2020北京海淀初一（上）期末数学备考训练几何初步（教师版）

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2020北京海淀初一（上）期末数学备考训练几何初步（教师版）
一．选择题（共22小题）
1．如图，用圆规比较两条线段AB和A′B′的长短，其中正确的是（　　）

A．A′B′＞AB B．A′B′＝AB
C．A′B′＜AB D．没有刻度尺，无法确定
【分析】根据比较线段的长短进行解答即可．
【解答】解：由图可知，A′B′＜AB；
故选：C．
【点评】本题主要考查了比较线段的长短，解题的关键是正确比较线段的长短．
2．如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，∠1＝27°40′，∠2的大小是（　　）

A．27°40′ B．57°40′ C．58°20′ D．62°20′
【分析】根据∠BAC＝60°，∠1＝27°40′，求出∠EAC的度数，再根据∠2＝90°﹣∠EAC，即可求出∠2的度数．
【解答】解：∵∠BAC＝60°，∠1＝27°40′，
∴∠EAC＝32°20′，
∵∠EAD＝90°，
∴∠2＝90°﹣∠EAC＝90°﹣32°20′＝57°40′；
故选：B．
【点评】本题主要考查了度分秒的换算，关键是求出∠EAC的度数，是一道基础题．
3．已知AB＝6，下面四个选项中能确定点C是线段AB中点的是（　　）
A．AC+BC＝6 B．AC＝BC＝3 C．BC＝3 D．AB＝2AC
【分析】根据线段中点的定义确定出点A、B、C三点共线的选项即为正确答案．
【解答】解：A、AC+BC＝6，C不一定在线段AB中点的位置，不符合题意；
B、AC＝BC＝3，点C是线段AB中点，符合题意；
C、BC＝3，点C不一定是线段AB中点，不符合题意；
D、AB＝2AC，点C不一定是线段AB中点，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了两点间的距离，要注意根据条件判断出A、B、C三点是否共线．
4．从图1的正方体上截去一个三棱锥，得到一个几何体，如图2．从正面看图2的几何体，得到的平面图形是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看是，
故选：D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
5．将一副三角板按如图所示位置摆放，其中∠α与∠β一定互余的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据图形，结合互余的定义判断即可．
【解答】解：A、∠α与∠β不互余，故本选项错误；
B、∠α与∠β不互余，故本选项错误；
C、∠α与∠β互余，故本选项正确；
D、∠α与∠β不互余，∠α和∠β互补，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了对余角和补角的应用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力．
6．已知点A，B，C在同一条直线上，若线段AB＝3，BC＝2，AC＝1，则下列判断正确的是（　　）
A．点A在线段BC上
B．点B在线段AC上
C．点C在线段AB上
D．点A在线段CB的延长线上
【分析】依据点A，B，C在同一条直线上，线段AB＝3，BC＝2，AC＝1，即可得到点C在线段AB上．
【解答】解：如图，∵点A，B，C在同一条直线上，线段AB＝3，BC＝2，AC＝1，
∴点A在线段BC的延长线上，故A错误；
点B在线段AC延长线上，故B错误；
点C在线段AB上，故C正确；
点A在线段CB的反向延长线上，故D错误；
故选：C．

【点评】本题主要考查了两点间的距离，解决问题的关键是判段点C的位置在线段AB上．
7．由m个相同的正方体组成一个立体图形，下面的图形分别是从正面和上面看它得到的平面图形，则m能取到的最大值是（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．
【解答】解：由题中所给出的主视图知物体共两列，且左侧一列高一层，右侧一列最高两层；
由俯视图可知左侧一行，右侧两行，于是，可确定左侧只有一个小正方体，而右侧可能是一行单层一行两层，出可能两行都是两层．
所以图中的小正方体最少4块，最多5块．
故选：B．
【点评】本题主要考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
8．从正面观察如图的两个立体图形，得到的平面图形是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看左边是一个矩形，右边是一个正方形，
故选：A．
【点评】本题考查了认识立体图形，从正面看得到的图形是主视图．
9．将下列平面图形绕轴旋转一周，可得到图中所示的立体图形的是（　　）

A． B． C． D．
【分析】面动成体．由题目中的图示可知：此圆台是直角梯形转成圆台的条件是：绕垂直于底的腰旋转．
【解答】解：A、是两个圆台，故A错误；
B、上面小下面大，侧面是曲面，故B正确；
C、是一个圆台，故C错误；
D、下面小上面大侧面是曲面，故D错误；
故选：B．
【点评】本题考查直角梯形转成圆台的条件：应绕垂直于底的腰旋转．
10．西山隧道段是上庄路南延工程的一部分，将穿越西山山脉，隧道全长约4km．隧道贯通后，往来海淀山前山后地区较之前路程有望缩短一半，其主要依据是（　　）

