2023年四川省德阳市旌阳区中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2023年四川省德阳市旌阳区中考数学二模试卷（含解析），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年四川省德阳市旌阳区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −103的绝对值是(    )
A. −310 B. −103 C. 103 D. 310
2. 下列垃圾分类的标志中，既是轴对称又是中心对称图形的是(    )
A. B. C. D.
3. 碳纳米管是一种一维量子材料，与传统金属、高分子材料相比，碳纳米管的电、热力学性能优异，凭借突出性能，碳纳米管逐渐成为场发射电子源中最常用的纳米材料，我国已具备研制直径为0.0000000049米的碳纳米管.数据0.0000000049用科学记数法表示为(    )
A. 0.49×10−9 B. 4.9×10−9 C. 0.49×10−8 D. 4.9×10−10
4. 如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别为a、b、c，且OA+OB=OC，则下列结论中：其中正确的个数有(    )
①abc<0；
②a(b+c)>0；
③a−c=b；
④|a|a+b|b|+|c|c=1．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5. 一个几何体由若干个大小相同的小立方块搭成，如图是它的主视图和俯视图，该几何体最少要用a个立方块搭成，最多要用b个立方块搭成，则a−b等于(    )
A. −5
B. −3
C. −2
D. −4
6. 某组数据的方差计算公式为S2=2(2−x−)2+3(3−x−)2+2(5−x−)2n，由公式提供的信息如下：①样本容量为3；②样本中位数为3；③样本众数为3；④样本平均数为103；其说法正确的有(    )
A. ①②④ B. ②④ C. ②③ D. ③④
7. 若5x−7x2−4x−5=Ax+1+Bx−5，则A，B的值为(    )
A. A=3，B=−2 B. A=2，B=3
C. A=3，B=2 D. A=−2，B=3
8. 如图，在▱ABCD中，AB=5，AD=10，sinB=45，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，延长FE交DC的延长线于点G，连接DF，则DF的长为(    )


A. 4 B. 4 2 C. 8 D. 8 2
9. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2，AC= 3，⊙O是△ABC的外接圆，D为圆上一点，连接CD且CD=CB，过点C作⊙O的切线与AD的延长线交于点E，则CE的长为(    )
A. 32
B. 1
C. 33
D. 32
10. 如图，抛物线C1：y=x2−2x(0≤x≤2)交x轴于O，A两点；将C1绕点A旋转180°得到抛物线C2，交x轴于A1；将C2绕点A1旋转180°得到抛物线C3，交x轴于A2，……，如此进行下去，若点P(2023,m)在其中的一个抛物线上，则m的值是(    )


A. −2023 B. 2023 C. −1 D. 1
11. 如图，菱形ABCD的边长为8，∠ABC=60°，点E，F分别是AB，CD边上的动点，且AE=CF，过点B作BG⊥EF于点G，连接AG，则AG长的最小值是(    )


A. 2 7 B. 2 3 C. 2 7−2 3 D. 2 7+2 3
12. 如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上(与B、C不重合)，四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC=FG；②S△FAB：S四边形CBFG=1：2；③∠EDB=∠EFB；④AD2=FQ⋅AC.其中正确的有(    )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13. 一个正数的两个平方根的和是______ ；一个正数的两个平方根的商是______ ．
14. 如图，△ABC是一个小型花园，阴影部分为一个圆形水池，且与△ABC的三边都相切，已知AB=10m，AC=8m，BC=6m.若从天空飘落下一片树叶恰好落入花园里，则落入水池的概率为______ .(π的值取
3)


15. 如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点O′处，得扇形A′O′B′.若∠O=90°，OA=4，则阴影部分的面积为______ ．


16. 如图，直线y=− 3x+3分别交x轴，y轴于点A，B，将△AOB绕点O逆时针旋转至△COD，使点C落在AB上，CD交y轴于点E.分别记△BCE，△DEO的面积为S1，S2，则S1S2的值为______ ．


17. 函数y=x2−2ax−2在−1≤x≤2有最大值6，则实数a的值是______．
18. 如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以OA，OC为边，在第一象限内作矩形OABC，且SC=8 2，将矩形OABC翻折，使点B与原点O重合，折痕为MN，点C的对应点C′落在第四象限，过点M的反比例函数y=kx(k≠0)的图象恰好过MN的中点E，则点E的坐标为        ．

