湖南省邵阳市重点学校2020届高三下学期综合模拟考试数学（文）试题 Word版含解析

www.ks5u.com邵阳市部分学校2020届高三综合模拟考试

文科数学试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．

1.设函数的定义域A，函数的定义域为B，则集合为（    ）

A. （2，3） B.  C.  D. （-3，2）

【答案】C

【解析】

【分析】

由函数的定义域，分别算出A和B，然后根据集合交集的定义，即可得到本题答案.

【详解】由，得，所以，

又由，得，所以，

所以.

故选：C

【点睛】本题主要考查函数的定义域和集合的交集运算，属基础题.

2.设复数z满足，则（    ）

A.  B.  C. 2 D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据条件表示出复数，利用可计算复数的模.

【详解】解：因为z满足，

则，所以.

故选：A.

【点睛】本题考查复数除法的四则运算，考查复数模的计算，属于基础题.

3.微信运动，是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号.用户可以通过关注微信运动公众号查看自己每天或每月行走的步数，同时也可以和其他用户进行运动量的或点赞.加入微信运动后，为了让自己的步数能领先于朋友，人们运动的积极性明显增强，下面是某人2018年1月至2018年11月期间每月跑步的平均里程（单位：十公里）的数据，绘制了下面的折线图.

根据折线图，下列结论正确的是（   ）

A. 月跑步平均里程的中位数为月份对应的里程数

B. 月跑步平均里程逐月增加

C. 月跑步平均里程高峰期大致在、月

D. 月至月的月跑步平均里程相对于月至月，波动性更小，变化比较平稳

【答案】D

【解析】

【分析】

根据折线图估计中位数、确定增减性、估计最大值，研究稳定性，即可确定选项.

【详解】根据折线图得中位数为月份对应的里程数；月跑步平均里程在1月、月、7月10月减少，月跑步平均里程高峰期大致在月；月至月的月跑步平均里程相对于月至月，波动性更小，变化比较平稳，所以选D.

【点睛】本题考查根据折线图估计相关数据，考查基本分析判断能力，属基础题.

4.在平行四边形中，与交于点是线段的中点．若，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【详解】如图所示，∵，，，

，故选C．

5.将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到关于轴对称的图象，则的最小值为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

利用辅助角公式将函数化为，通过平移求出平移后的函数解析式，利用函数关于轴对称即可求出的值.

【详解】函数，

将函数的图象沿轴向左平移个单位后，

得到函数，函数关于轴对称，

，

，

当时，.

故选：A

【点睛】本题主要考查了辅助角公式、三角函数的平移变换、以及三角函数的对称性，属于基础题.

6.函数y=xlnx的图象大致是(    )

A    B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据函数自变量趋近于0和正无穷时的极限，即可作出判断.

【详解】因为y=xlnx，故可得

令，可得；令，可得，

故函数在区间上单调递减，在区间单调递增，

又因为当时，，故排除；

又时，，故函数在区间上有一个零点，故排除C.

故选：D.

【点睛】本题考查函数图像的选择，涉及函数零点的判断，函数单调性的判断，属综合基础题.

7.汉朝时，张衡得出圆周率的平方除以16等于，如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的曲线为圆，利用张衡的结论可得该几何体的体积为（　　）

A. 32 B. 40 C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

将三视图还原，即可求组合体体积

【详解】将三视图还原成如图几何体：半个圆柱和半个圆锥的组合体，底面半径为2，高为4，则体积为，利用张衡的结论可得

故选C

【点睛】本题考查三视图，正确还原，熟记圆柱圆锥的体积是关键，是基础题

8.世纪产生了著名的“”猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半；如果是奇数，则将它乘加，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到.如图是验证“”猜想的一个程序框图，若输入正整数的值为，则输出的的值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

列出循环的每一步，可得出输出的的值.

