安徽省滁州市定远县育才学校2021-2022学年高三上学期第二次月考数学（理）【试卷+答案】

2021-2022学年高三年级上学期第二次月考试卷

理科数学试题

一、选择题（本大题共12小题，共60分）

1．已知集合，，，（    ）

A． B． C． D．

2．已知为虚数单位，复数，，则复数在复平面上对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．已知是实数，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．如图，在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，终边分别是射线和射线，且射线和射线关于轴对称，射线与单位圆的交点为，则的值是（    ）

A． B． C． D．

5．函数的图像大致是（    ）

A． B．

C． D．

6．设函数，，若在区间上，的图象与的图象至少有个交点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

7．某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过1%.已知过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：时）之间的函数关系为（为正常数，为原污染物数量）.该工厂某次过滤废气时，若前5个小时废气中的污染物被过滤掉了90%，那么要按规定排放废气，至少还需要过滤（    ）

A．10小时 B．5小时 C．小时 D．小时

8．苏格兰数学家科林·麦克劳林（Colin  Maclaurin）研究出了著名的Maclaurin级数展开式，其中一个为：，据此展开式，如图所示的程序框图的输出结果S约为（    ）（参考数据：，，）

A．1.6931 B．0.6931 C．1.0990 D．0.8813

9．已知等差数列，，，是的前n项和，，则的前50项和为（    ）

A．1940 B．1950 C．1960 D．1970

10．已知空间向量，，，若，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

11．已知f(x)是R上的奇函数，f(1＋x)＝f(1－x)，当x1，x2∈[0，1]，且x1≠x2时，>0，则当－3≤x≤1时，不等式xf(x)>0的解集为（     ）

A．[－1，0)∪(0，1] B．[－3，－2)∪(0，1])  

C．(－2，－1)∪(0，1] D．(－2，0)∪(0，1]

12．已知函数是定义在上的偶函数，且为奇函数.若，则曲线在点处的切线方程为（    ）

A． B．

C． D．

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13．已知，，，则__________.

14．已知，则___________.

15．已知函数的定义域为，则函数的定义域为___________.

16．若数列满足递推公式，且，，则________．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．（12分）已知函数，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象．

（1）若，求的单调递增区间；

（2）若，的一条对称轴为直线，求当时的值域．

18．（10分）数列中，，，.

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前项和.

19．（12分）已知二次函数过点，且对于任意有①，②的最小值为.

（1）求的解析式；

（2）若在上是单调函数，求实数的取值范围.

20．（12分）已知向量，，其中，若函数的最小正周期为

（1）求的值；

（2）中，，求的值.

21．（12分）已知函数.

（1）若曲线在处的切线方程为，求实数，的值；

（2）若，求实数的取值范围.

22．（12分）已知函数，将的图象各点横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，然后再将所得函数图象向左平移个单位后得到函数的图象．

（1）求的解析式；

（2）方程在上有且只有一个解，求实数的取值范围；

（3）实数满足对任意，都存在，使得成立，求的取值范围．

参考答案

1．B解：因为或，所以，

又，

所以，故选：B.

2．A

【详解】因为，，

所以，

所以，

所以复数在复平面上对应的点位于第一象限，故选：A

3．A

解：由得得或，

因为当时，或成立，

当或时，不一定成立，

所以“”是“”的的充分不必要条件，故选：A．

4．D

【详解】由任意角的三角函数的定义可得，，，

因，且射线和射线关于轴对称，则射线OB与单位圆的交点为，于是得，，

因此，，

所以的值是.故选：D

5．B

【详解】由得，或，选项C，D不满足；

由求导得，当或时，，当时，，

于是得在和上都单调递增，在上单调递减，在处取极大值，在处取极小值，A不满足，B满足.故选：B

6．A

【详解】当时，，则；

当时，；

当时，；

作出在上的大致图象，如下图示：

由与至少有个交点，据图知：且，可得.故选：A

7．B

【详解】由题意，前5个小时消除了的污染物，

，

，

，

即，．

，

则由，

即，，得．

要能够按规定排放废气，至少还需要过滤小时．故选：B

8．B

【详解】按照题中所给程序运行：

i=1时，k=1，，i=3，

k=3，，i=5，

k=5，，i=7

k=99，，i=101，退出循环，输出S，

又，

令x=1得：.

故选：B

9．B

【详解】设等差数列的公差为，则，

所以，

因为，

所以

，故选：B.

10．D

【详解】因为空间向量，，且，

所以，即.

因为，

所以，解得：，

当且仅当，即时取等号.故选：D

11．D

【详解】∵当，且时，，∴在区间上是增函数．

∵是上的奇函数，∴，且在区间上是增函数．

∴当时，，当时，．

∵，∴的图象关于直线对称，

∴，且在区间上是减函数．

又，

∴，即函数的周期为．

∴是区间上的减函数，且．

综上所述，不等式的解集为．故选：D

12．D

【详解】∵函数是定义在上的偶函数，且为奇函数，

∴，

∴，

∴，

∴函数的周期为4，

令可得即

∴，

由得，

∴，又

∴，

∴曲线在点处的切线方程为即.故选：D.

13．2

【详解】因为，，

所以，

∴即故答案为：2

14．##

【详解】因为，则

.故答案为：.

15．

【详解】为使函数有意义，只需，

解得，

所以函数的定义域为.故答案为：

16．2022

【详解】，，且，

，故答案为：2022．

17．（1）；（2）．

【详解】（1）因为，

所以，

当时，，

由，得

所以的单调递增区间为．

（2）由（1）知，

由的一条对称轴为，所以，即，

所以，得．

又．故，则，

由．得．故，则的值域为．

18．（1）；（2）.

【详解】（1）由，可得.

因为，所以.

因此是首项为，公比为的等比数列，于是.

（2）由（1）可得，

所以.①

从而.②

①-②得

，

于是.

19．（1）.；（2）.

【详解】

（1）因为，所以函数的对称轴为.又的最小值为，故设二次函数.

又过点，.

所以的解析式为.

（2）因为的图像关于直线对称.

又因为函数在上是单调函数，所以或.

解得，或.故实数的取值范围是.

20．（1）；（2）.

【详解】（1）因为，且

所以，

函数的最小正周期为且，

，

．

（2）由（1）可得，且，

，

，

，

，

，（舍去），

，

，

．

21．（1），；（2），.

【详解】（1）由题意，，，，

则曲线在处的切线斜率，，

故曲线在处的切线方程为：，

结合题意从而有，，，所以.

所以，．

（2）因为，即，

即，

构造函数，问题转化为

注意到函数在其定义域内为增函数，

故，即，所以.

设，则，

当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，取极大值，即为最大值，所以的最大值为，

所以，则，故实数的取值范围为，.

22．（1）；（2）或；（3）．

【详解】（1）由函数，将的图象各点横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，可得函数的图象，再将所得函数图象向左平移个单位后可得到函数，

∴的解析式；

（2）方程在上有且只有一个解，

转化为函数与函数在时只有一个交点．

在单调递增且取值范围是；

在单调递减且取值范围是；

结合图象可知，函数与函数只有一个交点，

那么或，

可得或．

（3）由（1）知．

实数满足对任意，都存在，使成立，即成立，

令，

设，那么，

∵，且为增函数，

∴，

可得在上恒成立．

令，，则的最大值，

的开口向上，，最大值，

所以，解得；

综上可得，的取值范围是．