A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短
C．直线比曲线短 D．两条直线相交于一点
【分析】根据线段的性质：两点之间线段最短进行解答．
【解答】解：西山隧道段是上庄路南延工程的一部分，将穿越西山山脉，隧道全长约4km．隧道贯通后，往来海淀山前山后地区较之前路程有望缩短一半，其主要依据是两点之间，线段最短，
故选：B．
【点评】此题主要考查了线段的性质，是需要识记的内容．
11．已知线段AB＝10cm，点C在直线AB上，且AC＝2cm，则线段BC的长为（　　）
A．12 cm B．8 cm
C．12 cm或8 cm D．以上均不对
【分析】根据题意，分两种情况讨论：（1）点C在A、B中间时；（2）点C在点A的左边时；求出线段BC的长为多少即可．
【解答】解：（1）点C在A、B中间时，
BC＝AB﹣AC＝10﹣2＝8（cm）．
（2）点C在点A的左边时，
BC＝AB+AC＝10+2＝12（cm）．
∴线段BC的长为12cm或8cm．
故选：C．
【点评】此题主要考查了两点间的距离的含义和求法，要熟练掌握，注意分两种情况讨论．
12．如图所示，数轴上点A、B对应的有理数分别为a、b，下列说法正确的是（　　）

A．ab＞0 B．a+b＞0 C．|a|﹣|b|＜0 D．a﹣b＜0
【分析】根据图示，可得a＜0＜b，而且|a|＞|b|，据此逐项判断即可．
【解答】解：根据图示，可得a＜0＜b，而且|a|＞|b|，
∵a＜0＜b，
∴ab＜0，
∴选项A不正确；
∵a＜0＜b，而且|a|＞|b|，
∴a+b＜0，
∴选项B不正确，选项D正确；

∵|a|＞|b|，
∴|a|﹣|b|＞0，
∴选项C不正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了数轴的特征和应用，以及绝对值的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出：a＜0＜b，而且|a|＞|b|．
13．已用点A、B、C、D、E的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）

A．∠AOB＝130° B．∠AOB＝∠DOE
C．∠DOC与∠BOE互补 D．∠AOB与∠COD互余
【分析】由题意得出∠AOB＝50°，∠DOE＝40°，∠DOC＝50°，∠BOE＝130°，得出∠DOC+∠BOE＝180°即可．
【解答】解：∵∠AOB＝50°，∠DOE＝40°，∠DOC＝50°，∠BOE＝130°，
∴∠DOC+∠BOE＝180°；
故选：C．
【点评】本题考查了余角和补角；根据题意得出各个角的度数是关键．
14．如图所示，在三角形ABC中，点D是边AB上的一点．已知∠ACB＝90°，∠CDB＝90°，则图中与∠A互余的角的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据图形和余角的概念解答即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠CDB＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠A互余的角的个数是2．
故选：B．
【点评】本题考查的是余角和补角的概念，掌握和为90度的两个角互为余角是解题的关键．
15．已知AB是圆锥（如图1）底面的直径，P是圆锥的顶点，此圆锥的侧面展开图如图2所示．一只蚂蚁从A点出发，沿着圆锥侧面经过PB上一点，最后回到A点．若此蚂蚁所走的路线最短，那么M，N，S，T（M，N，S，T均在PB上）四个点中，它最有可能经过的点是（　　）

A．M B．N C．S D．T
【分析】根据圆锥画出侧面展开图，根据两点之间线段最短可得它最有可能经过的点是N．
【解答】解：如图所示：根据圆锥侧面展开图，此蚂蚁所走的路线最短，那么M，N，S，T（M，N，S，T均在PB上）四个点中，它最有可能经过的点是N，
，
故选：B．
【点评】此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间线段最短．
16．如图，把原来弯曲的河道改直，A，B两地间的河道长度变短，这样做的道理是（　　）

A．两点确定一条直线 B．两点确定一条线段
C．两点之间，直线最短 D．两点之间，线段最短
【分析】根据两点之间线段最短即可得出答案．
【解答】解：因为两点之间线段最短，把弯曲的河道改直，能够缩短航程．
故选：D．
【点评】本题考查了线段的性质，属于基础题，关键是掌握两点之间线段最短．
17．从三个不同方向看一个几何体，得到的平面图形如图所示，则这个几何体是（　　）

