2023年江苏省苏州市姑苏区振华中学中考数学二模试卷

这是一份2023年江苏省苏州市姑苏区振华中学中考数学二模试卷，共29页。试卷主要包含了＝　 　，因式分解等内容，欢迎下载使用。

2023年江苏省苏州市姑苏区振华中学中考数学二模试卷
一.选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分）
1．（3分）下列图形中，不是轴对称图形，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）今年“五一”假期，我市某主题公园共接待游客77800人次，将77800用科学记数法表示为（　　）
A．0.778×105 B．7.78×104 C．77.8×103 D．778×102
3．（3分）某学校进行演讲比赛，最终有7位同学进入决赛，这七位同学的评分分别是9.5，9.3，9.1，9.4，9.7，9.3，9.6．请问这组评分的众数是（　　）
A．9.5 B．9.4 C．9.1 D．9.3
4．（3分）若关于x的一元二次方程x2+4x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的值可能为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
5．（3分）将一副三角板（∠A＝30°，∠E＝45°）按如图所示方式摆放，使得BA∥EF，则∠AOF等于（　　）

A．75° B．90° C．105° D．115°
6．（3分）如图，小明在点A处仰头45°看到一架直升机正从点B处沿水平BC方向飞行，此刻望向楼顶D处的仰角为60°，于是他立即在原地用时2秒拿出手机开始录像．已知录制开始时直升机已驶至小明正上方点C处，若直升机继续在同一水平高度上匀速飞行，那么它被大楼遮住之前，能录像的时长为（　　）

A．2秒 B．秒
C．秒 D．条件不足，无法计算
7．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4cm，动点E从点A出发，以1cm/秒的速度沿折线AB﹣BC的路径运动，到点C停止运动．过点E作EF∥BD，EF与边AD（或边CD）交于点F，EF的长度y（cm）与点E的运动时间x（秒）的函数图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
8．（3分）已知三角形ABE为直角三角形，∠ABE＝90°，DE为圆的直径，BC为圆O切线，C为切点，CA＝CD，则△ABC和△CDE面积之比为（　　）

A．1：3 B．1：2 C．：2 D．（﹣1）：1
二.填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分）
9．（3分）＝　 　．
10．（3分）因式分解：b2﹣9＝　 　．
11．（3分）某工厂一共有1200人，为选拔人才，提出了一些选拔的条件，并进行了抽样调查．从中抽出400人，发现有300人是符合条件的，那么该工厂1200人中符合选拔条件的人数为 　 　．
12．（3分）如图，若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积为3，则k的值为 　 　．

13．（3分）某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价 　 　元．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于P（4，4）处，木杆AB两端的坐标分别为（0，2），（6，2）．则木杆AB在x轴上的影长CD为 　 　．

15．（3分）如图1，在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，动点E，F从点A同时出发，分别沿A→B→C和A→D→C的方向都以每秒1个单位长度的速度运动，到达点C后停止运动．设运动时间为t（s），△AEF的面积为y，y与t的大致函数关系如图2所示．则当时，t的值为 　 　．

16．（3分）已知△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝5，AE＝2，连接CE，以CE为底作直角三角形CDE，且CD＝DE．F是AE边上的一点，连接BD和BF，且∠FBD＝45°，则AF长为 　 　．

三.解答题（木大题共11小题，共82分）
17．（4分）计算：﹣（﹣4）﹣1+﹣2cos30°．
18．（4分）解不等式组．
19．（6分）已知2x2+x﹣1＝0，求代数式（x+2）（x﹣2）+x（x+1）的值．
20．（6分）一个不透明的口袋中放着若干个红球和黑球，这两种球除颜色外没有其他任何区别，袋中的球已经搅匀，闭眼从口袋中摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，经过大量重复试验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在0.4附近．
（1）估计摸到红球的概率是 　 　；
（2）如果袋中有黑球12个，求袋中有几个球；
（3）在（2）的条件下，又放入n个黑球，再经过大量重复试验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在0.7附近，求n的值．
21．（6分）为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表．
组别
分数段
频次
频率
A
60≤x＜70
17
0.17
B
70≤x＜80
30
a
C
80≤x＜90
b
0.45
D
90≤x＜100
8
0.08
请根据所给信息，解答以下问题：
（1）表中a＝　 　，b＝　 　；
（2）请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数；
（3）已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率．

