专题03 分式——2023年河南省中考数学模拟题分项选编

2023年河南省中考数学模拟题分项选编

专题03  分式

一、单选题

1．（2023·河南洛阳·统考二模）下列运算正确的是（　　）

A． B． C． D．

2．（2023·河南南阳·统考二模）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马速度的倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为（    ）

A． B． C． D．

3．（2023·河南开封·统考一模）下列分式方程去分母后所得结果正确的是（　　）

A．去分母得，

B．去分母得，

C．去分母得，

D．去分母得，

4．（2023·河南商丘·统考三模）某校在“植树节”期间，带领学生开展了植树活动，甲、乙两班同时开始植树，甲班比乙班每小时多植2棵树，植树活动结束时，甲、乙两班同时停止植树，甲班共植70棵树，乙班共植50棵树．设甲班每小时植x棵树，依题意，可列方程为（　　）

A．  B． C．  D．

5．（2023·河南驻马店·一模）郑州市新冠肺炎疫情防控指挥部发布开展全市全员新冠病毒核酸检测的通告，某小区有3000人需要进行核酸检测，由于组织有序，居民也积极配合，实际上每小时检测人数比原计划增加50人，结果提前2小时完成检测任务．假设原计划每小时检测x人，则依题意，可列方程为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

6．（2023·河南平顶山·统考一模）当________时，分式有意义．

7．（2023·河南新乡·统考一模）若有意义，则实数x的取值范围是___________．

8．（2023·河南安阳·统考一模）若分式的值为0，则x的值为_____________．

9．（2023·河南商丘·统考三模）某种病毒的直径为米，米用科学记数法表示为______米．

10．（2023·河南洛阳·统考三模）化简的结果是________．

11．（2023·河南开封·统考一模）如图，《九章算术》是中国古代数学专着，是《算经十书》（汉唐之间出现的十部古算书）中最重要的一种.该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽.每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽有株，根据题意可列分式方程为________________.

12．（2023·河南郑州·统考二模）方程的解是______．

三、解答题

13．（2023·河南南阳·统考二模）（1）计算：；

（2）化简：．

14．（2023·河南商丘·统考一模）（1）计算：；

（2）化简：．

15．（2023·河南安阳·统考二模）（1）计算：；

（2）化简：．

16．（2023·河南驻马店·统考三模）（1）计算：．

（2）化简：．

17．（2023·河南三门峡·统考二模）计算题

(1)计算：；

(2)先化简，再求值：，；其中的值从，，，中任意选取．

18．（2023·河南商丘·统考一模）（1）计算：．

（2）下面是小明计算的过程，请认真阅读并完成相应的任务．

解：

………………………………第一步

……………………第二步

……………………………………第三步

……………………………………第四步

．……………………………………………第五步

小明计算的第一步是 （填“整式乘法”或“因式分解”），计算过程的第 步开始出现错误．请你写出正确的计算过程及结果．

19．（2023·河南焦作·统考二模）（1）计算：；

（2）化简：．

20．（2023·河南南阳·统考一模）（1）化简：．

（2）解不等式组并将解集表示在所给的数轴上．

21．（2023·河南新乡·统考二模）（1）计算：．

（2）化简：．

22．（2023·河南安阳·统考二模）骑电动自行车时佩戴安全头盔，可以保护头部，减少伤害，某商店经销进价分别为30元/个和20元/个的甲、乙两种安全头盔，销售时，甲头盔的单价比乙头盔的单价贵15元．某日，甲头盔的销售额为450元，乙头盔的销售额为600元，此时乙头盔的销量恰好是甲头盔的2倍．

(1)求甲、乙两种头盔的销售单价；

(2)若商店准备用不超过2300元的资金再购进这两种头盔共100个，最多能购进甲种头盔多少个？

23．（2023·河南南阳·统考二模）解方程和不等式组：

(1)；

(2)．

24．（2023·河南许昌·统考二模）李老师近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的行驶费用比燃油车平均每公里的行驶