A．圆柱 B．圆锥 C．棱锥 D．球
【分析】由主视图和左视图可得此几何体为柱体，根据俯视图是圆可判断出此几何体为圆柱．
【解答】解：∵主视图和左视图都是长方形，
∴此几何体为柱体，
∵俯视图是一个圆，
∴此几何体为圆柱．
故选：A．
【点评】此题考查利用三视图判断几何体，三视图里有两个相同可确定该几何体是柱体，锥体还是球体，由另一个视图确定其具体形状．
18．已知线段AB＝6cm，若M是AB的三等分点，N是AM的中点，则线段MN的长度为（　　）
A．1cm B．2cm C．1.5cm D．1cm或2cm
【分析】根据M是AB的三等分点，可得AM的长，再根据线段中点的性质，可得答案．
【解答】解：由线段AB＝6cm，若M是AB的三等分点，得
AM＝2，或AM＝4．
当AM＝2cm时，由N是AM的中点，得MN＝AM＝×2＝1（cm）；
当AM＝4cm时，由N是AM的中点，得MN＝AM＝×4＝2（cm）；
故选：D．
【点评】本题考查了两点间的距离，利用了三等分点的性质：M距A点近的三等分点，M距A点远的三等分点，以防漏掉．
19．已知∠1＝36°，在下列四个角中，最可能和∠1互余的角为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据余角的概念求出∠1的余角的度数，然后选出答案．
【解答】解：∵∠1＝36°，
∴∠1的余角为：90°﹣36°＝54°，
与54°最接近的角是C，
故选：C．
【点评】此题主要考查了余角，关键是掌握余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
20．如图是用4个正方体搭成的立体图形，从左面看，它应是下列图形中的（注意：方格大小一致）（　　）

A． B． C． D．
【分析】从左面看到的三个正方形的排列情况解答．
【解答】解：从左面看，共有2列，左边一列是两个正方形，右边是一个正方形，且下齐．
故选：A．
【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图，难点在于观察出三个正方形的排列．
21．下列说法错误的是（　　）

A．图①中直线l经过点A
B．图②中直线a、b相交于点A
C．图③中点C在线段AB上
D．图④中射线CD与线段AB有公共点
【分析】根据点和直线的位置关系、射线和线段的延伸性、直线与直线相交的表示方法等知识点对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：A、图①中直线l经过点A，正确；
B、图②中直线a、b相交于点A，正确；
C、图③中点C在线段AB外，故本选项错误；
D、图④中射线CD与线段AB有公共点，正确；
故选：C．
【点评】此题考查了直线、射线、线段，用到的知识点是点和直线的位置关系，射线和线段的延伸性，直线与直线相交的表示方法等，是一道基础题．
22．若∠α与∠β互为补角，∠β的一半比∠α小30°，则∠α为（　　）
A．30° B．80° C．100° D．140°
【分析】根据互为补角的和等于180°，然后根据题意列出关于α、β的二元一次方程组，求解即可．
【解答】解：根据题意得，，
①﹣②得，β＝150°，
解得β＝100°，
把β＝100°代入①得，α+100°＝80°，
解得α＝80°．
故选：B．
【点评】本题考查了互为补角的和等于180°的性质，根据题意列出二元一次方程组是解题的关键．
二．填空题（共13小题）
23．图中A，B两点之间的距离是　2　厘米（精确到厘米），点B在点A的南偏西　58　°（精确到度）．

【分析】根据长度的测量可求图中A，B两点之间的距离；根据方向角的定义可求点B的方向．
【解答】解：测量可得，图中A，B两点之间的距离是2厘米（精确到厘米），点B在点A的南偏西58°（精确到度）．
故答案为：2，58．
【点评】考查了两点间的距离，关键是熟练掌握长度和角的测量方法．
24．如图，点O在直线AB上，射线OD平分∠COA，∠DOF＝∠AOE＝90°，图中与∠1相等的角有　∠COD，∠EOF　（请写出所有答案）．

【分析】根据角平分线定义可得∠COD＝∠1；根据同角的余角相等可得∠EOF＝∠1．
【解答】解：∵射线OD平分∠COA，
∴∠COD＝∠1．
∵∠DOF＝∠AOE＝90°，
∴∠DOE+∠EOF＝90°，∠DOE+∠1＝90°，
∴∠EOF＝∠1．
∴图中与∠1相等的角有∠COD，∠EOF．
故答案为∠COD，∠EOF．
【点评】本题考查了余角和补角，角平分线定义，掌握余角的性质是解题的关键．
25．已知点O为数轴的原点，点A，B在数轴上，若AO＝10，AB＝8，且点A表示的数比点B表示的数小，则点B表示的数是　﹣2或18　．
【分析】根据AO＝10，得到点A表示的数为±10，由AB＝8，且点A表示的数比点B表示的数小，得到点B表示的数在点A表示的数的右边，于是得到结论．
【解答】解：∵AO＝10，
∴点A表示的数为±10，
∵AB＝8，且点A表示的数比点B表示的数小，
∴点B表示的数是﹣2或18，
故答案为：﹣2或18
【点评】本题考查了数轴，正确的理解题意是解题的关键．
26．计算：48°37'+53°35'＝　102°12'　．
【分析】1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″，依据度分秒的换算即可得到结果．
【解答】解：48°37'+53°35'＝101°72'＝102°12'，
故答案为：102°12'．
【点评】本题主要考查了度分秒的换算，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．
27．北京西站和北京南站是北京的两个铁路客运中心，如图，A，B，C分别表示天安门、北京西站、北京南站，
经测量，北京西站在天安门的南偏西77°方向，北京南站在天安门的南偏西18°方向．则∠BAC＝　59　°．