22．（8分）如图，点C，E，F，B在同一条直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．
求证：（1）AB＝CD．
（2）若AB＝CF，∠B＝36°，求∠D的度数．

23．（8分）新修订的《中华人民共和国森林法》明确每年3月12日为植树节．2023年植树节，某填开展植树活动，欲购买甲、乙两种树苗．已知购买25棵甲种树苗和10棵乙种树苗共需1250元，购买15棵甲种树苗和5棵乙种树苗共需700元．
（1）求购买的甲、乙两种树苗的单价；
（2）经商量，决定用不超过1300元的费用购买甲、乙两种树苗共30棵，其中乙种树苗的数量不少于甲种树苗数量的，求购买的甲种树苗数量的取值范围．
24．（8分）如图，直线y＝2x+6与反比例函数的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n（0＜n＜6）交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM．
（1）求m的值和反比例函数的表达式；
（2）当n为何值时，△BMN的面积最大？最大面积是多少？

25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为⊙O外一点，连接AC，BC，BD，CD，满足BC＝BD，∠CBD＝2∠CBA．
（1）证明：直线CD为⊙O的切线；
（2）射线DC与射线BA交于点E，若AE＝AB＝6，求BD的长．

26．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+2的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）连接BC，在该二次函数图象上是否存在点P，使∠PCB＝∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线AQ，BQ分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，EM+EN的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

27．（12分）如图，在矩形ABCD中，点E为AB上一点，过点D作DP⊥CE于点P，连接DE交AP于点F，点P恰好为CE的中点．
（1）求证：△DEP∽△CEB；
（2）如图1，若，求的值；
（3）如图2，在（2）的条件下，点G、Q分别为DP、DE上的动点，若CP＝5，请直接写出GF+GQ的最小值．



2023年江苏省苏州市姑苏区振华中学中考数学二模试卷
（参考答案）
一.选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分）
1．（3分）下列图形中，不是轴对称图形，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
2．（3分）今年“五一”假期，我市某主题公园共接待游客77800人次，将77800用科学记数法表示为（　　）
A．0.778×105 B．7.78×104 C．77.8×103 D．778×102
【解答】解：77800＝7.78×104，
故选：B．
3．（3分）某学校进行演讲比赛，最终有7位同学进入决赛，这七位同学的评分分别是9.5，9.3，9.1，9.4，9.7，9.3，9.6．请问这组评分的众数是（　　）
A．9.5 B．9.4 C．9.1 D．9.3
【解答】解：∵这七位同学的评分分别是9.5，9.3，9.1，9.4，9.7，9.3，9.6．
∴这组评分的众数为9.3，
故选：D．
4．（3分）若关于x的一元二次方程x2+4x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的值可能为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【解答】解：根据题意，得：Δ＝42﹣4×1×c＞0，
解得c＜4，
故选：D．
5．（3分）将一副三角板（∠A＝30°，∠E＝45°）按如图所示方式摆放，使得BA∥EF，则∠AOF等于（　　）

A．75° B．90° C．105° D．115°
【解答】解：∵BA∥EF，∠A＝30°，
∴∠FCA＝∠A＝30°．
∵∠F＝∠E＝45°，
∴∠AOF＝∠FCA+∠F＝30°+45°＝75°．
故选：A．

6．（3分）如图，小明在点A处仰头45°看到一架直升机正从点B处沿水平BC方向飞行，此刻望向楼顶D处的仰角为60°，于是他立即在原地用时2秒拿出手机开始录像．已知录制开始时直升机已驶至小明正上方点C处，若直升机继续在同一水平高度上匀速飞行，那么它被大楼遮住之前，能录像的时长为（　　）

A．2秒 B．秒
C．秒 D．条件不足，无法计算
【解答】解：延长BC交AD于E点，如图，设直升机的飞行速度为x米/秒，直升机从C点飞到E点用了t秒
根据题意得BC＝2x（米），CE＝xt（米），
在Rt△ABC中，∵∠B＝45°，
∴AC＝BC＝2x，
在Rt△ACE中，∵∠CAE＝30°，
∴AC＝CE，
即2x＝xt，
解得t＝，
所以直升机被大楼遮住之前，能录像的时长为秒．
故选：C．