三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
计算：3−8+( 3−1)0+(−12)−1−3tan30°−| 3−2|．
20. (本小题10.0分)
本月初我市市区某校九年级学生进行一次体育模拟测试，将目标效果测试中第二类选考项目(足球运球、篮球运球、排球垫球任选一项)的情况进行统计，并将统计结果绘制成统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：

(1)学校参加本次测试的人数有        人，参加“排球垫球”测试的人数有        人，“篮球运球”的中位数落在        等级；
(2)今年参加体育中考的人数约为2.4万人，你能否估计今年全市选择“篮球运球”的考生会有多少人？若能，求出其人数；若不能，请说明理由；
(3)学校准备从“排球垫球”和“篮球运球”较好的两男两女四名学生中，随机抽取两名学生为全校学生演示动作，请用列表法或画树状图法求恰好抽取到一名男生和一名女生的概率．
21. (本小题12.0分)
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF//BC交BE的延长线于点F．
(1)求证：△AEF≌△DEB；
(2)证明四边形ADCF是菱形；
(3)若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积．

22. (本小题12.0分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于B(1,4)，与x轴交于A，与y轴交于C，且AC=3BC．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)直接写出不等式：kx≥kx+b(x>0)的解集；
(3)P是y轴上一动点，求|PA−PB|的最大值和此时点P的坐标．

23. (本小题10.0分)
为落实《健康中国行动(2019−2030)》等文件精神，某学校准备购进一批足球和排球促进校园体育活动.据了解，某体育用品超市每个足球的价格比排球的价格多20元，用500元购买的足球数量和400元购买的排球数量相等．
(1)求每个足球和排球的价格；
(2)学校决定购买足球和排球共50个，且购买足球的数量不少于排球的数量，求本次购买最少花费多少钱？
(3)在(2)方案下，体育用品超市为支持学校体育活动，对足球提供8折优惠，排球提供7.5折优惠.学校决定将节约下的资金全部用于再次购买足球和排球(此时按原价购买，可以只购买一种)，求再次购买足球和排球的方案．
24. (本小题12.0分)
如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O交于点C，连接BC，AF．
(1)求证：直线PA为⊙O的切线；
(2)试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明；
(3)若BC=6，tan∠F=12，求cos∠ACB的值和线段PE的长．

25. (本小题14.0分)
如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为(0,8)，点C的坐标为(6,0).抛物线y=−49x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)点P为线段BC上一个动点(不与点C重合)，点Q为线段AC上一个动点，AQ=CP，连接PQ，设CP=m，△CPQ的面积为S．
①求S关于m的函数表达式；
②当S最大时，在抛物线y=−49x2+bx+c的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．


答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：−103的绝对值是|−103|=103．
故选：C．
由负有理数绝对值是它的相反数，由此即可得到答案．
本题考查绝对值，关键是掌握绝对值的意义．

2.【答案】A 
【解析】解：A、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

3.【答案】B 
【解析】解：0.0000000049=1.9×10−9，
故选：B．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法，关键是确定a的值以及n的值．

4.【答案】B 
【解析】解：∵c0，
∴abc>0，
∴选项①错误；
∵c0，|a|+|b|=|c|，
∴b+c<0，
∴a(b+c)>0，
∴选项②正确；
∵c0，|a|+|b|=|c|，
∴−a+b=−c，
∴a−c=b，
∴选项③正确；
∵|a|a+b|b|+|c|c=−1+1−1=−1，
∴选项④错误．
∴正确的个数有2个：②、③．
故选：B．
根据图示，可得c0，|a|+|b|=|c|，据此逐项判定即可．
此题主要考查了数轴的特征和应用，以及绝对值的含义和求法，要熟练掌握．

5.【答案】B 
【解析】解：如图，最多的情形有：b=2+2+3+3+1=11，最少的情形有：a=1+2+1+3+1=8，

a−b=8−11=−3．
故选：B．
利用俯视图写出最多，最少的小正方形的个数，可得结论．
本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是理解三视图的定义，属于中考常考题型．