【详解】，输入，，不成立，是偶数成立，则；

，不成立，是偶数成立，则；

，不成立，是偶数成立，则；

，不成立，是偶数不成立，则；

，不成立，是偶数成立，则；

，不成立，是偶数成立，则；

，不成立，是偶数成立，则；

，不成立，是偶数成立，则；

，成立，跳出循环，输出的值为.

故选：C.

【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于基础题.

9.在梯形中，，，，则的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

设，则，.取的中点，延长到点，使，连接，.在,中分别用余弦定理可得，然后在中用余弦定理结合均值不等式可求解出答案.

【详解】设，则，.

取的中点，延长到点，使，连接，.

由平面几何知识，易知，.

设，.

在中，，

在中，，

∴，在中，，

又∵，∴，

∴的最大值为.

故选：B

【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形结合均值不等式求最值，属于中档题.

10.上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.

由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如下表：

根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是(    )

A. 公元前2000年到公元元年 B. 公元前4000年到公元前2000年

C. 公元前6000年到公元前4000年 D. 早于公元前6000年

【答案】D

【解析】

【分析】

先理解题意，然后根据题意建立平面几何图形，在利用三角函数的知识计算出冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，即可得到正确选项．

【详解】解：由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为，春秋分日光与垂直线夹角为，

则即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，

将图3近似画出如下平面几何图形：

则，，

．

，

估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年．

故选：．

【点睛】本题考查利用三角函数解决实际问题的能力，运用了两角和与差的正切公式，考查了转化思想，数学建模思想，以及数学运算能力，属中档题．

11.已知点F是双曲线的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若是钝角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是　　

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

利用双曲线的对称性可得是钝角，得到，求出AF，CF得到关于a，b，c的不等式，求出离心率的范围．

【详解】双曲线关于x轴对称，且直线AB垂直x轴，

，

是钝角三角形，

是钝角，

即有，

为左焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，

，

，即，

由，可得，

解得或，舍去，

则双曲线的离心率的范围是．

故选D．

【点睛】本题考查双曲线的对称性、双曲线的三参数关系：，双曲线的离心率问题就是研究三参数a，b，c的关系．

12.已知在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

先根据已知条件，把边化成角得到B,C关系式，结合均值定理可求.

【详解】∵，∴，

∴.又，

∴，

∴.

又∵在锐角中, ,∴，当且仅当时取等号，

∴，故选A.

【点睛】本题主要考查正弦定理和均值定理，解三角形时边角互化是求解的主要策略，侧重考查数学运算的核心素养.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.如图为制作某款木制品过程中的产量吨与相应的消耗木材吨的统计数据，经计算得到关于的线性回归方程，由于某些原因处的数据看不清楚了，则根据运算可得__________．

【答案】5.5

【解析】

【分析】

根据线性回归方程过样本中心点，结合平均数的定义、线性回归方程进行求解即可.

【详解】由题可知，又知线性回归方程必过样本中心点，将代入，得，即，解得．

故答案为：5.5

【点睛】本题考查了线性回归方程的性质，考查了平均数的定义，考查了数学运算能力.

14.在中，若，且，则的最大值为________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据同角三角函数平方关系、两角和差公式和二倍角公式可化简已知等式，结合正弦定理角化边得到，进而配凑出，求得；利用基本不等式可求得的最大值，代入三角形面积公式可求得结果.

【详解】由题意得：，

，

由正弦定理得：，即，

，又，，

又（当且仅当时取等号），

，，即的最大值为.

故答案为：.

【点睛】本题考查解三角形问题中三角形面积的最大值的求解，关键是能够灵活应用同角三角函数平方关系、两角和差以及二倍角公式化简已知等式，同时利用正弦定理角化边求得三角形内角.

15.已知是抛物线：的焦点，是抛物线在轴上方一点，以为圆心，3为半径的圆过点且被轴截得的弦长为，则抛物线的方程为________.

【答案】

【解析】

设，由抛物线的定义知=3，则点到的距离为，由垂径定理知，，解得，所以抛物线的方程为.

