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2020北京西城初一（上）期末数学备考训练几何初步（教师版）
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这是一份2020北京西城初一（上）期末数学备考训练几何初步（教师版），共37页。试卷主要包含了以下说法正确的是，下列说法中，正确的是等内容，欢迎下载使用。
2020北京西城初一（上）期末数学备考训练几何初步（教师版）
一．选择题（共18小题）
1．如图1，南非曾发行过一个可折叠邮政包装箱的邮票小全张，将其中包装箱的展开图截下，并按图1中左下角所示方法进行折叠，使画面朝外，那么与图2中图案所在的面相对的面上的图案是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】在正方体的“1，4，1”类型的展开图中，上面的1和下面的1是相对的2个面，4个面中相对两个面之间间隔一个面．
【解答】解：根据正方体的展开图，可得与图2中图案所在的面相对的面上的图案为：
故选：A．
【点评】本题考查了正方体的展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
2．以下说法正确的是（ ）
A．两点之间直线最短
B．延长直线AB到点E，使BE＝AB
C．钝角的一半一定不会小于45°
D．连接两点间的线段就是这两点的距离
【分析】根据线段的性质判断A；根据线段的作法判断B；根据角的定义判断C；根据两点间的距离的定义判断D．
【解答】解：A、两点之间线段最短，故原来的说法错误，不符合题意；
B、延长线段AB到点E，使BE＝AB，故原来的说法错误，不符合题意；
C、说法正确，符合题意；
D、连接两点间的线段的长度，叫作这两点间的距离，故说法错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了线段的性质，线段的作图，角的定义，两点间的距离的定义，属于基础题，需熟练掌握．
3．如图所示，将两个圆柱体紧靠在一起，从上面看这两个立体图形，得到的平面图形是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上面看左边是一个大圆，右边是一个小圆，
故选：A．
【点评】本题考查了认识立体图形，从上面看得到的图形是俯视图．
4．在一些商场、饭店或写字楼中，常常能看到一种三翼式旋转门在圆柱体的空间內旋转．旋转门的三片旋转翼把空间等分成三个部分，下图是从上面俯视旋转门的平面图，两片旋转翼之间的角度是（ ）
A．100° B．120° C．135° D．150°
【分析】一个旋转翼可以看成一个基本图形，360度÷3＝120度．
【解答】解：一个旋转翼可以看成一个基本图形，360度÷3＝120度，
故选：B．
【点评】本题考查了图形的旋转问题，要明确基本旋转图形，难度不大，但易错．
5．如图，下列关系式中与图不符合的式子是（ ）
A．AD﹣CD＝AB+BC B．AC﹣BC＝AD﹣BD
C．AC﹣BC＝AC+BD D．AD﹣AC＝BD﹣BC
【分析】根据线段之间的和差关系依次进行判断即可得出正确答案．
【解答】解：A、AD﹣CD＝AB+BC，正确，
B、AC﹣BC＝AD﹣BD，正确；
C、AC﹣BC＝AB，而AC+BD≠AB，故本选项错误；
D、AD﹣AC＝BD﹣BC，正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查线段之间的和差关系，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点．
6．某礼品包装商店提供了多种款式的包装纸片，将它们沿实线折叠（图案在包装纸片的外部，内部无图案），再用透明胶条粘合，就折成了正方体包装盒，小明用购买的纸片制作的包装盒如右图所示，在下列四种款式的纸片中，小明所选的款式的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】观察正方体的展开图中两种阴影部分的位置即可作出判断．
【解答】解：观察选项，只有选项D的展开图符合题意．
故选：D．
【点评】本题虽然是选择题，但答案的获得需要学生经历一定的实验操作过程，当然学生也可以将操作活动转化为思维活动，在头脑中模拟（想象）折纸、翻转活动，较好地考查了学生空间观念．另外，本题通过考查正方体的侧面展开图，展示了这样一个教学导向，教学中要让学生确实经历活动过程，而不要将活动层次停留于记忆水平．我们有些老师在教学“展开与折叠”时，不是去引导学生动手操作，而是给出几种结论，这样教出的学生肯定遇到动手操作题型时就束手无策了．
7．如图所示，用量角器度量一些角的度数．下列结论中正确的是（ ）
A．∠BOC＝60° B．∠COD＝150°
C．∠AOC与∠BOD的大小相等 D．∠AOC与∠BOD互余
【分析】由图形，根据角的度量和互余的定义可直接得出．
【解答】解：A、∠BOC＝120°，故选项错误；
B、∠COD＝150°﹣60°＝90°，故选项错误；
C、∠AOC＝60°，∠BOD＝30°，它们的大小不相等，故选项错误；
D、∠AOC+∠BOD＝90°，它们互余，故选项正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了余角和补角，角的度量，量角器的使用方法，正确使用量角器是解题的关键．
8．如图，点C在线段AB上，D是线段AC的中点．若CB＝2，CD＝3CB，则线段AB的长为（ ）
A．6 B．10 C．14 D．18
【分析】根据题意求出AD的长和DC的长，根据AB＝AD+CD+BC计算即可．
【解答】解：∵点D是线段AC的中点，
∴AD＝DC，
∵CB＝2，CD＝3CB，
∴CD＝AD＝6，
∴AB＝AD+CD+BC＝14．
故选：C．
【点评】本题考查的是两点间的距离线段中点的性质，灵活运用中点的性质是解题的关键，注意数形结合思想的正确运用．
9．下列四张正方形硬纸片，分别将阴影部分剪去后，再沿虚线折叠，其中可以围成一个封闭长方体包装盒的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据长方体的组成，通过结合立体图形与平面图形的相互转化，分别分析得出即可．
【解答】解：A、剪去阴影部分后，组成无盖的正方体，故此选项不合题意；
B、剪去阴影部分后，无法组成长方体，故此选项不合题意；
C、剪去阴影部分后，无法组成长方体，故此选项不合题意；
D、剪去阴影部分后，能组成长方体，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了展开图折叠成几何体，培养了学生的空间想象能力．
10．下列说法中，正确的是（ ）
①射线AB和射线BA是同一条射线；
②若AB＝BC，则点B为线段AC的中点；
③同角的补角相等；
④点C在线段AB上，M，N分别是线段AC，CB的中点．若MN＝5，则线段AB＝10．
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【分析】根据射线及线段的定义及特点可判断各项，从而得出答案．
【解答】解：①射线AB和射线BA不是同一条射线，错误；
②若AB＝BC，点B在线段AC上时，则点B为线段AC的中点，错误；
③同角的补角相等，正确；
④点C在线段AB上，M，N分别是线段AC，CB的中点．若MN＝5，则线段AB＝10，正确．
故选：D．
【点评】本题考查射线及线段的知识，注意基本概念的掌握是解题的关键．
11．用8个相同的小正方体搭成一个几何体，从上面看它得到的平面图形如图所示，那么从左面看它得到的平面图形一定不是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：A、加号的水平线上每个小正方形上面都有一个小正方形，故A正确；
B、加号的水平线上左边小正方形上有一个小正方形中间位置的小正方形上有两个小正方形，故B正确；
C、加号的竖直的线上最上边小正方形上有两个小正方形，故C错误；
D、加号的竖直的线上最上边小正方形上有两个小正方形，最下边的小正方形上有一个小正方形，故D正确；
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
12．在下面四个几何体中，从左面看、从上面看分别得到的平面图形是长方形、圆，这个几何体是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意可知：从左面看得到的平面图形是长方形是柱体，从上面看得到的平面图形是圆的是圆柱或圆锥，综合得出这个几何体为圆柱，由此选择答案即可．
【解答】解：从左面看得到的平面图形是长方形是柱体，符合条件的有A、C、D，
从上面看得到的平面图形是圆的是圆柱或圆锥，符合条件的有A、B，
综上所知这个几何体是圆柱．
故选：A．
【点评】此题考查由三视图判定几何体，掌握几何体的特征是正确选择的关键．
13．如图，将一个直角三角形板AOB的顶点O放在直线CD上，若∠AOC＝35°，则∠BOD等于（ ）
A．155° B．145° C．65° D．55°
【分析】根据平角定义可得∠AOC+∠BOD＝90°，再根据余角定义进行计算即可．
【解答】解：∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∴∠BOD＝90°﹣35°＝55°，
故选：D．
【点评】此题主要考查了余角，关键是掌握如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
14．小明制作了一个正方体包装盒，他在这个正方体包装盒的上面设计了一个“”标志，并在正方体的每个表面都画了黑色粗线，如图所示在下列图形中，是这个正方体包装盒的表面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据“”标志的位置，根据正方体展开图的特征即可求解．
【解答】解：根据正方体展开图的特征可知，
这个正方体包装盒的表面展开图是．
故选：D．
【点评】考查了几何体的展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
15．按语句“画出线段PQ的延长线”画图正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据线段的延长线的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、图形和语言符合，故本选项正确；
B、不是表示线段PQ的延长线，故本选项错误；
C、不是表示线段PQ的延长线，故本选项错误；
D、不是表示线段PQ的延长线，故本选项错误；
故选：A．
【点评】本题考查了对直线、射线、线段的应用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力．
16．如图所示的四条射线中，表示南偏西60°的是（ ）
A．射线OA B．射线OB C．射线OC D．射线OD
【分析】根据方向角的概念进行解答即可．
【解答】解：由图可知，射线OC表示南偏西60°．
故选：C．
【点评】本题考查的是方向角，熟知用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西是解答此题的关键．