6.【答案】C 
【解析】解：由题意知这组数据为2、2、3、3、3、5、5，
所以样本容量为7，中位数为3，众数为3，平均数为2×2+3×3+2×57=237，
∴说法正确的有②③．
故选：C．
根据已知的方差计算公式得出这组数据为2、2、3、3、3、5、5，再根据样本容量、中位数、众数及平均数的概念求解即可．
本题主要考查方差、样本容量、中位数、众数及平均数的定义，解题的关键是掌握方差的计算公式．

7.【答案】B 
【解析】解：由于Ax+1+Bx−5=A(x−5)+B(x+1)(x+1)(x−5)=(A+B)x−5A+B(x+1)(x−5)，
5x−7x2−4x−5=5x−7(x+1)(x−5)，
∴5x−7=(A+B)x−5A+B，
∴A+B=5−5A+B=−7，
解得：A=2B=3，
故选：B．
根据分式的加减运算法则即可求出答案．
本题考查分式的加减运算法则，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则，本题属于基础题型．

8.【答案】D 
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB//DC，AB=CD，AD=BC，
∴∠B=∠ECG，∠BFE=∠G．
∵AB=5，AD=10，
∴BC=10，CD=5．
∵E是BC的中点，
∴BE=EC=12BC=5，
∵sinB=45，EF⊥AB，
∴EF=4，
∴BF=3，
在△BFE和△CGE中，
∠B=∠ECG∠BFE=∠GBE=CE，
∴△BFE≌△CGE(AAS)，
∴CG=BF=3，EF=EG=4．
∴FG=8，DG=CD+CG=8，
∵EF⊥AB，
∴∠G=90°，
∴DF= FG2+DG2=8 2．
故选：D．
先根据sinB=45求出EF=4，证明△BFE≌△CGE，求出FG，DG，利用勾股定理即可解决问题．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，题目的综合性较强，难度中等，熟记平行四边形的各种性质是解题的关键．

9.【答案】D 
【解析】解：连接OC，
∵CD=CB，
∴CD=BC，
∴∠CAE=∠BAC，
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∵OC=OA，
∴∠CAO=∠ACO，
∴∠CAE=∠ACO，
∴AE//OC，
∴AE⊥CE，
∴∠E=90，
∵∠ACB=90°，
∴△ACE∽△ABC，
∴AEAC=ACAB，
∴AE 3= 32，
∴AE=32，
∴CE= AC2−AE2= 3−94= 32，
故选：D．
连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CE，推出AE//OC，根据平行线的性质得到AE⊥CE，求得∠E=90，根据相似三角形的性质得到AE=32，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．

10.【答案】D 
【解析】解：∵y=x2−2x(0≤x≤2)，
∴配方可得y=(x−1)2−1(0≤x≤2)，
∴顶点坐标为(1,−1)，
∴A坐标为(2,0)，
∵C2由C1旋转得到，
∴OA=AA1，即C2顶点坐标为(3,1)，A1(4,0)；
照此类推可得，C3顶点坐标为(5,−1)，A2(6,0)；
C4顶点坐标为(7,1)，A3(8,0)；
……，
∴抛物线C1012的顶点坐标是(2023,1)，
∴m=1．
故选：D．
将这段抛物线C1通过配方法求出顶点坐标及抛物线与x轴的交点，由旋转的性质可以知道C1与C2的顶点到x轴的距离相等，且OA1=A1A2，照此类推可以推导知道抛物线C1012的顶点，即可求得m的值．
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象与几何变化，解答本题的关键是明确题意，找出题目中坐标的变化规律，利用数形结合思想解答．

11.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是求出AM，MG的值．
连接AC与EF相交于O，判断出点O是菱形的中心，连接OB，取OB中点M，连接MA，MG，则MA，MG为定长，利用三角形的三边关系解决问题即可．
【解答】
解：如图，连接AC与EF相交于O，

