湖北省武汉市部分学校2020届高三下学期5月模拟考试数学（文）试题 Word版含解析

这是一份湖北省武汉市部分学校2020届高三下学期5月模拟考试数学（文）试题 Word版含解析，共20页。试卷主要包含了复数z， 如图，某几何体的正视图，已知F1，F2是双曲线C，函数的零点个数为等内容，欢迎下载使用。

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数学试题
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数z（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简，从而得出正确选项.
【详解】z.
故选：B.
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题.
2.已知全集U=R，集合A={x|x2≤4}，那么（ ）
A. (﹣∞,﹣2) B. (2,+∞)
C. (﹣2,2) D. (﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)
【答案】D
【解析】
【分析】
解一元二次不等式求得集合，由此求得.
【详解】∵全集U=R，集合A={x|x2≤4}={x|﹣2≤x≤2}，
∴={x|x<2或x>2}=(﹣∞，﹣2)∪(2，+∞).
故选：D.
【点睛】本题考查补集的求法，考查补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.
3.已知圆x2+y2+2x﹣4y﹣8=0的圆心在直线3x+y﹣a=0，则实数a的值为（ ）
A. ﹣1 B. 1 C. 3 D. ﹣3
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，求出圆的圆心坐标，将其代入直线的方程，解方程可得a的值.
【详解】根据题意，圆x2+y2+2x﹣4y﹣8=0的圆心为(﹣1，2)，
若圆x2+y2+2x﹣4y﹣8=0的圆心在直线3x+y﹣a=0上，则有3×(﹣1)+2﹣a=0，
解得：a=﹣1；
故选：A.
【点睛】本题考查圆的一般方程与直线的方程，注意求出圆的圆心坐标，属于基础题.
4.若等差数列{an}前9项的和等于前4项的和，a1=1，则a4=（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
利用等差数列的通项公式与求和公式列方程，求得，进而求得.
【详解】由题意可得：S9=S4，∴9×1+36d=4×1+6d，解得d.
∴a4=1﹣3.
故选：C.
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.
5. 如图，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（ ）

A. B. 4 C. D. 2
【答案】C
【解析】
试题分析：根据已知中的三视图及相关视图边的长度，我们易判断出该几何体的形状及底面积和高的值，代入棱锥体积公式即可求出答案．
解：由已知中该几何中的三视图中有两个三角形一个菱形可得
这个几何体是一个四棱锥
由图可知，底面两条对角线的长分别为2，2，底面边长为2
故底面棱形的面积为=2
侧棱为2，则棱锥的高h==3
故V==2
故选C
点评：本题考查的知识点是由三视图求面积、体积其中根据已知求出满足条件的几何体的形状及底面面积和棱锥的高是解答本题的关键．

6.已知sinα，α为第二象限角，则cos(2α)=（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα的值，进而利用诱导公式，二倍角的正弦函数公式即可求解.
【详解】∵sinα，α为第二象限角，
∴cosα，
∴cos(2α)=sin2α=2sinαcosα=2().
故选：A.
【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.
7.已知向量，满足，||=2，且与的夹角为，则||=（ ）
A 2 B. 1 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接根据数量积的展开式结合已知条件，即可求解结论.
【详解】因为向量满足()•()=﹣6，||=2，且与的夹角为，
∴()•()||2+||•||•cos6⇒||2+||﹣2=0⇒||=1(负值舍)
故选：B
【点睛】本题主要考查平面向量数量积的应用以及模长的计算，属于基础题目.
8.如果从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组三角形三条边的边长有概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
基本事件总数n，利用列举法求出这3个数构成一组三角形三条边的边长包含的基本事件有3个，由此能求出这3个数构成一组三角形三条边的边长的概率.
【详解】从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，
基本事件总数n，
这3个数构成一组三角形三条边的边长包含的基本事件有：
{2，3，4}，{2，4，5}，{3，4，5}，共3个，
∴这3个数构成一组三角形三条边的边长的概率p.
故选：A.
【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.
9.已知F1，F2是双曲线C：的两个焦点，P是C上一点，满足|PF1|+|PF2|=6a，且∠F1PF2，则C的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由双曲线定义及|PF1|+|PF2|=6a可得|PF1|，|PF2|的值，在三角形PF1F2中由余弦定理可得a，c的关系，从而求出离心率.
【详解】由双曲线的对称性设P在第一象限，因为|PF1|+|PF2|=6a，由双曲线的定义可得|PF1|=2a+|PF2|，
所以|PF2|=2a，|PF1|=4a，
因为∠F1PF2，在三角形PF1F2中，由余弦定理可得cos∠F1PF2，
即，整理可得：3a2=c2，可得e，
故选：D.

