2023年四川省成都市青羊区中考二模数学试题

这是一份2023年四川省成都市青羊区中考二模数学试题，共33页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年四川省成都市青羊区中考二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．计算正确的是（    ）
A．2 B． C．8 D．
2．如图是由4个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的主视图是(   )

A． B． C． D．
3．下列计算结果正确的是（    ）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是(   )
A． B． C． D．
5．调查某少年足球队位队员的年龄，得到数据结果如下表：
年龄/岁





人数
2
6
7
2
1
则该足球队队员年龄的众数和中位数分别是（    ）
A．岁，岁 B．岁，岁 C．岁，岁 D．7人，7人
6．某次知识竞赛共有题，答对一题得分，答错或不答扣5分，小华得分要超过分，他至少要答对的题的个数为（    ）
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若，则点G的坐标为（    ）

A． B． C． D．
8．如图，二次函数的图像与x轴交于点，对称轴是直线，根据图像判断以下说法正确的是（    ）

A． B．
C．若，则 D．当，则y随x的增大而增大

二、填空题
9．分解因式：______．
10．二元一次方程组的解是______．
11．如图，边长为4的正方形ABCD内接于，则的长是________（结果保留）

12．如图，某居民楼地处北半球某地，窗户朝南，窗户高为2米，表示直角遮阳棚，墙长度为米，此地一年的正午时刻，太阳光与地面的最大夹角为，测得，要使太阳光刚好不射入室内，遮阳棚水平宽应设计为______米．

13．如图，在中，，是的角平分线，分别以点A，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点M，N作直线，分别交于点E，F，连接，若的周长为，则四边形的面积为______．


三、解答题
14．（1）计算：．
（2）解方程：．
15．某校积极落实“双减”政策，将要开设拓展课程，为让学生可以根据自己的兴趣爱好选择最喜欢的课程，进行问卷调查，问卷设置以下四种选项：A（综合模型）、B（摄影艺术）、C（音乐鉴赏）、D（劳动实践），随机抽取了部分学生进行调查，每名学生必须且只能选择其中最喜欢的一种课程，并将调查结果整理绘制成如下不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：
(1)此次被调查的学生人数为____名，并直接在答题卡中补全条形统计图；
(2)求D所对应的扇形的圆心角的度数；
(3)小明和小兰都从A，B，C，D四种课程中选择一种自己喜欢的课程，请用列表或画树状图的方法求他们选中同一课程的概率．
16．钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，神圣不可侵犯！自2021年2月1日起，旨在维护国家主权、更好履行海警机构职责的《中华人民共和国海警法》正式实施，中国海警在钓鱼岛海域开展巡航执法活动，是中方依法维护主权的正当举措，如图是钓鱼岛其中一个岛礁，若某测量船在海面上的点D处测得与斜坡坡脚点C的距离为169米，测得岛礁顶端A的仰角为，以及该斜坡的坡度，求该岛礁的高（即点A到海平面的铅垂高度）．（结果保留整数）（参考数据：，，）

17．如图，为的直径，C为上一点，且点A，C不重合，P为外一点，，连接，连接交于点E，交于点D，连接．

(1)当时，求证：为的切线；
(2)在（1）的条件下，连接交于点F．当，时，求线段的长．
18．如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，与x轴交于点，将直线绕点A顺时针旋转交x轴于点C．

(1)求一次函数的表达式；
(2)设点D为反比例函数的图像与直线的唯一公共点，连接，试求的面积；
(3)在（2）的条件下，点P为反比例函数位于第二象限图像上的动点，连接，并将射线绕点O顺时针旋转交反比例函数的图像于点Q，当，且点P在点D上方时，求点P的坐标．

四、填空题
19．若m为的整数部分，n为的小数部分，则______．
20．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，若，则m的值为______．
21．如图，为菱形的内切圆，，若随机在菱形及其内部投针，则针尖扎在圆形区域的概率为______．

