2023届宁夏石嘴山市平罗中学高三第六次模拟考试数学（理）试题含解析

2023届宁夏石嘴山市平罗中学高三第六次模拟考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由指数函数性质得集合，解绝对值不等式得集合，然后根据交集定义计算．

【详解】∵，，∴．

故选：C．

2．设，则（    ）

A． B． C．4 D．0

【答案】A

【分析】利用复数的除法运算求得，进而求得结果.

【详解】由题意可得，则.

故选：A.

3．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用正切函数的和差公式即可得解.

【详解】因为，

所以.

故选：A.

4．已知抛物线的焦点为，准线与坐标轴交于点是抛物线上一点，若，则的面积为（    ）

A．4 B． C． D．2

【答案】D

【分析】根据抛物线的定义和标准方程即可求解.

【详解】由，

得，

则，

根据抛物线的定义知2，

解得，

代入，

得，

所以的面积为.

故选：D.

5．函数在上的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先根据奇偶性排除CD,再代入特值验证即可.

【详解】因为函数的定义域为,

且,

所以函数是偶函数,其函数图像关于轴对称,排除CD.

又,排除B.

故选:A.

6．将函数的图象向右平移个单位长度，再把所得图象各点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），所得图象的一条对称轴为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据三角函数图象变换的知识求得图象变换后的函数解析式，再根据三角函数对称轴的求法求得正确答案.

【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，

所得函数图象的解析式为，

再把所得图象各点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），

所得图象的函数解析式是.

令，则，当时，.

故选：C

7．双曲线的左焦点关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，该双曲线的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据双曲线的对称性可得其中一条渐近线的倾斜角为，可得即可求出.

【详解】由题结合双曲线的对称性可得其中一条渐近线的倾斜角为，

则，.

故选：C.

8．如图，在正方体中，分别为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】通过做辅助线把平移到，得到为异面直线和所成的角或其补角．在中求出三边的长度，再用余弦定理即可得到的余弦值.

【详解】如图，

延长到点，使得，连接，由，得，即，

所以为异面直线和所成的角或其补角．

设正方体的棱长为2，

则，

所以.

故选：A

9．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，甲､乙等4名杭州亚运会志愿者到游泳､射击､体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法共有（    ）

A．12种 B．18种 C．24种 D．36种

【答案】C

【分析】本题只需考虑游泳场有2名志愿者和1名志愿者两种情况即可.

【详解】①游泳场地安排2人，则不同的安排方法有种，

②游泳场地只安排1人，则不同的安排方法有种，

所以不同的安排方法有种.

故选：C

10．已知实数，任取一点，则该点满足的概率是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据几何概型的方法，求出表示的区域中满足的面积所占的比例即可.

【详解】作出图象，所示区域面积为，

设圆与交点分别为，由，则，

故均为等腰直角三角形，故，

故中的面积为，

故所求概率为.

故选：C.

11．已知球的内接三棱锥的体积为6，且的长分别为，则三棱锥的体积为（    ）

A．2 B．3 C．4 D．6

【答案】B

【分析】设点到平面的距离为，根据锥体的体积公式得到，，两两互相垂直，取的中点，连接并延长至点，使，连接，则的中点即为球心，则，即可得解.

【详解】设点到平面的距离为，则

，

又，所以，，两两互相垂直，

取的中点，连接并延长至点，使，连接，则的中点即为球心.

因为点到平面的距离等于点到平面的距离的，

而点到平面的距离等于点到平面的距离，

所以.

故选：B

12．若函数在上存在两个零点，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】分离参数，利用导数研究函数的单调性及最值，数形结合得解.

【详解】函数在上存在两个零点，

即在上有2个解，

即与的图象在上有2个交点，

，由可得，函数单调递增，

故时，，函数单调递减，

所以，，

由时，知，，即，可得，

作出图象，如图，

由图象可知，当时满足条件.

故选：A

二、填空题

13．设满足约束条件则的最小值为_________．

【答案】

【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．

【详解】画出可行域如图所示，

联立，解得，即，

由图可知当直线经过点时，取得最小值．

故答案为：．

14．已知向量，，，若，则______．

【答案】/

【分析】根据向量的坐标运算以及向量相等可得，两式平方相加结合数量积的坐标表示，即可得答案.

【详解】由题意可知，

即，

将两式平方相加可得，

故，

故答案为：

15．直线与圆交于两点，则弦长的最小值是___________.

【答案】

【分析】先把圆的方程化成标准形式，从而得出圆心坐标和半径，再通过直线方程得出直线过定点，发现定点在圆的内部，从而根据圆的有关知识知：当定点是弦的中点时，弦长最短，从而求出弦长的最小值.

【详解】圆化成标准形式为圆，

圆心，半径，

直线过定点，并在圆内，

最短时，点为弦的中点，即时，

所以.

故答案为：.