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，
∴∠OAE=∠OCF，
∵∠AOE=∠COF，AE=CF，
∴△AOE≌△COF(AAS)，
∴OA=OC，
∴点O是菱形的中心，
连接OB，取OB中点M，连接MA，MG，则MA，MG为定长，
∵菱形ABCD的边长为8，∠ABC=60°，
∴AC⊥BD，∠ABO=30°，OA=OC=4，
由勾股定理可得：OB= AB2−OA2= 82−42=4 3，
∵M是OB的中点，
∴OM=12OB=12×4 3=2 3，
在Rt△AOM中，AM= OA2+OM2=2 7，
在Rt△BOG中，GM=12OB=2 3，
∵AG≥AM−MG=2 7−2 3，
当A，M，G三点共线时，AG的最小值为2 7−2 3；
故选C．  
12.【答案】D 
【解析】解：∵FG⊥CA，∠ACB=90°，四边形ADEF为正方形，
∴∠FGA=∠FAD=∠ACD=90°，AF=AD，
∴∠GAF+∠CAD=90°，∠GFA+∠GAF=90°，
∴∠GFA=∠CAD，
在△GFA和△CAD中，
∠FGA=∠ACD∠GFA=∠CADAF=AD，
∴△GFA≌△CAD(AAS)，
∴GF=CA，
∵CB=CA，
∴GF=CB，
∵∠ACB=90°，FG⊥CA，
∴GF//CB，
∴四边形CBFG是平行四边形，
∵∠ACB=90°，
∴四边形CBFG是矩形；
∵△GFA≌△CAD，
∴AC=FG，
故结论①正确；
∵四边形CBFG是矩形，
∴S四边形CBFG=BF⋅CBF，S△FAB=12BF⋅CB，
∴S△FAB：S四边形CBFG=1：2，
故结论②正确；
∵四边形ADEF为正方形，四边形CBFG是矩形，
∴∠DBQ=∠QEF=90°，
∵∠DQB=∠FQE，∠EDB=180°−(∠DQB+∠DBQ)，∠EFB=180°−(∠QEF+∠FQE)，
∴∠EDB=∠EFB，
故结论③正确；
∵四边形ADEF为正方形，四边形CBFG是矩形，
∴∠ACD=∠ADE=∠FEQ=90°，AD=FE，
∴∠CAD+∠CDA=90°，∠EDB+∠CDA=90°，
∴∠CAD=∠EDB，
由结论③可得∠EDB=∠EFB，
∴∠CAD=∠EFB，
∴△CAD∽△EFQ，
∴ADAC=FQFE，
∵AD=FE，
∴ADAC=FQAD，
∴AD2=FQ⋅AC，
故结论④正确；
综上所述，正确结论为①②③④，
∴正确结论个数为4．
故选：D．
证明四边形CBFG是矩形，根据矩形CBFG和正方形ADEF的性质，证明△GFA≌△CAD，△CAD∽△EFQ，再逐一分析每一个结论即可．
本题考查了矩形、正方形、相似三角形的判定与性质，证明四边形CBFG是矩形，再综合运用矩形、正方形、相似三角形的性质分析每一个结论是解本题的关键，综合性较强，难度较大．

13.【答案】0  −1 
【解析】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数
∴一个正数的两个平方根的和是0，一个正数的两个平方根的商是−1
利用正数的两个平方根互为相反数的性质即可解答
本题主要考查正数的两个平方根之间的关系

14.【答案】16 
【解析】解：如图，设圆形水池与△ABC三边相切且切点分别为D，E，F，圆形水池的中心为O，

连接OD、OF、OE，
设CF=x m，则AD=AE=AC−DC=(8−x)m，BF=BE=BC−CF=(6−x)m，
由AB=AE+BE，得(6−x)+(8−x)=10，
解得x=2，
∵AC2+BC2=82+62=100，AB2=102=100，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，
∵D、F分别是圆O与AC和BC相切的切点，
∴∠ODC=∠OFC=90°，OD=OF，
∴四边形DOFC是正方形，
即OD=CF=2m，
∴S△ABC=12AC×BC=12×8×6=24(m2)，S圆O=π×22=4(m2)，
∴落入水池的概率为424=16．
故答案为：16．
设圆形水池与△ABC三边相切且切点分别为D，E，F，圆形水池的中心为O，由切线长定理求出CF，再利用勾股定理的逆定理得出△ABC为直角三角形，由圆的面积公式和直角三角形的面积公式可求出结果．
本题主要考查勾股定理逆定理，切线长定理，熟练掌握勾股定理逆定理，切线长定理和圆的面积公式及三角形的面积公式是解题的关键．