【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，属于中档题.
10.函数的零点个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
把零点个数问题化为两个函数的交点，作函数的图象求解即可.
【详解】函数f(x)=ex|lnx|﹣2的零点可以转化为：|lnx|的零点；
在坐标系中画出两个函数的图象，根据图象可得有两个交点；
故原函数有两个零点.
故选：B.

【点睛】本题考查了方程的根与函数的图象的应用，属于基础题.
11.已知函数f(x)sin(ωx+φ)﹣cos(ωx+φ)(0<φ<π,ω>0)为偶函数，且y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为，则f()的值为（ ）
A. ﹣1 B. 1 C. . D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用辅助角公式进行化简，结合f(x)是偶函数，求出φ的值，利用f(x)的对称轴之间的距离求出函数的周期和ω，代入进行求值即可.
【详解】f(x)sin(ωx+φ)﹣cos(ωx+φ)=2sin(ωx+φ)，
∵f(x)是偶函数，∴φkπ，k∈Z，
得φ=kπ，
∵0<φ<π，∴当k=0时，φ，
即f(x)=2sin(ωx)=2sin(ωx)=2cosωx，
∵y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为，
∴，即T=π，即π，
得ω=2，
则f(x)=2cos2x，
则f()=2cos(2)=2cos1，
故选：B.
【点睛】本题主要考查三角函数值的计算，利用辅助角公式，结合三角函数的性质求出函数的解析式是解决本题的关键.难度不大.
12.设奇函数，的导函数为，且，当时，，则使得成立的x的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据所给不等式，构造函数，由导数与单调性关系可知在时单调递增，由函数奇偶性的性质可知为偶函数，画出函数示意图，即可求得成立的x的取值范围.
【详解】令，
则，
当时，，
则当时，为单调递增函数，
为奇函数，则为偶函数，
且由，可知，
所以，则的函数关系示意图如下图所示：

当时，若，则，此时；
当时，若，则，此时；
综上可知，的解集为，
故选：D.
【点睛】本题考查了构造函数法解不等式，导数与函数单调性的关系应用，奇偶性的性质应用，数形结合法解不等式的应用，属于中档题.
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13.已知实数x，y满足约束条件则z=x+2y的最小值为_____
【答案】
【解析】
【分析】
画出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可求出z的最小值.
【详解】作出实数x，y满足约束条件对应的平面区域如图：
由z=x+2y得y，平移直线y，
由图象可知当直线y经过点A(，﹣1)时，直线的截距最小，此时z最小.
即z2×(﹣1)，
故答案为：.

【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键.
14.若函数f(x)=ax+lnx在点(1,a)处的切线平行于x轴，则f(x)的最大值为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
先利用切点处切线与x轴平行，求出a的值，然后利用导数研究函数的单调性，求出最大值.
【详解】，∴=a+1=0，∴a=﹣1.
∴f(x)=lnx﹣x，(x>0)
∵，
易知，x∈(0，1)时，，f(x)递增；x∈(1，+∞)时，，f(x)递减.
∴f(x)max=f（1）=﹣1.
故答案为：﹣1.
【点睛】本题考查导数的几何意义和利用导数研究函数的最值.求切线时，抓住切点满足的两个条件列方程是关键.属于基础题.
15.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC,BC=CC1，则异面直线BC1与AB1所成角的余弦值为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
通过证明AC⊥平面BCC1，证得AC⊥BC1，再结合BC=CC1得正方形BCC1B1，则BC1⊥B1C，证得BC1⊥平面ACB1，则问题可解.
【详解】如图：因为直棱柱ABC﹣A1B1C1，所以侧面BCC1B1⊥底面ABC
又AC⊥BC，∴AC⊥平面BCC1B1，∴AC⊥BC1.
又BC=CC1，∴四边形BCC1B1是正方形，故BC1⊥B1C，结合AC∩B1C=C，
故BC1⊥平面AB1C，而AB1⊂平面AB1C，所以BC1⊥AB1.
异面直线BC1与AB1所成角为，余弦值为0.
故答案为：0.