费用少0.6元．若两款车的行驶费用均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍．

(1)求这款电动汽车平均每公里的行驶费用；

(2)若电动汽车和燃油车每年的其它费用分别为7800元和4800元，问：每年行驶里程为多少千米时，买电动汽车的年费用更低?（年费用=年行驶费用＋年其它费用）

25．（2023·河南焦作·统考二模）第22届国际世界杯足球赛于2022年11月20日至12月18日在卡塔尔境内8座球场举行．某体育运动专卖店采购员预测某款型短袖T恤衫能畅销市场，就用6000元购进一批这种T恤衫，由于市场供不应求，该店铺又用15000元购进了第二批这种T恤衫，所购数量是第一批购进量的2倍，由于供货紧张，每件价格比第一次贵10元．

(1)该店铺购进第一批，第二批T恤衫每件的进价分别是多少元?

(2)如果两批T恤衫按相同的标价销售，最后断码的50件T恤衫按五折优惠售出，要使两批T恤衫全部售完后利润率不低于（除去450元的快递费用），那么每件T恤衫的标价至少是多少元？

26．（2023·河南信阳·统考一模）某商品经销店欲购进A、B两种纪念品，用360元购进的A种纪念品与用450元购进的B种纪念品的数量相同，每件B种纪念品的进价比每件A种纪念品的进价多10元．

(1)求A、B两种纪念品每件的进价分别为多少元？

(2)若该商店A种纪念品每件售价50元，B种纪念品每件售价65元，这两种纪念品共购进200件，这两种纪念品全部售出后总获利不低于2400元，求A种纪念品最多购进多少件？

参考答案

1．D

【分析】根据幂的乘方，完全平方公式，负整数指数幂，逐项判断即可求解．

【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；

B、，故本选项错误，不符合题意；

C、，故本选项错误，不符合题意；

D、，故本选项正确，符合题意；

故选：D

【点睛】本题主要考查了幂的乘方，完全平方公式，负整数指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．

2．B

【分析】根据题意先求得快马的速度和慢马的速度，根据快马的速度是慢马的2倍列分式方程即可．

【详解】解：设规定时间为x天，

慢马的速度为，快马的速度为，

快马的速度是慢马的倍，

故选∶B．

【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系列出方程是解题的关键．

3．D

【分析】根据去分母的方法逐一分析即可．

【详解】解：去分母得，；

故A不符合题意；

去分母得，，故B不符合题意；

去分母得，，故C不符合题意；

去分母得，，故D符合题意；

故选D．

【点睛】本题考查的是解分式方程的去分母，掌握利用等式的基本性质去分母是解本题的关键．

4．B

【分析】两个班植树时间相等是等量关系式，列出方程即可．

【详解】根据题意可得，

，

故选：B．

【点睛】此题考查了分式方程的应用，解题的关键是根据题意找出等量关系式．

5．B

【分析】根据题意直接列出方程选择即可．

【详解】根据题意即可直接列出方程：．

故选B．

【点睛】本题考查分式方程的实际应用．根据题意找出等量关系，列出方程是解题关键．

6．

【分析】根据分母不为0，列出不等式求解即可．

【详解】解：要使分式有意义，则，

解得，，

故答案为：．

【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题关键是熟记分式有意义的条件是分母不为0．

7．

【分析】根据分式有意义的条件求解即可．

【详解】∵有意义，

∴，

∴．

故答案为：．

【点睛】本题考查分式有意义的条件．掌握分式的分母不能为0是解题关键．

8．

【详解】解：根据分式的值为零的条件得：且，

解得：．

故答案为：．

【点睛】本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分母不为零，分子为零时，分式的值为零．

9．

【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数．

【详解】解：．

故答案为：．

【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，确定与的值是解题的关键．

10．

【分析】根据分式的混合运算法则进行计算即可．

【详解】

故答案是．

【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．

11．

【分析】根据实际问题列分式方程即可，关键是对“那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”的理解．

【详解】解：由题意可列方程：；

故答案为：．

【点睛】本题考查根据题意列分式方程，解题关键是熟练运用单价计算公式：单价总价数量，结合题意即可得出分式方程．

12．

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【详解】解：去分母得：，

解得：x=6，

检验：当x=6时，，

∴分式方程的解为x=6．

【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

13．（1）；（2）

【分析】（1）根据实数的混合计算法则和零指数幂计算法则求解即可；

（2）根据分式的混合计算法则求解即可．

【详解】解：（1）原式

；

（2）原式

．

【点睛】本题主要考查了实数的混合计算，分式的混合计算，零指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．