【分析】根据题意可得∠CAS＝18°，∠BAS＝77°，然后利用角的和差关系可得答案．
【解答】解：∠BAC＝77°﹣18°＝59°，
故答案为：59．

【点评】此题主要考查了方向角，方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角．
28．线段AB＝6，点C在直线AB上，BC＝4，则AC的长度为　2或10　．
【分析】分类讨论：C在线段AB上，C在线段AB的延长线上，根据线段的和差，可得答案．
【解答】解：当C在线段AB上时，AC＝1B﹣BC＝6﹣4＝2；
当C在线段AB的延长线上时，AC＝AB+BC＝10．
综上所述：AC的长度为2或10．
故选：2或10．
【点评】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．
29．若一个角比它的补角大36°48′，则这个角为　108　°　24　′．
【分析】设这个角为x°，则这个角的补角为（180﹣x）°，根据题意可得方程x﹣（180﹣x）＝36.8，再解即可．
【解答】解：36°48′＝36.8°，
设这个角为x°，则这个角的补角为（180﹣x）°，
x﹣（180﹣x）＝36.8，
解得：x＝108.4，
108.4°＝108°24′，
故答案为：108；24．
【点评】此题主要考查了余角和补角，关键是掌握余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
30．如图，在正方形网格中，点O、A、B、C、D均是格点．若OE平分∠BOC，则∠DOE的度数为　22.5　°．

【分析】观察图形可知，∠BOC＝135°，∠COD＝45°，根据角平分线的定义可得∠EOC，再根据角的和差关系即可求解．
【解答】解：由图形可知，∠BOC＝135°，∠COD＝45°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠EOC＝67.5°，
∴∠DOE＝67.5°﹣45°＝22.5°．
故答案为：22.5
【点评】此题考查了角的计算，角平分线的定义，关键是观察图形可得∠BOC＝135°，∠COD＝45°．
31．∠AOB的大小可由量角器测得（如图所示），则∠AOB的补角的大小为　120　°．

【分析】先根据图形得出∠AOB＝60°，再根据和为180度的两个角互为补角即可求解．
【解答】解：由题意，可得∠AOB＝60°，
则∠AOB的补角的大小为：180°﹣∠AOB＝120°．
故答案为120．
【点评】本题考查补角的定义：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．熟记定义是解题的关键．
32．计算：180°﹣20°40′＝　159°20′　．
【分析】先变形得出179°60′﹣20°40′，再度、分分别相减即可．
【解答】解：180°﹣20°40′
＝179°60′﹣20°40′
＝159°20°．
故答案为：159°20′．
【点评】本题考查了度、分、秒之间的换算的应用，能熟记度、分、秒之间的关系是解此题的关键，注意：1°＝60′，1′＝60″．
33．如图所示，AB+CD　＜　AC+BD．（填“＜”，“＞”或“＝”）

【分析】AC与BD的交点为E，由两点之间线段最短可知AE+BE＞AB，同理得到CE+DE＞DC，从而得到AB+CD＜AC+BD．
【解答】解：如图所示：

由两点之间线段最短可知AE+BE＞AB．
同理：CE+DE＞DC．
∴AE+BE+CE+DE＞AB+DC．
∴AC+BD＞AB+DC，即AB+DC＜AC+BD．
故答案为：＜．
【点评】本题主要考查的是线段的性质，掌握线段的性质是解题的关键．
34．若∠α＝20°40′，则∠α的补角的大小为　159°20′　．
【分析】根据∠α的补角＝180°﹣∠α，代入求出即可．
【解答】解：∵∠α＝20°40′，
∴∠α的补角＝180°﹣20°40′＝159°20′，
故答案为：159°20′．
【点评】本题考查了度、分、秒之间的换算，补角的应用，主要考查学生的计算能力，注意：已知∠A，则∠A的补角＝180°﹣∠A．
35．将一副三角板如图放置，若∠AOD＝20°，则∠BOC的大小为　160°　．

【分析】先求出∠COA和∠BOD的度数，代入∠BOC＝∠COA+∠AOD+∠BOD求出即可．
【解答】解：∵∠AOD＝20°，∠COD＝∠AOB＝90°，
∴∠COA＝∠BOD＝90°﹣20°＝70°，
∴∠BOC＝∠COA+∠AOD+∠BOD＝70°+20°+70°＝160°，
故答案为：160°．
【点评】本题考查了度、分、秒之间的换算，余角的应用，解此题的关键是求出∠COA和∠BOD的度数，注意：已知∠A，则∠A的余角＝90°﹣∠A．
三．解答题（共15小题）
36．如图，点C在∠AOB的边OA上，选择合适的画图工具按要求画图．
（1）反向延长射线OB，得到射线OD，画∠AOD的角平分线OE；
（2）在射线OD上取一点F，使得OF＝OC；
（3）在射线OE上作一点P，使得CP+FP最小；
（4）写出你完成（3）的作图依据：　两点之间，线段最短　．

