2023届湖南省邵阳市高三三模数学试题含解析

2023届湖南省邵阳市高三三模数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】C

【分析】根据全集的定义和运算即可求解.

【详解】由，，

得或.

故选：C.

2．设复数满足，则（    ）

A．2 B．1 C． D．2

【答案】A

【分析】利用复数的除法法则及复数的模公式即可求解.

【详解】由，得，

所以.

故选：A.

3．如图，在中，D是BC边上一点.Р是线段AD的中点，且.则（    ）

A． B．1 C． D．2

【答案】A

【分析】根据和可得，结合B、D、C三点共线可得，即可求解.

【详解】因为是线段AD的中点，且，

所以，

得，

又B、D、C三点共线，

所以，得.

故选：A.

4．“埃拉托塞尼筛法”是保证能够挑选全部素数的一种古老的方法.这种方法是依次写出2和2以上的自然数，留下第一个数2不动，剔除掉所有2的倍数；接着，在剩余的数中2后面的一个数3不动，剔除掉所有3的倍数；接下来，再在剩余的数中对3后面的一个数5作同样处理；……，依次进行同样的剔除.剔除到最后，剩下的便全是素数.在利用“埃拉托塞尼筛法”挑选2到20的全部素数过程中剔除的所有数的和为（    ）

A．130 B．132 C．134 D．141

【答案】B

【分析】利用等差数列求和公式及素数的定义即可求解.

【详解】由题可知，2到20的全部整数和为，

2到20的全部素数和为，

所以挑选2到20的全部素数过程中剔除的所有数的和为.

故选：B.

5．为加强居民对电信诈骗的认识，提升自我防范的意识和能力，拧紧保障居民的生命财产的“安全阀”，某社区开展了“防电信诈骗进社区，筑牢生命财产防线”专题讲座，为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份防电信诈骗手段知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图所示，则（    ）

A．讲座前问卷答题的正确率的中位数大于75%

B．讲座后问卷答题的正确率的众数为85%

C．讲座前问卷答题的正确率的方差小于讲座后正确率的方差

D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

【答案】B

【分析】根据题意图中的数据分析，结合中位数、众数、极差的定义和方差的意义依次判断选项即可.

【详解】由图可知，讲座前10位居民问卷答题的正确率分别为

，

讲座后10位居民问卷答题的正确率分别为

.

A：讲座前10位居民问卷答题的正确率按小到大排列为

其中位数为，故A错误；

B：讲座后10位居民问卷答题的正确率的众数为，故B正确；

C：由图可知，10位讲座前的居民问卷答题的正确率波动比讲座后的大，

所以10位讲座前的居民问卷答题的正确率的方差大于讲座后的方差，故C错误；

D：讲座前10位居民问卷答题的正确率的极差为，

讲座后10位居民问卷答题的正确率的极差为，

，故D错误.

故选：B.

6．如图所示，正八面体的棱长为2，则此正八面体的表面积与体积之比为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】作出图形，根据正八面体的性质求出相关的长度，分别代入表面积和体积计算公式即可求解.

【详解】如图，由边长为2，可得的高，

，则其表面积为

.

体积为.

此正八面体的表面积与体积之比为.

故选：D.

7．拿破仑·波拿巴最早提出了一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点”.在△ABC中，已知，且，，现以BC，AC，AB为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，，，则的边长为（    ）

A．3 B．2 C． D．

【答案】B

【分析】作△ABC，连接，易知，以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，结合已知求，即可确定的边长.

【详解】如图，连接，由题设，

因为以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为，

所以，，故.

故选：B.

8．定义在上的可导函数f（x）满足，且在上有若实数a满足，则a的取值范围为（    ）

A． B． C．  D．

【答案】A

【分析】根据已知条件构造函数，利用偶函数的定义及导数法的正负与函数的单调性的关系，结合偶函数的性质及函数的单调性即可求解.

【详解】由，得.