【点睛】本题考查空间角的计算问题，要注意空间线线､线面､面面之间平行关系之间､垂直关系之间､平行与垂直关系间的转化.属于中档题.
16.在△ABC中，已知AB=2,AC=3,A=60°，则sinC=_____.
【答案】
【解析】
【分析】
已知利用余弦定理可求BC的值，进而利用正弦定理可求sinC的值.
【详解】∵AB=2，AC=3，A=60°，
∴由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+9﹣2×2×37，
∵BC>0，
∴BC.
∴由正弦定理，可得.
故答案为：.
【点睛】本题考查余弦定理､正弦定理的在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题.
三､解答题：共70分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答
17.根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.4，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.2.设各车主购买保险相互独立.
（1）求该地1位车主至少购买甲､乙两种保险中的1种的概率；
（2）求该地3位车主中恰有1位车主甲､乙两种保险都不购买的概率.
【答案】（1）.（2）
【解析】
【分析】
（1）根据和事件概率求法，求得所求概率.
（2）由（1）求得为车主甲､乙两种保险都不购买的概率，根据独立重复事件概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】（1）记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险，
则P(A)=0.4，
设B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险，
则P(B)=0.2，
设事件C表示事件：该地的1位车主至少购买甲､乙两种保险中的1种，
则该地1位车主至少购买甲､乙两种保险中的1种的概率为：
P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.4+0.2=0.6.
（2）设事件D表示：该地1位车主甲､乙两种保险都不购买，则D，
∴P(D)=1﹣P(C)=1﹣0.6=0.4，
设E表示：该地3位车主中恰有1位车主甲､乙两种保险都不购买，
则该地3位车主中恰有1位车主甲､乙两种保险都不购买的概率：
P(E)0.432.
【点睛】本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式、n次试验中事件A恰好发生k次的概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.
18.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn=an+1.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若，求数列{bn}的前n项和为Tn.
【答案】（1）.（2）
【解析】
【分析】
（1）根据求出数列的通项公式，
（2）利用错位相减法即可求出数列{bn}的前n项和为Tn.
【详解】（1），a1=1，Sn=an+1=Sn+1﹣Sn，
∴Sn+1=2Sn，
∴数列{Sn}是以1为首项，以2为公比的等比数列，
∴Sn=1×2n﹣1=2n﹣1，
∴an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣2，n≥2，
∴an，
（2）n•()n﹣1，
∴Tn=()0+2•()1+3•()2+…+n•()n﹣1，①，
由①可得，
Tn=()1+2•()2+3•()3+…+n•()n，②，
由①﹣②可得Tn=1+()1+()2+()3+…+()n﹣1﹣n•()nn•()n=2﹣2×()n﹣n•()n=2﹣(n+2)•()n，
∴Tn=4.
【点睛】本题考查数列递推式，考查了错位相减法求数列的和，是中档题.
19.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=2，DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°.

（1）求证：AD⊥PB；
（2）求A点到平面BPC的距离.
【答案】（1）证明见解析.（2）
【解析】
【分析】
（1）利用勾股定理证得AD⊥BD，又PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AD，从而由线面垂直的判定定理得到AD⊥平面PBD，所以AD⊥PB；
（2）证得BC⊥PC，求出S△BPC和S△ABC，再由VA﹣BPC=VP﹣ABC 利用等体积法即可求出点A到平面PBC的距离.
【详解】（1）如图所示：
在四边形ABCD中，连接BD，由DC=BC=1，AB=2，∠BCD=∠ABC，
在△ABD中，BD=AD，又AB=2，
因此AD⊥BD，又PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥AD，又BD∩PD=D，
∴AD⊥平面PBD，
∴AD⊥PB；
（2）在四棱锥P﹣ABCD中，∵PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥BC，而BC⊥DC，
∴BC⊥平面PDC，
∴BC⊥PC，又，
∴，而S△ABC1，
，设点A到平面PBC的距离为h，
由VA﹣BPC=VP﹣ABC 可得：，
∴，
即点A到平面PBC的距离为.