15.【答案】43π+2 3 
【解析】解：连接OM，
∵O′是OB的中点，
∴OO′=12OB=12OM=2，
∵∠MO′O=90°，
∴cos∠MOO′=OO′OM=12，
∴∠MOO′=60°，
∴MO′= 3OO′=2 3，
∴△MOO′的面积=12OO′⋅MO′=12×2×2 3=2 3，
∵扇形OBM的面积=60π×42360=83π，扇形O′A′B′的面积=90π×42360=4π，
∴阴影的面积=扇形O′A′B′的面积+△MOO′的面积−扇形OBM的面积=4π+2 3−83π=43π+2 3．
故答案为：43π+2 3．
连接OM，由O′是OB的中点，得到OO′=12OB=12OM=2，推出∠MOO′=60°，得到MO′=2 3，求出扇形O′A′B′的面积、△MOO′的面积、扇形OBM的面积，即可求出阴影的面积．
本题考查扇形面积的计算，平移的性质，关键是掌握扇形面积的计算公式．

16.【答案】13 
【解析】解：∵直线y=− 3x+3分别交x轴，y轴于点A，B，
∴当x=0时，y=3，当y=0时，x= 3，
∴A的坐标是( 3,0)，B的坐标是(0,3)，
∴OA= 3，OB=3，
∵tan∠OAB=OBOA=3 3= 3，
∴∠OAB=60°，
∵△AOB绕点O逆时针旋转至△COD，点C落在AB上，
∴OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴AC=OA，∠COA=∠CAO=60°，
∵∠ECO=∠CAO=60°，
∴∠ECO=∠COA，
∴CE//OA，
∵∠AOB=90°，∠ABO=30°，
∴OA=12AB，
∴AC=12AB，
∴BC=AC，
∵BE：OE=BC：AC，
∴BE=OE，
∴CE是△AOB的中位线，
∴CE=12OA=14AB，
∵CD=AB，
∴CE=14CD，
∴CE=13DE，
∴△OCE的面积=13×△ODE的面积，
∵BE=OE，
∴△BCE的面积=△OCE的面积，
∴S1S2=13．
故答案为：13．
由条件求出OA，OB的长，得到△AOC是等边三角形，由平行线分线段成比例定理推出CE是△AOB的中位线，从而得到CE=13DE，即可解决问题．
本题考查一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变换−旋转，关键是由条件推出CE=13DE．

17.【答案】−1或72 
【解析】解：二次函数y=x2−2ax−2的对称轴为x=−−2a2=a，
由题意，分以下三种情况：
(1)当a≤−1时，
在−1≤x≤2内，y随x的增大而增大，
则当x=2时，y取得最大值，最大值为22−4a−2=2−4a，
∴2−4a=6，
解得：a=−1，符合题设；
(2)当−1 在−1≤x≤2内，当−1≤x≤a时，y随x的增大而减小，
当a 则当x=−1或x=2时，y取得最大值，
因此有1+2a−2=6或22−4a−2=6，
解得：a=72或a=−1 (均不符题设，舍去)；
(3)当a≥2时，
在−1≤x≤2内，y随x的增大而减小，
则当x=−1时，y取得最大值，最大值为1+2a−2=2a−1，
因此有2a−1=6，解得a=72，符合题设；
综上，a=−1或a=72．
故答案为：−1或72．
先求出而二次函数的对称轴，再分a≤−1，−1 本题考查了二次函数求最值问题，根据题意正确分三种情况讨论是解题关键．

