2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学一模试卷（含解析）

2023年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学一模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的绝对值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  王老师给全班同学留了一个特色寒假作业，画一张有关兔子的图画，以下四个图形是开学后收上来的图画中的一部分，其中是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  将一副直角三角尺，按如图所示位置摆放，使角所对的直角边和含角的三角尺的直角边放在同一条直线上，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，由个同样大小的正方体摆成的几何体，在正方体的正上方再放一个这样的正方体，所得的几何体(    )

A. 主视图改变，左视图不变
B. 俯视图改变，左视图不变
C. 俯视图改变，左视图改变
D. 主视图改变，左视图改变

6.  若关于的方程的解为非负数，则的取值范围是(    )

A.  B. 且 C.  D. 且

7.  甲、乙、丙三人参加班级举行的“我爱家乡”演讲比赛，需要通过抽签方式来决定出场顺序，则出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在中，，，点，分别从点和点同时出发，以相同的速度沿射线向左匀速运动，过点作，垂足为，连接，设点运动的距离为，的面积为，则能反映与之间的函数关系的图象大致为(    )

A.  B.
C.  D.

9.  年月，某校学生会以“心连心向未来”为主题，举办了庆祝香地回归周年征文活动，选派名学生会成员对篇征文进行分类，现将名学生会成员分为三组，若第一、二、三小组每人分别负责、、篇征文，且每组至少有人，则学生会成员分组方案有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

10.  如图，抛物线，与轴正半轴交于，两点，与轴负半轴交于点．
；
；
若点的坐标为，且，则；
若抛物线的对称轴是直线，为任意实数，则．
上述结论中，正确的个数是(    )

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）

11.  年月日，在北京冬奥会短道速滑混合团体米接力决赛中，由武大靖、任子威、曲春雨、范可新和张雨婷组成的中国队获得金牌，也是中国代表团该届冬奥会的首枚金牌取得这样骄人成绩的背后是运动健儿们日复一日的艰苦训练，请你计算一下，如果武大靖每天速滑训练万米，用科学记数法表示天共速滑训练______ 米

12.  如图，正方形中，点，分别在，上，连接，，请添加一个条件：______ ，使≌．

13.  在函数中，自变量的取值范围为______ ．

14.  要制作一个高为，底面圆直径是的圆锥形小漏斗，若不计接缝，不计损耗，则她所需纸板的面积是______ ．

15.  如图，在平面直角坐标系中菱形的顶点的坐标为，且，点，在第一象限，连接对角线，函数的图象分别交，于点，，若，则 ______ ．

16.  矩形的边，点为平面内一点，，若，则 ______ ．

17.  如图，正方形的中心与坐标原点重合，将顶点绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点依此类推，则点的坐标是        ．

三、解答题（本大题共7小题，共69.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
计算：；
分解因式：．

19.  本小题分
解方程：．

20.  本小题分
某校为了解七、八年级学生对“疫情防护”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽出名学生进行测试，并对成绩百分制进行整理、描述和分析，部分信息如下：
七、八年级成绩平均数、中位数如表：

七年级成绩频数分布直方图如图：

七年级成绩在这一组的数据如表：

根据以上信息，解答下列问题：
在这次测试中，七年级学生成绩在分以上含分的有______ 人；
表中的值为______ ；
在这次测试中，七年级学生甲和八年级学生乙的成绩都是分，则甲、乙两位学生在各自年级的排名______ 更靠前按照分数由高到低的顺序排名；
该校七年级学生有人，请估计七年级学生成绩不低于分的有多少人？

21.  本小题分
如图，内接于，延长直径到，使，过圆心作的平行线交的延长线于点．
求证：是的切线；
若，，求的半径及．

22.  本小题分
某实验室对甲、乙两机器人进行装卸货物测试，在实验场地的一条直线上依次设置货物装卸点，，三地，甲、乙两机器人同时从地匀速出发，甲机器人到达地后装货分钟，再以原速原路返回地，乙机器人到达地后装货分钟，再以原速前往地，结果甲、乙两机器人同时到达各自目的地，在两机器人行驶的过程中，甲、乙两机器人距地的距离单位：米与甲机器人所用时间单位：分之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题：
，两地之间的距离为______ 米，甲机器人的速度为______ 米分；
求乙机器人从地到地行驶过程中与的函数关系式不用写出的取值范围；
两机器人经过多长时间相距米？请直接写出答案．

