2023年江苏省苏州市姑苏区重点中学中考数学二模试卷-普通用卷

2023年江苏省苏州市姑苏区重点中学中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若气温零上记作，则气温零下记作(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  如图，已知，点在线段上不与点，点重合，连接若，，则(    )

A.
B.
C.
D.

4.  一组数据，，，，，的众数是，则这组数据的中位数是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知反比例函数，且在各自象限内，随的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，有一个半径为的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长均相等，过点和点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为(    )
 

A.
B.
C.
D.

7.  已知二次函数为常数命题：该函数的图象经过点；命题：该函数的图象经过点；命题：该函数的图象与轴的交点位于轴的两侧；命题：该函数的图象的对称轴为直线如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是(    )

A. 命题 B. 命题 C. 命题 D. 命题

8.  如图，在▱中，对角线，相交于点，，，若过点且与边，分别相交于点，，设，，则关于的函数图象大致为(    )
 

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  有张仅有编号不同的卡片，编号分别是，，，，从中随机抽取一张，编号是偶数的概率等于______．

10.  方程的解为______．

11.  用半径为，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为______ ．

12.  九章算术中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出钱，还差钱；若每人出钱，多余钱．问人数、羊价各是多少？若设人数为，则可列方程为          ．

13.  如图，在中，平分，若，，则          ．

14.  根据图象，可得关于的不等式的解集是______ ．

15.  如图，、两点是线段的三等分点，以为直径作，点为上一点，连接，交于点，连接、，若点恰为线段中点且，则周长为______ ．

16.  如图，已知等腰中，，，点、分别为、边上任意点，以为直径作圆正好经过点，与交于点，则面积最大值为______ ．
 

三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）

17.  计算：．

四、解答题（本大题共10小题，共77.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
解不等式组：．

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

20.  本小题分
如图，与交于点，，，为延长线上一点，过点作，交的延长线于点．
求证；
若，，，求的长．

21.  本小题分
某中学为准备十四岁青春仪式，原计划由八年级班的个小组制作面彩旗，后因个小组另有任务，其余个小组的每名学生要比原计划多做面彩旗才能完成任务．如果这个小组的人数相等，那么每个小组有学生多少名？

22.  本小题分
为落实国家“双减”政策，某校为学生开展了课后服务，其中在体育类活动中开设了四种运动项目：乒乓球，排球，篮球，跳绳为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机抽取部分学生进行调查每位学生仅选一种，并将调查结果制成如图尚不完整的统计图表．

本次调查的样本容量是______ ，统计表中 ______ ．
在扇形统计图中，“排球”对应的圆心角的度数是______
若该校共有名学生，请你估计该校最喜欢“乒乓球”的学生人数；
甲、乙两名同学想一起参加同一种运动项目，请用列表或画树状图的方法求他们参加同一种运动项目的概率．

23.  本小题分
如图，已知函数的图象与轴、轴分别交于点、，与函数的图象交于点，点的横坐标为，在轴上有一点其中，过点作轴的垂线，分别交函数和的图象于点、．
求点的坐标；
若，求的值．

24.  本小题分
年月日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，、为机械臂，，，，机械臂端点到工作台的距离．
求、两点之间的距离；
求长．
结果精确到，参考数据：，，，
 

25.  本小题分
已知四边形是边长为的正方形，以为直径在正方形内作半圆，是半圆上的动点不与点、重合，连接、、、．
如图，当的长度等于______ 时，；当的长度等于______ 时，是等腰三角形；
如图，以边所在直线为轴、边所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系点即为原点，把、、的面积分别记为、、坐标为，试求的最大值，并求出此时，的值．

 

26.  本小题分
在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，二次函数的图象过、两点，且与轴交于另一点，点为线段上的一个动点，过点作直线平行于轴交于点，交二次函数的图象于点．
求二次函数的表达式；
当以、、为顶点的三角形与相似时，求线段的长度；
已知点是轴上的点，若点、关于直线对称，求点的坐标．

27.  本小题分
在正方形中，点是边的中点，点在线段上不与点重合，点在边上，且，连接，以为边在正方形内作正方形．
如图，若，当点与点重合时，求正方形的面积．
如图，已知直线分别与边，交于点，，射线与射线交于点．
求证：；
设，和四边形的面积分别为，求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查正数和负数，解题的关键是明确正数和负数在题中表示的含义．
根据气温是零上摄氏度记作，则可以表示出气温是零下摄氏度，从而可以解答本题．
【解答】
解：因为气温是零上摄氏度记作，
所以气温是零下摄氏度记作．
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：、不是同类项不能计算，故A不正确；
B、，故B不正确；
C、，故C不正确；
D、，正确；
故选：．
根据积的乘方、平方差公式、完全平方公式运算法则判断即可．
本题考查了积的乘方、平方差公式、完全平方公式运算法则的应用，熟练的运用法则是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：为的外角，且，，
，即，
，
，
．
故选：．
由为的外角，利用外角性质求出的度数，再利用两直线平行内错角相等即可求出的度数．
此题考查了平行线的性质，以及外角性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：这组数据，，，，，的众数是，
，
从小到大排列此数据为：，，，，，，
处于中间位置的数是和，
这组数据的中位数是．
故选：．
先根据众数是一组数据中出现次数最多的数据，求得，再由中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两个数的平均数．
 