18.【答案】(2, 2) 
【解析】解：如图，连接OB，交MN于Q，

∵矩形OABC翻折，使点B与原点重合，折痕为MN，
∴MN垂直平分OB，MB=MO，
∵AB//CO，
∴∠ABO=∠NOB，
∵∠MQB=∠NQO，
而OQ=BQ，
∴△BQM≌△OQN(AAS)，
∴QM=QN，即点Q是MN的中点，
∴点Q与点E重合，
过点E作EH⊥BC于点H，则EH是△OBC的中位线，
则Rt△OHE∽Rt△OCB，
则S△OHES△OBC=(EHBC)2=14，
而S△OBC=12S矩形AOCB=4 2，
则S△OHE=4 2×14= 2=12k，
解得k=2 2，
∵点M是反比例函数上的点，
则S△AOM=12k= 2，
而S△ABO=12S矩形AOCB=4 2=4S△AOM，
故AM=14AB，
设AM=a，则BM=3a=OM，
则OA= OM2−AM2=2 2a，
则S△AOM=12⋅AM⋅AO=12a⋅2 2a= 2，
解得a=1，(负值已舍去)，
则AB=4AM=4，AM=1，BM=3，
∴M的横坐标为1，
把x=1代入y=2 2x得，y=2 2，
∴M(1,2 2)，
∵EO=BE，EM=NE，
∴四边形MONB是平行四边形，
∴ON=BN=OM，
∴N(3,0)，
∵E是MN的中点，
∴E(2, 2)，
故答案为：(2, 2)，
利用△BQM≌△OQN(AAS)，得到点Q是MN的中点，即可得到点Q与点E重合，利用Rt△OHQ∽Rt△OCB得到S△OHQS△OBC=(QHBC)2=14，求出k的值，设AM=a，则BM=3a=OM，求得OA=2 2a，再根据反比例函数系数k的几何意义求得a，从而求得ON=BN=OM=3，即可求得M、N的坐标，从而求得MN的中点E的坐标．
此题考查了翻折变换，反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定与性质，坐标与图形变换−对称，矩形的性质，面积的计算以及勾股定理等，解决本题的关键是综合运用以上知识，难度较大．

19.【答案】解：原式=−2+1+(−2)−3× 33−(2− 3)
=−2+1−2− 3−2+ 3
=−5． 
【解析】利用立方根的意义，零指数幂的意义，负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值和绝对值的意义化简运算即可．
本题主要考查了实数的运算，立方根的意义，零指数幂的意义，负整数指数幂的意义，特殊角的三角函数值和绝对值的意义，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．

20.【答案】300  165  良好 
【解析】解：(1)∵参加“篮球运球”测试的人数有10+25+40+30=105(人)，
∴学校参加本次测试的人数有105÷35%=300(人)．
参加“排球垫球”测试的人数有300×(1−10%−35%)=165(人)．
∵“篮球运球”的105个数据按从小到大排列后，第53个数据落在“良好”等级，
∴“篮球运球”的中位数落在良好等级．
故答案为：300；165；良好．
(2)能估计今年全市选择“篮球运球”的考生人数．
2.4×35%=0.84(万人)，
∴今年全市选择“篮球运球”的考生大约会有0.84万人．
(3)设两名男生和两名女生分别记为A，B，C，D，
画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中恰好抽取到一名男生和一名女生的结果有：AC，AD，BC，BD，CA，CB，DA，DB，共8种，
∴恰好抽取到一名男生和一名女生的概率为812=23．
(1)求出“篮球运球”的学生人数，用“篮球运球”的学生人数除以其所占的百分比可得参加本次测试的人数；根据扇形统计图求出“排球垫球”的百分比，再乘以参加本次测试的人数可得参加“排球垫球”测试的人数；根据中位数的定义可得答案．
(2)根据用样本估计总体，用2.4万乘以扇形统计图中“篮球运球”的百分比，即可得出答案．
(3)画树状图得出所有等可能的结果数以及恰好抽取到一名男生和一名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、中位数、用样本估计总体，能够理解条形统计图和扇形统计图，熟练掌握列表法与树状图法、中位数的定义以及用样本估计总体是解答本题的关键．

21.【答案】(1)证明：∵AF//BC，
∴∠AFE=∠DBE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AFE和△DBE中，
∠AFE=∠DBE∠FEA=∠BEDAE=DE
∴△AFE≌△DBE(AAS)；
(2)证明：由(1)知，△AFE≌△DBE，则AF=DB．
∵AD为BC边上的中线
∴DB=DC，
∴AF=CD．
∵AF//BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点，
∴AD=DC=12BC，
∴四边形ADCF是菱形；
(3)连接DF，
∵AF//BD，AF=BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF=AB=5，
∵四边形ADCF是菱形，
∴S菱形ADCF=12AC▪DF=12×4×5=10． 
【解析】(1)利用平行线的性质及中点的定义，可利用AAS证得结论；
(2)由(1)可得AF=BD，结合条件可求得AF=DC，则可证明四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角形的性质可证得AD=CD，可证得四边形ADCF为菱形；
(3)连接DF，可证得四边形ABDF为平行四边形，则可求得DF的长，利用菱形的面积公式可求得答案．
本题主要考查菱形的性质及判定，利用全等三角形的性质证得AF=CD是解题的关键，注意菱形面积公式的应用．