令，则，即为偶函数.

又时，.

所以在上单调递减.

由，得，即.

又为偶函数，

所以，

所以，即，解得，

所以a的取值范围为.

故选：A.

【点睛】关键点睛：解决此题的关键是构造函数，利用偶函数定义和导数法求出函数的单调性，再利用偶函数和单调性即可解决抽象不等式.

二、多选题

9．下列命题中，正确的有（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】BD

【分析】根据不等式的性质判断A、C、D的正误，利用基本不等式判断B的正误.

【详解】对于A：若，则无意义，故A错误；

对于B：若，则，当且仅当时，等号成立，故B正确；

对于C：由于不确定的符号，故无法判断，

例如，则，故C错误；

对于D：若，则，

所以，故D正确；

故选：BD.

10．已知函数，则（    ）

A．的最小正周期为 B．在上单调递增

C．的图象关于直线对称 D．若，则的最小值为

【答案】BC

【分析】利用整体思想，结合余弦函数的周期性、对称性、单调性，可得答案.

【详解】对于A，由函数，则，故A错误；

对于B，由，则，

因为函数在上单调递增，所以在上单调递增，

故B正确；

对于C，由，则，因为函数的对称轴为直线，故C正确；

对于D，由，则，令，解得，

因为函数在上单调递增，在上单调递减，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

故，故D错误.

故选：BC.

11．已知双曲线C的左､右焦点分别为，，双曲线具有如下光学性质：从右焦点发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点，如图所示.若双曲线C的一条渐近线的方程为，则下列结论正确的有（    ）

A．双曲线C的方程为

B．若，则

C．若射线n所在直线的斜率为k，则

D．当n过点M（8，5）时，光由所经过的路程为10

【答案】AC

【分析】利用双曲线的渐近线方程及勾股定理，结合双曲线的定义及两点间的距离公式即可求解.

【详解】对于A ，由题意可知，因为双曲线C的一条渐近线的方程为，

所以，即，所以双曲线的方程为故A正确；

对于B，由，得，解得，

在中，，由勾股定理及双曲线的定义知，，

即，解得，故B错误；

对于C，由题意可知，双曲线的渐近线方程为，

由双曲线的性质可得射线所在直线的斜率范围为，故C正确；

对于D，由题意可知，，当过点时，

由双曲线定义可得光由所经过的路程为，故D错误.

故选：AC.

12．如图所示，已知点A为圆台下底面圆周上一点，S为上底面圆周上一点，且，则（    ）

A．该圆台的体积为

B．直线SA与直线所成角最大值为

C．该圆台有内切球，且半径为

D．直线与平面所成角正切值的最大值为

【答案】ACD

【分析】对于A，根据圆台的体积公式，可得答案；

对于B，根据异面直线夹角的定义，作图，利用三角函数的定义，可得答案；

对于C，研究圆台的轴截面，结合等腰体形存在内切圆的判定，可得答案，

对于D，根据线面角的定义，作图，利用线面垂直判定定理，结合函数的单调性，可得答案.

【详解】对于A选项，，则A选项正确.

对于B选项，如图（1），

过作垂直于下底面于点，则，

所以直线与直线所成角即为直线与直线所成角，

即为所求，而，

由圆的性质得，，

所以，因为，

则B选项错误.

对于C选项，设上底面半径为，下底面半径为，

若圆台存在内切球，则必有轴截面的等腰梯形存在内切圆，如图（2）所示，

梯形的上底和下底分别为2，4，高为，易得等腰梯形的腰为，

假设等腰梯形有内切圆，由内切圆的性质以及切线长定理，可得腰长为，

所以圆台存在内切球，且内切球的半径为，则C选项正确；

对于D选项，如图（3），

平面即平面，过点做交于点，因为垂直于下底面，

而含于下底面，所以，又，且平面，所以平面，

所以直线与平面所成角即为，且.

