2023届云南省昭通市巧家县第一中学高三数学省测模拟试题含解析

2023届云南省昭通市巧家县第一中学高三数学省测模拟试题

一、单选题

1．袋子中有3个红球和2个黑球，从中摸出一个球，该球为黑球的概率是（　　）

A． B． C．1 D．

【答案】A

【分析】求出基本事件的总数和随机事件中含有的基本事件的个数后利用公式可求概率.

【详解】从袋子中摸出一球，共有5个基本事件，

设为“从袋中摸出一球，该球为黑球”，则有两个基本事件，

故.

故选：A.

2．函数的零点所在的区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】结合单调性和零点存在定理直接判断即可.

【详解】易知为增函数，又，

，故零点所在的区间是.

故选：B.

3．设全集为R，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】求解集合A，然后利用集合的交并补运算直接求解即可

【详解】由题知或，又

集合，又或则.

故选：B

4．设是双曲线的左右焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，与另一条渐近线交于点，，则的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据所给几何关系，结合双曲线的渐近线方程，求得关于的齐次式，进行求解即可.

【详解】

如图，分别为双曲线的两条渐近线，

根据题意于，

由的方程为，，

所以，

又，所以，

由，所以，

设交轴于，

由，所以，

所以，

在中，，

所以，所以.

故选：A

5．已知则=（    ）

A．4 B． C．10 D．16

【答案】B

【分析】根据条件，利用模的平方可求出的值，再将变形并平方，即可求得答案.

【详解】由，

可得，

即，

所以，

故，

故选：B

6．甲､乙､丙三人相约一起去做核酸检测，到达检测点后，发现有两支正在等待检测的队伍，则甲､乙､丙三人不同的排队方案共有（    ）

A．12种 B．18种 C．24种 D．36种

【答案】C

【分析】对该问题进行分类，分成以下情况①3人到队伍检测，②2人到队伍检测，③1人到队伍检测，④0人到队伍检测；然后，逐个计算后再相加即可求解；注意计算时要考虑排队时的顺序问题.

【详解】先进行分类：①3人到队伍检测，考虑三人在队的排队顺序，此时有种方案；

②2人到队伍检测，同样要考虑两人在队的排队顺序，此时有种方案；

③1人到队伍检测，要考虑两人在队的排队顺序，此时有种方案；

④0人到队伍检测，要考虑两人在队的排队顺序，此时有种方案；

所以，甲､乙､丙三人不同的排队方案共有24种.

故选：C

7．已知成立, 函数是减函数, 则是的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】 ，设，则

，可得在上单调递增，而 ，则；由函数是减函数，可知，故是的必要不充分条件

8．已知函数是定义在R上的偶函数，对于任意都成立；当，且时，都有．给出下列四个命题：①；②直线是函数图象的一条对称轴；③函数在上为增函数；④函数在上有335个零点．

其中正确命题的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】①在中，令，可得，函数是定义在R上的偶函数，从而可以判断①；②由①知，所以是周期为6，再利用是定义在R上的偶函数，从而可以判断②；③依题意，函数在单调递增，再利用是定义在R上的偶函数，可判断函数在上的单调性，从而可以判断③；④依题意，在每个周期内有一个零点，从而可以判断④.

【详解】令，得，又是偶函数，故，①正确；

因为，所以是周期为6的周期函数，因为是一条对称轴，故是函数图象的一条对称轴，②正确；

函数在上的单调性与的单调性相同，因为函数在单调递增，故在单调递减，③错误；

在每个周期内有一个零点，区间…分别有一个零点，共有335个周期，在区间内有一个零点为2013，故零点共有336个，④错误，

综上所述，正确的命题为①②．

故选：B.

二、多选题

9．已知双曲线：（）的一条渐近线方程为，则下列说法正确的是（    ）．

A．的焦点在轴上 B．

C．的实轴长为6 D．的离心率为

【答案】AD

【分析】根据双曲线的定义及性质即可验证各选项．

【详解】解：由，可知双曲线的焦点一定在轴上，故A正确；

根据题意得，所以，故B错误；

双曲线的实轴长为，故C错误；

双曲线的离心率，故D正确．

故选：AD．

【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，属于基础题．

10．，若，则下列结论正确的有（    ）

A． B．

C．二项式系数的和为 D．

【答案】ACD

【分析】利用二项式定理求出的值，可判断A选项；利用赋值法可判断BD选项；利用二项式系数和可判断C选项.

【详解】对于A选项，，可得，A对，

对于B选项，因为，

所以，，B错；

对于C选项，二项式系数的和为，C对；

对于D选项，，D对.

故选：ACD.