【分析】（1）、（2）根据几何语言画出对应的几何图形；
（3）连接CF交OE于P；
（4）利用两点之间线段最短求解．
【解答】解：（1）如图，OD、OE为所作；
（2）如图，点F为所作；
（3）如图，点P为所作；

（4）连接FC交OE于P，则根据两点之间，线段最短可判断此时PC+PF最小．
答案为：两点之间，线段最短．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
37．如图1，已知点C在线段AB上，点M为AB的中点，AC＝8，CB＝2．
（1）求CM的长；
（2）如图2，点D在线段AB上，若AC＝BD，判断点M是否为线段CD的中点，并说明理由．

【分析】（1）方法一：根据线段的和差关系可求AB，再根据中点的定义可求BM，再根据CM＝BM﹣CB或方法二：CM＝AC﹣AM即可求解；
（2）方法一：由（1）可知，DM＝DB﹣MB，可得DM＝MC，从而求解；方法二：根据等量关系可得AD＝CB，根据中点的定义可得AM＝MB，再根据等量关系可得DM＝MC，从而求解．
【解答】解：（1）方法一：
∵AC＝8，CB＝2，
∴AB＝AC+CB＝10，
∵点M为线段AB的中点，
∴，
∴CM＝BM﹣CB＝5﹣2＝3．
或方法二：
∴CM＝AC﹣AM＝8﹣5＝3．
（2）点M是线段CD的中点，理由如下：
方法一：
∵BD＝AC＝8，
∴由（1）可知，DM＝DB﹣MB＝8﹣5＝3．
∴DM＝MC＝3，
∴由图可知，点M是线段CD的中点．
方法二：
∵AC＝BD，
∴AC﹣DC＝BD﹣DC，
∴AD＝CB．
∵点M为线段AB的中点，
∴AM＝MB，
∴AM﹣AD＝MB﹣CB，
∴DM＝MC
∴由图可知，点M是线段CD的中点．
【点评】本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差，线段中点的性质．
38．如图，已知点O在直线AB上，作射线OC，点D在平面内，∠BOD与∠AOC互余．
（1）若∠AOC：∠BOD＝4：5，则∠BOD＝　50°　；
（2）若∠AOC＝α（0°＜α≤45°），ON平分∠COD．
①当点D在∠BOC内，补全图形，直接写出∠AON的值（用含α的式子表示）；
②若∠AON与∠COD互补，求出α的值．

【分析】（1）根据余角的定义即可求解；
（2）①先根据余角、平角的定义求出∠BOC，再根据角平分线的定义求出∠COD，再根据角的和差关系即可求解；
②分点D在∠BOC内，点D在∠BOC外两种情况即可求解．
【解答】解：（1）∵∠AOC：∠BOD＝4：5，∠BOD与∠AOC互余，
∴∠BOD＝90°×＝50°；
（2）①补全图形如下：

∵∠BOD与∠AOC互余，
∴∠BOD+∠AOC＝90°，
∴∠COD＝90°，
∵ON平分∠COD，
∴∠CON＝45°，
∴∠AON＝α+45°；
②情形一：点D在∠BOC内．

此时，∠AON＝α+45°，∠COD＝90°，依题意可得：α+45°+90°＝180°，
解得：α＝45°．
情形二：点D在∠BOC外．
在0°＜α≤45°的条件下，补全图形如下：

此时∠AON＝45°，∠COD＝90°+2α，
依题意可得：45°+90°+2α＝180°，
解得：α＝22.5°．
综上，α的取值为45°或22.5°．
故答案为：50°．
【点评】本题考查了余角和补角、角度的计算，正确理解角平分线的定义，理解角度之间的和差关系是关键．
39．作图题：
如图，已知点A，点B，直线l及l上一点M．
（1）连接MA，并在直线l上作出一点N，使得点N在点M的左边，且满足MN＝MA；
（2）请在直线l上确定一点O，使点O到点A与点O到点B的距离之和最短，并写出画图的依据．

【分析】（1）连接AM，以M为圆心，MA为半径画弧交直线l于N，点N即为所求；
（2）连接AB交直线l于点O，点O即为所求；
【解答】解：（1）作图如图1所示：
（2）作图如图2所示：作图依据是：两点之间线段最短．

【点评】本题考查作图﹣复杂作图，两点之间线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
40．如图1，线段AB＝10，点C，E，F在线段AB上．
（1）如图2，当点E，点F是线段AC和线段BC的中点时，求线段EF的长；
（2）当点E，点F是线段AB和线段BC的中点时，请你写出线段EF与线段AC之间的数量关系并简要说明理由．