17．如图，S是圆锥的顶点，AB是圆锥底面的直径，M是SA的中点．在圆锥的侧面上过点B，M嵌有一圈路径最短的金属丝，现将圆锥侧面沿SA剪开，所得圆锥的侧面展开图可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用圆锥侧面展开图的性质结合M为AS中点，并且将圆锥侧面沿SA剪开，进而得出符合题意的图形．
【解答】解：利用圆锥侧面展开图是扇形，再利用M是SA的中点，在圆锥的侧面上过点B，M嵌有一圈路径最短的金属丝，
现将圆锥侧面沿SA剪开，所得圆锥的侧面展开图可能是选项B．
故选：B．
【点评】此题主要考查了几何体的展开图，正确把握圆锥侧面展开图的性质是解题关键．
18．将一副直角三角尺按如图所示的不同方式摆放，则图中∠α与∠β相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】A、由图形可得两角互余，不合题意；
B、由图形得出两角的关系，即可做出判断；
C、根据图形可得出两角都为45°的邻补角，可得出两角相等；
D、由图形得出两角的关系，即可做出判断．
【解答】解：A、由图形得：α+β＝90°，不合题意；
B、由图形得：β+γ＝90°，α+γ＝60°，
可得β﹣α＝30°，不合题意；
C、由图形可得：α＝β＝180°﹣45°＝135°，符合题意；
D、由图形得：α+45°＝90°，β+30°＝90°，可得α＝45°，β＝60°，不合题意．
故选：C．
【点评】此题考查了角的计算，弄清图形中角的关系是解本题的关键．
二．填空题（共17小题）
19．45°25′的余角等于 44 ° 35 ′．
【分析】根据余角的定义，用90°减去45°25′即可．
【解答】解：45°25′的余角等于90°﹣45°25′＝44° 35'．
故答案为：44，35．
【点评】本题考查了余角的定义，正确进行角度的计算是关键．
20．如图，已知三个角α，β，γ，将这三个角按从大到小的顺序排列： β ， γ ， α ．
【分析】根据图形观察比较即可比较角的大小．
【解答】解：由图可得，β＞γ＞α．
∴三个角按从大到小的顺序排列为：β，γ，α．
故答案为：β，γ，α．
【点评】本题主要考查了角的大小比较，比较角的大小有两种方法：①测量法，即用量角器量角的度数，角的度数越大，角越大．②叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置．
21．一个由9个大小相同的正方体组成的立体图形如图所示，从左面观察这个立体图形，将得到的平面图形的示意图画在如下的画图区中．
【分析】根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左面观察这个立体图形，分别是2个正方形，1个正方形，1个正方形，如图所示：
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，关键是把握好三视图所看的方向，从左面看得到的图形是左视图．
22．线段AB＝6，在直线AB上截取线段BC＝3AB，D为线段AB的中点，E为线段BC的中点，那么线段DE的长为 6或12 ．
【分析】分类讨论：C在线段AB的延长线上，C在线段AB的反向延长线上，根据BC＝3AB，可得BC的长，根据中点的性质，可得BD，BE的长，根据线段的和差，可得答案．
【解答】解：C在线段AB的延长线上，如图1：
∵AB＝6，BC＝3AB，
∴BC＝18，
∵D为线段AB的中点，E为线段BC的中点，
BD＝AB＝3，BE＝BC＝9，
DE＝BD﹣BE＝9﹣3＝6；
C在线段AB的反向延长线上，如图2：
∵AB＝6，BC＝3AB，
∴BC＝18，
∵D为线段AB的中点，E为线段BC的中点，
BD＝AB＝3，BE＝BC＝9，
DE＝BD﹣BE＝9+3＝12．
故线段DE的长为6或12．
故答案为：6或12．
【点评】本题考查了两点间的距离，分类讨论是解题关键．
23．在一面墙上用一根钉子钉木条时，木条总是来回晃动；用两根钉子钉木条时，木条就会固定不动，用数学知识解释这两种生活现象为 两点确定一条直线 ．
【分析】根据直线的性质，两点确定一条直线解答．
【解答】解：用两根钉子钉木条时，木条就会固定不动，用数学知识解释这两种生活现象为：两点确定一条直线．
故答案为：两点确定一条直线．
【点评】本题主要考查直线的性质，掌握直线的性质：两点确定一条直线是解题的关键．
24．已知一个角的补角比这个角的一半多30°，设这个角的度数为x°，则列出的方程是： 180﹣x＝x+30 ．
【分析】设这个角的度数为x°，则这个角的补角为180°﹣x°，然后根据一个角的补角比这个角的一半多30°列出方程即可．
【解答】解：设这个角的度数为x°，则这个角的补角为180°﹣x°，
根据题意，得180﹣x＝x+30，
故答案为180﹣x＝x+30．
【点评】本题考查了补角，如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．掌握定义是解题的关键．
25．如图，点A，O，B在同一条直线上，射线OD平分∠BOC，射线OE在∠AOC的内部，且∠DOE＝90°，写出图中所有互为余角的角： ∠1与∠3，∠1与∠4，∠，2与∠3，∠2与∠4 ．
【分析】利用余角的定义直接数出结果即可．
【解答】解：图中所有互为余角的角：∠1与∠3，∠1与∠4，∠，2与∠3，∠2与∠4．
故答案为：∠1与∠3，∠1与∠4，∠，2与∠3，∠2与∠4．
【点评】本题考查了余角与补角、角平分线的定义，解题的关键是了解有关的定义，属于基础题，难度不大．
26．如图，一艘货轮位于O地，发现灯塔A在它的正北方向上，这艘货轮沿正东方向航行，到达B地，此时发现灯塔A在它的北偏西60°的方向上．
（1）在图中用直尺、量角器画出B地的位置；
（2）连接AB，若货轮位于O地时，货轮与灯塔A相距1.5千米，通过测量图中AB的长度，计算出货轮到达B地时与灯塔A的实际距离约为 3.0 千米（精确到0.1千米）．
【分析】（1）作∠OAB＝60°，即可得到点B的位置；
（2）依据∠ABO＝30°，即可得到AB＝2AO＝3.0km．
【解答】解：（1）如图所示，点B即为所求；
（2）由题可得，∠ABO＝30°，
∴AB＝2AO＝2×1.5＝3.0km．
故答案为：3.0
【点评】本题主要考查了方向角，方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．
27．角度换算：45.6°＝ 45 ° 36 ′．
【分析】根据大单位化小单位乘以进率，可得答案．
【解答】解：45.6°＝45°36′，
故答案为：45，36．
【点评】本题考查了度分秒的换算，利用大单位化小单位乘以进率是解题关键．
28．如图，∠AOB＝72°30′，射线OC在∠AOB内，∠BOC＝30°．
（1）∠AOC＝ 42°30′ ；
（2）在图中画出∠AOC的一个余角，要求这个余角以O为顶点，以∠AOC的一边为边．图中你所画出的∠AOC的余角是∠ AOD ，这个余角的度数等于 47°30′ ．
【分析】（1）根据图形进行角的计算即可；
（2）根据余角的概念作图、计算即可．
【解答】解：（1）∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝42°30′；
（2）如图，∠AOC的余角是∠AOD，
90°﹣42°30′＝47°30′．
故答案为：（1）42°30′；（2）AOD；47°30′．
【点评】本题考查的是余角和补角的概念以及角的计算，掌握两个角的和为90°，则这两个角互余是解题的关键．
29．若∠A＝45°30′，则∠A的补角等于 134°30′ ．
【分析】根据补角定义：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角可得答案．
【解答】解：∵∠A＝45°30′，
∴∠A的补角＝180°﹣45°30′＝179°60′﹣45°30′＝134°30′，
故答案为：134°30′．
【点评】此题主要考查了补角，关键是掌握补角定义．
30．如图，已知线段AB＝10cm，C是线段AB上一点，D是线段AC的中点，E是线段BC的中点，则DE的长是 5 cm．
【分析】根据线段中点的性质，可得CD、CE的长，根据线段的和差，可得答案．
【解答】解：由D是线段AC的中点，E是线段BC的中点，得
DC＝AC，CE＝BC．
由线段的和差，得
DC+CE＝AC+BC＝AB＝5（cm），
故答案为：5．
【点评】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质得出CD、CE的长，又利用线段的和差得出答案．
31．如图，把一个圆平均分为若干份，然后把它们全部剪开，拼成一个近似的平行四边形，若这个平行四边形的周长比圆的周长增加了4cm，则这个圆的半径是 2 cm，拼成的平行四边形的面积是 4π cm2．
【分析】把圆沿着它的半径平均分成若干份，然后把它拼成一个近似的长方形，这个长方形的周长比圆的周长多增加圆半径的2倍，因此用增加的周长4厘米除以2即可求出圆的半径，然后根据圆的周长和面积公式进行计算即可．
【解答】解：圆的半径是：
4÷2＝2（厘米）；
圆的面积是：π×22
＝4π（平方厘米）．
故答案为：2，4π．
【点评】此题考查列代数式，关键是明确拼成后的长方形的周长比圆的周长增加了圆半径的2倍，先求出圆的半径．
32．1883年，德国数学家格奥尔格•康托尔引入位于一条线段上的一些点的集合，它的做法如下：
取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，余下两条线段，达到第1阶段；将剩下的两条线段再分别三等分，各去掉中间一段，余下四条线段，达到第2阶段；再将剩四条线段，分别三等分，分别去掉中间一段，余下八条线段，达到第3阶段；…；这样的操作一直继续下去，在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，把这种分形，称作康托尔点集，如图是康托尔点集的最初几个阶段，当达到第5个阶段时，余下的线段的长度之和为 （）5 ；当达到第n个阶段时（n为正整数），余下的线段的长度之和为 （）n ．
【分析】根据题意具体表示出前几个式子，然后推而广之发现规律．
【解答】解：根据题意知：第一阶段时，余下的线段的长度之和为，
第二阶段时，余下的线段的长度之和为×＝（）2，
第三阶段时，余下的线段的长度之和为××＝（）3，
…
以此类推，
第五个阶段时，余下的线段的长度之和为（）5，
当达到第n个阶段时（n为正整数），余下的线段的长度之和为（）n．
故答案为：（）5；（）n．
【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出规律，解决问题．
33．计算：17°25′×4＝ 69°40' ．
【分析】把度、分分别乘以4，再满60进1，即可得出答案．
【解答】解：17°25′×4
＝68°100′
＝69°40′，
故答案为：69°40'．
【点评】本题考查了度分秒之间的换算的应用，注意：1°＝60′，1′＝60″．
34．如图，点C，D在线段AB上，且AC＝CD＝DB，点E是线段DB的中点．若CE＝9，则AB的长为 18 ．
【分析】根据线段中点的定义，可得AB＝AD+BD＝2（CD+DE）＝2CE，代入数据进行计算即可得解求出AB的长；再求出AC的长．
【解答】解：∵AC＝CD＝DB，点E是线段DB的中点，
∴AB＝AD+BD＝2（CD+DE）＝2CE＝18．
故答案为：18．
【点评】本题考查了两点间的距离，主要利用了线段中点的定义，比较简单，准确识图是解题的关键．