16．定义在上的函数满足，则______．

【答案】1012

【分析】先根据题意可得到，从而可得到函数的周期性，再通过赋值和得到和，进而即可求解．

【详解】由，

则，

所以，即，

所以是以4为周期的周期函数．

令，得，所以，

令，则，所以，

所以．

故答案为：1012．

三、解答题

17．已知在等差数列中，..

(1)求的通项公式；

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据等差数列的通项公式列式求出和，再代入通项公式可得结果；

（2）利用，裂项求和可得结果.

【详解】（1）设的公差为.由，可得.

因为，所以.

由，得，.

故.

（2）因为，所以，

所以

.

18．如图，四棱锥中，底面为菱形，.

(1)证明：；

(2)若，，求平面与平面所成夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明平面，即可的证；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值即可.

【详解】（1）连接交于点，连接，

因为，所以.

因为底面为菱形，所以.

又，平面，

所以平面，

又平面，所以.

（2）因为，底面为菱形，

所以为等边三角形，所以，

在等边三角形中，，所以，

因为，所以，

又因为，，平面，

所以平面.

以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，.

易知平面的一个法向量为，

设平面的一个法向量为，

则 令，则.

所以.

故平面与平面所成二面角的余弦值为.

19．为进一步加强学生的文明养成教育，推进校园文化建设，倡导真善美，用先进人物的先进事迹来感动师生，用身边的榜样去打动师生，用真情去发现美，分享美，弘扬美，某校以争做最美青年为主题，进行“最美青年”评选活动，最终评出了10位“最美青年”，其中6名女生4名男生。学校准备从这10位“最美青年”中每次随机选出一人做事迹报告.

(1)若每位“最美青年”最多做一次事迹报告，记第一次抽到女生为事件A，第二次抽到男生为事件B，求，；

(2)根据不同需求，现需要从这10位“最美青年”中每次选1人，可以重复，连续4天分别为高一、高二、高三学生和全体教师做4场事迹报告，记这4场事迹报告中做报告的男生人数为X，求X的分布列和数学期望.

【答案】(1)；

(2)分布列见解析；

【分析】（1）由题意求得，结合条件概率的公式，即可求解；

（2）被抽取的4次中男生人数X的取值，得到，求得相应的概率，列出分布列，利用期望公式，即可求解.

【详解】（1）解：由题意得，第二次抽到男生的概率为，

“在第一次抽到女生的条件下，第二次抽到男生”的概率就是事件发生的条件下，事件B发生的概率，

而，，所以.

（2）解：被抽取的4次中男生人数X的取值为0，1，2，3，4且.  

可得；；

；；

，

所以随机变量的分布列为：

所以随机变量的期望为：.

20．已知椭圆：（）的左，右焦点分别为，，为椭圆上的一个动点，的最大值为，且点到右焦点距离的最大值为．

(1)求椭圆的方程；

(2)已知过点的直线交椭圆于，两点，当的面积最大时，求此时直线的方程．

【答案】(1)

(2)或．

【分析】（1）根据的最大值为120°，得，再由点到右焦点距离的最大值为，得到求解；

（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，结合韦达定理由求解.

【详解】（1）解：∵的最大值为，

∴为短轴的端点时，此时易得．

又点到右焦点距离的最大值为，即，

解得，．

又由，可得．

∴椭圆的方程为：．

（2）由题意，设直线的方程为，

联立得，

设，，

则，，

当且仅当即时取等号．

∴所求直线的方程为或．

21．已知函数.

(1)当时，求函数在点处的切线方程；

(2)设是函数的两个极值点，证明：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】(1)先求导函数，再根据点斜式，即可求解.

(2) 先求导函数，根据韦达定理得两极值点的关系，带入到中化简，构造，求出最值，即可求证.

【详解】（1）当时，，，

所以，.

所以函数在点处的切线方程为，即.

（2）令，

即有两个不等正实根，

则解得.所以，.

故

，其中.

令，，，

当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

故.

所以成立.

【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：

一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题。注意分类讨论与数形

结合思想的应用；

二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理.

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为 （为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

(2)若曲线与直线有两个公共点，求的取值范围．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）消参将参数方程转化为直角坐标方程，根据极坐标与直角坐标转化的规则将极坐标方程转化为直角坐标方程；

（2）对曲线C和l作几何解释，列方程求解.

【详解】（1）由 得 ， 得，

即曲线C的直角坐标方程为，

由， ，得直线l的直角坐标方程为；

（2）由（1）可知，曲线C是圆心为，半径为3的圆，

因为曲线C与直线l有两个公共点，必有，

解得，即m的取值范围为.

23．已知函数

(1)求不等式的解集；

(2)若的最大值为，且正数，满足，求的最小值．

【答案】(1)

(2)3

【分析】（1）分类讨论去掉绝对值号求解；

（2）根据绝对值不等式求出的最大值，利用均值不等式求解即可.

【详解】（1）当时，不等式转化为，恒成立．

当时，不等式转化为，解得．

当时，不等式转化为，无解．

综上所述，不等式的解集为．

（2）由，得．

，

当且仅当时，等号成立，故的最小值为3．