【期末常考压轴题】湘教版八年级数学下册-专题15 能力提升专题：一次函数与特殊平行四边形的综合压轴题四种模型 全攻略讲学案

专题15 能力专题提升：一次函数与特殊平行四边形的综合压轴题四种模型全攻略

【考点导航】

【典型例题】

【考点一 一次函数与平行四边形的综合】

例题：（2023春·八年级课时练习）在平面直角坐标系中，已知直线与轴和轴分别交于，两点，直线与轴交于点，过点作轴，与直线交于点．当以，，，四个顶点围成的四边形为平行四边形时，点的坐标可以是（　　）

A． B． C． D．

【变式训练】

1．（2023春·八年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在x轴的正半轴上，A、C两点的坐标分别为,点B在第一象限,将直线沿y轴向上平移个单位．若平移后的直线与边有交点，则m的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

2．（2023春·全国·八年级专题练习）平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴的正半轴，点，，直线以每秒1个单位的速度向下平移，经过____________秒，该直线将平行四边形面积平分．

3．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，直线与轴、轴分别相交于点、，与直线相交于点．

(1)求点坐标；

(2)在平面直角坐标系中，是否存在一点M，使得以O，A，M，C为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，试写出所有符合条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由；

4．（2023春·全国·八年级专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线y与轴、轴相交于、两点，点在线段上，将线段绕着点顺时针旋转得到，此时点恰好落在直线上，过点作轴于点，

(1)求证：．

(2)求点的坐标．

(3)若点在轴上，点在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点二 一次函数与矩形的综合】

例题：（2023春·八年级课时练习）如图①，在矩形中，动点从点出发，沿，，运动至点停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图像如图②所示，则的面积是（    ）

A． B． C． D．

【变式训练】

1．（2023春·八年级课时练习）如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于、两点，点是线段上一动点(不与点A、B重合)，过点分别作、垂直于轴、轴于点、，当点从点开始向点运动时，则矩形的周长(   )

A．不变 B．逐渐变大 C．逐渐变小 D．先变小后变大

2．（2023春·江苏南京·八年级南京市第二十九中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的点和点分别落在轴和轴上，，，直线以每秒个单位长度向下移动，经过 ______ 秒该直线可将矩形的面积平分．

3．（2023春·上海·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与矩形的边分别交于点E，F，已知，则五边形的面积是 ___________ ．

4．（2021春·天津河西·八年级统考期末）矩形在如图所示的直角坐标系中，点的坐标为，．已知直线：过点，与边交于点．

（1）求点的坐标和的长；

（2）将直线沿轴上下方向平移，分别交边，于点、．四边形是菱形时，则需要将直线向  平移 个单位．

5．（2022春·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期末）如图1，矩形OABC摆放在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=3，OC=2，过点A的直线交矩形OABC的边BC于点P，且点P不与点B、C重合，过点P作∠CPD=∠APB，PD交x轴于点D，交y轴于点E．

(1)若△APD为等腰直角三角形．

①求直线AP的函数解析式；

②在x轴上另有一点G的坐标为(2，0)，请在直线AP和y轴上分别找一点M、N，使△GMN的周长最小，并求出此时点N的坐标和△GMN周长的最小值．

(2)如图2，过点E作EF∥AP交x轴于点F，若以A、P、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求直线PE的解析式．

【考点三 一次函数与菱形的综合】

例题：（2023春·江苏无锡·八年级校联考期中）将矩形如图所示放置在第一象限，点B的坐标为，一次函数的图象与边分别交于点D、E，并且满足，点M是线段上的一个动点．

(1)填空： ；

(2)设点N是x轴上方平面内的一点，以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形，求点M的坐标．

【变式训练】

1．（2023·江苏淮安·统考一模）如图1，在菱形中，，动点从点出发，沿折线方向匀速运动，运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为，与的函数图象如图2所示，则的长为_______．

2．（2023春·江苏·八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是梯形，，是的中点，，点坐标是，所在直线的函数关系式为，点是边上一个动点．

(1)当_________________时，以点、、、为顶点的四边形为平行四边形．

(2)在（1）的条件下，点P在边上运动过程中，以点、、、为顶点的四边形能否构成菱形？试说明理由．

3．（2023春·江苏苏州·八年级苏州市立达中学校校考期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，点C在x轴正半轴上，对角线交y轴于点M，边交y轴于点H．动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的速度沿折线A—B—C向终点C运动．

(1)点B的坐标为______；

(2)设动点P的运动时间为t秒，连接，的面积为S，请用含t的式子表示S；

(3)当点P运动到线段上时，连接，若，求P的运动时间t的值．

4．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，四边形是菱形，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，射线为轴的正半轴，点的坐标为．

(1)菱形的边长是_______，直线的解析式为__________；

(2)若为直线上一动点，的横坐标为，设的面积为，求与之间的函数关系式；

(3)点在直线上运动过程中，以、、、为顶点的四边形是矩形，请直接写出点的坐标．

5．（2023春·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在轴、轴上，且，为直线上一动点，连，过作，交直线、直线于点、，连．

(1)求直线的解析式．

(2)当为中点时，求的长．

(3)在点的运动过程中，坐标平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的横坐标，若不存在，请说明理由．

【考点四 一次函数与正方形的综合】

例题：（2023春·八年级课时练习）如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD．

(1)求正方形ABCD的面积；

(2)求点C和点D的坐标；

(3)在x轴上是否存在点M，使△MDB的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【变式训练】

1．（2023春·全国·八年级专题练习）正方形，…，按如图的方式放置，点，…和点，…分别在直线和轴上，则点的坐标是(　　)

A． B． C． D．

2．（2023·山东菏泽·统考一模）如图，四边形是边长为1的正方形，顶点A在x轴的负半轴上，顶点C在y轴的正半轴上，若直线与边有公共点，则k的取值范围是____________．

3．（2023春·上海·八年级专题练习）已知一次函数y＝2x＋4的图像与x轴、y轴分别相交于点A、B，在直线右侧以AB为边作正方形ABCD，则点D的坐标是________．

4．（2023春·八年级课时练习）如图，正方形的边长为，点在边上，且，点为边上一动点，且 ，以A为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系．

(1)连接，求四边形的面积S关于的函数表达式；

(2)若直线将正方形分成面积相等的两部分，求此时直线对应的函数表达式；

(3)在正方形的边上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

5．（2023春·江苏·八年级期中）直线l：分别交x轴，y轴于A，B两点，

(1)求线段的长；

(2)如图，将l沿x轴正方向平移，分别交x轴，y轴于E，F两点，若直线上存在两点C，D，使四边形为正方形，求此时E点坐标和直线的解析式；

(3)在（2）的条件下，将绕E点旋转，交直线l于P点，若，求P点的坐标．