35．如图，P是平行四边形纸片ABCD的BC边上一点，以过点P的直线为折痕折叠纸片，使点C，D落在纸片所在平面上C′，D′处，折痕与AD边交于点M；再以过点P的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在C′P边上B′处，折痕与AB边交于点N．若∠MPC＝75°，则∠NPB′＝ 15 °．
【分析】由折叠的性质可知：∠MNC＝∠C′PM＝75°，∠C′PN＝∠BPN，再利用平角为180°，即可求出∠NPB′的度数．
【解答】解：由折叠的性质可知：∠MNC＝∠C′PM＝75°，∠C′PN＝∠BPN，
∴∠NPM＝2×75°＝150°，
∴∠C′PB＝30°，
由折叠的性质可知：∠C′PN＝∠BPN，
∴∠NPB′＝15°．
故答案为：15．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
三．解答题（共15小题）
36．已知：如图，点A，点B，点D在射线OM上，点C在射线ON上，∠O+∠OCA＝90°，∠O+∠OBC＝90°，CA平分∠OCD．
求证：∠ACD＝∠OBC．
请将下面的证明过程补充完整：
证明：∠O+∠OCA＝90°，∠O+∠OBC＝90°，
∴∠OCA＝∠ OBC ．
（理由： 同角的余角相等 ）
∵CA平分∠OCD
∴∠ACD＝ ∠OCA ．
（理由： 角平分线的定义 ）
∴∠ACD＝∠OBC．
（理由： 等量代换 ）．
【分析】根据余角的性质可得∠OCA＝∠OBC，根据角平分线的定义可得∠ACD＝∠OCA，再根据等量代换可得∠ACD＝∠OBC．
【解答】证明：∠O+∠OCA＝90°，∠O+∠OBC＝90°，
∴∠OCA＝∠OBC．
（理由：同角的余角相等）
∵CA平分∠OCD
∴∠ACD＝∠OCA．
（理由：角平分线的定义）
∴∠ACD＝∠OBC．
（理由：等量代换）．
故答案为：OBC，同角的余角相等，∠OCA，角平分线的定义，等量代换．
【点评】考查了余角和补角，角平分线的定义，解题的关键是得到∠OCA＝∠OBC，∠ACD＝∠OCA．
37．任务画图
已知：如图，在正方形网格中，∠AOB＝α．
任务：在网格中画出一个顶点为O且等于180°﹣2α的角．
要求：画图并标记符合要求的角，写出简要的画图步骤．（说明：可以借助网格、量角器）
【分析】先作点C关于OA的对称点D，据此知∠AOD＝∠AOB＝α，∠COD＝2α，再作平角∠DOE，可得∠BOE＝180°﹣2α．
【解答】解：如图所示，
①利用OB边上的格点C，在网格中画出∠AOB关于直线OA的对称的∠AOD，
则∠AOD＝∠AOB＝α，∠COD＝2α；
②画平角∠DOE，那么∠BOE＝180°﹣2α．
【点评】本题主要考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是掌握轴对称的性质和平角的定义及补角的定义．
38．如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为xA＝﹣5和xB＝6，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在B，A之间往返运动．设运动时间为t秒．
（1）当t＝2时，点P对应的有理数xP＝ ﹣3 ，PQ＝ 5 ；
（2）当0＜t≤11时，若原点O恰好是线段PQ的中点，求t的值；
（3）我们把数轴上的整数对应的点称为“整点”，当P，Q两点第一次在整点处重合时，直接写出此整点对应的数．
【分析】（1）根据数轴上的点右加左减的运动规律以及路程＝速度×时间，求出当t＝2时，点P对应的有理数xP，点Q对应的有理数xQ，再根据两点间的距离公式求出PQ；
（2）当0＜t≤11时，点P运动的最远路径为数轴上从点A到点B，点Q运动的最远路径为数轴上从点B到点A并且折返回到点B．由于点Q从点B运动到点A需要5.5秒，可判断原点O恰好是线段PQ的中点时t≠5.5．再分两种情况进行讨论：①当0＜t＜5.5时，由OP＝OQ，列出方程|5﹣t|＝|6﹣2t|，求出t，根据P，Q两点必须在原点两侧确定t＝1；②当5.5＜t≤11时，根据OP＝OQ列出方程t﹣5＝16﹣2t，求出t检验即可；
（3）当P，Q两点重合时，点Q运动的方向有两种．当0＜t＜5.5时，P与Q相遇，求出相遇时间，再求出相遇点对应的数，如果是整数即为所求，如果不是整数舍去；再求当5.5＜t≤11时，点Q追上点P需要的时间，进而求出追击点对应的数即可．
【解答】解：（1）当t＝2时，点P对应的有理数xP＝﹣5+1×2＝﹣3，
点Q对应的有理数xQ＝6﹣2×2＝2，
∴PQ＝2﹣（﹣3）＝5．
故答案为﹣3，5；
（2）∵xA＝﹣5，xB＝6，
∴OA＝5，OB＝6．
由题意可知，当0＜t≤11时，点P运动的最远路径为数轴上从点A到点B，点Q运动的最远路径为数轴上从点B到点A并且折返回到点B．
对于点P，因为它的运动速度vP＝1，点P从点A运动到点O需要5秒，运动到点B需要11秒．
对于点Q，因为它的运动速度vQ＝2，点Q从点B运动到点O需要3秒，运动到点A需要5.5秒，返回到点B需要11秒．
要使原点O恰好是线段PQ的中点，需要P，Q两点分别在原点O的两侧，且OP＝OQ，此时t≠5.5．
①当0＜t＜5.5时，点Q运动还未到点A，有AP＝t，BQ＝2t．
此时OP＝|5﹣t|，OQ＝|6﹣2t|．
∵原点O恰好是线段PQ的中点，
∴OP＝OQ，
∴|5﹣t|＝|6﹣2t|，
解得t＝1或t＝．
检验：当t＝时，P，Q两点重合，且都在原点O左侧，不合题意舍去；t＝1符合题意．
∴t＝1；
②当5.5＜t≤11时，点P在数轴上原点右侧，点Q已经沿射线BA方向运动到点A后折返，要使原点O恰好是线段PQ的中点，点Q必须位于原点O左侧，此时P，Q两点的大致位置如下图所示．
此时，OP＝AP﹣OA＝t﹣5，OQ＝OA﹣AQ＝5﹣2（t﹣5.5）＝16﹣2t．
∵原点O恰好是线段PQ的中点，
∴OP＝OQ，
∴t﹣5＝16﹣2t，
解得t＝7．
检验：当t＝7时符合题意．
∴t＝7．
综上可知，t＝1或7；
（3）①当0＜t＜5.5时，点Q运动还未到点A，当P，Q两点重合时，P与Q相遇，此时需要的时间为：秒，
相遇点对应的数为﹣5+＝﹣，不是整点，不合题意舍去；
②当5.5＜t≤11时，点P在数轴上原点右侧，点Q已经沿射线BA方向运动到点A后折返，当P，Q两点重合时，点Q追上点P，AQ＝AP，
2（t﹣5.5）＝t，解得t＝11，
追击点对应的数为﹣5+11＝6．
故当P，Q两点第一次在整点处重合时，此整点对应的数为6．
【点评】本题结合动点考查了一元一次方程的运用，相遇问题的数量关系的运用，追击问题的数量关系的运用，数轴，由行程问题的数量关系建立方程以及正确进行分类讨论是解题的关键．
39．已知AB＝10，点C在射线 AB上，且BC＝AB，D为AC的中点．
（1）依题意，画出图形；
（2）直接写出线段BD的长．
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）根据图形求出AC长，再求出AD的长，即可求出BD．
【解答】解：（1）有两种情况：如图：，
；
（2）①如图1所示，
∵AB＝10，BC＝AB＝5，
∴AC＝AB﹣BC＝10﹣5＝5，
∵D是线段AC的中点，
∴AD＝AC＝×5＝2.5，
∴BD＝AB﹣AD＝10﹣2.5＝7.5；
②如图2所示，
∵AB＝10，BC＝5，
∴AC＝AB+BC＝10+5＝15，
∵D是线段AC的中点，
∴AD＝AC＝×15＝7.5，
∴BD＝AB﹣AD＝10﹣7.5＝2.5．
【点评】本题考查的是两点间的距离，解答此题时要注意应用分类讨论的思想，不要漏解
40．如图，A，O，B三点在同一直线上，∠BOD与∠BOC互补．
（1）试判断∠AOC与∠BOD之间有怎样的数量关系，写出你的结论，并加以证明；
（2）OM平分∠AOC，ON平分∠AOD，
①依题意，将备用图补全；
②若∠MON＝40°，求∠BOD的度数．
【分析】（1）根据补角的性质即可求解；
（2）①根据角平分线的作法作出图形即可求解；
②可设∠BOD的度数为x°，根据角平分线的定义以及等量关系列出方程求解即可．．
【解答】解：（1）∠AOC＝∠BOD，
∵∠BOD与∠BOC互补，
∴∠BOD+∠BOC＝180°，
∵∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠AOC＝∠BOD；
（2）①如图所示：
②设∠BOD的度数为x°，依题意有
x+2（x+40）＝180，
解得x＝50．
故∠BOD的度数是50°．
【点评】本题考查的是角的有关计算和角平分线的定义，正确理解并灵活运用角平分线的定义是解题的关键．
41．如图，点C在射线OA上，CE平分∠ACD．OF平分∠COB并与射线CD交于点F．
（1）依题意补全图形；
（2）若∠COB+∠OCD＝180°，求证：∠ACE＝∠COF．
请将下面的证明过程补充完整．
证明：∵CE平分∠ACD，OF平分∠COB，
∴∠ACE＝ ∠ACD ，∠COF＝∠COB．
（理由： 角平分线的定义 ）
∵点C在射线OA上，
∴∠ACD+∠OCD＝180°．
∵∠COB+∠OCD＝180°，
∴∠ACD＝∠ COB ．
（理由： 同角的补角相等 ）
∴∠ACE＝∠COF．
【分析】（1）根据题意补全图形即可；
（2）根据角平分线的定义得到∠ACE＝∠ACD，∠COF＝∠COB．根据同角的补角相等得到∠ACE＝∠COF．
【解答】解：（1）补全图形，如图所示，
（2）证明：∵CE平分∠ACD，OF平分∠COB，
∴∠ACE＝∠ACD，∠COF＝∠COB．
（理由：角平分线的定义）
∵点C在射线OA上，
∴∠ACD+∠OCD＝180°．
∵∠COB+∠OCD＝180°，
∴∠ACD＝∠COB．
（理由：同角的补角相等）
∴∠ACE＝∠COF．
故答案为：∠ACD，角平分线的定义，COB，同角的补角相等．
【点评】本题考查了角的计算，角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．
42．A，B两点在数轴上的位置如图所示，其中点A对应的有理数为﹣4，且AB＝10．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）当t＝1时，AP的长为 2 ，点P表示的有理数为 ﹣2 ；
（2）当PB＝2时，求t的值；
（3）M为线段AP的中点，N为线段PB的中点．在点P运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长．
【分析】（1）根据题意知AP＝2t，点P表示的有理数为﹣4+2t，将t＝1代入即可求得；
（2）由AB＝10、AP＝2t知PB＝10﹣2t，根据PB＝2得出关于t的方程，解之即可得；
（3）分类讨论：①当点P在点A、B两点之间运动时，②当点P运动到点B的左侧时，利用中点的定义和线段的和差易求出MN．
【解答】解：（1）设运动时间为t秒，
则AP＝2t，点P表示的有理数为﹣4+2t，
当t＝1时，AP＝2，点P表示的有理数为﹣4+2＝﹣2，
故答案为：2，﹣2；
（2）当点P在点B左侧时，
∵AB＝10，AP＝2t，
∴PB＝10﹣2t，
由题意得：10﹣2t＝2，
解得：t＝4；
当点P在点B右侧时，由题意可得2t﹣10＝2，
解得：t＝6；
综上，t＝4或6．
（3）如图1，当点P在线段AB上时，
MN＝MP+PN＝AP+PB＝（AP+PB）＝AB＝5；