【分析】（1）根据线段的中点得出AE＝CE＝AC，CF＝FB＝CB，求出EF＝AB，代入求出即可；
（2）根据线段的中点得出AE＝CE＝AC，CF＝FB＝CB，即可求出EF＝AC．
【解答】解：（1）∵当点E、点F是线段AC和线段BC的中点，
∴AE＝CE＝AC，CF＝FB＝CB，
∵AB＝10，
∴EF＝CE+CF＝AC+CB＝（AC+CB）＝AB＝10＝5；
（2）如图：EF＝AC，
理由是：∵当点E、点F是线段AB和线段BC的中点，
∴AE＝EB＝AB，CF＝FB＝CB，
∴EF＝EB﹣FB＝AB﹣CB＝（AB﹣CB）＝AC．
【点评】本题考查了求两点之间的距离和线段的中点，能根据线段的中点定义得出AE＝EB＝AB和CF＝FB＝CB是解此题的关键．
41．如图1，在数轴上A，B两点对应的数分别是6，﹣6，∠DCE＝90°（C与O重合，D点在数轴的正半轴上）

（1）如图1，若CF平分∠ACE，则∠AOF＝　45°　；
（2）如图2，将∠DCE沿数轴的正半轴向右平移t（0＜t＜3）个单位后，再绕点顶点C逆时针旋转30t度，作CF平分∠ACE，此时记∠DCF＝α．
①当t＝1时，α＝　30°　；
②猜想∠BCE和α的数量关系，并证明；
（3）如图3，开始∠D1C1E1与∠DCE重合，将∠DCE沿数轴的正半轴向右平移t（0＜t＜3）个单位，再绕点顶点C逆时针旋转30t度，作CF平分∠ACE，此时记∠DCF＝α，与此同时，将∠D1C1E1沿数轴的负半轴向左平移t（0＜t＜3）个单位，再绕点顶点C1顺时针旋转30t度，作C1F1平分∠AC1E1，记∠D1C1F1＝β，若α与β满足|α﹣β|＝20°，请直接写出t的值为　　．
【分析】（1）根据角平分线的定义计算即可；
（2）①根据∠FCD＝∠ACF﹣∠ACD，求出∠ACF，∠ACD即可；
②猜想：∠BCE＝2α．根据∠BCE＝∠AOB﹣∠ECD﹣∠ACD计算即可；
（3）求出α，β（用t表示），构建方程即可解决问题；
【解答】解：（1）如图1中，∵∠EOD＝90°，OF平分∠EOD，
∴∠FOD＝∠EOD＝45°，
故答案为45°
（2）①如图2中，当t＝1时，∵∠DCA＝30°，∠ECD＝90°，
∴∠ECA＝120°，
∵CF平分∠ACE，
∴∠FCA＝∠ECA＝60°
∴α＝∠FCD＝60°﹣30°＝30°
故答案为30°．
②如图2中，猜想：∠BCE＝2α．
理由：∵∠DCE＝90°，∠DCF＝α，
∴∠ECF＝90°﹣α，
∵CF平分∠ACE，
∴∠ACF＝∠ECF＝90°﹣α，
∵点A，O，B共线
∴AOB＝180°
∴∠BCE＝∠AOB﹣∠ECD﹣∠ACD＝180°﹣90°﹣（90°﹣2α）＝2α．
（3）如图3中，由题意：α＝∠FCA﹣∠DCA＝（90°+30t）﹣30t＝45°﹣15t，
β＝∠AC1D1+∠AC1F1＝30t+（90°﹣30t）＝45°+15t，
∵|β﹣α|＝20°，
∴|30t|＝20°，
解得t＝．
故答案为．

【点评】本题考查角的计算、角平分线的定义、数轴、旋转变换等知识，解题的关键是熟练掌握角的和差定义，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
42．如图，平面上有四个点A，B，C，D．
（1）根据下列语句画图：
①射线BA；
②直线AD，BC相交于点E；
③在线段DC的延长线上取一点F，使CF＝BC，连接EF．
（2）图中以E为顶点的角中，小于平角的角共有　8　个．

【分析】（1）根据直线、射线、线段的特点画出图形即可；
（2）根据角的概念：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角数出角的个数即可．
【解答】解：（1）如图所示：
；
（2）以E为顶点的角中，小于平角的角共有8个，
故答案为：8．
【点评】此题主要考查了角、直线、射线、线段，关键是掌握角的概念，掌握直线、射线、线段的特点．
43．以下两个问题，任选其一作答．
如图，OD是∠AOC的平分线，OE是∠BOC的平分线．
问题一：若∠AOC＝36°，∠BOC＝136°，求∠DOE的度数．
问题二：若∠AOB＝100°，求∠DOE的度数．

【分析】（1）利用角平分线的定义得出∠DOC＝18°，∠EOC＝68°进而求出∠DOE的度数；
（2）由角平分线得出∠DOE＝即可．
【解答】解：问题一：
∵OD平分∠AOC，∠AOC＝36°，
∴．
∵OE平分∠BOC，∠BOC＝136°，
∴．
∴∠DOE＝∠EOC﹣∠DOC＝50°．
问题二：
∵OD平分∠AOC，
∴．
∵OE平分∠BOC，
∴．
∴∠DOE＝∠EOC﹣∠DOC＝＝．
∵∠AOB＝100°，
∴∠DOE＝50°．
【点评】此题主要考查了角平分线的定义，得出∠DOE＝∠AOB是解题关键．
44．如图1，由于保管不善，长为40米的拔河比赛专用绳AB左右两端各有一段（AC和BD）磨损了，磨损后的麻绳不再符合比赛要求．
已知磨损的麻绳总长度不足20米．只利用麻绳AB和一把剪刀（剪刀只用于剪断麻绳）就可以得到一条长20米的拔河比赛专用绳EF．