11．如图，若正方体的棱长为2，点是正方体在侧面上的一个动点（含边界），点是的中点，则下列结论正确的是（    ）

A．三棱锥的体积为定值 B．若，则点在侧面运动路径的长度为

C．若，则的最大值为 D．若，则的最小值为

【答案】AD

【分析】对于A，三棱锥的体积，由已知得三角形PDD1的面积是定值，且点M到面PDD1的距离是正方体的棱长，由此可判断；对于B，过点P作，由已知有点M的轨迹是以Q为圆心，1为半径的半圆弧，根据圆的周长公式计算可判断；对于C、D，过点P作，则点Q是的中点，连接QC，取BC的中点N，连接NC1，A1N，A1C1，由线面垂直的判定和性质得点M的轨迹是线段，解，可求得的最大值和最小值，由此可判断C、D选项.

【详解】解：对于A，三棱锥的体积，

而因为点P为的中点，所以三角形PDD1的面积是定值，且点M到面PDD1的距离是正方体的棱长，

所以三棱锥的体积是定值，故A正确；

对于B，过点P作，则由正方体的性质得平面，所以，

又，正方体的棱长为2，所以，

所以点M的轨迹是以Q为圆心，1为半径的半圆弧，

所以点在侧面运动路径的长度为，故B不正确；

对于C、D，过点P作，则点Q是的中点，连接QC，取BC的中点N，连接NC1，A1N，A1C1，

则，，

因为，所以，平面，所以，

又，所以平面，所以，所以点M的轨迹是线段，

在中，，，

所以的最大值为，故C不正确；

在中，，所以，

所以点A1到C1N有距离为，

所以的最小值为，故D正确，

故选：AD.

12．已知函数（a，b，），则（    ）

A．若，则曲线在处的切线方程为

B．若，，，则函数在区间上的最大值为

C．若，，且在区间上单调递增，则实数a的取值范围是

D．若，，函数在区间内存在两个不同的零点，则实数c的取值范围

【答案】ACD

【分析】对于A，切线方程

对于B，在区间上的单调性得解

对于C，在区间上恒成立的取值范围

对于D，在区间内存在两个不同的根函数和的图象有两个不同的交点，的单调性→作出和的大致图象得解

【详解】对于A，，得，且，所以，所以曲线在处的切线方程为，即，所以A正确.

对于B，，得，所以在上单调递减，在上单调递增，又，，且易知，所以当时，，所以B不正确.

对于C，，定义域为，.因为在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，而当时，函数的值域为，所以，所以C正确.

对于D，，所以，定义域为，在区间内存在两个不同的零点，等价于关于x的方程即在区间内存在两个不同的根.令，则原问题等价于函数和的图象有两个不同的交点，

，所以由，得，由，得，所以在上单调递增，在上单调递减，，当时，，当时，，（作出函数和的大致图象，如图所示

由图可得，所以D正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．已知，且，则__________，__________．

【答案】         

【分析】利用诱导公式结合可求cosα，根据可知，再根据即可求出tanα﹒

【详解】，

∵，∴，

，

故答案为：；﹒

14．在三棱锥中， ， ，，且两两垂直，则此三棱锥外接球的体积是______．

【答案】

【分析】根据条件结合长方体的性质即得.

【详解】因为在三棱锥中， ， ，，且两两垂直，

三棱锥扩展为长方体，则长方体的对角线为三棱锥的外接球的直径，

所以三棱锥外接球的半径为，

所以其外接球的体积为.

故答案为：.

15．如图，三棱锥中，点分别为棱的中点，如果三棱锥的体积为8，则几何体的体积为____．

【答案】3

【分析】根据点分别为棱的中点，利用面积之比是相似比的平方，体积之比是相似比的立方求解.

【详解】因为点分别为棱的中点，

所以 ，三棱锥的高是三棱锥的倍，

所以，

又因为三棱锥的体积为8，

所以，

又因为三棱柱与三棱锥等底等高，

故．

故答案为：3．

【点睛】本题主要考查利用几何关系求解几何体的体积，属于中档题．

16．锐角中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，有，且，则的取值范围为___________.

【答案】

【分析】先利用三角函数恒等变形求出，利用正弦定理表示出，用三角函数求出的取值范围.

【详解】因为，

所以.

因为,所以，所以.

所以.

因为为锐角三角形，所以，所以,所以.

所以，即.

因为为锐角三角形，所以，解得：

由正弦定理得：，.

所以.

因为，所以，所以.

因为，所以，

所以，所以.

即

在中，由两边之和大于第三边，所以.

综上所述：.

故答案为：

【点睛】解三角形的最值问题包括两类：

（1）利用正弦定理转化为三角函数求最值；

（2）利用余弦定理转化为基本不等式求最值．

四、解答题

17．如图，某几何体的下部分是长､宽均为8，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求：

（1）该几何体的体积；

（2）该几何体的表面积.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）按照公式求出长方体和四棱锥的体积，求和即可；（2）先找到四棱锥侧面的高，然后可求出四棱锥的侧面积，继而求长方体的表面积，求和即可.