23.  本小题分
综合与实践．
旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：如图，和均为等腰直角三角形，，点为中点，绕点旋转，连接、．
观察猜想：
在旋转过程中，与的数量关系为______ ；
实践发现：
当点、在内且、、三点共线时，如图，求证：；
拓展延伸：
当点、在外且、、三点共线时，如图，探究、、之间的数量关系是______ ；
解决问题：
若中，，在旋转过程中，当且、、三点共线时， ______ ．
 

24.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴相交于另一点，连接点是线段上方抛物线上的一个动点，过点作交线段于点．
求抛物线的解析式；
点为抛物线对称轴上的一个动点，则的最大值是______ ；
求的最大值，并写出此时点的坐标；
在轴上找一点，抛物线上找一点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据绝对值的定义进行计算即可．
本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的前提．
 

2.【答案】 

【解析】解：选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C.选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可解答．
本题主要考查了轴对称图形的概念，解决轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

3.【答案】 

【解析】解：、、不是同类项，无法合并计算，计算错误，
故不符合题意；
B、，计算错误，
故不符合题意；
C、，计算错误，
故不符合题意；
D、，计算正确，
故符合题意；
故选：．
根据整式的相关运算法则和平方根的定义分别求解判断即可．
本题考查整式的运算，包括幂的相关运算法则，以及算术平方根，掌握基本运算法则和定义，保证运算质量是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：图中是一副直角三角板，
，，
在中，
，
，
，
．
故选：．
先根据直角三角板的性质求出，的度数，根据直角三角形的性质得出的度数，由对顶角相等得出的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．
本题主要考查三角形的外角的性质，解题的关键是掌握直角三角板的性质和三角形外角的性质．
 

5.【答案】 

【解析】解：将正方体正上方再放一个前的主视图正方形的个数为，，；正方体的正上方再放一个后的主视图正方形的个数为，，；主视图发生改变．
将正方体正上方再放一个前的左视图正方形的个数为，，；正方体的正上方再放一个后的主视图正方形的个数为，，；左视图不发生改变．
将正方体正上方再放一个前的俯视图正方形的个数为，，；正方体的正上方再放一个后的俯视图正方形的个数为，，；俯视图不发生改变．
故选：．
根据从上面看得到的图形事俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形事俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
分式变形得，，
分式加减得，，
合并同类项得，，
去分母得，且，
移项得，，
，且，即，
解为非负数，
，
，
，
，
，解得：，
且，
故选：．
根据解分式方程的方法，用含的式子表示的值，再根据解为非负数即可求解．
本题主要考查解分式方程，及根据分式方程的根求参数，掌握分式的性质，分式有意义的条件，分式的混合运算法则是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

由树状图可知，共有种等可能的结果，其中出场顺序恰好是甲、乙、丙的结果有种，
出场顺序恰好是甲、乙、丙的概率为．
故选：．
画树状图得出所有等可能的结果数以及出场顺序恰好是甲、乙、丙的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，