【点睛】本题主要考查了线线垂直的证明，以及等体积法求点到平面的距离，是基础题.
20.已知函数f(x)=aex﹣x，
（1）求f(x)的单调区间，
（2）若关于x不等式aex≥x+b对任意和正数b恒成立，求的最小值.
【答案】（1）答案见解析.（2）
【解析】
【分析】
（1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出；
（2）先根据（1）利用导数和函数最值的关系求出，可得，设，利用导数求出函数的最小值即可.
【详解】（1）f′(x)=aex﹣1，
当a≤0时， <0，f(x)在R上单调递减，
若a>0时，令=aex﹣1=0，x=﹣lna，
在x>﹣lna时， >0，f(x)为增函数，
在x<﹣lna时， <0，f(x)为减函数，
所以，当时，的单调减区间为，无增区间；
当时，的单调减区间为，增区间为.
（2）f(x)=aex﹣x，由题意f(x)min≥b，
由（1）可知，当a≤0时，f(x)在R上单调递减，无最小值，不符合题意，
当a>0时，f(x)min=f(﹣lna)=1+lna≥b，
∴，
设h(a)，则 ，
a∈(0，1]， <0；a∈[1，+∞)，≥0，
∴h(a)min=h（1）=1.
所以的最小值为.
【点睛】本题考查了导数和函数单调性的关系以及和最值的关系，考查了函数恒成立的问题，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.
21.已知F(0,1)为平面上一点，H为直线l：y=﹣1上任意一点，过点H作直线l的垂线m，设线段FH的中垂线与直线m交于点P，记点P的轨迹为Γ.
（1）求轨迹Γ的方程；
（2）过点F作互相垂直的直线AB与CD，其中直线AB与轨迹Γ交于点A､B，直线CD与轨迹Γ交于点C､D，设点M，N分别是AB和CD的中点.
①问直线MN是否恒过定点，如果经过定点，求出该定点，否则说明理由；
②求△FMN的面积的最小值.
【答案】（1）.（2）①恒过定点，定点为(0，3)②4
【解析】
【分析】
（1）设P的坐标，由题意可得|PF|=|PH|，整理可得P的轨迹方程；
（2）①由题意可得直线BA，CD的斜率都存在，设直线AB的方程与抛物线联立求出两根之和，进而求出AB的中点M的坐标，同理可得N的坐标，进而求出直线MN的斜率，再求直线MN的方程，可得恒过定点；
②因为直线MN恒过定点，所以得S△FMN|xM﹣xN|，由均值不等式可得△FMN的面积的最小值为4.
【详解】（1）设P的坐标(x，y)由题意可得|PF|=|PH|，
所以|y+1|，
整理可得x2=4y，
所以轨迹Γ的方程：x2=4y；
（2）由题意可得直线AB，CD的斜率均存在，设直线AB的方程：y=kx+1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
直线与抛物线联立，整理可得：x2﹣4kx﹣4=0，x1+x2=4k，y1+y2=k(x1+x2)+2=4k2+2，
所以AB中点M(2k，2k2+1)，
同理可得N(1)，
所以直线MN的斜率为，
所以直线MN的方程为：y﹣(2k2+1)=(k)(x﹣2k)，
整理可得y=(k)x+3，所以恒过定点Q(0，3).
①所以直线恒过定点(0，3)；
②从而可得S△FMN|xM﹣xN||2k|=2|k|≥4，当时取得等号.
所以△FMN的面积的最小值为4.

【点睛】本题考查求轨迹方程及直线与抛物线的综合，及直线恒过定点的证明，均值不等式的应用，属于中档题.
22.在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C2极坐标方程为：ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0.
（1）求C1的极坐标方程和C2的普通方程；
（2）若直线C3的极坐标方程为，设C2与C3的交点为M，N，又C1：x=﹣2与x轴交点为H，求△HMN的面积.
【答案】（1）C1的极坐标方程，C2的普通方程.（2）1
【解析】
【分析】
（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.
（2）利用一元二次方程根和系数关系和极径的应用求出结果.
【详解】（1）直线C1：x=﹣2，转换为极坐标方程为ρcosθ=﹣2.
C2极坐标方程为：ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0，
转换为直角坐标方程为(x﹣1)2+(y﹣2)2=1.
（2）将代入C2极坐标方程为：ρ2﹣2ρcosθ﹣4ρsinθ+4=0.得到，解得，
所以，
由于H(﹣2，0)到直线y=x的距离为，
所以S△HNM=1.
【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.
23.已知函数f(x)=|x﹣a|﹣|x﹣5|.
（1）当a=2时，求证：﹣3≤f(x)≤3；
（2）若关于x的不等式f(x)≤x2﹣8x+20在R恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）证明见解析.（2）
【解析】
分析】
（1）代入，利用绝对值不等式的性质可得，进而得证；
（2）分及两种情况讨论，每种情况下都把函数f(x)化为分段函数的形式，再根据题意转化为关于的不等式，每种情况解出后最后取并集即可.
【详解】（1）证明：当a=2时，f(x)=|x﹣2|﹣|x﹣5|，
∴||x﹣2|﹣|x﹣5|||x﹣2﹣(x﹣5)|=3，
∴﹣3|x﹣2|﹣|x﹣5|3，即﹣3f(x)3；
（2）解：f(x)=|x﹣a|﹣|x﹣5|，
①当a5时，，则f(x)max=a﹣5，且y=x2﹣8x+20=x2﹣8x+16+4=(x﹣4)2+44，
要使f(x) x2﹣8x+20在R恒成立，则只需4a﹣5，则a9，此时5a9；
②当a<5时，，
需要恒成立，
∴，
∴，
综合①②可知，0a9，即实数a的取值范围为[0，9].
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法及其性质，考查不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题.