7．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4cm，动点E从点A出发，以1cm/秒的速度沿折线AB﹣BC的路径运动，到点C停止运动．过点E作EF∥BD，EF与边AD（或边CD）交于点F，EF的长度y（cm）与点E的运动时间x（秒）的函数图象大致是（　　）

A． B．
C． D．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，EF∥BD，
∴当0≤x≤4时，y＝，
当4＜x≤8，y＝＝，
故符合题意的函数图象是选项A．
故选：A．
8．（3分）已知三角形ABE为直角三角形，∠ABE＝90°，DE为圆的直径，BC为圆O切线，C为切点，CA＝CD，则△ABC和△CDE面积之比为（　　）

A．1：3 B．1：2 C．：2 D．（﹣1）：1
【解答】解：解法一：如图，连接OC，
∵BC是⊙O的切线，OC为半径，
∴OC⊥BC，
即∠OCB＝90°，
∴∠COD+∠OBC＝90°，
又∵∠ABE＝90°，即∠ABC+∠OBC＝90°，
∴∠ABC＝∠COD，
∵DE是⊙O的直径，
∴∠DCE＝90°，即∠OCE+∠OCD＝90°，
又∠A+∠E＝90°，而∠E＝∠OCE，
∴∠A＝∠OCD，
在△ABC和△COD中，
，
∴△ABC≌△COD（AAS），
又∵EO＝DO，
∴S△COD＝S△COE＝S△DCE，
∴S△ABC＝S△DCE，
即△ABC和△CDE面积之比为1：2；

解法二：如图，连接OC，过点B作BF⊥AC，
∵BC是⊙O的切线，OC为半径，
∴OC⊥BC，
即∠OCB＝90°，
∴∠COD+∠BCD＝90°，
又∵∠ABE＝90°，即∠ABC+∠BCD＝90°，
∴∠ACB＝∠COD，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
又∵∠A+∠E＝90°＝∠ODC+∠E，
∴∠A＝∠ACB，
∴AB＝BC，
∴AF＝AC＝CD，
∵△ABF∽△DEC，
∴＝＝，
∴△ABC和△CDE面积之比（AC•BF）：（CD•EC）
＝BF：EC
＝1：2．
故选：B．


二.填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分）
9．（3分）＝　2　．
【解答】解：∵22＝4，
∴4的算术平方根是2，即＝2．
故答案为：2．
10．（3分）因式分解：b2﹣9＝　（b+3）（b﹣3）　．
【解答】解：b2﹣9＝（b+3）（b﹣3）．
故答案为：（b+3）（b﹣3）．
11．（3分）某工厂一共有1200人，为选拔人才，提出了一些选拔的条件，并进行了抽样调查．从中抽出400人，发现有300人是符合条件的，那么该工厂1200人中符合选拔条件的人数为 　900　．
【解答】解：1200×＝900．
答：该工厂1200人中符合选拔条件的人数为900．
故答案为：900．
12．（3分）如图，若反比例函数y＝（x＜0）的图象经过点A，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积为3，则k的值为 　﹣6　．

【解答】解：∵AB⊥OB，
∴S△AOB＝|k|＝3，
∴k＝±6，
∵反比例函数的图象在第二象限，
∴k＜0，
∴k＝﹣6，
故答案为：﹣6．
13．（3分）某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价 　10　元．
【解答】解：设每件降价 x 元，则每件的销售利润为（65﹣x﹣45）元，每天可售出（30+5x）件，
根据题意得：（65﹣x﹣45）（30+5x）＝800，
解得：x1＝4，x2＝10．
∵要尽快减少库存，
∴x＝10．
故每件应降价10元．
故答案为：10．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点光源位于P（4，4）处，木杆AB两端的坐标分别为（0，2），（6，2）．则木杆AB在x轴上的影长CD为 　12　．

【解答】解：过P作PE⊥x轴于E，交AB于M，如图，

∵P（4，4），A（0，2），B（6，2）．
∴PM＝2，PE＝4，AB＝6，
∵AB∥CD，
∴＝．
∴＝，
∴CD＝12，
故答案为：12．
15．（3分）如图1，在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，动点E，F从点A同时出发，分别沿A→B→C和A→D→C的方向都以每秒1个单位长度的速度运动，到达点C后停止运动．设运动时间为t（s），△AEF的面积为y，y与t的大致函数关系如图2所示．则当时，t的值为 　1或　．