请你按照要求完成下列任务：
（1）在图1中标出点E、点F的位置，并简述画图方法；
（2）说明（1）中所标EF符合要求．
【分析】（1）如图，在CD上取一点M，使CM＝CA，F为BM的中点，点 E与点C重合；
（2）只要证明CF＝20，点F在线段CD上即可；
【解答】解：（1）如图，在CD上取一点M，使CM＝CA，F为BM的中点，点 E与点C重合．

（2）∵F为BM的中点，
∴MF＝BF．
∵AB＝AC+CM+MF+BF，CM＝CA，
∴AB＝2CM+2MF＝2（CM+MF）＝2EF．
∵AB＝40m，
∴EF＝20m，
∵AC+BD＜20m，AB＝AC+BD+CD＝40m，
∴CD＞20m．
∵点E与点C重合，EF＝20m，
∴CF＝20m．
∴点F落在线段CD上．
∴EF符合要求．
【点评】本题考查作图﹣设计与应用，解题的关键是理解题意，灵活运用中点的性质解决问题，属于中考创新题目．
45．如图，已知三个点A，B，C．按要求完成下列问题：
（1）取线段AB的中点D，作直线DC；
（2）用量角器度量得∠ADC的大小为　90°　（精确到度）；
（3）连接BC，AC，则线段BC，AC的大小关系是　BC＝AC　；对于直线DC上的任意一点C′，请你做一做实验，猜想线段BC′与AC′的大小关系是　BC′＝AC′　．

【分析】（1）利用线段垂直平分线的作法得出D点位置，进而得出答案；
（2）利用量角器得出∠ADC的大小；
（3）利用线段垂直平分线的性质得出线段BC，AC的大小关系以及线段BC′与AC′的大小关系．
【解答】解：（1）如图所示：直线DC即为所求；
（2）90°（只要相差不大都给分）．
故答案为：90°；
（3）BC＝AC，BC′＝AC′，
（若（2）中测得的角不等于90°，则相应地得出线段的不等关系（注意：要分类讨论），同样给分．）

【点评】此题主要考查了复杂作图以及线段垂直平分线的性质与作法，正确把握线段垂直平分线的性质是解题关键．
46．如图所示，点A在线段CB上，AC＝，点D是线段BC的中点．若CD＝3，求线段AD的长．

【分析】根据点A在线段CB上，AC＝，点D是线段BC的中点，CD＝3，可以求得BC的长，从而可以求得CA的长，从而得到AD的长．
【解答】解：∵点D是线段BC的中点，CD＝3，
∴BC＝2CD＝6，
∵AC＝，AC+AB＝CB，
∴AC＝2，AB＝4，
∴AD＝CD﹣AC＝3﹣2＝1，
即线段AD的长是1．
【点评】本题考查两点间的距离，解题的关键是求出各线段的长，然后找出所问题需要的条件．
47．如图1，点O是弹力墙MN上一点，魔法棒从OM的位置开始绕点O向ON的位置顺时针旋转，当转到ON位置时，则从ON位置弹回，继续向OM位置旋转；当转到OM位置时，再从OM的位置弹回，继续转向ON位置，…，如此反复．按照这种方式将魔法棒进行如下步骤的旋转：第1步，从OA0（OA0在OM上）开始旋转α至OA1；第2步，从OA1开始继续旋转2α至OA2；第3步，从OA2开始继续旋转3α至OA3，…．

例如：当α＝30°时，OA1，OA2，OA3，OA4的位置如图2所示，其中OA3恰好落在ON上，∠A3OA4＝120°；
当α＝20°时，OA1，OA2，OA3，OA4，OA5的位置如图3所示，
其中第4步旋转到ON后弹回，即∠A3ON+∠NOA4＝80°，而OA5恰好与OA2重合．

解决如下问题：
（1）若α＝35°，在图4中借助量角器画出OA2，OA3，其中∠A3OA2的度数是　45°　；
（2）若α＜30°，且OA4所在的射线平分∠A2OA3，在如图5中画出OA1，OA2，OA3，OA4并求出α的值；

