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专题06 空间点、直线、平面之间的位置关系-2023-2024学年高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第二册）
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这是一份专题06 空间点、直线、平面之间的位置关系-2023-2024学年高一数学知识•考点培优讲义（人教A版2019必修第二册），文件包含专题06空间点直线平面之间的位置关系解析版docx、专题06空间点直线平面之间的位置关系原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共48页， 欢迎下载使用。
专题06 空间点、直线、平面之间的位置关系
知识点一
平面的基本性质
(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．
(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．
(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
知识点二
空间两直线的位置关系
直线与直线的位置关系的分类：共面直线平行、相交；异面直线：不同在任何一个平面内
平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
知识点三
异面直线所成的角
1．异面直线所成的角
① 定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫作异面直线a，b所成的角(或夹角)．异面直线a，b所成的角为直角，称a，b互相垂直，记作.
② 范围：.
2.异面直线的判定方法：
判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；
反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．
考点01 平面的基本性质
【典例1】【多选题】（2022春·安徽芜湖·高一校考期中）如图，平面∩平面，直线，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过（ ）
A．点A B．点B
C．点C D．点D
【典例2】（2023·全国·高一专题练习）下列各图是正方体或正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点共面的图是______．
【典例3】（2023·高一课时练习）在正方体中．
(1)与是否在同一平面内？请说明理由；
(2)点B、、D是否在同一平面内？请说明理由；
(3)画出平面与平面的交线；画出平面与平面的交线．
【总结提升】
1.证明点共线问题的常用方法
公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在交线上
同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上.
2.证明线共点问题的方法
证明若干线共点的基本思路是先找出两条直线的交点，再证明其他直线都经过该点．而证明直线过该点的方法是证明点是以该直线为交线的两个平面的公共点．
3.证明点、直线共面问题的常用方法
纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内
辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合.
考点02 空间两直线位置关系的判定
【典例4】（2021·全国·高一课时练习）若a，b为两条异面直线，，为两个平面，，，，则下列结论中正确的是( )
A．l至少与a，b中一条相交
B．l至多与a，b中一条相交
C．l至少与a，b中一条平行
D．l必与a，b中一条相交，与另一条平行
【典例5】（2023·高一单元测试）若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（ ）
A．平行 B．异面
C．相交 D．平行、相交或异面
【典例6】（2023·全国·高一专题练习）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
（1）直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
（2）直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
（3）直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
（4）直线AB与直线B1C的位置关系是________．
【规律方法】
判断空间两直线位置关系的思路方法
(1)判断空间两直线的位置关系一般可借助正方体模型，以正方体为主线直观感知并准确判断．
(2)异面直线的判定方法
①反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．
②定理法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．
考点03 等角定理及其应用
【典例7】（2023春·全国·高一专题练习）如图在四面体 中，，，，， 分别是 ，，，， 的中点，则下列说法中不正确的是（ ）
A．，， ， 四点共面 B．
C． D．四边形 为梯形
【典例8】（2022·全国·高一专题练习）如图，长方体ABCDA1B1C1D1中．
（1）直线A1B与直线D1C的位置关系是________．
（2）∠A1BA与∠D1CD的大小关系是________．
【典例9】（2023春·全国·高一专题练习）如图，已知棱长为的正方体中，．
(1)四边形是何图形？如何证明？
(2)与有何关系？
【特别提醒】
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
考点04 异面直线的夹角
【典例10】（2023·高一单元测试）在如图所示的正方体中，异面直线与所成角的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【典例11】（2023·全国·高一专题练习）如图，已知正三棱柱的棱长都相等，为棱的中点，则与所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【典例12】（2023·高一课时练习）体积为的正三棱柱中，与所成角大小等于，则与所成角余弦值为______.