【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，由图2得：
AD＝BC＝3﹣2＝1，AB＝CD＝2，
当0＜t≤1时，AF＝AE，
∵∠A＝60°，
∴AEF是等边三角形，
∴y＝×t×t＝t2
当y＝时，＝t2
解得t＝1或t＝﹣1（舍去）；
当1＜t≤2时，如图，

∴DG＝AD•sin60°＝，
∵AE＝t，
∴y＝AE•DG＝t×＝t，
当y＝时，t＝，
解得t＝1（舍去）；
当2＜t≤3时，如图：

BE＝t﹣2，CE＝CF＝3﹣t，DF＝t﹣1，
∴y＝S△AEF＝S四边形ABCD﹣S△ABE﹣S△ADF﹣S△CEF
＝2×﹣×2×（t﹣2）×﹣×（t﹣1）﹣×（3﹣t）2
＝﹣+t，
当y＝时，＝﹣+t，
解得t＝或t＝（舍去），
综上所述得：当y＝时．t＝1或t＝．
故答案为：1或．
16．（3分）已知△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝5，AE＝2，连接CE，以CE为底作直角三角形CDE，且CD＝DE．F是AE边上的一点，连接BD和BF，且∠FBD＝45°，则AF长为 　　．

【解答】解：将线段BD绕点D顺时针旋转90°，得到线段HD，连接BH，延长HE交BC于G，

∴△BDH是等腰直角三角形，
∴∠HBD＝45°，
∵∠FBD＝45°，
∴点B、F、H共线，
又∵△EDC是等腰直角三角形，
∴HD＝BD，∠EDH＝∠CDB，ED＝CD，
∴△EDH≌△CDB（SAS），
∴EH＝CB＝5，∠DHE＝∠CBD，
∴∠BGH＝∠BDH＝90°，
∴HE∥AB，
∴△ABF∽△EHF，
∴，
∵AE＝2，
∴，
∴AF＝，
故答案为：．
三.解答题（木大题共11小题，共82分）
17．（4分）计算：﹣（﹣4）﹣1+﹣2cos30°．
【解答】解：原式＝++1﹣2×＝．
18．（4分）解不等式组．
【解答】解：解不等式4（x+1）≤7x+10，得：x≥﹣2，
解不等式x﹣5＜，得：x＜，
则不等式组的解集为：
19．（6分）已知2x2+x﹣1＝0，求代数式（x+2）（x﹣2）+x（x+1）的值．
【解答】解：（x+2）（x﹣2）+x（x+1）
＝x2﹣4+x2+x
＝x2+x2+x﹣4
＝2x2+x﹣4，
∵2x2+x﹣1＝0，
∴2x2+x＝1，
∴当2x2+x＝1时，原式＝1﹣4＝﹣3．
20．（6分）一个不透明的口袋中放着若干个红球和黑球，这两种球除颜色外没有其他任何区别，袋中的球已经搅匀，闭眼从口袋中摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，经过大量重复试验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在0.4附近．
（1）估计摸到红球的概率是 　　；
（2）如果袋中有黑球12个，求袋中有几个球；
（3）在（2）的条件下，又放入n个黑球，再经过大量重复试验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在0.7附近，求n的值．
【解答】解：（1）∵经过很多次实验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在0.4附近，
∴估计摸到红球的频率在0.6，
∴估计摸到红球的概率是 ＝，
故答案为：；
（2）设袋子中有m个球，
根据题意，得＝，
解得m＝30，
经检验m＝30是分式方程的解，
答：袋中有30个球；
（3）根据题意得：＝，
解得：n＝30，
经检验n＝30是分式方程的解，
所以n＝30．
21．（6分）为了传承中华优秀传统文化，市教育局决定开展“经典诵读进校园”活动，某校团委组织八年级100名学生进行“经典诵读”选拔赛，赛后对全体参赛学生的成绩进行整理，得到下列不完整的统计图表．
组别
分数段
频次
频率
A
60≤x＜70
17
0.17
B
70≤x＜80
30
a
C
80≤x＜90
b
0.45
D
90≤x＜100
8
0.08
请根据所给信息，解答以下问题：
（1）表中a＝　0.3　，b＝　45　；
（2）请计算扇形统计图中B组对应扇形的圆心角的度数；
（3）已知有四名同学均取得98分的最好成绩，其中包括来自同一班级的甲、乙两名同学，学校将从这四名同学中随机选出两名参加市级比赛，请用列表法或画树状图法求甲、乙两名同学都被选中的概率．