22.【答案】解：(1)过B作BD⊥x轴于D，如图：

∵y=kx的图象过B(1,4)，
∴4=k1，
∴k=4，
∴反比例函数的解析式为y=4x，
∵BD⊥x轴，
∴CO//BD，
∴ACBC=AODO，
∵AC=3BC，DO=1，
∴AO=3，
∴A(−3,0)，
把A(−3,0)，B(1,4)代入y=kx+b得：
−3k+b=0k+b=4，
解得k=1b=3，
∴一次函数的解析式为y=x+3；
(2)由图象可得，kx≥kx+b(x>0)的解集是0 (3)作点B关于y轴的对称点B′，连接AB′并延长交y轴于点P，此时|PA−PB|的值最大，如图：
∵点B′与点B关于y轴对称，B(1,4)，
∴点B′的坐标为(−1,4)，
设直线AB′的解析式为y=mx+n，
则−3m+n=0−m+n=4，
解得：m=2n=6，
∴直线AB′的解析式为y=2x+6，
∴点P的坐标为(0,6)，
∵A(−3,0)，B′(−1,4)，
∴AP= (0+3)2+(6−0)2=3 5，PB′= (0+1)2+(6−4)2= 5，
∴AB′=2 5，
∴|PA−PB|的最大值为2 5，此时点P的坐标为(0,6)． 
【解析】(1)过B作BD⊥x轴于D，根据ACBC=AODO，AC=3BC，DO=1可得A(−3,0)，由待定系数法可分别求出一次函数与反比例函数的解析式；
(2)观察图象可直接写出不等式kx≥kx+b的解集；
(3)作点B关于y轴的对称点B′，连接AB′并延长交y轴于点P，利用待定系数法求出直线AB′的解析式，求出点P的坐标，即可求出|PA−PB|的最大值．
本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题、轴对称的应用，掌握函数图象上点的坐标特征、灵活运用数形结合思想是解题的关键．

23.【答案】解：(1)设每个足球的价格为x元，则每个排球的价格为(x−20)元，
由题意得：500x=400x−20，
解得：x=100，
经检验，x=100是原方程的解，且符合题意，
∴x−20=100−20=80，
答：每个足球的价格为100元，每个排球的价格为80元；
(2)设学校决定购买足球a个，本次购买花费y元，则购买排球(50−a)个，
则0 解得：25≤a<50，
由题意得：y=100a+80(50−a)=20a+4000，
∵20>0，
∴y随a的增大而增大，
∴当a=25时，y有最小值=20×25+4000=4500，
答：本次购买最少花费4500元钱；
(3)在(2)方案下，学校购买足球和排球各25个，花费4500元，
∵体育用品超市为支持学校体育活动，对足球提供8折优惠，排球提供7.5折优惠，
∴学校节约资金：100×(1−0.8)×25+80×(1−0.75)×25=1000(元)，
设学校再次购买足球m个，排球n个，
由题意得：100m+80n=1000，
整理得：5m+4n=50，
∵m、n都是非负整数，
∴m=10n=0或m=6n=5或m=2n=10，
∴学校再次购买足球和排球的方案有3个：
①只购买10个足球；②购买6个足球，5个排球；③购买2个足球，10个排球． 
【解析】(1)设每个足球的价格为x元，则每个排球的价格为(x−20)元，由题意：用500元购买的足球数量和400元购买的排球数量相等，列出分式方程，解方程即可；
(2)设学校决定购买足球a个，本次购买花费y元，则购买排球(50−a)个，求出25≤a<50，再由题意得y=20a+4000，然后由一次函数的性质即可得出结论；
(3)求出学校节约资金1000元，设学校再次购买足球m个，排球n个，再由题意：学校决定将节约下的资金全部用于再次购买足球和排球，列出二元一次方程，求出非负整数解，即可解决问题．
本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)正确求出一次函数关系式；(3)找准等量关系，正确列出二元一次方程．