如图2，当点P在AB延长线上时，
MN＝MP﹣BP＝AP﹣PB＝（AP﹣PB）＝AB＝5；
综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为5．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用和数轴，解题关键是根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
43．如图，∠CDE+∠CED＝90°，EM平分∠CED，并与CD边交于点M．DN平分∠CDE，并与EM交于点N．
（1）依题意补全图形，并猜想∠EDN+∠NED的度数等于 45° ；
（2）证明以上结论．
证明：∵DN平分∠CDE，EM平分∠CED，
∴∠EDN＝，∠NED＝ CED ．（理由： 角平分线的定义 ）
∵∠CDE+∠CED＝90°，
∴∠EDN+∠NED＝ ×（∠ CDE +∠ CED ）＝ ×90°＝ 45 °．
【分析】（1）根据题意画出图形，然后由角平分线的定义可求得∠EDN+∠NED＝45°；
（2）根据角平分线的定义以及证明过程进行填写即可．
【解答】（1）解：如图所示：
猜想∠EDN+∠NED＝45°．
（2）证明：∵DN平分∠CDE，EM平分∠CED，
∴∠EDN＝，∠NED＝CED．（理由：角平分线的定义），
∵∠CDE+∠CED＝90°，
∴∠EDN+∠NED＝（∠CDE+∠CED）＝＝45°．
故答案为：（1）45°；（2）CED；角平分线的定义；；CDE；CED；；45．
【点评】本题主要考查的是角的计算、角平分线的定义，逆用乘法的分配律求得∠EDN+∠NED＝（∠CDE+∠CED）是解题的关键．
44．如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为10和15，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点Q同时从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒．
（1）当0＜t＜5时，用含t的式子填空：BP＝ 5﹣t ，AQ＝ 10﹣2t ；
（2）当t＝2时，求PQ的值；
（3）当PQ＝时，求t的值．
【分析】（1）先求出当0＜t＜5时，P点对应的有理数为10+t＜15，Q点对应的有理数为2t＜10，再根据两点间的距离公式即可求出BP，AQ的长；
（2）先求出当t＝2时，P点对应的有理数为10+2＝12，Q点对应的有理数为2×2＝4，再根据两点间的距离公式即可求出PQ的长；
（3）由于t秒时，P点对应的有理数为10+t，Q点对应的有理数为2t，根据两点间的距离公式得出PQ＝|2t﹣（10+t）|＝|t﹣10|，根据PQ＝列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵当0＜t＜5时，P点对应的有理数为10+t＜15，Q点对应的有理数为2t＜10，
∴BP＝15﹣（10+t）＝5﹣t，AQ＝10﹣2t．
故答案为5﹣t，10﹣2t；
（2）当t＝2时，P点对应的有理数为10+2＝12，Q点对应的有理数为2×2＝4，
所以PQ＝12﹣4＝8；
（3）∵t秒时，P点对应的有理数为10+t，Q点对应的有理数为2t，
∴PQ＝|2t﹣（10+t）|＝|t﹣10|，
∵PQ＝，
∴|t﹣10|＝2.5，
解得t＝12.5或7.5．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，（3）中解方程时要注意分两种情况进行讨论．
45．如图，∠A+∠B＝90°，点D在线段AB上，点E在线段AC上，DF平分∠BDE，DF与BC交于点F．
（1）依题意补全图形；
（2）若∠B+∠BDF＝90°，求证：∠A＝∠EDF．
证明：∵∠A+∠B＝90°，∠B+∠BDF＝90°
∴ ∠A＝∠BDF （理由： 同角的余角相等 ）
又∵ DF平分∠BDE ．
∴∠BDF＝∠EDF（理由： 角平分线定义 ）
∴∠A＝∠EDF．
【分析】（1）画出DF平分∠BDE；
（2）首先根据∠A+∠B＝90°，∠B+∠BDF＝90°可得∠A＝∠BDF，再根据DF平分∠BDE可得∠BDF＝∠EDF，进而可得∠A＝∠EDF．
【解答】（1）解：如图所示：
（2）证明：∵∠A+∠B＝90°，∠B+∠BDF＝90°
∴∠A＝∠BDF（同角的余角相等），
又∵DF平分∠BDE，
∴∠BDF＝∠EDF（角平分线定义），
∴∠A＝∠EDF．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质，以及余角的性质，关键是掌握等角的补角相等．等角的余角相等．
46．已知A，B，C三点在同一条数轴上．
（1）若点A，B表示的数分别为﹣4，2，且BC＝AB，则点C表示的数是 ﹣1或5 ；
（2）点A，B表示的数分别为m，n，且m＜n．
①若AC﹣AB＝2，求点C表示的数（用含m，n的式子表示）；
②点D是这条数轴上的一个动点，且点D在点A的右侧（不与点B重合），当AD＝2AC，BC＝BD，求线段AD的长（用含m，n的式子表示）．
【分析】（1）设点C表示的数是x．由BC＝AB列出方程|x﹣2|＝×（2+4），解方程即可；
（2）设点C表示的数是x．
①分两种情况进行讨论：Ⅰ）当点C在点B的右侧时，如图1所示，由AC﹣AB＝2列出方程（x﹣m）﹣（n﹣m）＝2，解方程即可；Ⅱ）当点C在点A的左侧时，如图2所示，由AC﹣AB＝2列出方程（m﹣x）﹣（n﹣m）＝2，解方程即可；
②由AD＝2AC，可得点C在线段AD上或点C在点A的左侧．当动点D在线段AB上时，无论C在任何位置均不合题意；当动点D在点B的右侧时，分三种讨论进行情况：Ⅰ）当点C在线段BD的延长线上时，点C为线段AD的中点，当点C在线段BD上时，如图3所示，则AD＝3n﹣3m；Ⅱ）当点C在线段AB上时，如图4所示，则AD＝n﹣m；Ⅲ）当点C在点A左侧时，不合题意．
【解答】解：（1）设点C表示的数是x．
∵点A，B表示的数分别为﹣4，2，且BC＝AB，
∴|x﹣2|＝×（2+4），
解得x＝﹣1或5．
故答案为﹣1或5；
（2）设点C表示的数是x，由m＜n，可得点A在点B的左侧，AB＝n﹣m．
①由AC﹣AB＝2，得AC＞AB．分两种情况：
Ⅰ）当点C在点B的右侧时，如图1所示，此时AC＝x﹣m．
∵AC﹣AB＝2，
∴（x﹣m）﹣（n﹣m）＝2，
解得x＝n+2．
∴点C表示的数是n+2；
Ⅱ）当点C在点A的左侧时，如图2所示，此时AC＝m﹣x．
∵AC﹣AB＝2，
∴（m﹣x）﹣（n﹣m）＝2，
解得x＝2m﹣n﹣2．
∴点C表示的数是2m﹣n﹣2．
综上，点C表示的数是n+2，2m﹣n﹣2；
②由AD＝2AC，可得点C在线段AD上或点C在点A的左侧．
当动点D在线段AB上时，无论C在任何位置均不合题意；
当动点D在点B的右侧时，分三种情况：
Ⅰ）当点C在线段BD的延长线上时，点C为线段AD的中点，
当点C在线段BD上时，如图3所示，
则AD＝3n﹣3m；
Ⅱ）当点C在线段AB上时，如图4所示，
则AD＝n﹣m；
Ⅲ）当点C在点A左侧时，不合题意．
综上所述，线段AD的长为3n﹣3m或n﹣m．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
47．（1）如图1，D是线段BC的中点，三角形ABC的面积与三角形ABD的面积比为 2：1 ；
（2）如图2，将网络图中的梯形ABCD分成三个三角形，使它们的面积比是1：2：3．
【分析】（1）根据等高的三角形的面积的比等于底边的比解答；
（2）根据平行线间的距离相等可得AD、BC间的距离相等，然后根据等高的三角形的面积的比等于底边的比解答．
【解答】解：（1）∵D是线段BC的中点，
∴BC＝2BD，
∴△ABC的面积与△ABD的面积比2：1；
故答案为：2：1；
（2）如图，S△ABE：S△ADE：S△CDE＝1：2：3．
【点评】本题考查了三角形的面积，主要利用了等高的三角形的面积的比等于底边的比，需熟记．
48．问题：如图，点C是线段AB的中点，点D在线段CB上，点E是线段AD的中点．若EC＝8，求线段DB的长．请补全以下解答过程．
解：∵点C是线段AB的中点， 点E是线段AD的中点 ，
∴AB＝2AC，AD＝2AE．
∵DB＝AB﹣ AD ，
∴DB＝ 2AC ﹣2AE＝2（AC﹣AE）＝2EC．
∵EC＝8，
∴DB＝ 16 ．
【分析】先根据点C是线段AB的中点，点E是线段AD的中点，得到AB＝2AC，AD＝2AE，再根据DB＝AB﹣AD，等量代换可得DB＝2EC，进而求出线段DB的长．
【解答】解：∵点C是线段AB的中点，点E是线段AD的中点，
∴AB＝2AC，AD＝2AE．
∵，
∴＝2（AC﹣AE）＝2EC．
∵EC＝8，
∴．
【点评】本题考查的是两点间的距离，解答此类问题时要注意各线段之间的和、差关系．
49．已知∠AOB＝α（30°＜α＜45°），∠AOB的余角为∠AOC，∠AOB的补角为∠BOD，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．
（1）如图，当α＝40°，且射线OM在∠AOB的外部时，用直尺、量角器画出射线OD，ON的准确位置；
（2）求（1）中∠MON的度数，要求写出计算过程；
（3）当射线OM在∠AOB的内部时，用含α的代数式表示∠MON的度数．（直接写出结果即可）
【分析】（1）分射线OA在∠BOD的外部和内部两种情况作出图形；
（2）根据互为余角和补角的定义求出∠AOC和∠BOD的度数，再根据角平分线的定义可得∠MOA＝∠AOC，∠BON＝∠BOD，然后根据图形，分∠MON＝∠MOA+∠AOB+∠BON和∠MON＝∠NOB﹣∠MOA﹣∠AOB分别代入数据进行计算即可得解；
（3）分射线OA在∠BOD的外部和内部两种情况解答．
【解答】解：（1）如图1，图2所示；
（2）∵∠AOB＝40°，∠AOB的余角为∠AOC，∠AOB的补角为∠BOD，
∴∠AOC＝90°﹣∠AOB＝50°，∠BOD＝180°﹣∠AOB＝140°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠MOA＝∠AOC＝×50°＝25°，∠BON＝∠BOD＝×140°＝70°，
①如图1，∠MON＝∠MOA+∠AOB+∠BON＝25°+40°+70°＝135°，
②如图2，∠MON＝∠NOB﹣∠MOA﹣∠AOB＝70°﹣25°﹣40°＝5°，
∴∠MON＝135°或5°；
（3）∠MON＝α+45°或135°﹣2α．
【点评】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，难点在于要分情况讨论求解，作出图形更形象直观．
50．操作题
如图1，是一个由53个大小相同的小正方体堆成的立体图形，从正面观察这个立体图形得到的平面图形如图2所示．
①请在图3、图4中依次画出从左面、上面观察这个立体图形得到的平面图形；
②保持这个立体图形中最底层的小正方体不动，从其余部分中取走k个小正方体，得到一个新的立体图形．如果依次从正面、左面、上面观察新的立体图形，所得到的平面图形分别与图2、图3、图4是一样的，那么k的最大值为 16 ．
【分析】①从左面看：共有4列，从左往右分别有5，5，3，2个小正方形；从上面看：共分6列，从左往右分别有4，4，4，3，2，1个小正方形；
②由已知条件可知，主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．据此即可求解．