5.【答案】 

【解析】解：因为反比例函数，随的增大而增大，
所以，
A.，故本选项不符合题意；
B.，故本选项符合题意；
C.，故本选项不符合题意；
D.，故本选项不符合题意；
故选：．
根据反比例函数的性质判断即可．
本题主要考查反比例函数图象上的点的坐标特征，反比例函数的性质，正确记忆反比例函数的性质是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查扇形面积，熟练应用面积公式，其中作出辅助线是解题关键．
连接、，过点作，根据等边三角形的判定得出为等边三角形，再根据扇形面积公式求出，再根据三角形面积公式求出，进而求出阴影部分的面积．
【解答】
解：连接、，过点作，

由题意可知：，
，
为等边三角形，

，
，
，，
，
，
阴影部分的面积为：，
故选：．  

7.【答案】 

【解析】对于，二次项系数为，
抛物线开口向上，
假设命题成立，则命题该函数的图象与轴的交点位于轴的两侧成立，则命题该函数的图象的对称轴为直线不成立，对称轴应该为．
故这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是．
故选：．
假设命题成立，则可知也成立，则命题不成立，命题就是假命题．
本题主要考查二次函数的图象与性质以及对称轴公式的求法．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查平行四边形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，二次函数的图象，求解函数解析式及函数值的范围是解题的关键．
过点作于，由含角的直角三角形的性质及勾股定理可求解，的长，结合平行四边形的性质可得的长，进而求得，的长，设，则，利用勾股定理可求得与的关系式，根据自变量的取值范围可求得函数值的取值范围，即可判断函数的图象．
【解答】
解：过点作于，

，，
，
，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
，
设，，则，
，
，
抛物线开口方向向上，顶点坐标为，与轴的交点为，
，
当时，
故符合解析式的图象为：

故选：．  

9.【答案】 

【解析】解：从编号分别是，，，，的卡片中，随机抽取一张有种可能性，其中编号是偶数的可能性有种可能性，
从中随机抽取一张，编号是偶数的概率等于，
故答案为：．
根据题目中的数据，可以计算出从中随机抽取一张，编号是偶数的概率．
本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
 

10.【答案】 

【解析】解：去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为．
故答案为：．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

11.【答案】 

【解析】解：设圆锥的底面圆半径为，依题意，得
，
解得．
故答案为：．
圆锥的底面圆半径为，根据圆锥的底面圆周长扇形的弧长，列方程求解．
本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：、圆锥的母线长为扇形的半径，、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
根据购买羊的总钱数不变得出方程即可．
【解答】
解：若设人数为，则可列方程为：．
故答案为：．  

13.【答案】 

【解析】

【解答】解：过点作于，如图，
平分，，，
，
．
故答案为：．
【分析】过点作于，如图，根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式计算．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．  

14.【答案】 

【解析】解：根据图象可知：两函数图象的交点为，
所以关于的一元一次不等式的解集为，
故答案为：．
先根据函数图象得出交点坐标，根据交点的坐标和图象得出即可答案．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，能根据图象得出正确信息是解此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接、，如图，设的半径为，

、两点是线段的三等分点，
，
点恰为线段中点，
为的中位线，
，，
为直径，、两点是线段的三等分点，
，，，
在中，，
，，
，为的中位线，
，，
，
，
，
周长为，
故答案为：．
连接，交于，如图，先证明为的中位线，则，再根据圆周角定理得到，则，为的中位线，，则，再利用勾股定理计算出，则，再利用勾股定理求出，，即可求解．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了勾股定理和三角形的中位线定理．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接，
由题意得，四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，
，
为圆的直径，
，，
，，
，
，
∽，
，
 设，则，，
作交延长线于点，则，
，
，
，
，
，
当，即时，有最大值，最大值为．

连接，利用圆内接四边形的性质求得，证明∽，推出，设，则，，作交延长线于点，利用三角形的面积公式列出二次函数，利用二次函数的性质即可求解．
本题主要考查了圆内接四边形的性质、相似三角形的性质、含角得直角三角形的性质、三角函数以及二次函数的最值问题，属于综合题．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，进而合并得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

19.【答案】解：原式

，
当时，原式． 

【解析】根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，把的值代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
 

20.【答案】证明：在和中，
，
；
解：由得：，
，
，，
，
，
∽，
，
即，
解得：． 

【解析】由证明即可；
由全等三角形的性质得，再证∽，得，即可求解．
本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．
 