【解答】解：（1）本次调查的总人数为17÷0.17＝100（人），
则a＝＝0.3，b＝100×0.45＝45（人），
故答案为：0.3，45；

（2）360°×0.3＝108°，
答：扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为108°；

（3）将同一班级的甲、乙学生记为A、B，另外两学生记为C、D，
列树形图得：

∵共有12种等可能的情况，甲、乙两名同学都被选中的情况有2种，
∴甲、乙两名同学都被选中的概率为＝．
22．（8分）如图，点C，E，F，B在同一条直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．
求证：（1）AB＝CD．
（2）若AB＝CF，∠B＝36°，求∠D的度数．

【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（AAS），
∴AB＝CD；
（2）解：∵△ABE≌△DCF，
∴AB＝CD，BE＝CF，
∵AB＝CF，∠B＝36°，
∴AB＝BE，
∴△ABE是等腰三角形，
∴∠D＝．
23．（8分）新修订的《中华人民共和国森林法》明确每年3月12日为植树节．2023年植树节，某填开展植树活动，欲购买甲、乙两种树苗．已知购买25棵甲种树苗和10棵乙种树苗共需1250元，购买15棵甲种树苗和5棵乙种树苗共需700元．
（1）求购买的甲、乙两种树苗的单价；
（2）经商量，决定用不超过1300元的费用购买甲、乙两种树苗共30棵，其中乙种树苗的数量不少于甲种树苗数量的，求购买的甲种树苗数量的取值范围．
【解答】解：设购买甲，乙两种树苗的单价分别为x元，y元，
根据题意，得，
解方程组，得，
∴购买甲种树苗单价为30元，乙种树苗单价为50元．
（2）设购买甲种树苗m棵，则乙种树苗（30﹣m）棵，
根据题意，得，
解不等式组，得10≤m≤20，
∴购买甲种树苗数量的取值范围是10≤m≤20．
24．（8分）如图，直线y＝2x+6与反比例函数的图象交于点A（1，m），与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n（0＜n＜6）交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM．
（1）求m的值和反比例函数的表达式；
（2）当n为何值时，△BMN的面积最大？最大面积是多少？

【解答】解：（1）∵直线y＝2x+6经过点A（1，m），
∴m＝2×1+6＝8，
∴A（1，8），
∵反比例函数经过点A（1，8），
∴k＝8，
∴反比例函数的表达式为；
（2）由题意可知，
函数中，当y＝n时，
函数y＝2x+6中，当y＝n时，
∴点M，N的坐标为，，
∵0＜n＜6，即直线y＝n（0＜n＜6）在点A下方，
∴，
∴＝，
∴，
∴n＝3时，△BMN的面积最大，最大值为．
25．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为⊙O外一点，连接AC，BC，BD，CD，满足BC＝BD，∠CBD＝2∠CBA．
（1）证明：直线CD为⊙O的切线；
（2）射线DC与射线BA交于点E，若AE＝AB＝6，求BD的长．

【解答】解：（1）证明：连接OC，如图所示：

∵AB是⊙O的直径，OC＝OB＝OA，
∴∠ACB＝90°，∠OCB＝∠OBC，
∴∠AOC＝2∠OCB，
∵∠CBD＝2∠CBA，
∴∠AOC＝∠CBD，
∵BC＝BD，OA＝OC，
∴，
∴∠ACO＝∠BCD，
∵∠ACO+∠OCB＝90°，
∴∠BCD+∠OCB＝90°，即∠OCD＝90°，
∴直线CD为⊙O的切线；
（2）如图所示：

由（1）可知∠ACO＝∠BCD，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠BCD，
∵∠ECB+∠BCD＝180°，∠EAC+∠OAC＝180°，
∴∠EAC＝∠ECB，
∵∠E＝∠E，
∴△EAC∽△ECB，
∴，即EC2＝EA⋅EB，
∵AE＝AB＝6，
∴EB＝12，
∴，
∴，
设，
∴在Rt△ACB中，由勾股定理得：2x2+4x2＝36，
解得：（负根舍去），
∴．