【解答】解：①从左面、上面观察这个立体图形得到的平面图形分别如图3，图4所示．
②k的最大值为4+5+3+3+1＝16．
故答案为：16．
【点评】本题考查几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．
2020北京西城初一（上）期末数学备考训练几何初步（教师版）
一．选择题（共18小题）
1．如图1，南非曾发行过一个可折叠邮政包装箱的邮票小全张，将其中包装箱的展开图截下，并按图1中左下角所示方法进行折叠，使画面朝外，那么与图2中图案所在的面相对的面上的图案是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】在正方体的“1，4，1”类型的展开图中，上面的1和下面的1是相对的2个面，4个面中相对两个面之间间隔一个面．
【解答】解：根据正方体的展开图，可得与图2中图案所在的面相对的面上的图案为：
故选：A．
【点评】本题考查了正方体的展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
2．以下说法正确的是（ ）
A．两点之间直线最短
B．延长直线AB到点E，使BE＝AB
C．钝角的一半一定不会小于45°
D．连接两点间的线段就是这两点的距离
【分析】根据线段的性质判断A；根据线段的作法判断B；根据角的定义判断C；根据两点间的距离的定义判断D．
【解答】解：A、两点之间线段最短，故原来的说法错误，不符合题意；
B、延长线段AB到点E，使BE＝AB，故原来的说法错误，不符合题意；
C、说法正确，符合题意；
D、连接两点间的线段的长度，叫作这两点间的距离，故说法错误，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了线段的性质，线段的作图，角的定义，两点间的距离的定义，属于基础题，需熟练掌握．
3．如图所示，将两个圆柱体紧靠在一起，从上面看这两个立体图形，得到的平面图形是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：从上面看左边是一个大圆，右边是一个小圆，
故选：A．
【点评】本题考查了认识立体图形，从上面看得到的图形是俯视图．
4．在一些商场、饭店或写字楼中，常常能看到一种三翼式旋转门在圆柱体的空间內旋转．旋转门的三片旋转翼把空间等分成三个部分，下图是从上面俯视旋转门的平面图，两片旋转翼之间的角度是（ ）
A．100° B．120° C．135° D．150°
【分析】一个旋转翼可以看成一个基本图形，360度÷3＝120度．
【解答】解：一个旋转翼可以看成一个基本图形，360度÷3＝120度，
故选：B．
【点评】本题考查了图形的旋转问题，要明确基本旋转图形，难度不大，但易错．
5．如图，下列关系式中与图不符合的式子是（ ）
A．AD﹣CD＝AB+BC B．AC﹣BC＝AD﹣BD
C．AC﹣BC＝AC+BD D．AD﹣AC＝BD﹣BC
【分析】根据线段之间的和差关系依次进行判断即可得出正确答案．
【解答】解：A、AD﹣CD＝AB+BC，正确，
B、AC﹣BC＝AD﹣BD，正确；
C、AC﹣BC＝AB，而AC+BD≠AB，故本选项错误；
D、AD﹣AC＝BD﹣BC，正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查线段之间的和差关系，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点．
6．某礼品包装商店提供了多种款式的包装纸片，将它们沿实线折叠（图案在包装纸片的外部，内部无图案），再用透明胶条粘合，就折成了正方体包装盒，小明用购买的纸片制作的包装盒如右图所示，在下列四种款式的纸片中，小明所选的款式的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】观察正方体的展开图中两种阴影部分的位置即可作出判断．
【解答】解：观察选项，只有选项D的展开图符合题意．
故选：D．
【点评】本题虽然是选择题，但答案的获得需要学生经历一定的实验操作过程，当然学生也可以将操作活动转化为思维活动，在头脑中模拟（想象）折纸、翻转活动，较好地考查了学生空间观念．另外，本题通过考查正方体的侧面展开图，展示了这样一个教学导向，教学中要让学生确实经历活动过程，而不要将活动层次停留于记忆水平．我们有些老师在教学“展开与折叠”时，不是去引导学生动手操作，而是给出几种结论，这样教出的学生肯定遇到动手操作题型时就束手无策了．
7．如图所示，用量角器度量一些角的度数．下列结论中正确的是（ ）
A．∠BOC＝60° B．∠COD＝150°
C．∠AOC与∠BOD的大小相等 D．∠AOC与∠BOD互余
【分析】由图形，根据角的度量和互余的定义可直接得出．
【解答】解：A、∠BOC＝120°，故选项错误；
B、∠COD＝150°﹣60°＝90°，故选项错误；
C、∠AOC＝60°，∠BOD＝30°，它们的大小不相等，故选项错误；
D、∠AOC+∠BOD＝90°，它们互余，故选项正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了余角和补角，角的度量，量角器的使用方法，正确使用量角器是解题的关键．
8．如图，点C在线段AB上，D是线段AC的中点．若CB＝2，CD＝3CB，则线段AB的长为（ ）
A．6 B．10 C．14 D．18
【分析】根据题意求出AD的长和DC的长，根据AB＝AD+CD+BC计算即可．
【解答】解：∵点D是线段AC的中点，
∴AD＝DC，
∵CB＝2，CD＝3CB，
∴CD＝AD＝6，
∴AB＝AD+CD+BC＝14．
故选：C．
【点评】本题考查的是两点间的距离线段中点的性质，灵活运用中点的性质是解题的关键，注意数形结合思想的正确运用．
9．下列四张正方形硬纸片，分别将阴影部分剪去后，再沿虚线折叠，其中可以围成一个封闭长方体包装盒的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据长方体的组成，通过结合立体图形与平面图形的相互转化，分别分析得出即可．
【解答】解：A、剪去阴影部分后，组成无盖的正方体，故此选项不合题意；
B、剪去阴影部分后，无法组成长方体，故此选项不合题意；
C、剪去阴影部分后，无法组成长方体，故此选项不合题意；
D、剪去阴影部分后，能组成长方体，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了展开图折叠成几何体，培养了学生的空间想象能力．
10．下列说法中，正确的是（ ）
①射线AB和射线BA是同一条射线；
②若AB＝BC，则点B为线段AC的中点；
③同角的补角相等；
④点C在线段AB上，M，N分别是线段AC，CB的中点．若MN＝5，则线段AB＝10．
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【分析】根据射线及线段的定义及特点可判断各项，从而得出答案．
【解答】解：①射线AB和射线BA不是同一条射线，错误；
②若AB＝BC，点B在线段AC上时，则点B为线段AC的中点，错误；
③同角的补角相等，正确；
④点C在线段AB上，M，N分别是线段AC，CB的中点．若MN＝5，则线段AB＝10，正确．
故选：D．
【点评】本题考查射线及线段的知识，注意基本概念的掌握是解题的关键．
11．用8个相同的小正方体搭成一个几何体，从上面看它得到的平面图形如图所示，那么从左面看它得到的平面图形一定不是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：A、加号的水平线上每个小正方形上面都有一个小正方形，故A正确；
B、加号的水平线上左边小正方形上有一个小正方形中间位置的小正方形上有两个小正方形，故B正确；
C、加号的竖直的线上最上边小正方形上有两个小正方形，故C错误；
D、加号的竖直的线上最上边小正方形上有两个小正方形，最下边的小正方形上有一个小正方形，故D正确；
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．
12．在下面四个几何体中，从左面看、从上面看分别得到的平面图形是长方形、圆，这个几何体是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意可知：从左面看得到的平面图形是长方形是柱体，从上面看得到的平面图形是圆的是圆柱或圆锥，综合得出这个几何体为圆柱，由此选择答案即可．
【解答】解：从左面看得到的平面图形是长方形是柱体，符合条件的有A、C、D，
从上面看得到的平面图形是圆的是圆柱或圆锥，符合条件的有A、B，
综上所知这个几何体是圆柱．
故选：A．
【点评】此题考查由三视图判定几何体，掌握几何体的特征是正确选择的关键．
13．如图，将一个直角三角形板AOB的顶点O放在直线CD上，若∠AOC＝35°，则∠BOD等于（ ）
A．155° B．145° C．65° D．55°
【分析】根据平角定义可得∠AOC+∠BOD＝90°，再根据余角定义进行计算即可．
【解答】解：∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∴∠BOD＝90°﹣35°＝55°，
故选：D．
【点评】此题主要考查了余角，关键是掌握如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．
14．小明制作了一个正方体包装盒，他在这个正方体包装盒的上面设计了一个“”标志，并在正方体的每个表面都画了黑色粗线，如图所示在下列图形中，是这个正方体包装盒的表面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据“”标志的位置，根据正方体展开图的特征即可求解．
【解答】解：根据正方体展开图的特征可知，
这个正方体包装盒的表面展开图是．
故选：D．
【点评】考查了几何体的展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
15．按语句“画出线段PQ的延长线”画图正确的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据线段的延长线的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、图形和语言符合，故本选项正确；
B、不是表示线段PQ的延长线，故本选项错误；
C、不是表示线段PQ的延长线，故本选项错误；
D、不是表示线段PQ的延长线，故本选项错误；
故选：A．
【点评】本题考查了对直线、射线、线段的应用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力．
16．如图所示的四条射线中，表示南偏西60°的是（ ）
A．射线OA B．射线OB C．射线OC D．射线OD
【分析】根据方向角的概念进行解答即可．
【解答】解：由图可知，射线OC表示南偏西60°．
故选：C．
【点评】本题考查的是方向角，熟知用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西是解答此题的关键．