【典例13】（2023·高一课时练习）空间四边形中，且与所成的角为，、分别是、的中点，求与所成的角的大小．
【规律方法】
1.求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．
平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
2.提醒：求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．
1．（2020·山东·统考高考真题）已知正方体（如图所示），则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2.（2021·全国·高考真题（理））在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
3. （2005·湖北·高考真题）已知是直线，是平面，给出下列命题：
①若，，则；
②若，，则；
③若，，则；
④若与异面，且，则与相交；
⑤若与异面，则至多有一条直线与都垂直．
其中真命题的个数是（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．（2021春·陕西榆林·高一陕西省神木中学校考阶段练习）如图，在正方体中，分别是线段的中点，则直线与直线的位置关系是（ ）
A．相交 B．垂直 C．平行 D．异面
2．（2023·高一课前预习）给出下列命题：
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；
③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补．
其中正确的命题有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．（2023·高一课时练习）把互相平行的两条直线称为“一对”，则正方体的十二条棱中，互相平行直线有（ ）
A．对 B．对 C．对 D．对
4.（全国高考真题）正六棱柱的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱侧面对角线与所成的角是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2023·全国·高一专题练习）下列四个命题中正确的是（ ）
A．若两条直线互相平行，则这两条直线确定一个平面
B．若两条直线相交，则这两条直线确定一个平面
C．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线
D．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线
6．（2023·全国·高一专题练习）已知正方体中，M为的中点，则下列直线中与直线BM是异面直线的有（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
7．（2023·高一课前预习）若点,则平面与平面α的位置关系是________．
8．（2023·全国·高一专题练习）给出以下四个命题：
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
其中正确的有________．(填序号)
9．（2023·高一课时练习）直三棱柱中，，，则与所成角大小为______．
四、解答题
10．（2021春·四川成都·高一四川省成都市盐道街中学校考阶段练习）边长为1的正方体中，E为的中点.
(1)求异面直线BE和所成角的正切值.
(2)求三棱锥的体积.
11．（2022春·安徽芜湖·高一校考期中）如图，在三棱柱ABC-中，E为棱AB的中点，F为棱BC的中点.
(1)求证：E，F，C1，四点共面；
(2)求证：A1E，F，B交于一点.
12. （2023春·全国·高一专题练习）如图所示，圆锥SO的底面圆半径，母线.
(1)求此圆锥的体积和侧面展开图扇形的面积；
(2)过点O在圆锥底面作OA的垂线交底面圆圆弧于点P，设线段SO中点为M，求异面直线AM与PS所成角的余弦值
专题06 空间点、直线、平面之间的位置关系
知识点一
平面的基本性质
(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．
(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．
(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
知识点二
空间两直线的位置关系
直线与直线的位置关系的分类：共面直线平行、相交；异面直线：不同在任何一个平面内
平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
知识点三
异面直线所成的角
1．异面直线所成的角
① 定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫作异面直线a，b所成的角(或夹角)．异面直线a，b所成的角为直角，称a，b互相垂直，记作.
② 范围：.
2.异面直线的判定方法：
判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；
反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．
考点01 平面的基本性质
【典例1】【多选题】（2022春·安徽芜湖·高一校考期中）如图，平面∩平面，直线，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过（ ）
A．点A B．点B
C．点C D．点D
【典例2】（2023·全国·高一专题练习）下列各图是正方体或正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点共面的图是______．
【典例3】（2023·高一课时练习）在正方体中．
(1)与是否在同一平面内？请说明理由；
(2)点B、、D是否在同一平面内？请说明理由；
(3)画出平面与平面的交线；画出平面与平面的交线．
【总结提升】
1.证明点共线问题的常用方法
公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在交线上
同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上.
2.证明线共点问题的方法
证明若干线共点的基本思路是先找出两条直线的交点，再证明其他直线都经过该点．而证明直线过该点的方法是证明点是以该直线为交线的两个平面的公共点．
3.证明点、直线共面问题的常用方法
纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内
辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合.