24.【答案】解：(1)连接OB，
∵PB是⊙O的切线，
∴∠PBO=90°，
∵OA=OB，BA⊥PO于D，
∴AD=BD，∠POA=∠POB，
又∵PO=PO，
∴△PAO≌△PBO(SAS)，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∴OA⊥PA，
∴直线PA为⊙O的切线．

(2)EF2=4OD⋅OP．
证明：∵∠PAO=∠PDA=90°
∴∠OAD+∠AOD=90°，∠OPA+∠AOP=90°，
∴∠OAD=∠OPA，
∴△OAD∽△OPA，
∴ODOA=OAOP，即OA2=OD⋅OP，
又∵EF=2OA，
∴EF2=4OD⋅OP．

(3)∵OA=OC，AD=BD，BC=6，
∴OD=12BC=3(三角形中位线定理)，
设AD=x，
∵tan∠F=12，
∴FD=2x，OA=OF=2x−3，
在Rt△AOD中，由勾股定理，得(2x−3)2=x2+32，
解之得，x1=4，x2=0(不合题意，舍去)，
∴AD=4，OA=2x−3=5，
∵AC是⊙O直径，
∴∠ABC=90°，
又∵AC=2OA=10，BC=6，
∴cos∠ACB=610=35．
∵OA2=OD⋅OP，
∴3(PE+5)=25，
∴PE=103． 
【解析】(1)连接OB，根据垂径定理的知识，得出OA=OB，∠POA=∠POB，继而证明△PAO≌△PBO，然后利用全等三角形的性质结合切线的判定定理即可得出结论．
(2)先证明△OAD∽△OPA，利用相似三角形的性质得出OA与OD、OP的关系，然后将EF=20A代入关系式即可．
(3)根据题意可确定OD是△ABC的中位线，设AD=x，然后利用三角函数的知识表示出FD、OA，在Rt△AOD中，利用勾股定理解出x的值，继而能求出cos∠ACB，再由(2)可得
OA2=OD⋅OP，代入数据即可得出PE的长．
此题考查了切线的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，综合考查的知识点较多，关键是熟练掌握一些基本性质和定理，在解答综合题目是能灵活运用．

25.【答案】解：(1)将A、C两点坐标代入抛物线，得
c=8−49×36+6b+c=0，
解得：b=43c=8，
∴抛物线的解析式为y=−49x2+43x+8；

(2)①∵OA=8，OC=6，
∴AC= OA2+OC2=10，
过点Q作QE⊥BC与E点，则sin∠ACB=QEQC=ABAC=35，
∴QE10−m=35，
∴QE=35(10−m)，
∴S=12⋅CP⋅QE=12m×35(10−m)=−310m2+3m；

②∵S=12⋅CP⋅QE=12m×35(10−m)=−310m2+3m=−310(m−5)2+152，
∴当m=5时，S取最大值；
在抛物线对称轴l上存在点F，使△FDQ为直角三角形，
∵抛物线的解析式为y=−49x2+43x+8的对称轴为x=32，
D的坐标为(3,8)，Q(3,4)，
当∠FDQ=90°时，F1(32,8)，
当∠FQD=90°时，则F2(32,4)，
当∠DFQ=90°时，设F(32,n)，
则FD2+FQ2=DQ2，
即94+(8−n)2+94+(n−4)2=16，
解得：n=6± 72，
∴F3(32,6+ 72)，F4(32,6− 72)，
满足条件的点F共有四个，坐标分别为
F1(32,8)，F2(32,4)，F3(32,6+ 72)，F4(32,6− 72). 
【解析】(1)将A、C两点坐标代入抛物线y=−49x2+bx+c，即可求得抛物线的解析式；
(2)①先用m表示出QE的长度，进而求出三角形的面积S关于m的函数；
②直接写出满足条件的F点的坐标即可，注意不要漏写．
本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有抛物线的解析式的求法抛物线的最值等知识点，是各地中考的热点和难点，解题时注意数形结合数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．