17．如图，S是圆锥的顶点，AB是圆锥底面的直径，M是SA的中点．在圆锥的侧面上过点B，M嵌有一圈路径最短的金属丝，现将圆锥侧面沿SA剪开，所得圆锥的侧面展开图可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用圆锥侧面展开图的性质结合M为AS中点，并且将圆锥侧面沿SA剪开，进而得出符合题意的图形．
【解答】解：利用圆锥侧面展开图是扇形，再利用M是SA的中点，在圆锥的侧面上过点B，M嵌有一圈路径最短的金属丝，
现将圆锥侧面沿SA剪开，所得圆锥的侧面展开图可能是选项B．
故选：B．
【点评】此题主要考查了几何体的展开图，正确把握圆锥侧面展开图的性质是解题关键．
18．将一副直角三角尺按如图所示的不同方式摆放，则图中∠α与∠β相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】A、由图形可得两角互余，不合题意；
B、由图形得出两角的关系，即可做出判断；
C、根据图形可得出两角都为45°的邻补角，可得出两角相等；
D、由图形得出两角的关系，即可做出判断．
【解答】解：A、由图形得：α+β＝90°，不合题意；
B、由图形得：β+γ＝90°，α+γ＝60°，
可得β﹣α＝30°，不合题意；
C、由图形可得：α＝β＝180°﹣45°＝135°，符合题意；
D、由图形得：α+45°＝90°，β+30°＝90°，可得α＝45°，β＝60°，不合题意．
故选：C．
【点评】此题考查了角的计算，弄清图形中角的关系是解本题的关键．
二．填空题（共17小题）
19．45°25′的余角等于 44 ° 35 ′．
【分析】根据余角的定义，用90°减去45°25′即可．
【解答】解：45°25′的余角等于90°﹣45°25′＝44° 35'．
故答案为：44，35．
【点评】本题考查了余角的定义，正确进行角度的计算是关键．
20．如图，已知三个角α，β，γ，将这三个角按从大到小的顺序排列： β ， γ ， α ．
【分析】根据图形观察比较即可比较角的大小．
【解答】解：由图可得，β＞γ＞α．
∴三个角按从大到小的顺序排列为：β，γ，α．
故答案为：β，γ，α．
【点评】本题主要考查了角的大小比较，比较角的大小有两种方法：①测量法，即用量角器量角的度数，角的度数越大，角越大．②叠合法，即将两个角叠合在一起比较，使两个角的顶点及一边重合，观察另一边的位置．
21．一个由9个大小相同的正方体组成的立体图形如图所示，从左面观察这个立体图形，将得到的平面图形的示意图画在如下的画图区中．
【分析】根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：从左面观察这个立体图形，分别是2个正方形，1个正方形，1个正方形，如图所示：
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，关键是把握好三视图所看的方向，从左面看得到的图形是左视图．
22．线段AB＝6，在直线AB上截取线段BC＝3AB，D为线段AB的中点，E为线段BC的中点，那么线段DE的长为 6或12 ．
【分析】分类讨论：C在线段AB的延长线上，C在线段AB的反向延长线上，根据BC＝3AB，可得BC的长，根据中点的性质，可得BD，BE的长，根据线段的和差，可得答案．
【解答】解：C在线段AB的延长线上，如图1：
∵AB＝6，BC＝3AB，
∴BC＝18，
∵D为线段AB的中点，E为线段BC的中点，
BD＝AB＝3，BE＝BC＝9，
DE＝BD﹣BE＝9﹣3＝6；
C在线段AB的反向延长线上，如图2：
∵AB＝6，BC＝3AB，
∴BC＝18，
∵D为线段AB的中点，E为线段BC的中点，
BD＝AB＝3，BE＝BC＝9，
DE＝BD﹣BE＝9+3＝12．
故线段DE的长为6或12．
故答案为：6或12．
【点评】本题考查了两点间的距离，分类讨论是解题关键．
23．在一面墙上用一根钉子钉木条时，木条总是来回晃动；用两根钉子钉木条时，木条就会固定不动，用数学知识解释这两种生活现象为 两点确定一条直线 ．
【分析】根据直线的性质，两点确定一条直线解答．
【解答】解：用两根钉子钉木条时，木条就会固定不动，用数学知识解释这两种生活现象为：两点确定一条直线．
故答案为：两点确定一条直线．
【点评】本题主要考查直线的性质，掌握直线的性质：两点确定一条直线是解题的关键．
24．已知一个角的补角比这个角的一半多30°，设这个角的度数为x°，则列出的方程是： 180﹣x＝x+30 ．
【分析】设这个角的度数为x°，则这个角的补角为180°﹣x°，然后根据一个角的补角比这个角的一半多30°列出方程即可．
【解答】解：设这个角的度数为x°，则这个角的补角为180°﹣x°，
根据题意，得180﹣x＝x+30，
故答案为180﹣x＝x+30．
【点评】本题考查了补角，如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．掌握定义是解题的关键．
25．如图，点A，O，B在同一条直线上，射线OD平分∠BOC，射线OE在∠AOC的内部，且∠DOE＝90°，写出图中所有互为余角的角： ∠1与∠3，∠1与∠4，∠，2与∠3，∠2与∠4 ．
【分析】利用余角的定义直接数出结果即可．
【解答】解：图中所有互为余角的角：∠1与∠3，∠1与∠4，∠，2与∠3，∠2与∠4．
故答案为：∠1与∠3，∠1与∠4，∠，2与∠3，∠2与∠4．
【点评】本题考查了余角与补角、角平分线的定义，解题的关键是了解有关的定义，属于基础题，难度不大．
26．如图，一艘货轮位于O地，发现灯塔A在它的正北方向上，这艘货轮沿正东方向航行，到达B地，此时发现灯塔A在它的北偏西60°的方向上．
（1）在图中用直尺、量角器画出B地的位置；
（2）连接AB，若货轮位于O地时，货轮与灯塔A相距1.5千米，通过测量图中AB的长度，计算出货轮到达B地时与灯塔A的实际距离约为 3.0 千米（精确到0.1千米）．
【分析】（1）作∠OAB＝60°，即可得到点B的位置；
（2）依据∠ABO＝30°，即可得到AB＝2AO＝3.0km．
【解答】解：（1）如图所示，点B即为所求；
（2）由题可得，∠ABO＝30°，
∴AB＝2AO＝2×1.5＝3.0km．
故答案为：3.0
【点评】本题主要考查了方向角，方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．
27．角度换算：45.6°＝ 45 ° 36 ′．
【分析】根据大单位化小单位乘以进率，可得答案．
【解答】解：45.6°＝45°36′，
故答案为：45，36．
【点评】本题考查了度分秒的换算，利用大单位化小单位乘以进率是解题关键．
28．如图，∠AOB＝72°30′，射线OC在∠AOB内，∠BOC＝30°．
（1）∠AOC＝ 42°30′ ；
（2）在图中画出∠AOC的一个余角，要求这个余角以O为顶点，以∠AOC的一边为边．图中你所画出的∠AOC的余角是∠ AOD ，这个余角的度数等于 47°30′ ．
【分析】（1）根据图形进行角的计算即可；
（2）根据余角的概念作图、计算即可．
【解答】解：（1）∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝42°30′；
（2）如图，∠AOC的余角是∠AOD，
90°﹣42°30′＝47°30′．
故答案为：（1）42°30′；（2）AOD；47°30′．
【点评】本题考查的是余角和补角的概念以及角的计算，掌握两个角的和为90°，则这两个角互余是解题的关键．
29．若∠A＝45°30′，则∠A的补角等于 134°30′ ．
【分析】根据补角定义：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角可得答案．
【解答】解：∵∠A＝45°30′，
∴∠A的补角＝180°﹣45°30′＝179°60′﹣45°30′＝134°30′，
故答案为：134°30′．
【点评】此题主要考查了补角，关键是掌握补角定义．
30．如图，已知线段AB＝10cm，C是线段AB上一点，D是线段AC的中点，E是线段BC的中点，则DE的长是 5 cm．
【分析】根据线段中点的性质，可得CD、CE的长，根据线段的和差，可得答案．
【解答】解：由D是线段AC的中点，E是线段BC的中点，得
DC＝AC，CE＝BC．
由线段的和差，得
DC+CE＝AC+BC＝AB＝5（cm），
故答案为：5．
【点评】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质得出CD、CE的长，又利用线段的和差得出答案．
31．如图，把一个圆平均分为若干份，然后把它们全部剪开，拼成一个近似的平行四边形，若这个平行四边形的周长比圆的周长增加了4cm，则这个圆的半径是 2 cm，拼成的平行四边形的面积是 4π cm2．
【分析】把圆沿着它的半径平均分成若干份，然后把它拼成一个近似的长方形，这个长方形的周长比圆的周长多增加圆半径的2倍，因此用增加的周长4厘米除以2即可求出圆的半径，然后根据圆的周长和面积公式进行计算即可．
【解答】解：圆的半径是：
4÷2＝2（厘米）；
圆的面积是：π×22
＝4π（平方厘米）．
故答案为：2，4π．
【点评】此题考查列代数式，关键是明确拼成后的长方形的周长比圆的周长增加了圆半径的2倍，先求出圆的半径．
32．1883年，德国数学家格奥尔格•康托尔引入位于一条线段上的一些点的集合，它的做法如下：
取一条长度为1的线段，将它三等分，去掉中间一段，余下两条线段，达到第1阶段；将剩下的两条线段再分别三等分，各去掉中间一段，余下四条线段，达到第2阶段；再将剩四条线段，分别三等分，分别去掉中间一段，余下八条线段，达到第3阶段；…；这样的操作一直继续下去，在不断分割舍弃过程中，所形成的线段数目越来越多，把这种分形，称作康托尔点集，如图是康托尔点集的最初几个阶段，当达到第5个阶段时，余下的线段的长度之和为 （）5 ；当达到第n个阶段时（n为正整数），余下的线段的长度之和为 （）n ．
【分析】根据题意具体表示出前几个式子，然后推而广之发现规律．
【解答】解：根据题意知：第一阶段时，余下的线段的长度之和为，
第二阶段时，余下的线段的长度之和为×＝（）2，
第三阶段时，余下的线段的长度之和为××＝（）3，
…
以此类推，
第五个阶段时，余下的线段的长度之和为（）5，
当达到第n个阶段时（n为正整数），余下的线段的长度之和为（）n．
故答案为：（）5；（）n．
【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出规律，解决问题．
33．计算：17°25′×4＝ 69°40' ．
【分析】把度、分分别乘以4，再满60进1，即可得出答案．
【解答】解：17°25′×4
＝68°100′
＝69°40′，
故答案为：69°40'．
【点评】本题考查了度分秒之间的换算的应用，注意：1°＝60′，1′＝60″．
34．如图，点C，D在线段AB上，且AC＝CD＝DB，点E是线段DB的中点．若CE＝9，则AB的长为 18 ．
【分析】根据线段中点的定义，可得AB＝AD+BD＝2（CD+DE）＝2CE，代入数据进行计算即可得解求出AB的长；再求出AC的长．
【解答】解：∵AC＝CD＝DB，点E是线段DB的中点，
∴AB＝AD+BD＝2（CD+DE）＝2CE＝18．
故答案为：18．
【点评】本题考查了两点间的距离，主要利用了线段中点的定义，比较简单，准确识图是解题的关键．
35．如图，P是平行四边形纸片ABCD的BC边上一点，以过点P的直线为折痕折叠纸片，使点C，D落在纸片所在平面上C′，D′处，折痕与AD边交于点M；再以过点P的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在C′P边上B′处，折痕与AB边交于点N．若∠MPC＝75°，则∠NPB′＝ 15 °．