16.若函数在区间上单调递增，则的最小值是__________．

【答案】-4

【解析】

【分析】

对函数求导可得：，函数在区间上单调递增等价于在区间上大于等于零恒成立，即在区间上恒成立，利用二次函数的图像讨论出，的关系，再结合线性规划即可得到的最小值．

【详解】 函数在区间上单调递增，

在区间上恒成立，即在区间上恒成立，令，其对称轴：，

当，即时，在区间上恒成立等价于： ，由线性规划可得：；

当，即时，在区间上恒成立等价于： ，由线性规划可得：；

当，即时，在区间上恒成立等价于： ，则，由于在上的范围为，则，

综上所述的最小值是-4.

【点睛】本题考查导数与函数单调性、线性规划、函数与不等式等知识，考查学生综合运用数学知识的能力，运算能力以及逻辑思维能力，属于难题．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：60分．

17.为了调查某社区居民每天参加健身的时间，某机构在该社区随机采访男性、女性各50名，其中每人每天的健身时间不少于1小时称为“健身族”，否则称其为"非健身族”，调查结果如下：

（1）若居民每人每天的平均健身时间不低于70分钟，则称该社区为“健身社区”. 已知被随机采访的男性健身族，男性非健身族，女性健身族，女性非健身族每人每天的平均健分时间分別是1.2小时，0.8小时，1.5小时，0.7小时，试估计该社区可否称为“健身社区”？

（2）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过5%的情况下认为“健身族”与“性别”有关？

参考公式： ，其中.

参考数据：

【答案】（1）该社区不可称为“健身社区”；（2）能在犯错误概率不超过5%的情况下认为“健康族”与“性别”有关.

【解析】

【分析】

（1）计算平均数，再比较数据大小作出判断（2）先求卡方，再对照参考数据作出判断

【详解】（1）随机抽样的100名居民每人每天的平均健身时间为

小时，

由此估计该小区居民每人每天的平均健身时间为1.15小时，

因为1.15小时小时=70分钟，所以该社区不可称为“健身社区”；

（2）由联立表可得，

，

所以能在犯错误概率不超过5%的情况下认为“健康族”与“性别”有关.

【点睛】本题考查计算平均数以及卡方计算，考查基本分析求解判断能力，属基础题.

18.如图，直四棱柱中，四边形为梯形，，且.过三点的平面记为，与的交点为.

(I)证明：为的中点；

(II)求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比.

【答案】(1)见解析;(2) .

【解析】

试题分析：（1）由已知得平面QBC∥平面A1AD，从而QC∥A1D，由此能证明Q为BB1的中点．

（2）连接QA，QD．设AA1=h，梯形ABCD的高为d，四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积分别为V上和V下，BC=a，则AD=2a．V下=+V四棱锥QABCD=ahd .

= ahd，由此能求出此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比．

(I)证明：延长交于，则平面，

又平面，平面平面，

所以因为

所以，即为的中点．

 (II)如图所示，连接.设，梯形的高为，四棱柱被平面所分成上下两部分的体积分别为和，，则 .

三棱椎，  四棱椎  所以＝三棱椎+四棱椎=.又四棱柱，

所以＝四棱柱－，

故.

19.已知数列为等比数列,数列满足,且.设为数列的前项和.

（1）求数列､的通项公式及;

（2）若数列满足,求的前项和.

【答案】（1）,,,；（2）

【解析】

【分析】

(1)由已知得,可得出数列为等差数列，求得其公差，可得数列的通项公式，及，再由对数的运算可得数列的通项公式;

(2)由（1）得,根据错位相减法求得数列的前项和，再分当时和当时分别求得.

【详解】(1)对,则,因为为等比数列,则为定值.则为定值,则数列为等差数列.

,

则,,,;

(2),

设,为数列的前项和,则有:

(*)式(**)式,得:

,.

当时,;

当时,,

即

【点睛】本题考查等差数列，等比数列的通项公式，前n项和的求解方法，以及运用错位相减法求数列的和，属于中档题.