（3）若α＜36°，且∠A2OA4＝20°，则对应的α值是　，，（）°　．
（4）（选做题）当OAi所在的射线是∠AjOAk（i，j，k是正整数，且OAj与OAk不重合）的平分线时，旋转停止，请探究：试问对于任意角α（α的度数为正整数，且α＜180°），旋转是否可以停止？写出你的探究思路．
【分析】（1）根据题意，明确每次旋转的角度，计算即可；
（2）根据各角的度数，找出等量关系式，列出方程，求出α的度数即可；
（3）类比第（2）小题的算法，分三种情况讨论，求出α的度数即可；
（4）无论a为多少度，旋转很多次，总会出一次OAi是∠AiOAK是的角平分线，但当a＝120度时，只有两条射线，不会出现OAi是∠AjOAK是的角平分线，所以旋转会中止．
【解答】解：（1）解：如图所示．∠a＝45°，

（2）解：如图所示．

∵α＜30°，
∴∠A0OA3＜180°，4α＜180°．
∵OA4平分∠A2OA3，
∴2（180°﹣6α）+＝4α，解得：．
（3），，（）°
（4）对于角α＝120°不能停止．理由如下：
无论a为多少度，旋转过若干次后，一定会出现OAi是∠AjOAK是的角平分线，所以旋转会停止．
但特殊的，当a为120°时，第一次旋转120°，∠MOA1＝120°，第二次旋转240°时，与OM重合，第三次旋转360°，又与OM重合，第四次旋转480°时，又与OA1重合，…依此类推，旋转的终边只会出现“与OM重合”或“与OA1重合”两种情况，不会出第三条射线，所以不会出现OAi是∠AjOAK是的角平分线这种情况，旋转不会停止．
【点评】本题主要考察角度的计算的相关知识，可结合平角的性质及角度的加减进行计算分析．
48．如图，平面上四个点A，B，C，D．按要求完成下列问题：
（1）连接AD，BC；
（2）画射线AB与直线CD相交于E点；
（3）用量角器度量得∠AED的大小为　30°　（精确到度）．

【分析】（1）画线段AD，BC即可；
（2）画射线AB与直线CD，交点记为E点；
（3）利用量角器测量可得∠AED的度数．
【解答】解：（1）（2）如图所示：
；
（3）测量可得∠AED＝30°．
故答案为：30°．
【点评】此题主要考查了射线、直线、线段，以及角，关键是掌握直线、射线、线段的性质．
49．点A，B，C在同一直线上，AB＝8，AC：BC＝3：1，求线段BC的长度．
【分析】分类讨论：当点C在线段AB上时，当点C在AB的延长线上时；根据线段间的比例，可得未知数，根据线段的和差，可得答案．
【解答】解：由于AC：BC＝3：1，设BC＝x，则AC═3x
第一种情况：当点C在线段AB上时，AC+BC＝AB．

因为 AB＝8，
所以3x+x＝8
解得 x＝2
所以 BC＝2
第二种情况：当点C在AB的延长线上时，AC﹣BC＝AB
因为 AB＝8，
所以3x﹣x＝8
解得 x＝4
所以 BC＝4
综上，BC的长为2或4．

【点评】本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差，分类讨论是解题关键，以防漏掉．
50．如图1，∠AOB＝α，∠COD＝β，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线．
（1）若∠AOB＝50°，∠COD＝30°，当∠COD绕着点O逆时针旋转至射线OB与OC重合时（如图2），则∠MON的大小为　40°　；
（2）在（1）的条件下，继续绕着点O逆时针旋转∠COD，当∠BOC＝10°时（如图3），求∠MON的大小并说明理由；
（3）在∠COD绕点O逆时针旋转过程中，∠MON＝　或180°﹣（α+β）　．（用含α，β的式子表示）．

【分析】（1）根据角平分线的定义可以求得∠MON＝（∠AOB+∠BOD）；
（2）根据图示可以求得：∠BOD＝∠BOC+∠COD＝40°．然后结合角平分线的定义推知∠BON＝∠BOD，∠COM＝∠AOC．则∠MON＝∠MOB+∠BON＝40°；
（3）根据（1）、（2）的解题思路得到：
【解答】解：（1）如图2，∵OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的角平分线，
∴∠BOM＝∠AOB，∠BON＝∠BOD，
∴∠MON＝（∠AOB+∠BOD）．
又∵∠AOB＝50°，∠COD＝30°，
∴∠MON＝（∠AOB+∠BOD）＝×（50°+30°）＝40°．
故答案是：40°；
（2）如图3，∵∠BOD＝∠BOC+∠COD＝10°+30°＝40°，ON平分∠BOD，
∴∠BON＝∠BOD＝×40°＝20°．
∵∠AOC＝∠BOC+∠AOB＝10°+50°＝60°，OM平分∠AOC，
∴∠COM＝∠AOC＝×60°＝30°．
∴∠BOM＝∠COM﹣∠BOC＝30°﹣10°＝20°．
∴∠MON＝∠MOB+∠BON＝20°+20°＝40°；
（3）∵OM为∠AOD的平分线，ON为∠BOC的平分线，∠AOB＝α，∠COD＝β，
∴∠MON＝α+β＝（α+β）或180°﹣（α+β）；
故答案是：或180°﹣（α+β）．

【点评】此题主要考查了角的计算，正确根据角平分线的性质得出是解题关键．