2023年四川省成都市青白江区中考二模数学试题(含答案)

青白江区初2020级诊断性检测试卷

数学

（考试时间120分钟；试卷满分150分）

注意事项：

1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分．

2．在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在试卷和答题卡规定的地方，考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回。

3．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．

4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．

5．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等．

A卷（共100分）

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）

1．－3的相反数是（    ）

A．－3  B．3  C．  D．

2．如图，桌面上有一个一次性纸杯，它的主视图应是（    ）

A．  B．  C．  D．

3．2023年青白江区首届凤凰国际灯会跻身兔年春节十大热门灯会之一，从1月22日到1月28日这7天共接待游客57.9万人次，旅游综合收入230000000元，实现文旅消费开门红．请将230000000用科学记数法表示为（    ）

A．  B．  C．  D．

4．下列计算正确的是（    ）

A．  B．  C．  D．

5．为了落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”等五项管理要求，了解学生的睡眠状况，调查了一个班50名学生每天的睡眠时间，绘成睡眠时间频数分布直方图如图所示，则所调查学生睡眠时间的众数，中位数分别为（    ）

A．7h，7h  B．7h，7.5h  C．8h，7.5h  D．8h，8h

6．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点M在上，则∠CME的度数为（    ）

A．30°  B．36°  C．45°  D．60°

7．若函数y＝3x＋a与的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是（    ）

A．  B．  C．  D．

8．已知二次函数，下列结论正确的是（    ）

A．对称轴为直线x＝－2     B．顶点坐标为

C．当x<0时，y随x的增大而增大  D．与x轴只有一个交点

二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）

9．若n＋1与n－5互为相反数，则n的值为______．

10．如图，已知等边三角形ABC的边长为2，则A点的坐标为______．

11．分式方程的解为x＝______．

12．如图，在△ABC中，点D在边BC上，若AB＝AD＝CD，∠BAD＝96°，则∠C＝______．

13．如图，在△ABC中，，AC＝2，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AB，AC于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧交于点P；③作射线AP交BC于点D．若，则CD的长为______．

三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）

14．（本小题满分12分，每题6分）

（1）计算：．

（2）先化简，再求值：，

15．（本小题满分8分）

“爱成都迎大运”，为迎接第31届世界大学生夏季运动会的举行，某学校积极开展了如下丰富多彩的课外兴趣活动：乒乓球，篮球，足球，自行车越野四种课程（依次用A，B，C，D表示），为了解学生对这四种课程的喜好情况，校学生会随机抽取部分学生进行了“你最喜欢哪一种课外活动（必选且只选一种）”的问卷调查．根据调查结果，小明同学绘制了如图所示的不完整的两个统计图．

（1）请根据统计图将下面的信息补充完整；

①参加问卷调查的学生共有______人；

②扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角的度数为______；

（2）若该校共有学生1200名，请你估计该校全体学生中最喜欢C课程的学生有多少人？

（3）现从喜欢乒乓球的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人比赛，请用树状图或列表法求“恰好甲和丁同学被选到”的概率．

16．（本小题满分8分）

青白江凤凰湖公园里的方尖碑是园内最高且具有标志性的建筑物，以其为中心，修建了欧式广场及服务性配套设施，成为凤凰湖二期最吸人眼球的景点．如图，某兴趣小组想测量该方尖碑CD的高度，先在A处仰望碑顶C，测得仰角为27°，再往碑的方向前进137米到B处，测得仰角为60°，求该方尖碑CD的高度．（结果精确到1米；参考数据：，，，）

17．（本小题满分10分）如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O，以点A为端点作射线交BC的延长线于点E，且∠CAE＝∠B．

（1）求证：AE是⊙O的切线；

（2）作CD⊥AB于点D，CD＝6，AD＝4，AD<DB，求⊙O的直径AB和CE的长．

18．（本小题满分10分）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，已知A点的横坐标是2．

（1）分别求出这两个函数的表达式；

（2）直接写出当时，x的取值范围；

（3）将直线y＝kx向下平移m个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点C，与x轴和y轴分别交于点D，E，若，求m的值．