设，则，

所以，

其中，所以，当时，，

当时，.

根据复合函数的单调性，可知函数，在上单调递增，

所以当时，有最大值，最大值为，所以D选项正确.

故选：ACD.

三、填空题

13．一个袋子中有大小和质地相同的5个球，其中有3个红色球，2个白色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则第2次摸到红色球的概率为__________.

【答案】/0.6

【分析】通过分析第一次不放回摸出的球的不同情况，即可得到第2次摸到红色球的概率.

【详解】由题意，

袋子中有相同的5个球，3个红球，2个白球，

不放回地依次随机摸出2个球，

∴第1次可能摸到1白色球或1红色球

∴第2次摸到红色球的概率为：，

故答案为：.

14．三棱锥中，PA⊥平面ABC，，则三棱锥外接球的表面积为__________.

【答案】

【分析】首先求证两两垂直，将棱锥补全为长方体，根据它们外接球相同求其半径，进而求表面积.

【详解】由PA⊥平面ABC，面，则，又，

所以两两垂直，故可将三棱锥补全为长方体，

故三棱锥外接球，即为长方体外接球，

令三棱锥外接球半径为，则满足，

所以外接球表面积为.

故答案为：

15．过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线l，l与抛物线及其准线从上到下依次交于A，B，C三点.令，则的值为__________.

【答案】2

【分析】设，由题意求出直线l的方程，联立抛物线方程，利用韦达定理求得，进而求出即可.

【详解】设，由得，，

则直线l的方程为，即，

，消去y得，

，

解得.

过点作准线的垂线，分别交准线于点，

则，

同理可得.

故答案为：2.

16．已知函数有两个极值点，，且，则实数m的取值范围是__________.

【答案】

【分析】根据极值点的定义，结合函数零点的定义，通过构造函数，利用数形结合思想进行求解即可.

【详解】由有两个不同实根，

且，

设，

当时，，当时，，

在单调递减，在单调递增，所以，

显然当时，，当时，，

图象如下：

所以有，则有，

当时，即.，

时，，

故答案为：

【点睛】关键点睛：根据函数极值的定义，结合构造函数法、数形结合法进行求解是解题的关键.

四、解答题

17．如图所示，D为外一点，且，，

(1)求sin∠ACD的值；

(2)求BD的长.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用余弦定理求出边的长，用勾股定理得出边的长，即可求出sin∠ACD的值；

（2）由正弦定理求出与的关系，由余弦定理即可求出BD的长.

【详解】（1）由题意，

在中，，，，

由余弦定理得，，

.

.

在中，，，

，

.

（2）由题意及（1）得，

在中，由正弦定理得，.

∴，且.

又，

∴，

∴.

在中，，，

由余弦定理得，，

∴，

∴.

18．记为等差数列{}的前n项和，已知，数列{}满足.

(1)求数列{}与数列{}的通项公式；

(2)数列{}满足，n为偶数，求{}前2n项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前n项求和公式计算可得，即可求出；根据可得，验证，即可求解；

（2）由题意，根据等比数列前n项求和公式和裂项相消求和法计算即可求解.

【详解】（1）设等差数列的公差为d，

，即，，.

，①

，②

所以①-②得，，

.当时，，符合.

.

（2），依题有：

.

记，则.

记，

则

.

所以.

19．如图所示，在直四棱柱ABCD-中，底面ABCD为菱形，，，E为线段上一点.

(1)求证：；

(2)若平面与平面ABCD的夹角的余弦值为，求直线BE与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接，利用线面垂直的判定定理和性质即可证明；

（2）根据线面垂直的性质可得，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求出平面的法向量，由题意和向量的数量积的定义求出点E的坐标，结合线面角的定义即可求解.

【详解】（1）连接，

底面为菱形，.

又平面平面.

又面，

平面.又平面.

（2）设的中点为，连接，如图：

为等边三角形，，又，则.

又平面，则.

