宁夏银川市2021届高三第三次模拟考试数学（理）试卷

银川2021届高三模拟三试题

数学（理科）                    2021.5

说明：

本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间120分钟。

注意事项：（请仔细阅读）

1．答第I卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号用黑墨水钢笔或签字笔写在答题卷上；

2．第I卷每小题得出答案后，请将答案填写在答题卷相应表格指定位置上。

第2卷各题答案未答在指定区域上。

3.参考公式：

锥体的体积公式（其中为底面面积，为高）

第Ⅰ卷  选择题（共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1． 已知集合，则=(     )

A．               B.   

C．                      D.

2．已知复数，，则在复平面上对应的点位于（    ）

A．第一象限   B.第二象限   C．第三象限   D.第四象限

3． 曲线在点（2，8）处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是（   ）

A．1             B．2         C．3          D．4 

4．已知是等差数列，，则该数列前2009项和等于（     ）

A．2007      B．2008      C．2009      D．2010

5．设随机变量～，在某项测量中，已知P＜－则=（    ）

A．0.025   B．0.950   C．0.050   D．0.975

6．在直角坐标系中，已知△ABC的顶点B（－5，0）和C（5，0），顶点A在椭圆上，则等于（    ）

A．3       B．       C．       D．

7．下列有关命题的说法错误的是 (    )

A．命题“若 则 ”的逆否命题为：“若, 则”.

B．“”是“”的充分不必要条件.

C．若为假命题，则、均为假命题.

D．对于命题：使得. 则： 均有

8．如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P－ABCDEF，则此正六棱锥的体积为（    ）

A．2      B．8

  C． 4      D．12

9．定义向量的一种运算：，其中是向量与的夹角.若，则=（     ）

A．8   B．－8   C．8或－8   D．6

10．若函数满足，则下列关于的判断正确的是（    ）

A．、是锐角三形的内角，则             

B．、是锐角三形的内角，则      

C．若， 则 

D．若 ，则

11．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，

，若该运动员投篮一次得分情况只有以上三种之一，且他投篮一次得分的均值为2，则的最小值为（    ）

A．    B．       C．  D． 

12．已知x、y满足条件：，则的取值范围是（    ）

 A．[1，4]       B． [3，9]       C．[2，10]         D．[2，8] 

第Ⅱ卷  非选择题（共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）

13．二项式展开式中项的系数是70,则的值为             ．

14．已知函数，则右图中的程序框图表示的程序运行的结果是                

15．已知是双曲线的两焦点，以线段为边作等边三角形，若边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为

16．12名同学合影留念，站成了前排4人后排8人，现从后排抽出2人调整到前排，其他的人相对顺序不变，不同的调整方法有        种（用数字作答）。

三、解答题：（解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答过程写在指定位置）

17．(本小题满分12分) 已知数列的前n项和为，.

（Ⅰ）求；（Ⅱ）求数列的通项公式.

18．（本小题满分12分）如图，已知长方体中，

，连结，过

点作的垂线交于，交于．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求点到平面的距离；

（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．  

19．(本小题满分12分)右图为中央电视台经济频道购物街栏目中的“幸运大转轮”，转轮被均分成20份，分别标有5～100的得分（得分都是5的倍数）。每名游戏者至多可以选择转两次，两次得分相加之和若不超过100则为游戏者的得分，若超过100则称“爆掉”，得0分。

（Ⅰ）若游戏者一定转两次，求他“爆掉”的概率；

（Ⅱ）若一游戏者第一次转轮得分65，然后进行第二次转轮，写出他得分X的分布列，并求出得分的期望EX。

20．(本小题满分12分)已知函数

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）求证：时，.

21．（本题满分12分）如图,过抛物线的对称轴上任一点作直线与抛物线交于A、B两点，点Q是点P关于原点的对称点．

（Ⅰ）设点P满足（为实数），

证明：；

（Ⅱ）设直线AB的方程是，过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程．

22．请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

A（本小题满分10分）选修4—1：平面几何选讲

如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，F为BD中点，连接AF交CH于点E，直线CF交直线AB于点G。

（Ⅰ）求证：CG是⊙O的切线；

（Ⅱ）若FB=FE=2，求⊙O的半径．

B（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知椭圆C的极坐标方程为,直线的参数方程为

为参数)

（Ⅰ）求直线的直角坐标方程和椭圆C的普通方程；

（Ⅱ）若直线与椭圆C只有一个公共点，求实数的值。

C（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知、、为不全相等的正数，且，求证：

银川2021届高三模拟三考试

数学（理科）答案

一、选择题

1． 答案【A】解析：

2．答案【D】解析：对应的点位于第四象限

3．答案【D】解析：切线方程为

直线与坐标轴围成的三角形的面积为

4．答案【C】解析：，

5．答案【B】解析：由正态密度曲线知已知=1－2P＜－

6．答案【B】解析：由正弦定理及椭圆的定义知

7．答案【C】解析：若中有一个为假时则为假，所以C是错误的

8．答案【C】解析：正六棱锥的底面边长为2，高为2，

9．答案【A】解析：

10．答案【B】解析：由知时单调递增，在锐角三角形中

11．答案【D】解析：由题知且

（）

12．答案【B】解析：，由知点（x，y）所在的平面区域，由数形结合知

二、填空题：

13．解析：由

14．解析：程序运行结果表示

==0

15．解析：不仿设是左焦点，且的中点为M，则由，

16．解析：从后排抽出两人有种方法，将抽出的甲在前排四人产生的5个空中排入，有5种方法，再将乙在前排五人产生的6个空中排入，有6种方法，由乘法原理知，共有×5×6=840种不同方法