考点02 空间两直线位置关系的判定
【典例4】（2021·全国·高一课时练习）若a，b为两条异面直线，，为两个平面，，，，则下列结论中正确的是( )
A．l至少与a，b中一条相交
B．l至多与a，b中一条相交
C．l至少与a，b中一条平行
D．l必与a，b中一条相交，与另一条平行
【典例5】（2023·高一单元测试）若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（ ）
A．平行 B．异面
C．相交 D．平行、相交或异面
【典例6】（2023·全国·高一专题练习）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
（1）直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
（2）直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
（3）直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
（4）直线AB与直线B1C的位置关系是________．
【规律方法】
判断空间两直线位置关系的思路方法
(1)判断空间两直线的位置关系一般可借助正方体模型，以正方体为主线直观感知并准确判断．
(2)异面直线的判定方法
①反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．
②定理法：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．
考点03 等角定理及其应用
【典例7】（2023春·全国·高一专题练习）如图在四面体 中，，，，， 分别是 ，，，， 的中点，则下列说法中不正确的是（ ）
A．，， ， 四点共面 B．
C． D．四边形 为梯形
【典例8】（2022·全国·高一专题练习）如图，长方体ABCDA1B1C1D1中．
（1）直线A1B与直线D1C的位置关系是________．
（2）∠A1BA与∠D1CD的大小关系是________．
【典例9】（2023春·全国·高一专题练习）如图，已知棱长为的正方体中，．
(1)四边形是何图形？如何证明？
(2)与有何关系？
【特别提醒】
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
考点04 异面直线的夹角
【典例10】（2023·高一单元测试）在如图所示的正方体中，异面直线与所成角的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【典例11】（2023·全国·高一专题练习）如图，已知正三棱柱的棱长都相等，为棱的中点，则与所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【典例12】（2023·高一课时练习）体积为的正三棱柱中，与所成角大小等于，则与所成角余弦值为______.
【典例13】（2023·高一课时练习）空间四边形中，且与所成的角为，、分别是、的中点，求与所成的角的大小．
【规律方法】
1.求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．
平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
2.提醒：求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．
1．（2020·山东·统考高考真题）已知正方体（如图所示），则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2.（2021·全国·高考真题（理））在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
3. （2005·湖北·高考真题）已知是直线，是平面，给出下列命题：
①若，，则；
②若，，则；
③若，，则；
④若与异面，且，则与相交；
⑤若与异面，则至多有一条直线与都垂直．
其中真命题的个数是（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．（2021春·陕西榆林·高一陕西省神木中学校考阶段练习）如图，在正方体中，分别是线段的中点，则直线与直线的位置关系是（ ）
A．相交 B．垂直 C．平行 D．异面
2．（2023·高一课前预习）给出下列命题：
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；
②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；
③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补．
其中正确的命题有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．（2023·高一课时练习）把互相平行的两条直线称为“一对”，则正方体的十二条棱中，互相平行直线有（ ）
A．对 B．对 C．对 D．对
4.（全国高考真题）正六棱柱的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱侧面对角线与所成的角是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2023·全国·高一专题练习）下列四个命题中正确的是（ ）
A．若两条直线互相平行，则这两条直线确定一个平面
B．若两条直线相交，则这两条直线确定一个平面
C．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线
D．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线
6．（2023·全国·高一专题练习）已知正方体中，M为的中点，则下列直线中与直线BM是异面直线的有（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
7．（2023·高一课前预习）若点,则平面与平面α的位置关系是________．
8．（2023·全国·高一专题练习）给出以下四个命题：
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
其中正确的有________．(填序号)
9．（2023·高一课时练习）直三棱柱中，，，则与所成角大小为______．
四、解答题
10．（2021春·四川成都·高一四川省成都市盐道街中学校考阶段练习）边长为1的正方体中，E为的中点.
(1)求异面直线BE和所成角的正切值.
(2)求三棱锥的体积.
11．（2022春·安徽芜湖·高一校考期中）如图，在三棱柱ABC-中，E为棱AB的中点，F为棱BC的中点.
(1)求证：E，F，C1，四点共面；
(2)求证：A1E，F，B交于一点.
12. （2023春·全国·高一专题练习）如图所示，圆锥SO的底面圆半径，母线.
(1)求此圆锥的体积和侧面展开图扇形的面积；
(2)过点O在圆锥底面作OA的垂线交底面圆圆弧于点P，设线段SO中点为M，求异面直线AM与PS所成角的余弦值
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