14．（1）；（2）

【分析】（1）先计算零指数幂，负整数指数幂和绝对值，再计算加减法即可；

（2）根据分式的混合计算法则求解即可．

【详解】解：（1）原式

；

（2）原式

．

【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，零指数幂和负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．

15．（1）（2）

【分析】（1）利用算术平方根，零指数幂和绝对值的性质求解即可；

（2）利用分式的混合运算法则求解即可．

【详解】（1）

；

（2）

．

【点睛】此题考查了算术平方根，零指数幂和绝对值，分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．

16．（1）5；（2）

【分析】（1）先计算负整数指数幂和零指数幂，再化简二次根式，最后加减；

（2）先算括号里面的分式的减法，再把除法变成乘以它的倒数，约分化简成最简即可．

【详解】解：（1）原式，

．

（2）原式，

，

．

【点睛】本题主要考查了实数的运算以及分式的化简，掌握实数及分式的运算法则是解决本题的关键．

17．(1)

(2)；

【分析】（1）利用负整数指数幂，算术平方根，零指数幂的运算法则对各项进行化简，再从左往右依次计算即可；

（2）先根据分式的混合运算法则进行化简，再根据分式有意义的的条件求出，再将其代入化简后的结果，即可求出答案．

【详解】（1）解：，

，

；

（2），

，

，

分母不能为零，

，

且，

，

原式．

【点睛】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，涉及负整数指数幂，零指数幂，分式有意义的条件等知识，正确运用运算法则进行计算是解答本题的关键．

18．（1）；（2）因式分解，三，，过程见解析

【分析】（1）根据立方根，零指数幂和负整数指数幂的计算法则求解即可；

（2）观察可知，第一步是因式分解，第三步数字1前面没有变号；根据分式的混合计算法则求出正确的结果即可．

【详解】解：（1）原式

．

（2）解：由题意得，小明计算的第一步是因式分解，计算过程是第三步出错的，在计算同分母分式减法的时候，数字1前面的符号没有变号．

原式

．

【点睛】本题主要考查了异分母分式减法，因式分解，立方根，零指数幂和负整数指数幂，灵活运用所学知识是解题的关键．

19．（1）；（2）

【分析】（1）根据立方根定义、0指数幂、负指数幂法则处理；

（2）根据分式运算法则处理．

【详解】（１）

（２）

【点睛】本题主要考查立方根定义、幂的运算法则、分式的运算等；熟练相关定义和法则是解题的关键．

20．（1）；（2），图见解析

【分析】（1）根据分式的混合计算法则求解即可；

（2）先求出每个不等式的解集，进而求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可．

【详解】解：（1）

．

（2

解不等式①得：，

解不等式②得：，

∴不等式组的解集是：，

解集在数轴上表示如下：

【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟知分式的混合计算法则和解不等式组的方法是解题的关键．

21．（1）；（2）

【分析】（1）先将立方根和0次幂化简，再进行计算即可；

（2）先将各项分子分母进行因式分解，再按照分式混合运算的运算法则和运算顺序进行计算即可．

【详解】（1）解：原式

．

（2）解：原式

．

【点睛】本题主要考查了实数的运算以及分式的化简，解题的关键是掌握实数的混合运算以及分式混合运算的运算法则和运算顺序．

22．(1)甲种头盔的销售单价为45元，则乙种头盔的销售单价为30元

(2)30个

【分析】（1）设甲种头盔的销售单价为x元，则乙种头盔的销售单价为元，根据乙头盔的销量恰好是甲头盔的2倍，列方程求解即可．

（2）设购进甲种头盔m个，则购进乙种头盔个，根据用不超过2300元的资金购进这两种头盔，列不等式

【详解】（1）解：设甲种头盔的销售单价为x元，则乙种头盔的销售单价为元，根据题意，得

，

解得：，

经检验，是原方程的解也符合题意，

∴，

答：甲种头盔的销售单价为45元，则乙种头盔的销售单价为30元．

（2）解：设购进甲种头盔m个，则购进乙种头盔个，根据题意，得

解得：，

∴最多能购进甲种头盔30个．

【点睛】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，列出分式方程与不等式是解题的关键．

23．(1)