【分析】由折叠的性质可知：∠MNC＝∠C′PM＝75°，∠C′PN＝∠BPN，再利用平角为180°，即可求出∠NPB′的度数．
【解答】解：由折叠的性质可知：∠MNC＝∠C′PM＝75°，∠C′PN＝∠BPN，
∴∠NPM＝2×75°＝150°，
∴∠C′PB＝30°，
由折叠的性质可知：∠C′PN＝∠BPN，
∴∠NPB′＝15°．
故答案为：15．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
三．解答题（共15小题）
36．已知：如图，点A，点B，点D在射线OM上，点C在射线ON上，∠O+∠OCA＝90°，∠O+∠OBC＝90°，CA平分∠OCD．
求证：∠ACD＝∠OBC．
请将下面的证明过程补充完整：
证明：∠O+∠OCA＝90°，∠O+∠OBC＝90°，
∴∠OCA＝∠ OBC ．
（理由： 同角的余角相等 ）
∵CA平分∠OCD
∴∠ACD＝ ∠OCA ．
（理由： 角平分线的定义 ）
∴∠ACD＝∠OBC．
（理由： 等量代换 ）．
【分析】根据余角的性质可得∠OCA＝∠OBC，根据角平分线的定义可得∠ACD＝∠OCA，再根据等量代换可得∠ACD＝∠OBC．
【解答】证明：∠O+∠OCA＝90°，∠O+∠OBC＝90°，
∴∠OCA＝∠OBC．
（理由：同角的余角相等）
∵CA平分∠OCD
∴∠ACD＝∠OCA．
（理由：角平分线的定义）
∴∠ACD＝∠OBC．
（理由：等量代换）．
故答案为：OBC，同角的余角相等，∠OCA，角平分线的定义，等量代换．
【点评】考查了余角和补角，角平分线的定义，解题的关键是得到∠OCA＝∠OBC，∠ACD＝∠OCA．
37．任务画图
已知：如图，在正方形网格中，∠AOB＝α．
任务：在网格中画出一个顶点为O且等于180°﹣2α的角．
要求：画图并标记符合要求的角，写出简要的画图步骤．（说明：可以借助网格、量角器）
【分析】先作点C关于OA的对称点D，据此知∠AOD＝∠AOB＝α，∠COD＝2α，再作平角∠DOE，可得∠BOE＝180°﹣2α．
【解答】解：如图所示，
①利用OB边上的格点C，在网格中画出∠AOB关于直线OA的对称的∠AOD，
则∠AOD＝∠AOB＝α，∠COD＝2α；
②画平角∠DOE，那么∠BOE＝180°﹣2α．
【点评】本题主要考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是掌握轴对称的性质和平角的定义及补角的定义．
38．如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为xA＝﹣5和xB＝6，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在B，A之间往返运动．设运动时间为t秒．
（1）当t＝2时，点P对应的有理数xP＝ ﹣3 ，PQ＝ 5 ；
（2）当0＜t≤11时，若原点O恰好是线段PQ的中点，求t的值；
（3）我们把数轴上的整数对应的点称为“整点”，当P，Q两点第一次在整点处重合时，直接写出此整点对应的数．
【分析】（1）根据数轴上的点右加左减的运动规律以及路程＝速度×时间，求出当t＝2时，点P对应的有理数xP，点Q对应的有理数xQ，再根据两点间的距离公式求出PQ；
（2）当0＜t≤11时，点P运动的最远路径为数轴上从点A到点B，点Q运动的最远路径为数轴上从点B到点A并且折返回到点B．由于点Q从点B运动到点A需要5.5秒，可判断原点O恰好是线段PQ的中点时t≠5.5．再分两种情况进行讨论：①当0＜t＜5.5时，由OP＝OQ，列出方程|5﹣t|＝|6﹣2t|，求出t，根据P，Q两点必须在原点两侧确定t＝1；②当5.5＜t≤11时，根据OP＝OQ列出方程t﹣5＝16﹣2t，求出t检验即可；
（3）当P，Q两点重合时，点Q运动的方向有两种．当0＜t＜5.5时，P与Q相遇，求出相遇时间，再求出相遇点对应的数，如果是整数即为所求，如果不是整数舍去；再求当5.5＜t≤11时，点Q追上点P需要的时间，进而求出追击点对应的数即可．
【解答】解：（1）当t＝2时，点P对应的有理数xP＝﹣5+1×2＝﹣3，
点Q对应的有理数xQ＝6﹣2×2＝2，
∴PQ＝2﹣（﹣3）＝5．
故答案为﹣3，5；
（2）∵xA＝﹣5，xB＝6，
∴OA＝5，OB＝6．
由题意可知，当0＜t≤11时，点P运动的最远路径为数轴上从点A到点B，点Q运动的最远路径为数轴上从点B到点A并且折返回到点B．
对于点P，因为它的运动速度vP＝1，点P从点A运动到点O需要5秒，运动到点B需要11秒．
对于点Q，因为它的运动速度vQ＝2，点Q从点B运动到点O需要3秒，运动到点A需要5.5秒，返回到点B需要11秒．
要使原点O恰好是线段PQ的中点，需要P，Q两点分别在原点O的两侧，且OP＝OQ，此时t≠5.5．
①当0＜t＜5.5时，点Q运动还未到点A，有AP＝t，BQ＝2t．
此时OP＝|5﹣t|，OQ＝|6﹣2t|．
∵原点O恰好是线段PQ的中点，
∴OP＝OQ，
∴|5﹣t|＝|6﹣2t|，
解得t＝1或t＝．
检验：当t＝时，P，Q两点重合，且都在原点O左侧，不合题意舍去；t＝1符合题意．
∴t＝1；
②当5.5＜t≤11时，点P在数轴上原点右侧，点Q已经沿射线BA方向运动到点A后折返，要使原点O恰好是线段PQ的中点，点Q必须位于原点O左侧，此时P，Q两点的大致位置如下图所示．
此时，OP＝AP﹣OA＝t﹣5，OQ＝OA﹣AQ＝5﹣2（t﹣5.5）＝16﹣2t．
∵原点O恰好是线段PQ的中点，
∴OP＝OQ，
∴t﹣5＝16﹣2t，
解得t＝7．
检验：当t＝7时符合题意．
∴t＝7．
综上可知，t＝1或7；
（3）①当0＜t＜5.5时，点Q运动还未到点A，当P，Q两点重合时，P与Q相遇，此时需要的时间为：秒，
相遇点对应的数为﹣5+＝﹣，不是整点，不合题意舍去；
②当5.5＜t≤11时，点P在数轴上原点右侧，点Q已经沿射线BA方向运动到点A后折返，当P，Q两点重合时，点Q追上点P，AQ＝AP，
2（t﹣5.5）＝t，解得t＝11，
追击点对应的数为﹣5+11＝6．
故当P，Q两点第一次在整点处重合时，此整点对应的数为6．
【点评】本题结合动点考查了一元一次方程的运用，相遇问题的数量关系的运用，追击问题的数量关系的运用，数轴，由行程问题的数量关系建立方程以及正确进行分类讨论是解题的关键．
39．已知AB＝10，点C在射线 AB上，且BC＝AB，D为AC的中点．
（1）依题意，画出图形；
（2）直接写出线段BD的长．
【分析】（1）根据题意画出图形即可；
（2）根据图形求出AC长，再求出AD的长，即可求出BD．
【解答】解：（1）有两种情况：如图：，
；
（2）①如图1所示，
∵AB＝10，BC＝AB＝5，
∴AC＝AB﹣BC＝10﹣5＝5，
∵D是线段AC的中点，
∴AD＝AC＝×5＝2.5，
∴BD＝AB﹣AD＝10﹣2.5＝7.5；
②如图2所示，
∵AB＝10，BC＝5，
∴AC＝AB+BC＝10+5＝15，
∵D是线段AC的中点，
∴AD＝AC＝×15＝7.5，
∴BD＝AB﹣AD＝10﹣7.5＝2.5．
【点评】本题考查的是两点间的距离，解答此题时要注意应用分类讨论的思想，不要漏解
40．如图，A，O，B三点在同一直线上，∠BOD与∠BOC互补．
（1）试判断∠AOC与∠BOD之间有怎样的数量关系，写出你的结论，并加以证明；
（2）OM平分∠AOC，ON平分∠AOD，
①依题意，将备用图补全；
②若∠MON＝40°，求∠BOD的度数．
【分析】（1）根据补角的性质即可求解；
（2）①根据角平分线的作法作出图形即可求解；
②可设∠BOD的度数为x°，根据角平分线的定义以及等量关系列出方程求解即可．．
【解答】解：（1）∠AOC＝∠BOD，
∵∠BOD与∠BOC互补，
∴∠BOD+∠BOC＝180°，
∵∠AOC+∠BOC＝180°，
∴∠AOC＝∠BOD；
（2）①如图所示：
②设∠BOD的度数为x°，依题意有
x+2（x+40）＝180，
解得x＝50．
故∠BOD的度数是50°．
【点评】本题考查的是角的有关计算和角平分线的定义，正确理解并灵活运用角平分线的定义是解题的关键．
41．如图，点C在射线OA上，CE平分∠ACD．OF平分∠COB并与射线CD交于点F．
（1）依题意补全图形；
（2）若∠COB+∠OCD＝180°，求证：∠ACE＝∠COF．
请将下面的证明过程补充完整．
证明：∵CE平分∠ACD，OF平分∠COB，
∴∠ACE＝ ∠ACD ，∠COF＝∠COB．
（理由： 角平分线的定义 ）
∵点C在射线OA上，
∴∠ACD+∠OCD＝180°．
∵∠COB+∠OCD＝180°，
∴∠ACD＝∠ COB ．
（理由： 同角的补角相等 ）
∴∠ACE＝∠COF．
【分析】（1）根据题意补全图形即可；
（2）根据角平分线的定义得到∠ACE＝∠ACD，∠COF＝∠COB．根据同角的补角相等得到∠ACE＝∠COF．
【解答】解：（1）补全图形，如图所示，
（2）证明：∵CE平分∠ACD，OF平分∠COB，
∴∠ACE＝∠ACD，∠COF＝∠COB．
（理由：角平分线的定义）
∵点C在射线OA上，
∴∠ACD+∠OCD＝180°．
∵∠COB+∠OCD＝180°，
∴∠ACD＝∠COB．
（理由：同角的补角相等）
∴∠ACE＝∠COF．
故答案为：∠ACD，角平分线的定义，COB，同角的补角相等．
【点评】本题考查了角的计算，角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．
42．A，B两点在数轴上的位置如图所示，其中点A对应的有理数为﹣4，且AB＝10．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）当t＝1时，AP的长为 2 ，点P表示的有理数为 ﹣2 ；
（2）当PB＝2时，求t的值；
（3）M为线段AP的中点，N为线段PB的中点．在点P运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长．
【分析】（1）根据题意知AP＝2t，点P表示的有理数为﹣4+2t，将t＝1代入即可求得；
（2）由AB＝10、AP＝2t知PB＝10﹣2t，根据PB＝2得出关于t的方程，解之即可得；
（3）分类讨论：①当点P在点A、B两点之间运动时，②当点P运动到点B的左侧时，利用中点的定义和线段的和差易求出MN．
【解答】解：（1）设运动时间为t秒，
则AP＝2t，点P表示的有理数为﹣4+2t，
当t＝1时，AP＝2，点P表示的有理数为﹣4+2＝﹣2，
故答案为：2，﹣2；
（2）当点P在点B左侧时，
∵AB＝10，AP＝2t，
∴PB＝10﹣2t，
由题意得：10﹣2t＝2，
解得：t＝4；
当点P在点B右侧时，由题意可得2t﹣10＝2，
解得：t＝6；
综上，t＝4或6．
（3）如图1，当点P在线段AB上时，
MN＝MP+PN＝AP+PB＝（AP+PB）＝AB＝5；
如图2，当点P在AB延长线上时，
MN＝MP﹣BP＝AP﹣PB＝（AP﹣PB）＝AB＝5；
综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为5．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用和数轴，解题关键是根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