22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像交于A，B两点，C是反比例函数位于第一象限内的图像上的一点，作射线交y轴于点D，连接，，若，的面积为30，则______．

23．如图，在矩形纸片中，分别为边中点，G，H分别为边上的一点，且，连接线段，现折叠纸片，点A，C的对应点分别为，，的延长线交边于点P，的延长线交于点Q，若，则______．


五、解答题
24．直播作为一种新的营销方式，已经被越来越多的人所接受．近年以来，许多特色农产品随着直播漫步“云端”，被销售到全国各地．某农户在直播间销售一种成本为10元/的农产品，经调查发现，该农产品每天的销售量y（）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系，设销售这种商品每天的利润为W（元）．

(1)求W与x之间的函数关系式；
(2)若销售单价不低于15元/，且每天至少销售时，求W的最大值．
25．如图1，在中，，，，点D，E分别是中点，连接．在同一平面内，将绕点A逆时针旋转，射线相交于点P．

(1)如图2，在旋转过程中，的角度是否不变？若不变，请求出的度数．
(2)如图2，当时，求线段的长．
(3)连接，当线段取得最小值时，求线段的值．
26．如图1，二次函数的图像与x轴交于点，，与y轴交于点C，直线的函数表达式为，直线与x轴交于点D，P为该直线上一动点，连接，将绕P顺时针旋转一定角度得到．

(1)求二次函数与直线的函数表达式．
(2)如图1，若点Q恰好落在抛物线位于第四象限的图像上，连接交于点E，连接，，当与的面积之比最大时，求点P的坐标．
(3)如图2，若，在点P运动过程中，当点Q落在抛物线上时，求点Q的坐标，连接，，请直接写出周长的最小值．

参考答案：
1．A
【分析】根据有理数的加法运算即可求解．
【详解】解：．
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数的加法，掌握有理数的加法法则是解题的关键．
2．D
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】解：从正面看易得上面第一层有1个正方形，第二层左边和右边都有一个正方形，如图所示：

故选：D．
【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
3．D
【分析】分别利用幂的乘方法则，同底数幂的除法，积的乘方法则，完全平方公式分别求出即可．
【详解】A．，故此选项计算错误，不符合题意；
B．，故此选项计算错误，不符合题意；
C．，故此选项计算错误，不符合题意；
D．，故此选项计算正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查幂的乘方法则，同底数幂的除法，积的乘方法则，完全平方公式，熟练掌握相关计算法则是解答本题的关键．幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减；积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；与都叫做完全平方公式，为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式．
4．B
【分析】根据“关于y轴对称的两个点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数”即可解答．
【详解】解：点A（2，3）关于y轴对称的点的坐标是（-2，3）．
故选B．
【点睛】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，对称点的坐标规律：①关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
5．C
【分析】根据众数和中位数的定义直接求解即可．
【详解】众数为出现次数最多的， 中位数为．
故选：C
【点睛】此题考查中位数和众数，解题关键是中位数是先将数据按大小排序，若有奇数个数据则取正中间位置的数即为中位数，若有偶数个数据则取正中间的两个数取平均值即为中位数．
6．B
【分析】根据题意列不等式直接求解即可．
【详解】设答对的题的个数为，则答错或不答的有个，
由题可知：，
解得，
∵，
所以至少要答对个题．
故选：B
【点睛】此题考查一元一次不等式，解题关键是理解题意直接列不等式即可．
7．B
【分析】根据位似变换的性质得到，且，根据相似三角形的性质求出即可得到答案．
【详解】解：正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，
，
相似比为，，
，
，
，
正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，
，，
，
，
解得：，
点的坐标为．
故选：B．
【点睛】本题考查的是位似变换、坐标与图形性质与正方形的性质，解题的关键是掌握位似变换的基本性质．
8．C
【分析】A.根据函数与x轴交点个数，可转化为函数时有两个不相等的实数根，来判断大于零；B.能灵活找出所求式子是当自变量取何值时对应的函数值大小；C.已知函数值取值范围求对应的自变量取值范围即在图中找出函数的部分，直接写出对应的自变量取值范围即可；D.此题函数开口方向朝下，那么对称轴左侧的部分是y随x的增大而增大．
【详解】解：∵二次函数的图像与x轴交于点，
对称轴是直线，
∴与x轴交于点
∴，故A错误；
∴，即，
∴，
令，则，故B错误；
∵，函数图像在轴上方，
∴，故C正确；
当时，则y随x的增大而增大，故D错误．
故选：C．
【点睛】此题考查二次函数与一元二次方程，解题关键是利用二次函数的对称性找出对称点的坐标和增减性．
9．
【分析】先提取公因式，然后再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】解：
=
；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键．
10．/
【分析】利用代入消元法进行求解方程组的解即可．
【详解】解：
把②代入①得：，解得：，
把代入②得：；
∴原方程组的解为；
故答案为．
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
11．
【分析】连接OA、OB，可证∠AOB＝90°，根据勾股定理求出AO，根据弧长公式求出即可．
【详解】解：连接OA、OB．