三、解答题：

17．【解题过程】：(Ⅰ)∵

∴当时，则得        1分

解得             ―――3分

         当时，则由       4分

解得                 ――6分

(Ⅱ)   当时，       ―――7分

                             ―――8分

，中各项不为零                     ―――9分

                                 ―――10分

是以为首项，为公比的数列            ―――11分

                              ―――12分

18．  【解题过程】：方法一：（Ⅰ）在长方体中，连结和，

∵∴BD⊥AC

又BD⊥，∩=C，∴BD⊥平面，

平面，∴BD⊥①  ………………1分

∵⊥平面，BE平面

∴BE⊥，又BE⊥，∩=

∴BE⊥平面，平面 ，∴BE⊥②………………2分

由BE∩BD=B及①②知平面………………4分

（Ⅱ）∵∥AB

∴点到平面的距离等于点B到平面的距离…………5分

∵⊥平面，∴平面⊥平面

又BE⊥于F，∴BF就是点B到平面的距离…………6分

∵Rt△∽Rt△BFC，∴，在Rt△中，易知

∴…………7分

点A到平面的距离是…………8分

（另法）连结,A到平面的距离,

即三棱锥的高,设为h, …………5分

,,由

得: ,,…………7分

点A到平面的距离是．………8分

（Ⅲ）见方法二中（Ⅲ）

方法二：（Ⅰ）证:以A为原点, 分别为轴建立空间直角坐标系,

那么、、、、、、、

，，，………（2分）

设，则：，，，，，，，，，………3分

又 平面．………4分

（Ⅱ）设平面的法向量为，

， ………5分

由，令=1，则，………6分

又点A到平面的距离为………8分

（Ⅲ）连结，，平面，

是在平面上的射影，是与平面所成的角，………10分

设，那么，

   ①  ，  ②   由①、②得，，………11分

在中，．，因此，与平面所成的角的正弦值是．………12分

19．  【解题过程】：（Ⅰ）游戏者转2次共有20×20=400种不同的情况

若第一次得分为5分，则他“爆掉”有1种情况

若第一次得分为10分，则他“爆掉”有2种情况

若第一次得分为15分，则他“爆掉”有3种情况

……………………

若第一次得分为100，则他“爆掉”有20种情况

所以，若游戏者一定转两次，求他“爆掉”的情况共有

1+2+3+……+20=（种）

∴游戏者一定转两次，求他“爆掉”的概率为

（Ⅱ）由题知，随机变量X的取值为0，70，75，80，85，90，95，100

则X的概率分布列为

∴EX=0×+70×+75×+80×+85×+90×+95×+100×

=

20．【解题过程】：（Ⅰ）由题知函数的定义域为

∵ ……2分

当时，

∴的单调递增区间为…………4分

当时，…………5分

令，则，所以函数的单调递增区间为……6分

令，则，所以函数的单调递减区间为…7分

（Ⅱ）设，则……8分

∵时，…………9分

∴在上是增函数……10分

∴，即……11分

∴时，…………12分

21．  【解题过程】：（Ⅰ）依题意,可设直线AB的方程为,代入抛物线方程，得：

        ①     …………………………    ２分

设A、B两点的坐标分别是、，则是方程①的两根，

所以，．　　…………………………………………   ３分

由点P满足（为实数，），得， 即．

又点Q是点P关于原点的以称点，故点Q的坐标是，从而．

=

 =

 = =0     …………………………  5分

 所以，．   ………………………………………  6分

 （Ⅱ）由得点A、B的坐标分别是、．

由得，

所以，抛物线在点A处切线的斜率为．　……… 8分

 设圆C的方程是，  

 则            …………  9分

  解得：．…………………  11分

 所以，圆C的方程是．     ………………………… 12分

22．A（本小题满分10分）选修4—1：平面几何选讲

如图，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，F为BD中点，连接AF交CH于点E，直线CF交直线AB于点G。

（Ⅰ）求证：CG是⊙O的切线；

（Ⅱ）若FB=FE=2，求⊙O的半径．

【解题过程】：证明： (Ⅰ)方法一：连接CB、OC，

∵AB是直径，∴∠ACB＝90°∵F是BD中点，

∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO

∴∠OCF=90°，∴CG是⊙O的切线

方法二：可证明△OCF≌△OBF(略)

(Ⅱ)解：由FC=FB=FE得：∠FCE=∠FEC

      可证得：FA＝FG，且AB＝BG

由切割线定理得：（2＋FG）2＝BG×AG=2BG2  ……

在Rt△BGF中，由勾股定理得：BG2＝FG2－BF2  ……

由、得：FG2-4FG-12=0

解之得：FG1＝6，FG2＝－2（舍去）

∴AB＝BG＝

∴⊙O半径为2

B（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知椭圆C的极坐标方程为,直线的参数方程为

为参数)

（Ⅰ）求直线的直角坐标方程和椭圆C的普通方程；

（Ⅱ）若直线与椭圆C只有一个公共点，求实数的值。

【解题过程】：（Ⅰ）椭圆C的参数方程可化为

∴椭圆C的普通方程为

直线的参数方程可变为为参数),两式除得

∴直线的直角坐标方程为

（Ⅱ）由方程组消去得 （*）

∵直线与椭圆C只有一个公共点，∴方程（*）中△=0，即

解得，∴=±

C（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知、、为不全相等的正数，且，求证：

【解题过程】：∵、、且

∴

又、、不全相等

∴