【详解】连接，交于点，取的中点，连接，，

（1）

∴

（2）∵，

∴

【点睛】易错点睛：求棱锥的表面积时要注意高为面的高，而不是棱锥的高.

18．在生产过程中，测得纤维产品的纤度（表示纤维粗细的一种量）共有100个数据，将数据分组如下表：

(1)请作出频率分布表，并画出频率分布直方图；

(2)估计纤度落在中的概率及纤度小于1.40的概率是多少；

(3)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如：区间的中点值是1.32）作为代表．据此，估计纤度的期望．

【答案】(1)作图见解析；

(2)0.69，0.44；

(3)1.4088

【分析】(1)先列频率分布表，再作频率分布直方图；

(2)由频率分而表直接求纤度落在中的概率和纤度小于1.40的概率即可；

(3) 设纤度为，写出可取的值，再求期望即可.

【详解】（1）频率分布表如下：

频率分布直方图如下图．

（2）纤度落在中的概率约为，

纤度小于1.40的概率约为．

（3）设纤度为，可取的值是1.32，1.36，1.40，1.44，1.48，1.52，

则，，，，，，

∴.

19．某中医药研究所研制出一种新型抗过敏药物，服用后需要检验血液抗体是否为阳性，现有n（n∈N*）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：①逐份检验，需要检验n次；②混合检验，将其中k（k∈N*，2≤k≤n）份血液样本分别取样混合在一起检验，若结果为阴性，则这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只需检验一次就够了，若检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪份为阳性，就需要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k+1次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阳性的概率为p（0＜p＜1）.

（1）假设有5份血液样本，其中只有两份样本为阳性，若采取逐份检验的方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率.

（2）现取其中的k（k∈N*，2≤k≤n）份血液样本，采用逐份检验的方式，样本需要检验的次数记为ξ1；采用混合检验的方式，样本需要检验的总次数记为ξ2.

（i）若k＝4，且，试运用概率与统计的知识，求p的值；

（ii）若，证明：.

【答案】（1）；（2）（i）；（ii）证明见解析.

【分析】（1）设恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为事件A，由古典概型概率计算公式可得答案；

（2）（i）由已知，可能取值分别为1，，求解概率然后求期望推出关于的关系式；

（ii）由，计算出，再由，构造函数，利用导数判断函数的最值可得答案..

【详解】（1）设恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为事件A，

所以前2次检验中有一阳性有一阴性样本第三次为阳性样本，或者前3次均为阴性样本，

则.

（2）（i），所以，可能取值分别为1，，

，

，

因为得，因为，

所以，.

（ii）因为，由（i）知，

所以，

设，，

所以在单调递增，所以

由于，所以，即，得证.

20．如图，为圆的直径，点在圆上，且为等腰梯形，矩形和圆所在的平面互相垂直，已知.

(1)求证：平面平面；

(2)当的长为何值时，二面角的大小为.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）先根据面面垂直性质定理得平面，即得，再根据圆性质得，根据线面垂直判定定理得平面，，最后根据面面垂直判定定理得结论；

（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组求各面法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据向量夹角与二面角关系建立方程，求出的长.

【详解】（1）证明：平面平面，且，平面平面，

平面ABCD,所以平面，

因为平面，所以，又因为为圆的直径，所以，BF,CB在平面内相交，所以平面，又由平面，所以平面平面.

（2）设的中点分别为，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，

设，则点D的坐标为，

则，设平面的法向量为)，则

，即，取，可得，则，

由（1）可知平面，平面的一个法向量为，

则，因为二面角的大小为，

可得 解得，所以线段的长为.

21．设函数，若，且，证明：.

【答案】证明详见解析.

【详解】由题设，即

上式等价于

由已知，∴，∴，∴

∴.

22．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P，Q为椭圆C上任意两点，且，若三角形的周长为8，面积的最大值为2.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设椭圆C外切于矩形，求矩形面积的最大值.

【答案】(1)

(2)12

【分析】（1）三角形的周长为8，得到，再由，可得答案；

（2）分矩形中有一条边与坐标轴平行时，则另外三条也与坐标轴平行、矩形的边都不与坐标轴平行，这时设直线的方程为；，则的方程为：，的方程为：，的方程为：，与椭圆方程联立，分别求得矩形的边长，求解.

【详解】（1）由得三点共线，

因为三角形的周长为8，

所以，则，

当点为椭圆上或下顶点时面积的最大，

即，

由，解得，

所以椭圆C的方程为.

（2）当矩形中有一条边与坐标轴平行时，则另外三条也与坐标轴平行，

矩形的两条边长分别为矩形，

此时，

当矩形的边都不与坐标轴平行时，由对称性，不妨设直线的方程为；，则的方程为：.

的方程为：，的方程为：.

由，得，

令得，同理得，

矩形的边长分别为，，

∴，

，

当且仅当时取等号，所以矩形面积的最大值是12.

综上所述，矩形面积的最大值是12.