(2)

【分析】（1）方程两边同时乘以最简公分母，化分为整，解整式方程，对解进行检验即可；

（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，用“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小是无解”进行判断即可．

【详解】（1）解：方程两边同时乘以得：

解得：．

检验：当时，，

原方程的根为．

（2）解：由①得：

，

由②得：

，

此不等式组的解集为．

【点睛】本题考查了分式方程的解法和解一元一次不等式组问题，熟练掌握分式方程的解法和判断解集的方法是解题的关键．

24．(1)这款电动汽车平均每公里的行驶费用为0.2元

(2)当每年行驶里程大于5000km时，买电动汽车的年费用更低

【分析】（1）这款电动汽车平均每公里的行驶费用为x元，原来的燃油汽车行驶1千米所需的油费元，根据题意可得等量关系：燃油汽车所需油费200元所行驶的路程电动汽车所需电费200元所行驶的路程，根据等量关系列出方程即可；

（2）由（1）得平均每公里的行驶费用为0.2元，故燃油车平均每公里的行驶费用为（元），电动汽车每年的年费为，燃油车每年的年费为，根据要求列不等式，计算即可．

【详解】（1）设这款电动汽车平均每公里的行驶费用为x元

根据题意，得

解得，

经检验，是原方程的根

答：这款电动汽车平均每公里的行驶费用为0.2元．

（2）由（1）得，燃油车平均每公里的行驶费用为（元）

设每年行驶里程为akm

由题意得：

解得

答：当每年行驶里程大于5000km时，买电动汽车的年费用更低．

【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，不等式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中等量关系，设出未知数，列出分式方程，注意不要忘记检验．

25．(1)该店铺购进第一批，第二批T恤衫每件的进价分别是40元及50元．

(2)每件T恤衫的标价至少是90元．

【分析】（1）设第一次购进价格为未知数，根据两次购买数量关系列分式方程求解即可；

（2）设标价为未知数，通过利润率不低于80%列不等式，求解范围即可．

【详解】（1）设购进第一批T恤衫每件的进价是元，则第二批T恤衫每件的进价是元；

由题意得，

解得，

经检验为分式方程的解，

，

答：购进第一批T恤衫每件的进价是40元，第二批T恤衫每件的进价是50元；

（2）设每件T恤衫的标价是y元，

第一次购进件，第二次购进件，

利润为：，

利润率不低于，

则

解得，

答：每件T恤衫的标价至少是90元．

【点睛】本题考查分式方程的实际应用问题及不等式的实际应用题，解应用题时需要理清楚等量关系，找到合适的量设未知数，顺题意列出方程，注意分式方程求解需要检验．

26．(1)A、B两种纪念品每件的进价分别为40元，50元

(2)A种纪念品最多购进120件

【分析】(1)设A种纪念品每件的进价为x元，则B种纪念品每件的进价为(x+10)元，根据用360元购进的A种纪念品与用450元购进的B种纪念品的数量相同列出方程，再解即可；

(2)设A种纪念品购进a件，则B种纪念品购进 (200-a)件，由题意得不等关系：A种纪念品的总利润+B种纪念品的总利润⩾2400元，根据不等关系列出不等式，再解即可求得．

【详解】（1）解：设A种纪念品每件的进价为x元，则B种纪念品每件的进价(x+10)元

根据题意得：

解得x=40

经检验：x=40是原方程的解，且符合题意

故x+10=40+10=50

答：A、B两种纪念品每件的进价分别为40元，50元

（2）解：设A种纪念品购进a件，则B种纪念品购进 (200-a)件

根据题意得：(50-40)a+(65-50)(200-a) ⩾2400

解得

为整数

最大为120

答：A种纪念品最多购进120件．

【点睛】此题主要考查了分式方程和一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系或不等关系，再列出方程和不等式．