∵正方形ABCD内接于⊙O，
∴AB＝BC＝DC＝AD＝4，AO＝BO，
∴，
∴∠AOB＝×360°＝90°，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AO2＋BO2＝2AO2＝42＝16，
解得：AO＝2，
∴的长＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了弧长公式和正方形的性质，能求出∠AOB的度数和OA的长是解此题的关键．
12．//
【分析】根据题意分析，要使太阳光刚好不射入室内，则太阳光为，平行线推论出等角后利用正切值直接列方程求解即可．
【详解】过作交于，
∵太阳光与地面的最大夹角为，
∴
∵
∴
∵（米），
∴，解得（米）．
故答案为：

【点睛】此题考查解直角三角形，解题关键是掌握正切值即对边比邻边，列方程求解即可．
13．
【分析】如图画的是垂直平分线，因此可得线段相等，证明四边形是菱形，然后求出对应底边和高即可求出面积．
【详解】由题可知，是线段的垂直平分线，
∴
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴
∴四边形是菱形，
∵ ，
，
∴，
设，则，
∴在中，
即，，
．
故答案为：
【点睛】此题考查菱形和勾股定理，解题关键是先证明四边形是菱形，求面积即求出底和高即可，通过勾股定理列方程进行计算即可．
14．（1）6；（2）．
【分析】（1）先根据二次根式的性质，特殊角锐角三角函数值，负整数指数幂，绝对值的性质化简，再计算，即可求解；
（2）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解．
【详解】解：（1）原式
；
（2）两边同乘，去分母得：
解之得：．
检验，当时，．
∴原方程的解为．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，特殊角锐角三角函数值，负整数指数幂，解分式方程，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
15．(1)120，图见解析
(2)
(3)

【分析】1）利用A的人数除以A的百分比可得被调查的学生人数，再利用总人数乘以B的百分比求出B的人数，然后完成统计图即可；
（2）利用乘以D所占的百分比即可；
（3）根据题意列出表格，可得共有16种等可能情况，他们选中同一课程的概率的有4种，再根据概率公式计算，即可求解．
【详解】（1）解：此次被调查的学生人数为名，
∴拓展课程B（摄影艺术）的人数为名，
补全统计图如图所示：

（2）解：D所对应的扇形的圆心角的度数为．
（3）解：用列表法表示如下：

A
B
C
D
A
A，A
A，B
A，C
A，D
B
B，A
B，B
B，C
B，D
C
C，A
C，B
C，C
C，D
D
D，A
D，B
D，C
D，D
共有16种等可能情况，他们选中同一课程的概率的有4种，
所以，他们选中同一课程的概率为：．
【点睛】本题考查扇形统计图与条形统计图相关内容，利用树状图或列表法求概率，注意从图中获取信息，分析图中数据之间的数量关系是解题的关键．
16．312米
【分析】过点A作射线于点M，设，，根据，即可求解．
【详解】解：过点A作射线于点M，如图所示：