43．如图，∠CDE+∠CED＝90°，EM平分∠CED，并与CD边交于点M．DN平分∠CDE，并与EM交于点N．
（1）依题意补全图形，并猜想∠EDN+∠NED的度数等于 45° ；
（2）证明以上结论．
证明：∵DN平分∠CDE，EM平分∠CED，
∴∠EDN＝，∠NED＝ CED ．（理由： 角平分线的定义 ）
∵∠CDE+∠CED＝90°，
∴∠EDN+∠NED＝ ×（∠ CDE +∠ CED ）＝ ×90°＝ 45 °．
【分析】（1）根据题意画出图形，然后由角平分线的定义可求得∠EDN+∠NED＝45°；
（2）根据角平分线的定义以及证明过程进行填写即可．
【解答】（1）解：如图所示：
猜想∠EDN+∠NED＝45°．
（2）证明：∵DN平分∠CDE，EM平分∠CED，
∴∠EDN＝，∠NED＝CED．（理由：角平分线的定义），
∵∠CDE+∠CED＝90°，
∴∠EDN+∠NED＝（∠CDE+∠CED）＝＝45°．
故答案为：（1）45°；（2）CED；角平分线的定义；；CDE；CED；；45．
【点评】本题主要考查的是角的计算、角平分线的定义，逆用乘法的分配律求得∠EDN+∠NED＝（∠CDE+∠CED）是解题的关键．
44．如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为10和15，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点Q同时从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒．
（1）当0＜t＜5时，用含t的式子填空：BP＝ 5﹣t ，AQ＝ 10﹣2t ；
（2）当t＝2时，求PQ的值；
（3）当PQ＝时，求t的值．
【分析】（1）先求出当0＜t＜5时，P点对应的有理数为10+t＜15，Q点对应的有理数为2t＜10，再根据两点间的距离公式即可求出BP，AQ的长；
（2）先求出当t＝2时，P点对应的有理数为10+2＝12，Q点对应的有理数为2×2＝4，再根据两点间的距离公式即可求出PQ的长；
（3）由于t秒时，P点对应的有理数为10+t，Q点对应的有理数为2t，根据两点间的距离公式得出PQ＝|2t﹣（10+t）|＝|t﹣10|，根据PQ＝列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵当0＜t＜5时，P点对应的有理数为10+t＜15，Q点对应的有理数为2t＜10，
∴BP＝15﹣（10+t）＝5﹣t，AQ＝10﹣2t．
故答案为5﹣t，10﹣2t；
（2）当t＝2时，P点对应的有理数为10+2＝12，Q点对应的有理数为2×2＝4，
所以PQ＝12﹣4＝8；
（3）∵t秒时，P点对应的有理数为10+t，Q点对应的有理数为2t，
∴PQ＝|2t﹣（10+t）|＝|t﹣10|，
∵PQ＝，
∴|t﹣10|＝2.5，
解得t＝12.5或7.5．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，（3）中解方程时要注意分两种情况进行讨论．
45．如图，∠A+∠B＝90°，点D在线段AB上，点E在线段AC上，DF平分∠BDE，DF与BC交于点F．
（1）依题意补全图形；
（2）若∠B+∠BDF＝90°，求证：∠A＝∠EDF．
证明：∵∠A+∠B＝90°，∠B+∠BDF＝90°
∴ ∠A＝∠BDF （理由： 同角的余角相等 ）
又∵ DF平分∠BDE ．
∴∠BDF＝∠EDF（理由： 角平分线定义 ）
∴∠A＝∠EDF．
【分析】（1）画出DF平分∠BDE；
（2）首先根据∠A+∠B＝90°，∠B+∠BDF＝90°可得∠A＝∠BDF，再根据DF平分∠BDE可得∠BDF＝∠EDF，进而可得∠A＝∠EDF．
【解答】（1）解：如图所示：
（2）证明：∵∠A+∠B＝90°，∠B+∠BDF＝90°
∴∠A＝∠BDF（同角的余角相等），
又∵DF平分∠BDE，
∴∠BDF＝∠EDF（角平分线定义），
∴∠A＝∠EDF．
【点评】此题主要考查了角平分线的性质，以及余角的性质，关键是掌握等角的补角相等．等角的余角相等．
46．已知A，B，C三点在同一条数轴上．
（1）若点A，B表示的数分别为﹣4，2，且BC＝AB，则点C表示的数是 ﹣1或5 ；
（2）点A，B表示的数分别为m，n，且m＜n．
①若AC﹣AB＝2，求点C表示的数（用含m，n的式子表示）；
②点D是这条数轴上的一个动点，且点D在点A的右侧（不与点B重合），当AD＝2AC，BC＝BD，求线段AD的长（用含m，n的式子表示）．
【分析】（1）设点C表示的数是x．由BC＝AB列出方程|x﹣2|＝×（2+4），解方程即可；
（2）设点C表示的数是x．
①分两种情况进行讨论：Ⅰ）当点C在点B的右侧时，如图1所示，由AC﹣AB＝2列出方程（x﹣m）﹣（n﹣m）＝2，解方程即可；Ⅱ）当点C在点A的左侧时，如图2所示，由AC﹣AB＝2列出方程（m﹣x）﹣（n﹣m）＝2，解方程即可；
②由AD＝2AC，可得点C在线段AD上或点C在点A的左侧．当动点D在线段AB上时，无论C在任何位置均不合题意；当动点D在点B的右侧时，分三种讨论进行情况：Ⅰ）当点C在线段BD的延长线上时，点C为线段AD的中点，当点C在线段BD上时，如图3所示，则AD＝3n﹣3m；Ⅱ）当点C在线段AB上时，如图4所示，则AD＝n﹣m；Ⅲ）当点C在点A左侧时，不合题意．
【解答】解：（1）设点C表示的数是x．
∵点A，B表示的数分别为﹣4，2，且BC＝AB，
∴|x﹣2|＝×（2+4），
解得x＝﹣1或5．
故答案为﹣1或5；
（2）设点C表示的数是x，由m＜n，可得点A在点B的左侧，AB＝n﹣m．
①由AC﹣AB＝2，得AC＞AB．分两种情况：
Ⅰ）当点C在点B的右侧时，如图1所示，此时AC＝x﹣m．
∵AC﹣AB＝2，
∴（x﹣m）﹣（n﹣m）＝2，
解得x＝n+2．
∴点C表示的数是n+2；
Ⅱ）当点C在点A的左侧时，如图2所示，此时AC＝m﹣x．
∵AC﹣AB＝2，
∴（m﹣x）﹣（n﹣m）＝2，
解得x＝2m﹣n﹣2．
∴点C表示的数是2m﹣n﹣2．
综上，点C表示的数是n+2，2m﹣n﹣2；
②由AD＝2AC，可得点C在线段AD上或点C在点A的左侧．
当动点D在线段AB上时，无论C在任何位置均不合题意；
当动点D在点B的右侧时，分三种情况：
Ⅰ）当点C在线段BD的延长线上时，点C为线段AD的中点，
当点C在线段BD上时，如图3所示，
则AD＝3n﹣3m；
Ⅱ）当点C在线段AB上时，如图4所示，
则AD＝n﹣m；
Ⅲ）当点C在点A左侧时，不合题意．
综上所述，线段AD的长为3n﹣3m或n﹣m．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
47．（1）如图1，D是线段BC的中点，三角形ABC的面积与三角形ABD的面积比为 2：1 ；
（2）如图2，将网络图中的梯形ABCD分成三个三角形，使它们的面积比是1：2：3．
【分析】（1）根据等高的三角形的面积的比等于底边的比解答；
（2）根据平行线间的距离相等可得AD、BC间的距离相等，然后根据等高的三角形的面积的比等于底边的比解答．
【解答】解：（1）∵D是线段BC的中点，
∴BC＝2BD，
∴△ABC的面积与△ABD的面积比2：1；
故答案为：2：1；
（2）如图，S△ABE：S△ADE：S△CDE＝1：2：3．
【点评】本题考查了三角形的面积，主要利用了等高的三角形的面积的比等于底边的比，需熟记．
48．问题：如图，点C是线段AB的中点，点D在线段CB上，点E是线段AD的中点．若EC＝8，求线段DB的长．请补全以下解答过程．
解：∵点C是线段AB的中点， 点E是线段AD的中点 ，
∴AB＝2AC，AD＝2AE．
∵DB＝AB﹣ AD ，
∴DB＝ 2AC ﹣2AE＝2（AC﹣AE）＝2EC．
∵EC＝8，
∴DB＝ 16 ．
【分析】先根据点C是线段AB的中点，点E是线段AD的中点，得到AB＝2AC，AD＝2AE，再根据DB＝AB﹣AD，等量代换可得DB＝2EC，进而求出线段DB的长．
【解答】解：∵点C是线段AB的中点，点E是线段AD的中点，
∴AB＝2AC，AD＝2AE．
∵，
∴＝2（AC﹣AE）＝2EC．
∵EC＝8，
∴．
【点评】本题考查的是两点间的距离，解答此类问题时要注意各线段之间的和、差关系．
49．已知∠AOB＝α（30°＜α＜45°），∠AOB的余角为∠AOC，∠AOB的补角为∠BOD，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD．
（1）如图，当α＝40°，且射线OM在∠AOB的外部时，用直尺、量角器画出射线OD，ON的准确位置；
（2）求（1）中∠MON的度数，要求写出计算过程；
（3）当射线OM在∠AOB的内部时，用含α的代数式表示∠MON的度数．（直接写出结果即可）
【分析】（1）分射线OA在∠BOD的外部和内部两种情况作出图形；
（2）根据互为余角和补角的定义求出∠AOC和∠BOD的度数，再根据角平分线的定义可得∠MOA＝∠AOC，∠BON＝∠BOD，然后根据图形，分∠MON＝∠MOA+∠AOB+∠BON和∠MON＝∠NOB﹣∠MOA﹣∠AOB分别代入数据进行计算即可得解；
（3）分射线OA在∠BOD的外部和内部两种情况解答．
【解答】解：（1）如图1，图2所示；
（2）∵∠AOB＝40°，∠AOB的余角为∠AOC，∠AOB的补角为∠BOD，
∴∠AOC＝90°﹣∠AOB＝50°，∠BOD＝180°﹣∠AOB＝140°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠MOA＝∠AOC＝×50°＝25°，∠BON＝∠BOD＝×140°＝70°，
①如图1，∠MON＝∠MOA+∠AOB+∠BON＝25°+40°+70°＝135°，
②如图2，∠MON＝∠NOB﹣∠MOA﹣∠AOB＝70°﹣25°﹣40°＝5°，
∴∠MON＝135°或5°；
（3）∠MON＝α+45°或135°﹣2α．
【点评】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，难点在于要分情况讨论求解，作出图形更形象直观．
50．操作题
如图1，是一个由53个大小相同的小正方体堆成的立体图形，从正面观察这个立体图形得到的平面图形如图2所示．
①请在图3、图4中依次画出从左面、上面观察这个立体图形得到的平面图形；
②保持这个立体图形中最底层的小正方体不动，从其余部分中取走k个小正方体，得到一个新的立体图形．如果依次从正面、左面、上面观察新的立体图形，所得到的平面图形分别与图2、图3、图4是一样的，那么k的最大值为 16 ．
【分析】①从左面看：共有4列，从左往右分别有5，5，3，2个小正方形；从上面看：共分6列，从左往右分别有4，4，4，3，2，1个小正方形；
②由已知条件可知，主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．据此即可求解．
【解答】解：①从左面、上面观察这个立体图形得到的平面图形分别如图3，图4所示．
②k的最大值为4+5+3+3+1＝16．
故答案为：16．
【点评】本题考查几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．
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