专题12 点、直线、平面之间位置关系的综合问题-高一数学下学期期中期末复习（人教A版必修第二册）

要点一：平面基本性质

    公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．作用：是判定直线是否在平面内的依据．

    公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．作用：提供确定平面最基本的依据．

    公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．作用：是判定两个平面交线位置的依据．

    公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．作用：是判定空间直线之间平行的依据．

要点二：空间的平行与垂直关系

    （1）空间中的平行关系

    如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．

    如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行．

    如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．

    如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．

    （2）空间中的垂直关系

    如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．

    如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直．

    如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．

    解决空间问题的重要思想方法：等价转化——化空间问题为平面问题．空间平行、垂直关系证明的基本思想方法——转化与联系，如图所示．

要点三、直线与平面所成的角

1．直线与平面所成角的定义

一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线.过斜线上斜足外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.

要点诠释：

(1)直线与平面平行，直线在平面上的射影是一条直线.

(2)直线与平面垂直时射影是点.

(3)斜线上任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上.

2．直线与平面所成的角的范围：

    直线和平面平行或直线在平面内，=0°。．

直线和平面所成角的范围是0°≤≤90°．

3．求斜线与平面所成角的一般步骤：

    (1)确定斜线与平面的交点即斜足；

    (2)经过斜线上除斜足外任一点作平面的垂线，确定垂足，进而确定斜线在平面内的射影；

(3)解由垂线、斜线及其射影构成的直角三角形，求出线面角．

要点四、二面角

1.二面角定义

平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.

表示方法：棱为、面分别为的二面角记作二面角.有时为了方便，也可在内(棱以外的半平面部分)分别取点，将这个二面角记作二面角.如果棱记作，那么这个二面角记作二面角或.

2.二面角的平面角

(1) 二面角的平面角的定义：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做二面角的平面角.

(2)二面角的平面角的范围：0°≤≤180°．当两个半平面重合时，=0°；当两个半平面相交时，0°＜＜180°；当两个半平面合成一个平面时，=180°．

二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.

(3) 二面角与平面角的对比

(4) 二面角的平面角的确定方法

    方法1：（定义法）在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．

如右图，在二面角的棱a上任取一点O，在平面内过点O作OA⊥a，在平面内过点O作BO⊥a，则∠AOB为二面角的平面角．

    方法2：（垂面法）过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．

    如下图（左），已知二面角，

    过棱上一点O作一平面，使，且，。

∴，，且⊥OA，⊥OB，

∴∠AOB为二面角的平面角．

    方法3：（垂线法）过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角，此种方法通常用于求二面角的所有题目，具体步骤：一找，二证，三求．

    如上图（右），已知二面角A-BC-D，求作其平面角．

    过点A作AE⊥平面BCD于E，过E在平面BCD中作EF⊥BC于F，连接AF．

    ∵AE⊥平面BCD，BC平面BCD，∴AE⊥BC．

    又EF⊥BC，AE∩EF=E，

    ∴BC⊥平面AEF，∴BC⊥AF

由垂面法可知，∠AFE为二面角A-BC-D的平面角。

考点1 空间点、线、面之间的垂直、平行、异面关系

【例1】．已知α、β是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，给出下列命题：

①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；

②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；

③如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交；

④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β．

其中正确的命题是（　　）

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

变式训练

【变1-1】．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是（　　）

A．a⊥α，b∥β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α∥β 

C．a⊂α，b⊥β，α∥β D．a⊂α，b∥β，α⊥β

【变1-2】．若直线 l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（　　）

A．l与l1，l2都不相交 

B．l与l1，l2都相交 

C．l至多与l1，l2中的一条相交 

D．l至少与l1，l2中的一条相交

【变1-3】．在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝CD＝2AB＝2，M为PC的中点．

（Ⅰ）求证：BM∥平面PAD；

（Ⅱ）平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定点N的位置；若不存在，请说明理由．

考点2 几何体体积、空间距离问题

【例2】．如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥面ABCD，

（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；

（Ⅱ）若∠ABC＝120°，AE⊥EC，且△AEC的面积为3，求三棱锥D﹣AEC的体积．

变式训练

【变2-1】．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD＝60°，AB＝2AD，PD⊥平面ABCD，点M为PC的中点．

（1）求证：PA∥平面BMD；

（2）求证：AD⊥PB；

（3）若AB＝PD＝2，求点A到平面BMD的距离．

【变2-2】．如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BC⊥CD，平面SCD⊥平面ABCD，SC＝CD＝SD＝AD＝2AB＝2，M，N分别为SA，SB的中点，E为CD的中点，过M，N作平面MNPQ分别与交BC，AD于点P，Q．

（Ⅰ）当Q为AD中点时，求证：平面SAE⊥平面MNPQ；

（Ⅱ）当时，求三棱锥Q﹣BCN的体积．

【变2-3】．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，，点E为AC中点，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示．