根据题意，可知，，米，
在中，由，
设，，
在中，，
，
∴（米），
∴（米）．
答：该岛礁的高为312米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形求解．
17．(1)见解析；
(2)．

【分析】（1）证明直角即可；
（2）根据正切值设出未知数，再通过相似得到边的数量关系，列方程求解，再证明相似得到边的数量关系直接求解即可．
【详解】（1）连接OC．

在与中，

∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∵是半径，
∴AP为的切线．
（2）∵，
设，，
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴，即．解得，
∴，，，
∴．
∵AB为直径，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴．
∵ ，，
∴，
∴．
【点睛】此题考查圆的综合问题和相似三角形，解题关键是灵活使用三角函数值，设出未知数，然后根据相似得到边的数量关系列方程求解．
18．(1)；
(2)6；
(3)．

【分析】（1）待定系数法直接求解即可；
（2）先求出解析式，然后根据函数唯一交点联立解析式，化简后令求解函数解析式，最后求出交点坐标，直接计算三角形面积即可；
（3）先证相似，可得面积比即为相似比的平方得到边的数量关系，然后设未知数，解方程后求出函数解析式，最后联立解析式求交点坐标即可．
【详解】（1）中，令，
∴，
∴．
∵，直线过点A，B，
∴，解得．
∴一次函数的表达式为：．

（2）∵，
∴，
∴．
可求得直线AD：．
联立，得．
∵只有唯一公共点，∴．
∴，
∴．
联立得．
∴，
∴．
（3）作轴于点M，作轴于点N，

∵，易知．
∴．
当P在D上方的图像上，过点D作交于点G，
∴．
如图，过点G作轴于点H，过点D作交于点I，

可证．
∴．
设，，则，，
∴．
∴．
∴，．
∴直线：．
联立，得或（不合题意，舍去）．
∴P点坐标为．
【点睛】此题考查反比例函数的几何综合，解题关键是求函数的交点坐标即联立函数解析式求解即可．
19．3
【分析】先估算数的大小，然后可求得m、n的值，最后利用平方差公式求解即可．
【详解】∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为3．
【点睛】本题主要考查的是估算无理数的大小及乘法运算，求得m、n的值是解题的关键．
20．1
【分析】根据一元二次方程根于系数的关系，求出，，再根据，列出方程求解即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
即，
解得：，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程两根之和为，两根之积为．
21．
【分析】如图所示，设点E、F分别为与菱形的两个切点，连接，先证明是的角平分线，进而根据菱形的性质证明A、O、C三点共线，同理可证B、O、D三点共线，求出，设，解直角三角形求出，，再求出面积与菱形面积的比值即可得到答案．
【详解】解：如图所示，设点E、F分别为与菱形的两个切点，连接，
∴，
∴是的角平分线，
∵四边形是菱形，
∴平分，
∴A、O、C三点共线，
同理可证B、O、D三点共线，
∴，
∵，
∴，
设，
在中，，
在中，，
∴
∴，
∴针尖扎在圆形区域的概率为，
故答案为：．

【点睛】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，几何概率，角平分线的判定等等，正确作出辅助线求出和菱形的面积是解题的关键．
22．6
【分析】由，设，代入中，得，设，由反比例函数的中心对称性得，作轴，作轴，证明出，再根据，得出，得出，再利用，从而求解．
【详解】解：由，设，代入中，
得，
设，
由反比例函数的中心对称性得，
得，．
∴，作轴，作轴，
，
，
．

∵，
∴．
∴．
∴．
∴，
∴．
∴．
作轴，
∴，．
∴．
∴，
∴．
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形及用字母表示出线段的长度．
23．
【分析】先证，可得，即可证．做辅助线，可证，．从而得．设，，则，，，列方程后得．易证为，，由射影定理得， 联立，即可解得．
【详解】解：∵分别为边中点，
∴
∵
∴
∵
∴，
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴，
∴．

