广东省深圳外国语学校2022届高三上学期第一次月考数学试题 含答案

2022届高三第一次检测考试

数学试卷

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。

2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。

3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。

第一部分 选择题（共60分）

一、单选题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

2．若不等式成立的充分条件为，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

3．若复数（i为虚数单位），则z在复平面内的对应点落在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】C

4．在下列函数中，最小值为2的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

5．已知函数，则（    ）

A． B．4 C． D．

【答案】A

6．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

7．已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

8．在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角B的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

二、多选题：本题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分.

9．下列函数既是偶函数，在上又是增函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

10．下列说法错误的是（    ）

A．若，则 B．若，则存在唯一实数使得

C．若，，则 D．与非零向量共线的单位向量为

【答案】ABC

11．已知双曲线,以下说法正确是的（    ）

A．

B．若的顶点坐标为，则

C．的焦点坐标为

D．若，则的渐近线方程为

【答案】BD

12．已知函数，方程有4个不同的实数根，则下列选项正确的为（    ）

A．函数的零点的个数为2

B．实数的取值范围为

C．函数无最值

D．函数在上单调递增

【答案】ABC

第二部分 非选择题（90分）

三、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.

13．函数的递增区间是______．

【答案】

14．已知，则______．

【答案】

15．已知函数，若对于任意的，，则______．

【答案】0

16．已知等差数列的前n项和，且满足，（且），若（），则实数t的取值范围是______．

【答案】

四、解答题: 本大题共6个小题,共70分.

17．（本小题10分）已知等差数列的前项和为，且，．

（1）求；

（2）设数列的前项和为，求证：．

【答案】（1）;（2）证明见解析.

【详解】

（1）设公差为，由题，

解得，．所以．.……………………5分

（2）由（1），，则有．

则．

所以．.……………………10分

18．（本小题12分）的内角A，，的对边分别为，，.的面积为S，已知.

（1）求角；

（2）若，，外接圆的半径为，求.

【答案】（1）；（2）.

【详解】

（1）由可得   ，

因为，所以，所以，

由余弦定理可得，

由正弦定理可得，

所以，即..……………………5分

因为，且，所以.因为，所以.

（2）因为外接圆的半径为，，由正弦定理得，，所以由，得，

整理可得.又，，所以，故，所以，所以

，故..……………………12分

19．（本小题12分）红队队员甲､乙､丙与蓝队队员A，，进行围棋比赛，甲对，乙对，丙对各一盘，已知甲胜，乙胜，丙胜的概率分别为0.6，0.5，0.5，假设各盘比赛结果相互独立.

（1）求红队至少两名队员获胜的概率；

（2）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列.

【答案】（1）；（2）答案见解析.

【详解】解：（1）设甲胜A的事件为，乙胜的事件为，丙胜的事件为，

则，，分别表示甲不胜A，乙不胜，丙不胜的事件.

∵，，，∴，，.

红队至少两人获胜的事件有：，，，，

由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率

；.……………………5分

（2）由题意知可能取值为0，1，2，3.

因此，

，，

由对立事件的概率公式得.

所以的分布列为：

.……………………12分

20．（本小题12分）已知四边形满足，，是的中点，将沿着翻折成，使平面平面，为的中点．

（1）求四棱锥的体积；

（2）求平面与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）；（2）.

【详解】

（1）取的中点，连接，易知，

则为等边三角形，则，又因为平面平面，所以平面，所以；.……………………4分

（2）连接，以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，

则，，

，，

设平面的法向量为，则，即，

令，则，设平面的法向量为，

则，即，令，则，

则，又两平面的夹角范围为

所以平面与平面所成角的正弦值为．.……………………12分

21．（本小题12分）已知椭圆C的中心为坐标原点，且以直线（m∈R）所过的定点为一个焦点，过右焦点F2且与x轴垂直的直线被椭圆C截得的线段长为2.

（1）求椭圆C的标准方程；.

（1）设点A，B分别是椭圆C的左､右顶点，P，Q分别是椭圆C和圆O∶上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于不同的两点M，N，求证∶QM与QN所在的直线互相垂直.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【详解】

（1）由题意，直线过定点，即椭圆C的一个焦点为，

设椭圆，则，

因为过右焦点F2且与x轴垂直的直线被椭圆C截得的线段长为2，可得，即，联立方程组，可得，

所以椭圆C的方程为..……………………5分

（2）由（1）知，可得，

设，则，，且，

则直线AP的方程为，则，

直线BP的方程为，则，

所以，

，

所以，

所以，即QM与QN所在的直线互相垂直. .……………………12分

22．（本小题12分）已知函数，.

（1）求函数在处的切线方程；

（2）是否存在正数，使得对任意恒成立？证明你的结论.

（3）求在上零点的个数.

【答案】（1）；（2）存在正数，使得对任意恒成立；证明见解析；（3）个.

【详解】

（1），，又，

在处的切线方程为：，即；.……………………3分

（2）令，，则，

当时，，在上恒成立，

在上单调递增，，即在上恒成立；

若，即，只需，

又，，，

则当时，成立；

存在正数，使得对任意恒成立；.……………………7分

（3）①当时，，在上无零点；

②当时，，

，在上单调递增，

，，，使得，

当时，单调递减；当时，单调递增；

又，，，

在和上各有一个零点；

③当时，在上单调递增，

，，，使得，

当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增；

，，，

，使得，

当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减，

，，在上无零点；

综上所述：在上的零点个数为个. .……………………12分