B卷（共50分）

一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）

19．多项式的最小值为______．

20．若，是方程的两个实数根，则代数式的值等于______．

21．中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”．“方田一段，一角圆池占之．”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形水池（其中圆与正方形一角的两边均相切）”．如图所示，正方形ABCD内的一圆O与边AB，AD均相切，正方形的一条对角线AC与圆O相交与点M，N（点N在点M的右上方），若正方形的边长为丈，CN的长度为丈．现假设可以随意在图中取点，则这个点取在圆中（包含圆上）的概率是______．

22．如图，已知△ABC和是以点C为位似中心的位似图形，点的对应点为，点C位于处，若点B的对应点的横坐标为3，则点B的横坐标为______．

23．如图，正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD上的动点，沿AE，AF折叠△ABE和△ADF，恰好落在Q点，连接DQ并延长交BC于G．若AB＝2，则EG的最大值为______．

二、解答题（本大题共三个小题，共30分，答案写在答题卡上）

24．（本小题满分8分）小强家的网络商店（简称网店）主要经营甲、乙两种袋装优质土特产商品，这两种商品的前三个月销售的相关信息如下表：

根据上表提供的信息，解答下列问题：

（1）已知今年前三个月，小强家网店销售上表中两种规格的商品共3000kg，获得利润42000元，求前三个月小强家网店销售两种商品各多少袋（设乙商品为a袋）；

（2）根据之前的销售情况，小强估计今年4月到6月这后三个月，他家网店还能销售上表中两种规格的商品共2000kg，其中甲商品的销售量不低于600kg．假设这后三个月，销售甲商品x（kg），销售这两种商品获得的总利润为y（元），求出y与x之间的函数关系式，并求出这后三个月，小强家网店销售这两种商品至少获得总利润多少元．

25．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时另一个点也停止运动，当△PBQ存在时，求P，Q运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？

（3）在（2）的条件下，当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在一点K，使？若存在，求K点坐标；若不存在，请说明理由．