21.【答案】解：设每个小组有学生名，
由题意得：，
解得：，
当时，，
是分式方程的根，
答：每个小组有学生名． 

【解析】本题考查了分式方程的应用，根据题意列出分式方程是解决问题的关键．
设每个小组有学生名，由题意得：，解分式方程并检验后即可得出答案．
 

22.【答案】     

【解析】解：本次调查的样本容量是：人；
乒乓球人数：人；
故答案为：，；
“排球”对应的圆心角的度数：；
故答案为：；
该校最喜欢“乒乓球”的学生人数：人，
答：该校最喜欢“乒乓球”的学生人数估计为人；
如图，共有种可能，参加相同的项目有种可能，概率．
本次调查的样本容量用篮球的人数所占的百分比；乒乓球人数本次调查的样本容量排球人数篮球人数跳绳人数；
“排球”对应的圆心角的度数：这部分的比值；
该校最喜欢“乒乓球”的学生人数：总体乒乓球所占百分数；
画出树状图求解．
本题考查扇形统计图及相关计算、总体、个体、样本、样本容量、用样本估计总体，掌握这几个知识点的应用，其中用样本估计总体是统计的基本思想是解题关键．
 

23.【答案】解：点在直线的图象上，且点的横坐标为，
点的坐标为，
把代入得，解得，
一次函数的解析式为，
把代入得，解得，
点坐标为；

把代入得，
点坐标为，
，
，
轴，
点坐标为，点坐标为
，
． 

【解析】先利用直线上的点的坐标特征得到点的坐标为，再把代入可计算出，得到一次函数的解析式为，然后根据轴上点的坐标特征可确定点坐标为；
先确定点坐标为，则，再表示出点坐标为，点坐标为，所以，然后解方程即可．
本题考查了两条直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即值相同．
 

24.【答案】解：如图，过点作，垂足为，

在中，，，
，，
，，
，，
，
在中，由勾股定理．
故A，两点之间距离为．
过点作，垂足为，
，，
，
在中，由勾股定理．
的长为． 

【解析】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理等知识；正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
过点作，垂足为，在中，由，，可求和，即可得出的长；
过点作，垂足为，在中，由勾股定理可求出，即的长．
 

25.【答案】  或 

【解析】解：是直径，
当，
，
，
，
当的长度等于时，；
若是等腰三角形，当时，如图，

此时位于正方形的中心则，，
，
；
当时，以点为圆心，为半径作圆与弧的交点为点如图连，令中点为，再连，，交于点，则≌，

，，
，
又，
，
设为，为，
，
，
，
，，
当的长度等于或时，是等腰三角形．
故答案为：，或；
如图，过点分别作，，垂足分别为、，延长交于点，则．

点坐标为，
，，，
在、和中，，，，
为直径，
，
，即，
，
当时，，有最大值是．
由是直径，可得，然后利用三角函数即可求得的长；当时，是等腰三角形，然后由等腰三角形的性质与射影定理即可求得答案．
过点分别作，，垂足分别为，延长交于点，则，点坐标为，，，，利用矩形的面积关系与二次函数的知识即可求得答案．
此题考查了正方形的性质，圆周角的性质以及三角函数的性质等知识．此题综合性很强，解题时要注意数形结合与方程思想的应用．
 

26.【答案】解：在中，令得，令得，
，，
把，代入得：
，解得，
二次函数的表达式为；
如图：

在中，令得或，
，
，，
，，，
，
以、、为顶点的三角形与相似，和为对应点，
设，则，
，，
∽时，，
，
解得或舍去，
，
∽时，，
，
解得舍去或，
，
综上所述，或．
连接，如图：

点、关于直线对称，
，，
轴，
，
，
，
由知：
设，则，，，
，解得舍去或，
，
． 

【解析】由得，，代入即得二次函数的表达式为；
由得，，，，故，以、、为顶点的三角形与相似，和为对应点，设，则，，，∽时，，可得，∽时，，可得；
连接，由点、关于直线对称，可得，故，解得舍去或，即得，．
本题考查二次函数的综合应用，涉及解析式、三角形相似的判定与性质、对称变换等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关的线段长度，根据已知列方程求解．
 

27.【答案】解：如图，

点是边的中点，若，当点与点重合，
，
，
，
在中，，
正方形的面积；
如图，

证明：
四边形是正方形，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
；
证明：四边形是正方形，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
∽，
，
，
，
，
． 

【解析】由点是边的中点，若，当点与点重合，得出，由，得出，由勾股定理得出，即可求出正方形的面积；
由“一线三直角”证明∽，得出，由，得出，进而证明；
先证明≌，得出，再证明∽，得出，由正弦的定义得出，进而得出，得出，即可证明．
本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义是解决问题的关键．