20.椭圆的焦距是，长轴长是短轴长3倍，任作斜率为的直线与椭圆交于两点（如图所示），且点在直线的左上方.

（1）求椭圆的方程；

（2）若，求的面积；

（3）证明：的内切圆的圆心在一条定直线上．

【答案】（1）

（2）

（3）内切圆的圆心在一条定直线上

【解析】

【分析】

（1）由题意求出椭圆方程中的，得解；

（2）分别利用弦长公式及点到直线的距离公式求出三角形的底与高，再利用三角形面积公式求解即可；

（3）先证明，从而可得的角平分线平行轴，从而可证的内切圆的圆心在一条定直线上.

【详解】解：（1）由题意知：，得，又，

所以，

故椭圆的方程为：；

（2）设直线的方程为：，代入椭圆方程可得：，

设，,则，

所以 ，

又，解得或，

由题意可得，

故所在直线方程为，即，

所以点到直线的距离，

故的面积为；

（3）设直线的方程为：，代入椭圆方程可得：，

设，,则，

 所以=，

又

，

即 ，所以的角平分线平行轴，

故的内切圆的圆心在一条定直线上.

【点睛】本题考查了椭圆方程的求法、弦长公式及点到直线的距离公式，重点考查了圆锥曲线中的定值问题，属综合性较强的题型.

21.已知函数，若函数在上存在两个极值点.

（Ⅰ）求实数的取值范围；

（Ⅱ）证明：

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析

【解析】

【分析】

（Ⅰ）求出，分析的符号，的根的个数满足的条件.

（Ⅱ）不妨设，令，，将目标不等式的参数减少，用分析的方法最后证明：，构造函数证明即可.

【详解】（Ⅰ）函数的定义域为，

因为，

令

所以.

当时，，

所以函数上单调递增.

即在上单调递增，

在上至多一个零点，

所以在上至多一个极值点，不满足条件.

当时，由，得（负根舍去），

当时，，

当时，，

所以函数在）上单调递减；

在上单调递增.

所以，

要使函数在上存在两个极值点

则函数有两个零点，即有两个零点

首先，解得.

因为，且，

下面证明：.

设，

则.

因为，所以.

所以在上单调递减，

所以.

所以实数的取值范围为.

（Ⅱ）因为，是函数两个极值点，

所以，是函数的两个零点

即，是函数的两个零点，

不妨设，令，则.

所以即.

所以，即，，.

要证，需证.

即证，即证.

因为，所以即证．

设，

则.

所以在上单调递减，

所以.

所以.

【点睛】本题主要考查了导数在研究函数极值中的应用、导数证明不等式，考查了分析法证明不等式，考查了分析求解能力，属于难题.

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，动点在直线上，将射线逆时针旋转得到射线，射线上一点，满足，点的轨迹为曲线，

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）设射线和射线分别与曲线交于两点，求面积的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）直接利用定义和关系式的应用求出结果；
（2）直接利用三角形的面积公式的应用和关系式的变换的应用求出结果.

【详解】（1）设，则，

因为动点在直线上，所以，

整理得：，即曲线的极坐标方程为；

（2）因为射线和射线分别与曲线交于两点，设点，

则，

，

，，

当时，的最大值.

【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型.

23.设函数

（1）解不等式:;

（2）若对一切实数均成立:求的取值范围.

【答案】（1）;（2）

【解析】

【分析】

（1）运用零点分段法对的取值进行分类,分别求出不等式的解集,从而求出不等式的解;

（2）利用绝对值的性质,确定出的最小值,从而使问题得解.

【详解】（1）因为

,

①当时,,

解得,所以;

②当时,,

解得,所以;

③当时,,

解得,所以;

综上所述, 的解为

（2）若

,

对一切实数均成立,

则,解得

故所求的取值范围为

【点睛】本题是一道关于绝对值不等式求解的题目,熟练掌握绝对值不等式的解法是解题的关键.