26．（本小题满分12分）在中，∠C＝45°，AD＝BD，点P为射线CD上的动点（点P不与点D重合），连接AP，过点P作EP⊥AP交直线BD于点E．

（1）如图1，当点P为线段CD的中点时，请判断出PA，PE的数量关系，并证明；

（2）如图2，当点P在线段CD上时，求证：；

（3）点P在射线CD上运动，若，AP＝5，求线段BE的长．

青白江区初2020级诊断性测试卷

数学参考答案及评分标准

A卷（共100分）

一、选择题（每小题4分，满分32分）

1．B  2．C  3．C  4．D  5．B  6．D  7．A  8．C

二．填空题（每小题4分，满分20分）

9．2  10．  11．4  12．21°  13．

三．解答题（共6小题，满分48分）

14．（本小题满分12分，每题6分）

（1）解：原式．

（2）解：原式，∴当时，原式

15．（本小题满分8分）

解：（1）①参加问卷调查的学生人数是84÷35%＝240（人）；②扇形统计图中“D”对应扇形的圆心角的大小为  故填：①240，②36°；

（2）最喜欢D课程人数所占百分比为

∴最喜欢C课程的人数所占百分比为

∴估计全体2100名学生中最喜欢C课程的人数约为：1200×30%＝360（人）

答：估计该校全体学生中最喜欢C课程的学生有360人；

（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中恰好甲和丁同学被选到的结果数为2

∴恰好甲和丁同学被选到的概率为．

16．（本小题满分8分）

解：设BD＝x米，则AD＝AB＋BD＝137＋x

在Rt△BCD中，∠CBD＝60°，∴

在Rt△ACD中，∠A＝27°，∴，∴（答成57.27亦可），

经检验，是方程的根．

∴（米）

故该方尖碑CD的高约为99米．

17．（本小题满分10分）

（1）证明：∵AB是⊙O的直径

∴∠ACB＝90°，即∠B＋∠BAC＝90°

∵∠CAE＝∠B，∴∠CAE＋∠BAC＝90°即∠BAE＝90°

∴AE是⊙O的切线．

（2）解：∵∠BAC＋∠ACD＝∠BAC＋∠B＝90°，∴∠ACD＝∠BAD，∴

∴即可解得：BD＝9，∴AB＝BD＋AD＝13（其他方法对应给分）

由勾股定理得

∵∠BDC＝∠BAE＝90°，∴

∴即解得（其他方法对应给分）

18．（本小题满分10分）

解：（1）由已知可得：，解得k＝1，∴正比例函数为y＝x，反比例函数为

（2）或

（3）∵直线y＝x向下平移m个单位长度，∴直线CD解析式为：y＝x－m

当y＝0时，x＝m，∴点D的坐标为

如图，过点C作CF⊥x轴于点F，则

∴，∴，∴

∵点C在直线CD上，∴，∴

∴点C的坐标是

∵点C在反比例函数的图象上，∴，解得

由题意知m>0，∴

B卷（共50分）

一、填空题（每题4分，满分20分）

19．－6  20．2035  21．  22．－3  23．

二、解答题（共30分）

24．（本小题满分8分）

解：（1）根据题意得：，解得：a＝750

∴3000－2a＝1500，∴前三个月销售了甲商品1500袋，乙商品750袋．

（2）根据题意得：，则y随x的增大而增大

∵x>600，∴当x＝600时，y取得最小值，其最小值为12×600＋16000＝23200（元）

故小强家网店销售这两种商品至少获得总利润为23200元．

25．（本小题满分10分）

解：（1）把点、分别代入，得解得

∴该抛物线的解析式为：；

（2）方法一：设运动时间为t秒，则AP＝3t．BQ＝t，PB＝6－3t．

由题意得，点C的坐标为．

在Rt△BOC中，．

如图1，过点Q作QH⊥AB于点H．

∴，∴

∴，即解得．

∴

当△PBQ存在时，0<t<2．

∴当t＝1时，．

方法二：设运动时间为t秒，则AP＝3t，BQ＝t，PB＝6－3t．

由题意得，点C的坐标为．

∵，∴

过点Q作QH⊥AB于点H．则，

∵BQ＝t，∴

∴

∴当t＝1时，．

（3）方法一：设直线BC的解析式为．

把，代入，得解得

∴直线BC的解析式为．

∵点K在抛物线上，∴设点K的坐标为

如图2，过点K作轴，交BC于点E，则点E的坐标为．

∴

当△PBQ的面积最大时，，．∴

而

∴．解得，．

∴，．

方法二：如图2，过点K作轴，交BC于点E．

∵，，∴

设，

∴，解得，．

∴，．

26．（本小题满分12分）

（1）答：PA＝PE

证明：如图1，连接BP．

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC

∵AD＝BD，∴∠BDC＝C＝45°

∴∠CBD＝90°，∴△BDC是等腰直角三角形

∵点P为CD的中点，∴DP＝BP，BP⊥CD，∠CBP＝∠DBP＝45°

∴∠ADP＝∠ABC＝∠PBE＝135°

∵PA⊥PE，∴∠APE＝∠DPB＝90°，∴∠APD＝∠EPB

∴，∴PA＝PE；

（2）证明：如图2，过点P作PF⊥CD交DE于点F，

则∠DPF＝∠APE＝90，∴∠DPA＝∠FPE

∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C＝∠DAB＝45°，

又∵AD＝BD，∴∠DAB＝∠DBA＝∠C＝∠CDB＝45°

∴∠ADB＝∠DBC＝90°，∴∠PFD＝45°

∴∠PFD＝∠PDF＝45°

∴PD＝PF，∠PDA＝∠PFE＝135°

∴，∴AD＝EF

在Rt△PDF中，

∴

∵，∴；

（3）解：

1）如图2，当点P在线段CD上时，作AG⊥CD，交CD延长线于G，

则△ADG是等腰直角三角形

∴AG＝DG＝3，∴，∴

由（2）得，，∴，∴

2）如图3，当点P在CD的延长线上时，作AG⊥CD，交CD延长线于G，

同理可得，△ADG是等腰直角三角形

∴，AG＝DG＝3，

∴PD＝PG＋DG＝4＋3＝7，∴，∴

综上，BE的长为或．