过Q作于点M，过P作于点N，
∴，．
∵
∴．
设，，则，，，，
∴，得．
连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴，即
∴，解得．
即．
故答案为：.
【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质、矩形与折叠性质，解题关键是灵活的作出辅助线，通过相似得到边的数量关系，列方程求解即可．
24．(1)
(2)2500元

【分析】（1）先求出当时，当时，y与x的函数关系式，再根据销售每件的利润乘以每天销售量等于每天的总利润，直接列式即可作答；
（2）根据（1）W与x之间的函数关系式，结合一次函数的性质，二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：当时，，
此时；
当时，设y与x的函数关系式为，
∵点，在该函数图像上，
∴，解得，
∴y与x的关系式为，
此时；
∴W与x的关系式为；
（2）解：由题可知，
∴．
①当，，
此时W随x的增大而增大，
∴当时，；
②当，；
∵，对称轴为直线，
∴当时，W随x的增大而增大．
∴当时，（元）；
∵，
答：W的最大值是2500元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，一次函数的应用，根据已知的等量关系列出相应的函数关系式是解答本题的关键．
25．(1)不变，
(2)
(3)或

【分析】（1）首先证明出，然后根据三角形内角和证明即可；
（2）连接．首先证明出，进而得到，然后证明出和，利用相似三角形的性质得到，然后利用勾股定理求出，最后利用相似三角形的性质求解即可；
（3）根据题意分两种情况讨论，当E，P第一次重合时和当E，P第二次重合时，分别根据勾股定理和相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）不变，理由如下：
∵点D，E分别为中点，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴．
（2）连接．

∵，，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，，，点D，E分别是中点，
∴，
∴．
∴．
∵，，
∴．
∴，
∴．
（3）①如备用图1，当E，P第一次重合时，

在运动的过程中，，，
∴当最大时，的值最小．
在中，，
∴，∴．
过点D作于点F，由，可得，．
∴．
∴．
②如备用图2，当E，P第二次重合时，

与①同理，，
可证，可得，
∴．
连接，则．
综上所述，或．
【点睛】此题考查了旋转综合题，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
26．(1)，；
(2)．
(3)Q的坐标为或，周长最小值为．

【分析】（1）首先根据点B的坐标求出直线的函数表达式，进而得到点C坐标，再将A、B、C三点坐标代入二次函数解析式，即可求得抛物线函数表达式；
（2）过A作轴交于点M，可以得到M点坐标，求出，过Q作轴交于点N，设，则，再根据直线平行得到三角形相似，两个三角形面积比转换为线段之比，用含有m的代数式表示，根据二次函数的图象和性质求得与的面积之比最大时m的值，得到点Q坐标，最后根据，得到P点坐标；
（3）①过Q作于点M，得到，进而得到，，，将Q点坐标设出来，得到一元二次方程，求解，即可得到Q点坐标；
②当点P与点D重合时，，此时，点Q位于处，作直线，可得直线为点Q运动的轨迹，易求直线的解析式为，作点B关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，此时周长最小．
【详解】（1）解：对，由于过点，∴．∴．
令，则．∴ ．
∵的图像过，，三点．
，解之得
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：如图，过A作轴交于点M，则，∴
过Q作轴交于点N，设，则．

∴．
∵，∴．
∴．
∵，，
当时，∴有最大值．∴．
设，由得，．
∴，∴·
（3）①如图，过Q作于点M，

∴，，，
∵，，
∴，
∴，∴，．
∴．
设，
∴，∴．
∴Q的坐标为或．
②周长最小值为．
理由如下：当点P与点D重合时，，此时，点Q位于处，作直线，可得直线为点Q运动的轨迹，易求直线的解析式为．如图，作点B关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，此时周长最小，为．

【点睛】本题为二次函数综合题，考查了二次函数解析式的求法、相似三角形的判定和应用、二次函数的最值、全等三角形的判定和应用以及对称点的妙用，本题综合性较强，解题关键是熟练掌握三角形的有关知识，做到数形结合．