，，
是等边三角形，
，，
，，
，即，
，
，
，
，
，
与之间的函数关系的图象为抛物线的一部分，且开口向上．
故选：．
过点作于点，根据题意可得是等边三角形，从而得到，，然后根据直角三角形的性质可得，，再根据三角形的面积公式可得与之间的函数关系式，即可求解．
本题主要考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，二次函数的图象，根据题意准确得到与之间的函数关系式是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：设第一小组有人，第二小组有人，则第三小组有人，
由题意得：，
即，且，均为正整数，
当时，，，符合题意；
当时，，，符合题意；
当时，，，符合题意；
当时，，，符合题意；
当时，，，符合题意．
学生会成员分组方案有种．
故选：．
设第一小组有人，第二小组有人，根据题意列出方程式，依次检验，以及，确保其均为正整数，最终得到符合条件的方案个数．
本题主要考查了二元一次方程的应用与分数除法的应用，明确题意，准确列出方程是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：函数开口向下，
，
函数对称轴在轴左侧，
，
则，
函数图象与轴相交于负半轴，
，
，
故正确；
该函数图象与轴有个交点，
，
故不正确；
，
，
，
，
当时，，
把代入得：，
即，
把点代入得：，
，
整理得：，
，
，
故正确；
把代入得：，
抛物线的对称轴是直线，函数图象开口向下，
该函数的顶点坐标为：，
即该函数最大值为，
当时，，
，
整理得：，即，
故正确；
综上：正确的有，共个；
故选：．
根据函数的开口，判断的符号，根据对称轴，判断的符号，根据于轴交点，判断的符号，即可判断；根据该函数图象与轴的交点个数，即可判断；根据可得，则当时，，把和分别代入，消去，即可判断；根据函数开口向下，对称轴为直线，可知函数的最大值为对应的函数值，则当时，函数值不大于对应的函数值，即可判断．
本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和系数的关系是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：根据题意得：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

12.【答案】 

【解析】解：添加，
四边形是正方形，
，，
在与中，
，
≌，
故答案为：．
根据正方形的性质和全等三角形的判定得出添加条件即可．
此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的四边相等解答．
 

13.【答案】且 

【解析】解：由题意，得
且，
解得且，
故答案为：且．
根据被开方数是非负数且分母不等为零，可得答案．
本题考查了函数自变量的取值范围，利用被开方数是非负数且分母不等为零得出不等式是解题关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：圆锥的半径为，高为，
圆锥的母线长为．
所需纸板的面积为．
易得圆锥的底面半径是，那么利用勾股定理可得圆锥的母线长为，那么圆锥的侧面积底面半径母线长，把相关数值代入即可求解．
考查圆锥的侧面展开图公式；用到的知识点为：圆锥的底面半径，母线长，高组成直角三角形，可利用勾股定理求解．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，过作轴于，过作轴于，则，

又，
∽，
又，
，，
设，则，
，，
，，
函数的图象分别交边、于点、，
，
解得，
，
，
故答案为：．
过作轴于，过作轴于，易得∽，设，则，，，进而得出，，根据反比例函数图象上点的特征，即可得到的值，进而得到的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形．
 

16.【答案】或 

【解析】解：如图所示，
点为平面内一点，且，
点在以为直径的圆上，取的中点即为圆心，
此时，连接，
矩形的边，，
，，
在中，恰有，
要使得，
此时与的交点，即点是符合题意的点，
，
；
同理，当的延长线与交于矩形外部点时，也符合题意，
此时，，
故答案为：或．
首先确定点在以为直径的圆上，再连接，得到，即可确定符合题意的点为与的交点，然后根据勾股定理以及直线与圆的位置关系求解即可．
本题考查矩形的性质，隐圆问题以及特殊角的三角函数值，能够根据已知信息确定动点所处的具体位置是解题关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：如图，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，

正方形的中心与坐标原点重合，，
，，，
，，，
将顶点绕点逆时针旋转得点，
，，，
，，
，，
，
再将绕点逆时针旋转得点，
，，，
，，
，
，
再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点，再将绕点逆时针旋转得点
同理可得：，，，，，
观察发现：每四个点一个循环，，，，，
，
；
故答案为：．
如图，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，过点作轴于，可得，，，，，，，观察发现：每四个点一个循环，，，，，由，推出．
本题考查坐标与图形的变化旋转，等腰直角三角形性质，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考选择题中的压轴题．
 

18.【答案】解：


；



． 

【解析】先化简绝对值，计算零次幂、特殊角三角函数值、负整数次幂，再计算加减；
先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式．
本题考查实数的混合运算、分解因式，涉及绝对值、零次幂、特殊角三角函数值、负整数次幂、完全平方公式等知识点，解题的关键是熟练掌握上述知识点并正确计算．
 

19.【答案】解：由原方程，得
，
所以或，
解得，． 

【解析】先移项，然后提取公因式，对等式的左边进行因式分解．
本题考查了解一元二次方程--因式分解法．因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
 

