率的求法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
22．（12分）已知椭圆E：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦距与短轴长均为4．
（1）求E的方程；
（2）设任意过F2的直线l交E于M，N，分别作E在点M，N处的切线，过F1作平行于l的直线分别交PM，PN于A，B，求的取值范围．
【分析】（1）由题意可得b，c的值，进而求出a的值，求出椭圆的方程；
（2）设直线l的方程，与椭圆的方程联立，求出两根之和及两根之积，求出直线过M的点的切线方程，与椭圆的方程联立，由判别式为0，可得直线OM的斜率，同理可得过切点N的切线方程，两式联立，整理可得P的坐标，可得MN的中点Q的坐标，再由三角形相似，即椭圆的对称性可得的取值范围．
【解答】解：（1）由题意，2c＝2b＝2，可得a2＝b2+c8＝8，
所以椭圆的方程为：+＝4；
（2）由题意，F2（2，6），故设l的方程为x＝ty+21，y5），N（x2，y2），
联立，即（t5+2）y2+8ty﹣4＝0，
故y7+y2＝﹣，y1y5＝﹣，
由题意可知M，N不在x轴上，N两点的切线斜率存在1＝k（x﹣x1），
与椭圆联立有，
整理可得：（4+2k2）x8﹣4k（kx1﹣y4）x+2（kx1﹣y5）2﹣8＝4，
Δ＝16k2（kx1﹣y7）2﹣2（2+2k2）[3（kx1﹣y1）6﹣8]＝0，
可得k＝﹣，即过M点的切线方程为y﹣y7＝﹣（x﹣x1），即x1x+7y1y＝8，
同理可得过N点的切线方程为x2x+2y2y＝8，
联立两切线方程，整理可得：（x2y2﹣x2y2）x＝8（y2﹣y5），
即[（ty1+2）y5﹣（ty2+2）y4]x＝8（y2﹣y8），
化简可得x＝4，
代入+＝8，
可得y＝＝＝﹣2t，
可得P（4，﹣2t），
设MN的中点为Q（xQ，yQ），则yQ＝＝﹣，xQ＝﹣+2＝，
所以Q（，﹣），
因为kOQ＝＝﹣，kOP＝＝﹣OQ＝kOP，
即O，Q，P三点共线1平行于l的直线分别交PM，PN于A，B，
易得△PMN∽△PAB，取AB中点R，O，Q，P四点共线，
结合椭圆的对称性，可得＝＝|＝，
当且仅当t＝0时取等号．故的取值范围是（5．
【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/12/11 23:21:55；用户：18086013149；邮箱：18086013149；学号：27613231x
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