以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，

则，，

，

设平面的一个法向量为，

令，则.

又平面的一个法向量为，

则.

又平面与平面的夹角的余弦值为，

，

，，

.

直线与平面所成角的正弦值为.

20．某电视台为了解不同性别的观众对同一档电视节目的评价情况，随机选取了100名观看该档节目的观众对这档电视节目进行评价，已知被选取的观众中“男性”与“女性”的人数之比为，评价结果分为“喜欢”和“不喜欢”，并将部分评价结果整理如下表所示.

(1)根据所给数据，完成上面的列联表；

(2)依据的独立性检验，能否认为性别因素与评价结果有关系？

(3)电视台计划拓展男性观众市场，现从参与评价的男性中，按比例分层抽样的方法选取3人，进行节目“建言”征集奖励活动，其中评价结果为“不喜欢”的观众“建言”被采用的概率为，评价结果为“喜欢”的观众“建言”被采用的概率为，“建言”被采用奖励100元，“建言”不被采用奖励50元，记3人获得的总奖金为X，求X的分布列及数学期望.

附：

【答案】(1)列联表见解析

(2)能认为性别因素与评价结果有关系

(3)分布列见解析，

【分析】（1）根据男女比例计算出男性和女性人数，然后可得；

（2）根据公式计算卡方值，然后查表可得；

（3）根据“建言”被采用人数求出概率，得到分布列，由期望公式可得.

【详解】（1）男性有人，女性有人，然后可得下表：

（2）零假设：假设性别因素与评价结果无关，

计算卡方值，

小概率值对应的临界值为，所以.

故推断零假设不成立，评价结果与性别有关系.

（3）由题意得，选取的3人中，评价结果“喜欢”的为1人，“不喜欢”的为2人.

所以的所有可能取值为.

则，

.

.

.

数学期望为.

21．已知椭圆C：的离心率为，且过点.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)已知O为坐标原点，A，B，P为椭圆C上不同的三点，若.试问：△ABP的面积是否为定值？如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由.

【答案】(1)

(2)为定值，

【分析】（1）根据题意列式求解，即可得结果；

（2）根据题意分析可得，分类讨论直线的斜率是否存在，根据点在椭圆上，利用韦达定理可得，结合弦长公式和点到直线的距离运算求解.

【详解】（1）因为椭圆的离心率为，且过点，则，解得，

所以椭圆方程为.

（2）因为，则四边形为平行四边形，

所以.

①若直线的斜率不存在，此时点为长轴顶点，不妨取，

设，则，解得，

则；

②若直线斜率存在时，设方程：，

联立方程组得，消去可得：，

由，整理得，

则，

可得，

所以.

因为点在椭圆上，则，

所以，满足，

则，

又因为点到直线的距离，

所以；

综上所述：面积为定值，且定值为.

【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤

（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；

（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；

（3）得出结论．

22．已知函数.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)当时，恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；

（2）将原问题转化为恒成立，构造函数，求导可得，分类讨论当、和时函数的性质，即可得出函数的性质，进而得到a的范围.

【详解】（1）当时，，

，.

曲线在点处的切线方程为，

即.

（2）恒成立，

恒成立.

构造函数，

则，且.

令，得.

且.

①当时，存在，

则在上单调递减，

故存在，有，不符合题意.

②当时，令.

则，

所以单调递增，则.

所以在上单调递增，又，所以在上单调递增.

又，所以恒成立，符合题意.

③当时，，

所以在上单调递增，又，所以在上单调递增.

又，所以恒成立，符合题意.

综上所述，.

【点睛】利用导数解决不等式恒成立问题时，常常采用分离参数法求范围：若或恒成立，只需满足或即可，利用导数方法求出的最小值或的最大值，从而解决问题；也可以把参数看作常数利用分类讨论方法解决：对于不适合分离参数的不等式，常常将参数看作常数直接构造函数，常用分类讨论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围.