（1）求证：DA⊥BC；

（2）在CD上找一点F，使AD∥平面EFB；

（3）求点A到平面BCD的距离．

1．若直线l不平行于平面α，则下列结论成立的是（　　）

A．α内的所有直线都与l异面 

B．α内不存在与l平行的直线 

C．α内的所有直线都与l相交 

D．直线l与平面α有公共点

2．已知不重合的直线l，m，n和不重合的平面α，β，下列说法中正确的是（　　）

A．若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β 

B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β 

C．若α⊥β，l⊥β，则l∥α 

D．若α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，m∥n，则m∥l

3．如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线MN∥平面ABC的是（　　）

A． B． 

C． D．

4．在气象观测中，用降水量表示下雨天气中雨量的大小．降水量的测量方法是从天空降落到地面上的雨水，在未蒸发、渗透、流失的情况下，在水平面上积聚的雨水深度．降水量以mm为单位，一般取一位小数．现某地10分钟的降雨量为13.1mm，小王在此地此时间段内用底面半径为5cm的圆柱型量筒收集的雨水体积约为（其中π≈3.14）（　　）

A．1.02×103mm3 B．1.03×103mm3 

C．1.02×105mm3 D．1.03×105mm3

5．“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”．若该多面体的棱长为，则其体积为（　　）

A． B．5 C． D．

6．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若，则＝（　　）

A． B． C． D．

7．如图，圆锥的轴截面为正三角形，点P为顶点，点O为底面圆心，过轴PO的三等分点O1（靠近点P）作平行底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，此圆柱的下底面在圆锥的底面上，则所得圆柱的体积与原圆锥的体积之比为（　　）

A．1：9 B．2：9 C．1：27 D．2：27

8．已知正三棱柱的侧棱长为l，底面边长为a，若该正三棱柱的外接球体积为，当l+a最大时，该正三棱柱的体积为（　　）

A． B． C． D．

9．转子发动机采用三角转子旋转运动来控制压缩和排放．如图，三角转子的外形是有三条侧棱的曲面棱柱，且侧棱垂直于底面，底面是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆构成的曲面三角形，正三角形的顶点称为曲面三角形的顶点，侧棱长为曲面棱柱的高，记该曲面棱柱的底面积为S，高为h，已知曲面棱柱的体积V＝Sh，若，h＝1，则曲面棱柱的体积为（　　）

A． B． C． D．

10．中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高．详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．上述原理在中国被称为祖暅原理．一个上底面边长为1，下底面边长为2高为2的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（　　）

A．16 B．16 C．18 D．21

11．如图，在三棱锥A﹣PBC中，已知，，PA⊥AC，PB⊥BC，平面PAC⊥平面PBC，三棱锥A﹣PBC的体积为，若点P，A，B，C都在球O的球面上，则球O的表面积为 　    ．

12．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是AD的中点，动点P在底面ABCD内（不包括边界），若B1P∥平面A1BM，则C1P的最小值是　　    ．

13．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则下列结论不成立的是 　   　．

①EF与BB1垂直；②EF与BD垂直；③EF与CD异面；④EF与A1C1异面．

14．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1，∠ABC＝60°，AC＝2，侧棱长为，点P是侧面ACC1A1内一点．当|AB|+|BC|最大时，过B、B1、P三点的截面面积的最小值为 　   　．

15．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何也有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一如图所示的“堑堵”即三棱柱ABC﹣A1B1C1，其中AC⊥BC，若AA1＝AB＝1，当“阳马”即四棱锥B﹣A1ACC1，体积最大时，“堑堵”即三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积为 　　          ．

16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且，则下列结论中正确的结论序号是               ．①AC⊥BE；②EF∥平面ABCD；③异面直线AE，BF所成的角为定值；④直线AB与平面BEF所成的角为定值；⑤ABEF为顶点的四面体的体积不随EF位置的变化而变化．

17．已知四面体A﹣BCD中，AB＝2，AC＝3，AD＝4，G为底面△BCD的重心，且∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝60°．

（1）求线段AG的长；

（2）求三棱锥A﹣BCD的体积VA﹣BCD．

18．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC＝AA1＝1，，，P为线段BC1上的动点．

（1）当P为线段BC1上的中点时，求三棱锥B﹣PAC的体积；

（2）当P在线段BC1上移动时，求AP+CP的最小值．

19．如图，在正三棱锥P﹣ABC中，有一半径为1的半球，其底面圆O与正三棱锥的底面贴合，正三棱锥的三个侧面都和半球相切．设点D为BC的中点，∠ADP＝α．

（1）用α分别表示线段BC和PD长度；

（2）当时，求三棱锥的侧面积S的最小值．

20．如图，三棱锥A﹣BCD中，侧面△ABD是边长为4的正三角形，AC＝2CD＝4，平面ABD⊥平面BCD，把平面ACD沿CD旋转至平面PCD的位置，记点A旋转后对应的点为P（不在平面BCD内），M，N分别是BD、CD的中点．

（1）求证：CD⊥MN；

（2）当三棱锥C﹣APD的体积最大值时，求三棱锥P﹣BMN的体积．