26．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+2的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）连接BC，在该二次函数图象上是否存在点P，使∠PCB＝∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线AQ，BQ分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，EM+EN的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（﹣1，0），B（3，0），
∴，
解得：
∴该二次函数的表达式为y＝x2+x+2；
（2）存在，理由如下：
如图1，当点P在BC上方时，
∵∠PCB＝∠ABC，
∴CP∥AB，即CP∥x轴，
∴点P与点C关于抛物线对称轴对称，
∵y＝x2+x+2，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∵C（0，2），
∴P（2，2）；
当点P在BC下方时，设CP交x轴于点D（m，0），
则OD＝m，DB＝3﹣m，
∵∠PCB＝∠ABC，
∴CD＝BD＝3﹣m，
在Rt△COD中，OC2+OD2＝CD2，
∴22+m2＝（3﹣m）2，
解得：m＝，
∴D（，0），
设直线CD的解析式为y＝kx+d，则，
解得：，
∴直线CD的解析式为y＝x+2，
联立，得，
解得：（舍去），，
∴P（，﹣），
综上所述，点P的坐标为（2，2）或（，﹣）；
（3）由（2）知：抛物线y＝x2+x+2的对称轴为直线x＝1，
∴E（1，0），
设Q（t，t2+t+2），且﹣1＜t＜3，
设直线AQ的解析式为y＝ex+f，则，
解得：，
∴直线AQ的解析式为y＝（t+2）x﹣t+2，
当x＝1时，y＝﹣t+4，
∴M（1，﹣t+4），
同理可得直线BQ的解析式为y＝（﹣t﹣）x+2t+2，
当x＝1时，y＝t+，
∴N（1，t+），
∴EM＝﹣t+4，EN＝t+，
∴EM+EN＝﹣t+4+t+＝，
故EM+EN的值为定值．

27．（12分）如图，在矩形ABCD中，点E为AB上一点，过点D作DP⊥CE于点P，连接DE交AP于点F，点P恰好为CE的中点．
（1）求证：△DEP∽△CEB；
（2）如图1，若，求的值；
（3）如图2，在（2）的条件下，点G、Q分别为DP、DE上的动点，若CP＝5，请直接写出GF+GQ的最小值．


【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠B＝∠BCD＝90°，
∴∠BEC＝∠DCE，
∵DP⊥CE，点P为CE的中点，
∴CD＝DE，∠DPE＝90°，
∴∠DCE＝∠DEP，
∴∠DPE＝∠B，∠DEP＝∠BEC，
∴△DEP∽△CEB；
（2）解：如图1，延长AP交DC的延长线于点H，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠H＝∠PAE，
∵点P为CE的中点，
∴PC＝PE，
在△PCH和△PEA中，
，
∴△PCH≌△PEA（AAS），
∴CH＝AE，PH＝PA，
∵，设BE＝3k（k＞0），则BC＝AD＝4k，∠B＝90°，
∴EC＝+BC2＝＝5k，
∴PE＝PC＝EC＝k，
∵△DEP∽△CEB，
∴＝＝，即＝＝，
∴DE＝k，DP＝k，
由（1）知：CD＝DE，
∴CD＝AB＝k，
∴AE＝CH＝AB﹣BE＝k﹣3k＝k，
∴DH＝CD+CH＝k+k＝k，
∵AB∥DH，
∴△AEF∽△HDF，
∴＝＝＝；
（3）解：∵DP是线段CE的垂直平分线，
∴直线DP是△DCE的对称轴，
作点Q关于DP的对称点Q′，点Q′在DC上，且DQ′＝DQ，连接GQ、GQ′、GF，
当F、G、Q′三点在同一条直线上，且FQ′⊥CD时，GF+GQ＝GF+GQ′＝FQ′最小，
由（2）知：PE＝PC＝k，
∵CP＝5，
∴k＝5，
解得：k＝2，
∴DE＝k＝，AE＝k＝，AD＝4k＝8，
∵＝，
∴DF＝DE＝×＝，
∵FQ′⊥CD，
∴∠DQ′F＝90°，
∵∠ADC＝90°，
∴∠ADC+∠DQ′F＝180°，
∴FQ′∥AD，
∴△FDQ′∽△DEA，
∴＝，即＝，
∴FQ′＝，
∴GF+GQ的最小值为．