20.【答案】    甲 

【解析】解：在这次测试中，七年级在分以上含分的人数有人；
故答案为：；
七年级学生成绩的中位数，
故答案为：；
七年级学生甲的成绩更靠前，因为七年级学生甲的成绩大于其中位数；
故答案为：甲；
人，
答：估计七年级学生成绩不低于分的人数为人．
根据频数分布直方图可得七年级在分以上含分的人数；
根据中位数的定义求解可得；
将各自成绩与该年级的中位数比较可得答案；
用总人数乘以样本中七年级绩不低于分的人数所占比例可得．
本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．
 

21.【答案】证明：，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
即，
，
是的半径，
是的切线；
解：，
，
，，
，
设，
则，，
，
是直角三角形，
在中，，
，
解得，，
，
即的半径为，
，
，
，
，
在中，，
． 

【解析】由等腰三角形的性质与已知条件得出，，由圆周角定理可得，进而得到，即可得出结论；
根据平行线分线段成比例定理得到，设，则，，在中，根据勾股定理求出，即的半径为，由平行线的性质得到，在中，可求得，即．
本题考查了切线的判定与性质，掌握圆周角定理、勾股定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、切线的判定与性质与平行线分线段成比例定理是解题的关键．
 

22.【答案】   

【解析】解：由函数图象可得：两地之间的距离为米，甲到达点用时，两地之间的距离为米，则甲机器人的速度为米分．
故答案为：，．
由函数图象可得乙机器人从地到地行驶过程对应函数图象为，点，，
设与的函数关系式为，
则，
解得：，
与的函数关系式为．
当甲机器人到达地前时，由函数图象可得，，
由待定系数法可得：的解析式为：；
的解析式为：，
由两机器人相距米，则：，
解得，
当甲机器人到达地返回，乙机器人从到过程中相距米，
由函数图象可得：，，
由待定系数法可得：，
由可得直线的解析式为：，
，
解得：或，
综上，两机器人经过分或分或分相距米．
根据图象可得两地之间的距离，再根据路程、时间、速度的关系可求得甲的速度；
先根据题意确定点、的坐标，然后再运用待定系数法求解即可；
根据，，三地在同一直线上，先分别求得直线、、的解析式，然后再分两种情况解答即可．
本题主要考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
 

23.【答案】   或 

【解析】解：结论：．
理由：连接．

，，，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
．
故答案为：；

证明：连接．

由可知，
是等腰直角三角形，
，
，即；

解：结论：．

理由：由可知，
是等腰直角三角形，
，
，即．
故答案为：；

解：如图中，设交于点．
≌，
，，
，
，
，，
，
，
，
如图中，同法可得．
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
结论：证明≌，可得结论；
连接利用全等三角形的性质以及等腰直角三角形的性质证明即可；
结论：证明方法类似；
分两种情形：利用图，图分别求出，可得结论．
本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
 

24.【答案】 

【解析】解：对于，当时，，当时，，
故点、的坐标分别为：、，
则，解得：，
则抛物线的表达式为：；

作点关于抛物线的对称轴的对称点，连接并延长交抛物线的对称轴于点，则点为所求点，理由：

由点的对称性知，，则最大，
由点、的坐标得，，
故的最大值为：，
故答案是：；

过点作轴交于点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
设点，则，
则，
即当时，的最大值为，此时，点的坐标为：，
轴，则，
在中，，，则，
则，
则，
即当最大时，最大，
故的最大值为：，
即最大值，点的坐标为；

设点、点，，
当是对角线时，
由中点坐标公式得：且，
解得：不合题意的值已舍去，
故点的坐标为：；
当或为对角线时，由中点坐标公式得：
或且，
解得：或，
即点的坐标为：或或，
综上，点的坐标为：或或或．
用待定系数法即可求解；
作点关于抛物线的对称轴的对称点，连接交抛物线的对称轴于点，则点为所求点，进而求解；
由知，当最大时，最大，进而求解；
当是对角线时，由中点坐标公式列出方程组，即可求解；当或为对角线时，同理可解．
本题考查了二次函数和一次函数的解析式，二次函数和一次函数图象上点的坐标特征，平行四边形性质等，分类求解是本题解题的关键．